2014年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题word版

2014年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题

（4月20日8:00至10:00）

一．填空题（本大题共10小题，每小题7分，共70分） 1．若x2，则函数f(x)x1的最小值是 ． x1

2．已知函数f(x)ex．若f(ab)2，则f(3a)f(3b)的值是 ．

3．已知数列an是各项均不为0的等差数列，公差为d，且满足an2S2n1，Sn为前n项和，

nN*，则数列an的通项an ．

22x3x, x≥0,4．若函数f(x)是奇函数，则实数a的值是 ． 22xax,x0

5．已知函数f(x)lg|x10|．若关于x的方程f2(x)5f(x)60的实根之和为m，3则f(m)的值是 ．

6．设、都是锐角，且cos35，sin()，则cos等于 ．

55

o7．四面体ABCD中，AB3，CD5，异面直线AB和CD之间的距离为4，夹角为60，则四面体ABCD的体积为 ．

8．若满足ABC是 ．

9．设集合S1,2,3，AC3，BCm的△ABC恰有一解，则实数m的取值范围

,8，A，B是S的两个非空子集，且A中的最大数小于B中的最小

数，则这样的集合对(A,B)的个数是 ．

10．如果正整数m可以表示为x24y2 (x，yZ)，那么称m为“好数”．问1，2，3，„，

2014中“好数”的个数为 ．

二．解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分） 11．已知a，b，c为正实数，abc，

xyz1110，求abc的值． xyzx2y212．已知F1，F2分别是双曲线C:221(a0,b0)的左右焦点，点B的坐标为

ab(0,b)，直线F1B与双曲线C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分

1线与x轴交于点M．若MF2F1F2，求双曲线C的离心率．

2

13．如图，已知ABC是锐角三角形，以AB为直径的圆交边AC于点D，交边AB上的

高CH于点E．以AC为直径的半圆交BD的延长线于点G．求证：AGAE．

14．（1）正六边形被3条互不交叉（端点可以重合）的对角线分割成4个三角形．将每个三

角形区域涂上红、蓝两种颜色之一，使得有公共边的三角形涂的颜色不同．怎样分割并涂色可以使红色三角形个数与蓝色三角形个数的差最大？

（2）凸2016边形被2013条互不交叉（端点可以重合）的对角线分割成2014个三角形．将每个三角形区域涂上红、栏两种颜色之一，使得有公共边的三角形涂的颜色不同．在上述分割并涂色的所有情形中，红色三角形个数与蓝色三角形个数之差的最大值是多少？证明你的结论．