2020中考数学专项训练3.圆的综合题(附解析)

类型一与全等结合

1.如图，⊙O的直径AB＝4，C为⊙O上一点，AC＝2.过点C作⊙O︵

的切线DC，P点为优弧CBA上一动点(不与A、C重合)．(1)求∠APC与∠ACD的度数；

︵

(2)当点P移动到劣弧CB的中点时，求证：四边形OBPC是菱形；(3)当PC为⊙O的直径时，求证：△APC与△ABC全等．

第1题图

1(1)解：∵AC＝2，OA＝OB＝OC＝AB＝2，

2

∴AC＝OA＝OC，∴△ACO为等边三角形，

∴∠AOC＝∠ACO＝∠OAC＝60°，

1∴∠APC＝∠AOC＝30°，

2又∵DC与⊙O相切于点C，∴OC⊥DC，∴∠DCO＝90°，

∴∠ACD＝∠DCO－∠ACO＝90°－60°＝30°；

第1题解图

(2)证明：如解图，连接PB，OP，

∵AB为直径，∠AOC＝60°，∴∠COB＝120°，

︵

当点P移动到CB的中点时，∠COP＝∠POB＝60°，∴△COP和△BOP都为等边三角形，∴OC＝CP＝OB＝PB，∴四边形OBPC为菱形；

(3)证明：∵CP与AB都为⊙O的直径，

∴∠CAP＝∠ACB＝90°，在Rt△ABC与Rt△CPA中，AB＝CPAC＝AC

，

∴Rt△ABC≌Rt△CPA(HL)．

2.如图，AB为⊙O的直径，CA、CD分别切⊙O于点A、D，延长线交⊙O于点M，连接BD、DM.(1)求证：AC＝DC；(2)求证：BD∥CM；

(3)若sinB＝45

，求cos∠BDM的值．

第2题图

(1)证明：如解图，连接OD，

∵CA、CD分别与⊙O相切于点A、D，∴OA⊥AC，OD⊥CD，在Rt△OAC和Rt△ODC中，

CO的OA＝OD

，

OC＝OC

∴Rt△OAC≌Rt△ODC(HL)，∴AC＝DC；(2)证明：由(1)知，

∴∠AOC＝∠DOC，∴∠AOD＝2∠AOC，∵∠AOD＝2∠OBD，∴∠AOC＝∠OBD，∴BD∥CM；(3)解：∵BD∥CM，

∴∠BDM＝∠M，∠DOC＝∠ODB，∠AOC＝∠B，∵OD＝OB＝OM，

∴∠ODM＝∠OMD，∠ODB＝∠B＝∠DOC，∵∠DOC＝2∠DMO，∴∠DOC＝2∠BDM，∴∠B＝2∠BDM，

△OAC≌△ODC，

如解图，作OE平分∠AOC，交AC于点E，作EF⊥OC于点F，

第2题解图

∴EF＝AE，

在Rt△EAO和Rt△EFO中，∵OE＝OEAE＝EF

，

∴Rt△EAO≌Rt△EFO(HL)，1∴OA＝OF，∠AOE＝∠AOC，

2∴点F在⊙O上，

又∵∠AOC＝∠B＝2∠BDM，∴∠AOE＝∠BDM，设AE＝EF＝y，4∵sinB＝，5

AC4∴在Rt△AOC中，sin∠AOC＝＝，OC5

∴设AC＝4x，OC＝5x，则OA＝3x，在Rt△EFC中，EC2＝EF2＋CF2，∵EC＝4x－y，CF＝5x－3x＝2x，∴(4x－y)2＝y2＋(2x)2，3解得y＝x，

2

∴在Rt△OAE中，OE＝OA2＋AE2＝

3235（3x）＋（x）＝x，

22

23xOA25∴cos∠BDM＝cos∠AOE＝＝35＝.OE5x2

︵︵

3.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，AB＝BD，BE⊥DC交DC的延长线于点E.(1)求证：∠1＝∠BCE；(2)求证：BE是⊙O的切线；(3)若EC＝1，CD＝3，求cos∠DBA.

第3题图

(1)证明：如解图，过点B作BF⊥AC于点F，

︵︵∵AB＝BD，∴AB＝BD

在△ABF与△DBE中，∠BAF＝∠BDE∠AFB＝∠DEB，AB＝DB

∴△ABF≌△DBE(AAS)，∴BF＝BE，

∵BE⊥DC，BF⊥AC，∴∠1＝∠BCE；(2)证明：如解图，连接OB，

∵AC是⊙O的直径，

∴∠ABC＝90°，即∠1＋∠BAC＝90°，∵∠BCE＋∠EBC＝90°，且∠1＝∠BCE，∴∠BAC＝∠EBC，∵OA＝OB，

∴∠BAC＝∠OBA，∴∠EBC＝∠OBA，

∴∠EBC＋∠CBO＝∠OBA＋∠CBO＝90°，∴∠EBO＝90°，又∵OB为⊙O的半径，∴BE是⊙O的切线；

第3题解图

(3)解：在△EBC与△FBC中，

∠BEC＝∠CFB，∠ECB＝∠FCB，BC＝BC，

∴△EBC≌△FBC(AAS)，∴CE＝CF＝1.

由(1)可知：AF＝DE＝1＋3＝4，∴AC＝CF＋AF＝1＋4＝5，

CD3∴cos∠DBA＝cos∠DCA＝＝.CA5类型二与相似结合

4.如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝36°，过点A作AD∥BC，与∠ABC的平分线交于点D，BD与AC交于点E，与⊙O交于点F.(1)求∠DAF的度数；(2)求证：AE2＝EF·ED；(3)求证：AD是⊙O的切线．

第4题图

(1)解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，

∴∠ABC＝∠ACB＝12(180°－36°)＝72°，

∴∠AFB＝∠ACB＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝36°，∵AD∥BC，

∴∠D＝∠DBC＝36°，

∴∠DAF＝∠AFB－∠D＝72°－36°＝36°；(2)证明：∵∠EAF＝∠FBC＝∠D，∠AEF＝∠AED，

∴△EAF∽△EDA，AEEF∴＝，DEEA∴AE2＝EF·ED；

(3)证明：如解图，过点A作BC的垂线，G为垂足，

∵AB＝AC，∴AG垂直平分BC，∴AG过圆心O，∵AD∥BC，∴AD⊥AG，∴AD是⊙O的切线．

第4题解图

︵

5.如图，AB为半圆的直径，O为圆心，OC⊥AB，D为BC的中点，连接DA、DB、DC，过点C作DC的垂线交DA于点E，DA交OC于点F.

(1)求证：∠CED＝45°；(2)求证：AE＝BD；AO(3)求的值．OF

第5题图

11(1)证明：∵∠CDA＝∠COA＝×90°＝45°，

22

又∵CE⊥DC，∴∠DCE＝90°，∴∠CED＝180°－90°－45°＝45°；(2)解：如解图，连接AC，

︵

∵D为BC的中点，

1∴∠BAD＝∠CAD＝×45°＝22.5°，

2而∠CED＝∠CAE＋∠ACE＝45°，

∴∠CAE＝∠ACE＝22.5°，∴AE＝CE，

∵∠ECD＝90°，∠CED＝45°，∴CE＝CD，︵︵又∵CD＝BD，∴CD＝BD，

∴AE＝CE＝CD＝BD，∴AE＝BD；

第5题解图

(3)解：设BD＝CD＝x，∴AE＝CE＝x，

由勾股定理得，DE＝2x，则AD＝x＋2x，又∵AB是直径，则∠ADB＝90°，∴△AOF∽△ADB，AOADx＋2x∴＝＝＝1＋2.OFDBx

6.如图，AB为⊙O的直径，P点为半径OA上异于点O和点A的一OE//AD个点，过P点作与直径AB垂直的弦CD，连接AD，作BE⊥AB，交BE于E点，连接AE、DE，AE交CD于点F.(1)求证：DE为⊙O的切线；

1(2)若⊙O的半径为3，sin∠ADP＝，求AD；

3(3)请猜想PF与FD的数量关系，并加以证明．

第6题图

(1)证明：如解图，连接OD，

∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵OE∥AD，

∴∠OAD＝∠BOE，∠DOE＝∠ODA，∴∠BOE＝∠DOE，在△BOE和△DOE中，

OB＝OD

∠BOE＝∠DOE，OE＝OE

∴△BOE≌△DOE(SAS)，∴∠ODE＝∠OBE，∵BE⊥AB，∴∠OBE＝90°，∴∠ODE＝90°，∵OD为⊙O的半径，∴DE为⊙O的切线；(2)解：如解图，连接BD，

∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝90°，∵AB⊥CD，

∴∠ADP＋∠BAD＝90°，∴∠ABD＝∠ADP，

AD1∴sin∠ABD＝＝sin∠ADP＝，AB3∵⊙O的半径为3，∴AB=6，1∴AD＝AB＝2；

3

第6题解图

(3)解：猜想PF＝FD，

证明：∵CD⊥AB，BE⊥AB，∴CD∥BE，∴△APF∽△ABE，PFAP∴＝，BEABAP·BE∴PF＝，AB在△APD和△OBE中，

∠APD＝∠OBE∠PAD＝∠BOE

，

∴△APD∽△OBE，PDAP∴＝，BEOBAP·BE∴PD＝，OB∵AB＝2OB，1∴PF＝PD，

2∴PF＝FD.

7.如图①，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，OD∥AC，OD交⊙O于点E，且∠CBD＝∠COD.(1)求证：BD是⊙O的切线；

(2)若点E为线段OD的中点，求证：四边形OACE是菱形．FG(3)如图②，作CF⊥AB于点F，连接AD交CF于点G，求的值．FC

第7题图

(1)证明：∵AB是⊙O的直径，

∴∠BCA＝90°，∴∠ABC＋∠BAC＝90°，∵OD∥AC，∴∠ACO＝∠COD.∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠ACO，又∵∠COD＝∠CBD，∴∠CBD＝∠BAC，∴∠ABC＋∠CBD＝90°，∴∠ABD＝90°，即OB⊥BD，

又∵OB是⊙O的半径，∴BD是⊙O的切线；(2)证明：如解图，连接CE、BE，

∵OE＝ED，∠OBD＝90°，∴BE＝OE＝ED，∴△OBE为等边三角形，

∴∠BOE＝60°，又∵AC∥OD，∴∠OAC＝60°，又∵OA＝OC，

∴△OAC为等边三角形，∴AC＝OA＝OE，∴AC∥OE且AC＝OE，

∴四边形OACE是平行四边形，而OA＝OE，∴四边形OACE是菱形；

第7题解图

(3)解：∵CF⊥AB，

∴∠AFC＝∠OBD＝90°，而AC∥OD，∴∠CAF＝∠DOB，∴Rt△AFC∽Rt△OBD，

FCAFBD·AF∴＝，即FC＝，BDOBOB又∵FG∥BD，∴△AFG∽△ABD，

FGAFBD·AF∴＝，即FG＝，BDABABFCAB∴＝＝2，FGOBFG1∴＝.FC2

8.如图，AB是⊙O的直径，B重合)，点E为线段OB上一点(不与O、作EC⊥OB交⊙O于点C，作直径CD过点C的切线交DB的延长线于点P，作AF⊥PC于点F，连接CB.(1)求证：AC平分∠FAB；(2)求证：BC2＝CE·CP；

CF3︵

(3)当AB＝43且＝时，求劣弧BD的长度．

CP4

第8题图

(1)证明：∵PF切⊙O于点C，CD是⊙O的直径，

∴CD⊥PF，又∵AF⊥PC，∴AF∥CD，∴∠OCA＝∠CAF，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠CAF＝∠OAC，∴AC平分∠FAB；(2)证明：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，∵∠DCP＝90°，∴∠ACB＝∠DCP＝90°，又∵∠BAC＝∠D，∴△ACB∽△DCP，∴∠EBC＝∠P，∵CE⊥AB，

∴∠BEC＝90°，∵CD是⊙O的直径，∴∠DBC＝90°，∴∠CBP＝90°，∴∠BEC＝∠CBP，∴△CBE∽△CPB，∴BCPC＝CECB，∴BC2＝CE·CP；

(3)解：∵AC平分∠FAB，CF⊥AF，∴CF＝CE，∵CFCP＝34，∴CECP＝34

，设CE＝3k，则CP＝4k，∴BC2＝3k·4k＝12k2，∴BC＝23k，

CE⊥AB，

3kCE3在Rt△BEC中，∵sin∠EBC＝＝＝，BC23k2∴∠EBC＝60°，∴△OBC是等边三角形，∴∠DOB＝120°，︵120π·2343π∴BD＝＝.1803类型三与全等相似结合

9.如图，四边形ABCD内接于圆O，∠BAD＝90°，AC为直径，过点A作圆O的切线交CB的延长线于点E，过AC的三等分点F(靠近点C)作CE的平行线交AB于点G，连接CG.(1)求证：AB＝CD；(2)求证：CD2＝BE·BC；

9(3)当CG＝3，BE＝，求CD的长．

2

第9题图

(1)证明：∵AC为直径，

∴∠ABC＝∠ADC＝90°，∴∠ABC＝∠BAD＝90°，∴BC∥AD，∴∠BCA＝∠CAD，又∵AC＝CA，

∴△ABC≌△CDA(AAS)，∴AB＝CD；

(2)证明：∵AE为⊙O的切线且O为圆心，

∴OA⊥AE，即CA⊥AE，

∴∠EAB＋∠BAC＝90°，而∠BAC＋∠BCA＝90°，∴∠EAB＝∠BCA，而∠EBA＝∠ABC，∴△EBA∽△ABC，

EBBA∴＝，ABBC∴AB2＝BE·BC，由(1)知AB＝CD，∴CD2＝BE·BC；(3)解：由(2)知CD2＝BE·BC，

9即CD2＝BC①，

2

∵FG∥BC且点F为AC的三等分点，∴G为AB的三等分点，即CD＝AB＝3BG，

在Rt△CBG中，CG2＝BG2＋BC2，1即3＝(CD)2＋BC2②，

3将①代入②，消去CD得，1BC2＋BC－3＝0，

2即2BC2＋BC－6＝0，

3解得BC＝或BC＝－2(舍)③，

2

33将③代入①得，CD＝.2

10．如图，AB为⊙O的直径，C为圆外一点，AC交⊙O于点D，BC2︵︵

＝CD·CA，ED＝BD，BE交AC于点F.(1)求证：BC为⊙O的切线；(2)判断△BCF的形状并说明理由；

︵

(3)已知BC＝15，CD＝9，∠BAC＝36°，求BD的长度(结果保留π).

第10题图

(1)证明：∵BC2＝CD·CA，

BCCD∴＝，CABC∵∠C＝∠C，∴△CBD∽△CAB，∴∠CBD＝∠BAC，又∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，

即∠BAC＋∠ABD＝90°，∴∠ABD＋∠CBD＝90°，即AB⊥BC，

又∵AB为⊙O的直径，∴BC为⊙O的切线；(2)解：△BCF为等腰三角形．

︵︵

证明如下：∵ED＝BD，∴∠DAE＝∠BAC，又∵△CBD∽△CAB，∴∠BAC＝∠CBD，∴∠CBD＝∠DAE，∵∠DAE＝∠DBF，∴∠DBF＝∠CBD，∵∠BDF＝90°，∴∠BDC＝∠BDF＝90°，∵BD＝BD，∴△BDF≌△BDC，

∴BF＝BC，

∴△BCF为等腰三角形；(3)解：由(1)知，BC为⊙O的切线，

∴∠ABC＝90°∵BC2＝CD·CA，

BC2152∴AC＝＝＝25，由勾股定理得AB＝AC2－BC2＝

CD9252－152＝20，

AB∴⊙O的半径为r＝＝10，∵∠BAC＝36°，

2︵︵72×π×10∴BD所对圆心角为72°.则BD＝＝4π.

180