三角形部分模型总结

斜边中线模型

CADB构成：Rt△ABC,∠ACB=90,D为AB边的中点 目的：找等量关系，或2倍（1/2）的关系。 结果：AD=CD=BD

00例 1 已知：△ABC中，∠A=60，CE⊥AB,BD⊥AC

求证：DE=1BC

2A 证明：取BC中点M，连结EM,DM 先证EM=DMEM=1BC=DM

DE123M2B再证：∠2=-∠1-∠3

C =-（-2∠ABC）-（-2∠ACB）=60

则△EDM为等边三角形，所以有DE=DM=1BC

20“Rt△中斜边上的中线等于斜边的一半”+“等腰对等底”+“等量代换” 例2已知：△ABC中，CE⊥AB,BD⊥AC，M,N分别为BC,DE的中点 求证：MN⊥ED

证明：连结EM,DM 先证 EM=DMEM=1BC=DM

2D后证 MN⊥ED N为中点，EM=DM “RT△中斜边上的中线等于斜边的一半”+“三线合一定 理”

[思考]：若△MCABC为钝角△，又该如何呢？在Rt△中，又是怎样？ 例3已知：在△ABC中，AB=AC,BD为∠ABC的角平分线，AM⊥BC,DE⊥BC, FD⊥BD

1 求证：ME=BF

4 证明：取BD、BF中点G、N，连结 DN， EG， GM ENAB 先证 DN=1BF

DGB123A2 再证：DN=DC∠DNC=∠C=∠ABC  ①DN∥AB∠3=∠1 ②AB=AC NMEFC 再证 GM=1DC

2 后证 GM=ME∠MEG=∠MGE ①∠GEM=∠2 ②∠GMB=∠C=2∠2 所以有ME=1DC=1BF

24“RT△中斜边上的中线等于斜边的一半(2次)”+“平行线性质1”+“等腰对等底”+“三角形中位线定理”

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例4 如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC与D,M为BC边的中点，AB=10cm,则MD长为多

少？

解：取 AB中点N,连结DN,NM,则DN=1AB, ∠NDB= ∠B, 且∠NMD= ∠C

2ANBDMC ∠NDB= ∠NMD+ ∠DNM ∠B= ∠C+ ∠DNM=2∠C

∠DNM=∠C=∠NDM 则DM=DN=1AB

2“Rt△斜边上的中线等于斜边的一半”+“三角形中位线定理” +“外角性质”

+“等底对等腰”

例5 如图 ，Rt△ABC中，∠C=90，CD平分∠C，E为AB中点，PE⊥AB,交CD延长线于P,那么∠PAC+∠PBC的大小是多少？

解：连结 CE ,则∠EAC=∠ECA

ADEBP0∠DCE=∠ECA-∠DCA=∠DAC-450

又

∠DAC=1800-∠ADC-45=135-∠PDE

00C∠DCE=(1350-∠PDE)- 450=∠DPE 则PE =EC=AE

则可证∠PAC+∠PBC=∠PAB+∠BAC+∠PBA+∠ABC=1800

“斜边中线性质”+“对顶角相等”+“等量代换”+“三角形内角和定理”

“三线合一”模型

“角平分线”+垂线等腰三角形”

构成：OC为∠A0B的角平分线，BC⊥OC于C点

A目的：构造等腰三角形

3结果： ⑴[边]：BC=AC,OA=OB OC为△OAB的中线 1CO24B⑵[角]：∠3=∠4，∠ACO=90 OC为△ABO的高线

0⑶[全等]：△ACO≌△BCO

例 1 已知：AD是△ABC的∠A的平分线，CD⊥AD于D,BE⊥AD于AD的延长线于E,M是BC

边上的中点。 求证：ME=MD

证明：延长 CD交AB于F点，BE与ＡＣ延长线交于Ｇ点

A Ｄ为FC中点，Ｍ为ＢＣ中点。

12ＤＭ∥ＡＢ，∠１＝∠3 3M45BEGFD6C ∠４＋∠５＝90，∠２＋∠６＝90 ∠５＝∠Ｇ＝∠６

00 ∠４＝∠２

则 ∠3＝∠４ 则 ＭＤ＝ＭＥ

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“‘三线合一’定理的逆定理”＋“平行线的性质”＋“等底对等腰” 例２ 已知：△ABC为等腰直角三角形，∠A=90,∠１＝∠2,CE⊥BE

求证：BD=2CE 证明：延长 CE、BA交于F 点

F 先证 CF=2CE

A 再证 RT△ABD≌RT△CAF  “∠3=∠F”+”AB=AC”+”

DE3∠BAD=∠CAF” 41 B2C 则有BD=CF=2CE “‘三线合一’定理的逆定理”+“ASA全等” 例3 已知：△ABC中，CE平分∠ACB，且AE⊥CE,

∠AED+∠CAE=1800(∠3+∠4=1800)

求证：DE∥BC

证明：延长AE交BC边于F点，则有∠3＝∠６且∠3＝∠5

0A3DB45EF ①∠3+∠4=1800 ② ∠4+∠5=1800

12∠5＝∠6 则DE∥BC C“‘三线合一’定理的逆定理”＋“平行线的判定”

例4 已知：在△ABC中，AC>AB,AM为∠A的平分线，AD⊥BC于D

求证 ：∠MAD=1(∠B-∠C)

2A351B42DMCKE 证明：作BE⊥AM,交AC于E点，交AM于K点 先证∠3=∠4∠１＝∠2

∠5＝∠AEB ① AM为角平分线 ②BE⊥AM 后证：∠B-∠C=∠4+∠5-∠C=∠4+∠AEB -∠C=2∠4 则∠3=∠4= 1（∠B-∠C）即∠MAD=1(∠B-∠C)

22“三线合一逆定理”+“平行四边形的判定”

例 5 已知：在△ABC的两边AB 、AC上分别取BD=CE，F、G分别为DE、BC的中点，∠A

的平分线AT交BC于T

求证：FG∥AT

证明：作EN⊥AT于N点，交AB于L点，作CK⊥AT于K点，连结FN、GK

先证：NF∥且=1LD,KG∥且=1MB

ALDMKBGTCFNE22 再证：LD=MBLM=DB=EC

最后证明四边形FNKG为平行四边形。 “‘三线合一’定理的逆定理”＋“平行四边形判定”

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三角形中位线模型

构成：△ABC中，D 为AB边中点

目的：找中位线，构造：①2倍关系②相似三角形 ADBEC结果：①DE∥BC,DE=1BC ②△ADE∽△ABC

2

例1 已知：在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于D,DE⊥AC于E,F为DE中点

求证：AF⊥BE

A 证明：取BE中点H，连DH 先证：Rt△EDH∽Rt△AED 则

DEEC2HD AEDE2EFGHFE  Rt△EDH∽Rt△AEF 则 ∠BED= ∠1  ∠EAF+∠AEG=90 则AF⊥BE

0BD

“AAA△∽”+“中位线定理”+“（两直线）定义”

例2 已知 BD、CE为△ABC的角平分线，AF⊥CE 于F,AG⊥CE于F,AG⊥BD于G

C 求证：①FG∥BC ② FG=1(AB+AC-BC)

2 证明：延长AF、AG 分别交BC于M、N 两点 证G为AN中点①BD⊥AN ②∠1=∠2 F为AM中点①∠3=∠4 ②CE⊥AM

① 则GF为△ANM中位线 GF∥BC, GF=1MN

2AEFGD4N3C1② MN=BN+CM-BC=AB+AC-BC 2BM“等腰△三线合一”+“△中位线定理”+“等量代换”

思考：BD、CE为外角平分线时或一内一外角平分线时，又该如何证明？

例3 已知 ，如图在ABCD中，P为CD中点，AP延长线交BC延长线于E,PQ∥CE 交DE于Q

AD1 求证：PQ=BC 2QP证明：先证△ADP≌△PCE 可得 CE=AD=BC BEC 再证 PQ为中位线 ，PQ=1CE

2“AAS△≌”+“平行四边形性质”+“△中位线定理”

例4 已知：梯形ABCD中，AB=DC,AC⊥BD,E、F为腰上中点，DL⊥BC,M为DL与EF的交点 求证：EF=DL HDA 证明：取AD、EF的中点 H、K,连结 EH、FH、HK 易证EH⊥HF 则HK=1EF

2BEKMFLC第 4 页 共 10 页

RT△DLC中可得M为DL中点，则DM=1DL

2 由题意得 HK=DM 则EF=DL

“三角形中位线定理（3次）”+“平行线性质”+“斜边上中线为斜边一半” 例 5 已知：锐角△ABC中，以AB、AC为斜边向外作等腰直角△ADB，△AEC,M为 BC中点，连结DM、ME 求证：DM=EM ,DM⊥EM

证明：取AB、AC的中点F、G,连结DF 、FM、 ME

D 先证△DFM≌△MGE  ① DF=GM

4F12G3MCEA②∠DFM=∠MGE∠1=∠2=∠3 ③ FM=GE

则DM=ME , ∠4=∠5

0675B再证∠DME=∠7+∠1+∠5=90，则 DM⊥EM

[思考]：∠BAC为钝角时，又该如何证明？

“补长截短”模型

（1） 截长法： 构成：线段a,b,c

目的：确定一线段，找令一线段的等量关系

c结果： a-b=ca=b+c， b=b b cb

（2）补短法： 构成：线段a,b,c

目的：构造一等长线段，再找等量关系

aabcc结果：c=c，b+c=aa=b+c

E34DA12例1 已知：△ABC中，AD平分∠BAC

CB 求：（1）若∠B=2∠C,则AB+BD=AC

(2) 若AB+BD=AC,则∠B=2∠C 解：（1）在AC上取AE=AB,连结DE,则△AED≌△ABD

BD=ED∠3=∠B,AB=AE且∠3=2∠C=∠4+∠C 则EC=ED AC=AE+EC=AB+BD (2) (1)的反推过程

“SAS△全等”+“△的一外角等于与它不相邻的两内角和”+“等底等腰” 例2已知：等腰△ABC中，AB=AC, ∠A=108,BD平分∠ABC 求证：BC=AB+DC

证明： 在BC边上取BE=BA,连结 DE,

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0A0108D3B1254EC则△ABD≌△EBDAB=BE

再证：∠3=∠4 ∠4=72，∠3=∠5-∠C=72

00DC=EC 则BC=BE+EC=AB+DC

“SAS △全等”+“△两外角等于不相邻两内角和”+“等底对等腰” 例 3 已知：在△ABC的边BC上取BE=CF，过E作EH∥AB交AC于H,过F作FG∥AB交AC

于G

A 求证：EH+FG=AB

H证明：在AB上取BD=FG,连结DE

先证△DBE≌△GFC 再推∠3=∠C

DG 再证四边形ADEH为平行四边形则 FG+EH=AD+DB=AB

32 “SAS △全等”+“平行线的判定”+ 1BFCE“平行四边形的判定”

[思考]： ①若在AC上截取AD=EH，连DF，如何证明？

②若用以下方法添加辅助线，又该如何证明？

a. 在CA上截取CD=GF,连DF b. 延长HE至D,使ED=GF,连AD c. 延长EH至D,使ED=AC,连CD

例 4 已知：在正方形ABCD中，M是CD的中点，E是CD上一点，

且∠BAE=2∠DAM

A5 求证：AE=BC+CE

34 证明：取BC的中点G，连结AG

DM 延长AB至F 使AF=AE,连结FG ,GE

E 先证∠3=∠5 则∠3=∠4=∠5 2B1CG 后证RT△AFG≌RT△AEG 则FG=GE

F 再证RT△FBG≌RT△ECG 则BF=EC

所以有AE=AF=AB+BF=BC+CE “SAS △全等”+“‘三线合一’定理”+“等量代换”

[思考]：若用以下方法添加辅助线，该如何证明？

a. 在AE上截取AF=AB,取BC中点G,连结AG,GF,GE b. 延长DC至H,使CH=AB，连AH交BC于G

例 5 已知：在正方形ABCD中，E 为BC上任一点，∠EAD的平分线交DC于F 求证：BE+DF=AE

证明：延长CD 至G,使DG=BE,连结 AG,则RT△ABE≌RT△ADG, 得∠

DFC3=∠4再证∠5=∠1+∠4 AG=FG G5 所以有AE=AG=AF =DF+DG=DF+BE

41E “平行线性质2”+“等底对等腰”+“HLRT△全等” 23 AB

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“等腰等边”模型

角平分线+平行线等腰△ A 构成：∠AOB ,OD为∠AOB的角平分线

O1D2 目的：构造等腰△，找等角，等边 3EC

B 结果： ①△OEC为等腰△OC=OE

②∠3=∠C, ∠1=∠3

例 1 已知：△ABC中，AB=4,AC=7,M是BC中点，AD平分∠BAC,过M点作MF∥AD, 交AC于F

F 求：FC 的长度?

解：延长FM至N，使MF=MN,延长MF、BA交于E点 A 先证:△BMN≌△CMF BN=CF , ∠N=∠MFC 再证：∠E=∠BAD=∠CAD=∠CFM=∠AFE=∠N

AE=AF,BN=BE BDM 则有：AB+AC=AB+AF+FC=AB+AE+FC=BE+FC=NB+FC=2FC 所以有：FC=1 (AB+AC)=5.5

2CEN “SAS △全等”+“平行线性质”+“对顶角相等”+“等底对等腰” 例 2 已知：锐角△ABC中，∠ABC=2∠C, ∠ABC的平分线与AD垂直，垂足为D 求证：AC=2BD

证明：过A作BC平行线，延长BE交平行线于F A 先证：△ABF为等腰△BF=2BD 4 再证：AE+EC=EF+BE ①AE=EF ∠3=∠4 ②BE=EC ∠2=∠C 即 AC=BF=2BD

“等底等腰” +“等腰△三线合一”+“平行线性质2” 例 3 已知：在△ABC中，∠A=100,AB=AC,BE是∠B 的平分线

求证：AE+BE=BC

证明：过E作ED∥BC交AB于D,延长CA至A使EF=BC 连结FD 先证：DE=DB=EC

F再证：△DEF≌△ECBFD=BE 后证：FD=FA∠4=∠5=90

00DB123EFC所以有：AE+BE=AE+FD=AE+FA=EF=BC

BC“平行线性质”+“等底等腰”+“SAS△全等”

例 4 已知：△ABC中，AB=AC,AD为△ABC的角平分线，P为BC上一点，过P 作

AD的平行线交BA的延长线于E，交AC于F

E 求证：2AD=PE+PF

A 证明：延长AD，FP,过C作AB平行线，交于G、H 点

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D4235A1EF4P5CBD3GH 先证：AD=DG,PH=FP ∠1=∠2=∠3=∠4=∠5 后证：AG=EH四边形AEHG为平行四边形

则有：2AD=AG=EH=EP+PH=EP+FP

“等底等腰”+“平行线性质1”+“平行四边形判定及性质”

倍长中线模型 构成（条件）：△ABC中，AD为中线 A目的：（1）构造全等三角形 →找等量关系（边） 3（2）构造平行线 → 找等角关系 2CB1D结果：（1）△BDE∽△ADC → ① BE=AC

（2）AE=2AD ②∠1=∠2，∠3=∠4→AC∥BE 4E例1： 已知：AD为△ABC 中线，E为AC上一点，且AE=FE A3 求证：AC=BF 1EF证明：（倍长中线）△BDG≌△CDA∠ G=∠EAF，BG=AC 2CB再∠G=∠3BF=BG D“SAS △全等 ”+“等底 等腰”+“等量代换”

G

例2 ：已知：CE、CB分别是△ABC、△ACD的中线，且AB=AC，求证：CD=2CE

证明：倍长CE，连结BM

AM△MEB≌△CEA（SAS）ME=EC+∠MEB=∠AEC+BE=AE

E△MBC≌△DBC（SAS）MB=BD+∠MBC=∠DBC+ BC=BC

BC ∴DC=MC=2EC

“等腰对等底”+“外角=两内角和”+“SAS △全等” D 例3：已知Rt△BAC中，∠A=90，D为BC边中点，E、F分别为边AB、AC上一动点，且ED⊥FD。求证：EF=BE+CF。

证明：倍长FD至G， 连结BG、EG

A先证△CFD≌△BGDCF=BG，∠C=∠GBD（AC∥BG） EFRt△EBG中，EG2=BG2+BE2=FC2+BE2 BCD△EGF为等腰△ ，则EF2=BE2+CF2 G“SAS△全等”+“勾股定理”+“等腰△三线合一”

例4：已知：△ABC中，AD为中线，AB边长为x ，AC边长为y，求中线AD

的取值范围。 A解：倍长AD 连结BE

△ ABE中， |x-y|＜2AD＜x+y CBDE0xy2ADxy 2“SAS △全等”+“等量代换”+“△三边关系”

例5：已知M是△ABC的边BC上的中点，过BC上一点D 引直线平行于AM交AB于E，

交CA的延长线于F 求证：ED+DF=2AM FAEBKHDM第 8 页 共 10 页

C证明：倍长AM ，连结BH 延长ED交BH于K 先证四边形FAHK为平行四边形AH=FK 再证ED= DKED/AM=DK/HM，AM=MH ∴ED+FD=FK=AH=2AM

“SAS 全等△”+“平行四边形定义及性质”+“比例性质”+ “等量代换”

[练习] 已知：△ABC 中，AD是角平分线，M是BC中点，MF∥DA，MF交AB、CA的延长线于E、F。求证：BE=CF 证明：倍长FM 连结BG FA先证△BMG≌△CMFBG=CF，∠G=∠F

∴FC∥BG E1241再证∠1=∠F=∠G2F

12B4M35DC∴BE=BG=CF

“SAS 全等”+“两直线平行，同位角相等”+“等底对等腰”+“等量代换”

面积法

（1） 构成：AD∥BC，△ABC，△BCD 。

AD 目的：找等积 △.

BC 结果：S△ABC =S△BCD.

A（2）构成：EF∥BC，△ABC，△AEF 。 EF 目的：找比例线段。 BC结果：S△AEF ：S△ABC=AF2：AC2=AE2：AB2=EF2：BC2

（3）构成：l1∥l2∥l3，线段AC、BD，AD、BC相交于点O。 BAl1E 目的：找比例线段。 Fl2O结果： AE ：EC=AO：OD=BO：CO=BF：FD l3CD

例1：在△ABC的边AB、AC上分别取点D、E，使DE∥BC ，在AB上取点F，

使S△ADE=S△BFC。求证：AD2=AB*BF。 证明：“S△ADE ：S△ABC=AD2：AB2”+“ S△ADE ：S△ABC=

AS△BFC ：S△ABC=FB：AB”  AD2：AB2=FB：AB

F  AD2 =FB*AB

DE“相似△面积比”+“同高△面积比”+“比例的基本性质”

BC

例2：已知：△ABC中，∠ACB=900，CE平分∠ACB 交AB于E，EF⊥AC 于F。

G 求证：

AEBDFC111。 ACBCEF证明：过E作ED⊥BC 于 D

S△ABC = S△BEC +S△AECBC* AC=BC* ED+AC *EF 则BC *AC=（BC+AC）*EF

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所以有

111 ACBCEF “角平分线的性质”+ “△面积公式”+“比例性质（逆用）”+“等面积代换”

例 3：已知：△ABC中，AB=AC ，D为BC上任一点，DE⊥AB于E ，DF⊥AC于F，BG⊥AC于G。求证：BG=ED+DF

证明 ：连结AD。 AG S△ABC =S△ABD+ S△ACD

FEBDC111AC*BG=AB*ED+ AC*DF，则BG=ED+DF 222“△面积公式”+“等面积代换”

小结：等腰△腰上的高为底边任一点到两腰距离之和。

例4：已知P是 △ABC 中∠A 的平分线上任意一点，过C 引CE∥PB，交AB的延长线

于E，过 B引BF∥PC，交AC 的延长线于F。求证：BE=CF。

A证明：连结PE、PF 。

先证S△PBE= S△BPC=S△PCF

P再证P到BE边与CF边的距离相等。 BCD所以有BE=CF

“同底等高△面积相等”+“角平分线性质”+“面积公式” E例5：已知：△ABC中，DE∥BC 交CB延长线于F，AG∥DC交BC延长线于G。 求证：BF=CG

证明：连结EF、DG。 A 先证S△FBE=S△GCD“S△AEB =S△FBE”+

DE“S△ADC =S△GCD”+“S△AEBC= S△ADC”

FBMNCGF则有

11FB*EN=CG*DM，即BF=CG。 22“等高同底 △面积相等”+“△面积公式”+“两平行线距离”

例6、已知：△ABC中，AD是中线，F是AD上的点，且DF=2AF，BF的延长线与AC

交于E，求BF：FE。

AFBE证明：作FP∥AC交BC于P。先证

CCD3CP1PC1则有，, 即

CP1BC6PB5DPBFBP5。 EFPC1[思考]：将“DF=2AF”改为“AF=2DF”，其它条件不变，求BF：FE。（BF：FE=2）

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