第７卷第３期 淮阴师范学院学报（自然科学版） Ｖｏ１．７ Ｎｏ．３ ２００８年８月 ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＨＵＡＩＹＩＮ ＴＥＡＣＨＥＲＳ ＣＯＬＬＥＧＥ（ＮＡＴＵＲＡＬ ＳＣＩＥＮＣＥ ＥＤｌｑｑＯＮ） Ａｕｇ．２００８ Ｂａｎａｃｈ空问中非扩张交换半群的不动点定理 江祥花 （镇江高等专科学校丹阳校区教师教育系，江苏丹阳２１２３００） 摘要：主要在一般Ｂａｎａｃｈ空间中给出了非扩张交换半群不动点存在性定理，推广了Ｓｕｚｕｋｉ 和Ｔａｋａｈａｓｈｉ等人的相关工作． 关键词：不动点；Ｂａｎａｃｈ空间；交换半群 中图分类号：Ｏ１５２．７ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７１—６８７６（２ｏ０８）０３．０１９９—０３ Ｏ引言及预备知识 设Ｇ是交换拓扑半群，即Ｇ是半群且在Ｇ上存在Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ拓扑使得对ｔ∈Ｇ，映射ｓ—ｓ＋ｔ是Ｇ 到自身的连续映射，在Ｇ中定义半序“≤”为０≤ｂ当且仅当存在ｃ∈Ｇ，使得ｎ＋ｃ＝ｂ．易见，Ⅳ和 ［０，＋∞）在通常的序关系下都成为交换半群． 设ｍ（Ｇ）为Ｇ中所有有界实值函数以上确界为范数所构成的Ｂａｎａｃｈ空间，对Ｓ∈Ｇ，定义ｍ（Ｇ）中 的平移算子（ｒ ）＝ｆ（ｔ＋ｓ），ｔ∈Ｇ，ｆ∈ｍ（Ｇ）．设Ｄ为ｍ（Ｇ）的合常值函数且关于平移算子不变的子 空间，Ｄ 为 的共轭空间，对 ∈Ｄ ，厂∈ ，记／２（ｔ）（ ｔ））为／２在／处的值．如果 ｌｌ ｌｌ＝ （１）＝１，那么称 为Ｄ上的平均，进一步，若对ｓ∈Ｇ，ｆ∈Ｄ还有／２（ｒＪ）＝ （ｆ），则／２称 为Ｄ上不变平均，又对ｓ Ｅ Ｇ，定义ｍ（Ｇ）上点值范函 （ｆ）＝ ｓ），这里／∈ｍ（Ｇ），点值范函的凸组 合称为Ｇ上有限平均，如果 为Ｇ上有限平均，设 ＝∑ ，ｔ ∈Ｇ， ≥０，ｉ＝１，…，ｎ，∑ ＝１， ｉ＝１ ＝１ 则 （ｔ）（ （ｔ））＝ ｕ（ｔ ），由Ｇ为交换半群，根据文［１］，存在Ｇ上一族有限平均｛ ，ａ∈Ａ｝，使得 ｉ＝１ ｉｍ 一ｒ ∈『『＝０， 其中 ∈Ｇ，Ａ为某定向网，ｒ 为 的共轭算子． 设ｃ是Ｂａｎａｃｈ空间ｘ中的非空子集，ｒ：｛Ｔ（ｔ），ｔ∈Ｇ｝为一族ｃ上到自身的映射，如果对ｔ，ｓ∈ Ｇ，Ｔ（ｔ＋ｓ）＝Ｔ（ｔ）Ｔ（５），那么我们称厂为ｃ上半群，进一步，若对任意 ，Ｙ Ｅ Ｃ，ｔ∈Ｇ，有ｌ ｌＴ（ｔ） — Ｔ（ｔ）Ｙ＿ｌ≤ｌＩ —Ｙ ｌｌ，则称为ｃ上非扩张半群． 近年来，Ｓｕｚｕｋｉ和Ｔａｋａｈａｃｈｉ＿２ 对非扩张半群ｒ＝｛Ｔ（ｔ），ｔ≥０｝（即Ｇ＝［０，＋∞））情形证明了下 面的不动点定理． 定理１ 设ｃ为Ｂａｎａｅｈ空间 中的非空紧凸子集，ｒ：｛Ｔ（ｔ），ｔ≥０｝为ｃ上非扩张半群，则／－，在 Ｃ上有公共不动点． 在本文中，我们主要将上述结果推广到一般交换半群情形，应当指出在文［２，３］中，Ｓｕｚｕｋｉ和 Ｔａｋａｈａｅｈｉ采用的实变函数论中的方法，计算过程复杂，而我们采用的主要是逼近公共不动点方法，过程 较为简洁，而且大大简化了证明． 收稿日期：２００８．０５．１８ 基金项目：国家自然科学基金资助项目（１０５７１１４９） 作者简介：江祥花（１９７２．），女，江苏丹阳人，讲师，主要从事微分几何研究 ２００ 淮阴师范学院学报（自然科学版） 第７卷 １ 主要结果 我们首先给出本文的主要结果． 定理２ 设Ｃ为Ｂａｎａｃｈ空间 中的非空紧凸子集，若Ｇ为交换半群，ｒ：｛Ｔ（ｔ），ｔ∈Ｇ｝为ｃ上 非扩张半群，则ｒ的公共不动点集Ｆ（ｒ）非空，这里Ｆ（ｒ）＝｛ Ｅ Ｃ，Ｔ（ｔ） ＝ ，Ｖ ｔ Ｅ Ｇ｝． 为完成定理的证明，我们需要下面的引理． 引理１ 设ｃ为Ｂａｎａｃｈ空间 中的非空紧凸子集，Ｇ为交换半群，ｒ：｛Ｔ（ｔ），ｔ Ｅ Ｇ｝为ｃ上非 扩张半群．若 ∈Ｃ满足 ｌｉｍｉｎｆｌ （ｔ）（Ｔ（ｔ）ｌ ）一 ｌｌ＝０， 则 为ｒ的公共不动点． 证明 ｍｉｎｆ［ 。（￡Ｉ）（ （￡） ）一 ｌｌ＝０，故存在，的子网，¨／ｌ￣＝Ｊ＝ｌｉ。∈，口∈，＿ｌｉｍ ｌ Ｉ２ｆｌ（ｔ）（ （￡） ）一 ｌｌ＝０，即 。（ ）（ （￡） ）一ｘ（ｆｌ∈， ），令ｆ＝ｌｉｍ￣ｐ ｌ （ｌ ） — ｌ１．为完成引理证明，仅需证明ｆ＝ ０．事实上若ｚ：０，则Ｔ（ｔ） — ，而对任何５ Ｅ Ｇ，注意到Ｔ（ｔ＋ｓ） —Ｔ（ｓ） ，所以Ｔ（ｓ） ＝ ，ｓ Ｅ Ｇ，即 为厂的公共不动点．下面我们假设ｆ＞０，则 一 １ｌ≤ 一 口（ｔ）（Ｔ（ｔ＋ｓ） ）ｌＩ＋１ 口（ｔ）（Ｔ（ｔ＋ｓ）Ｉ ）一 ｌｌ＋ （ｔ）ｌ ｌＴ（ｔ＋ｓ） 一 ｌｌ＋１Ｉ （ｔ）（Ｔ（ｔ） ）一 ｌｌ＋ｄ ｌ ｐ—ｒｌ／ 口ｌｌ， ｌ 口（ｔ｝）（Ｔ（ｔ＋ｓ） ）一 口（ｔ）（Ｔ（ｔ） ）ＩＩ≤ 口其中ｄ为集ｃ的直径，因而对ｃ中任何 个固定点 ，…， 及任何ｓ Ｅ Ｇ有 ∑ 一 ｌｌ＋ｌ （ｌｓ）ｘ— ｌｌ≤（ ＋１）（１ （ ）（ （ ） ）一 ＩＩ＋ｄ 一ｒＩ ｓ ｐ ｌ１）＋ ｐ（￡）（∑ｌ （ｌ ＋ｓ） 一 ｌ｛＋ｌ （ｌｔ＋ｓ） — ｌ１）， ， ， 、 从而 ｉ ∑一 ｉ＝ｌ ｌｌ＋ｌ ｌｒ（ｓ） — ＩＩ≤ｌｉ ｐ ｐ（ｆ）（∑ｉ＝１ ＝ｉ １ ＋ｓ） ｌＩ＋ ￡＋ｓ） 一圳≤ ｌｉｍ ｓｕ ｐ【∑ｌ ｌ（ｔ） — ｌｌ＋ｌＩ （ ） — ｌ１），故 ∑ｉ ＝１ 一 ｌｉｍｓｕｐ ｌＩ＋ｆ≤ （ ｃ￡） ｌｌ＋ ） — Ｉ１） （１）由于ｆ＞０，则集｛Ｔ（ｔ） ，ｔ Ｅ Ｇ｝的极值点集Ｂ至少含有两个点．事实上，首先由ｃ为紧集， 非 空，其次若曰仅为单点集，则ｚ＝０，此与ｚ＞０矛盾．又由Ｇ是交换半群，易证对任何Ｕ， Ｅ Ｂ，有 ｌｉｍ ｓｕ ｐ ｌ （￡）ｌ 一 ｌｌ≤ｚ，ｌ ｌｕ一 ｌ＿≤ｆ・再由ｚ＝ｌｉｍ ｓ ｕｐ ｌ （￡ｌ） — ｌｌ，存在ｌＪ１∈ ，使得ｌｌ 一 ｌｌ＝ｚ，在（１）式中令 ＝１，则２ｌ≤ｌｉ￣ｐ（１ ｌ７’（ｆ） — ｌＩ＋ｌＩ Ｔ（ｔ） — ｌ１），故 ｌｉｍ（１ ｌＴ（ｔ） 一 １ｌ＋ｌ ｌＴ（ｔ） — ｌ１）＝２ｆ， 再根据Ｃ紧，存在 ：∈ ，使得ｌ ：一 ｌ＋ｌ 一 ｌｌｌ＝２ｚ，从而ｌＩ ：一 。ｌｌ＝Ｉ ：一 ｌｌＩ＝ｆ． （２） 类似地，由（１）及数学归纳法可以证得存在 中的点列｛ ｝，使 ｌ 一 ｌｌｌ＝ｌ 一 ｌｌｌ＝ｆ，（ｉ≠ｋ，ｉ，ｋ Ｅ Ｎ） 又 为Ｃ的子集，则｛ ｝存在收敛子列，此与（２）式及ｆ＞０矛盾，证毕． 定理１的证明 由｛ ，ａ∈，｝ｃ Ｄ ，故存在子网 。 一 ，（Ｊ８∈Ａ），Ａ为某定向网，因而对任 何 ∈Ｘ， ∈ ，有 （ｆ）（ （ ） ）＝５ｉ ｍ （２ （ ）（ （ ） ）， ）， 第３期 江祥花：Ｂａｎａｃｈ空间中非扩张交换半群的不动点定理 ２０１ 又ｃ紧，则｛ 。 （ｔ）（Ｔ（ｔ） ），卢Ｅ Ａ｝强收敛，我们定义ｃ上到自身的映射Ｐ为 Ｐｘ＝ｌｉ 。 （ｔ）（Ｔ（ｔ） ）， 则对任何 ，Ｙ Ｅ Ｃ，Ｓ Ｅ Ｇ，有 ｌ ｌ一 ｌｌ＝ｌｌ （ ）（ （￡） — （￡）ｙ）ｌｌ≤｛∈ｉｍ ｌ （ ）（ （￡） 一７１（￡）），）＿ｌ≤ ｓ Ｐ ｌ ｌ（ ）ｚ— （ ）ｙ Ｊ Ｊ≤Ｉ ｌ—Ｙ ｌ＿， 即Ｐ为Ｃ到自身的非扩张映射，又Ｂａｎａｃｈ空间中紧凸子集上到自身的非扩张映射必有不动点［４］，设为 ，则 （ （ｆ）ｚ）一ｚ ｌｌ≤５ｉ∈ｍ Ｉ（ （ ）ｚ）一ｚ ｌｌ＝ｌｌ 一ｚ ｌｌ＝０， 由引理知，ｚ为ｒ：｛Ｔ（ｔ），ｔ Ｅ Ｇ｝的公共不动点．证毕． 注１ 我们的主要定理不仅将文［２，３］中的主要结论推广到一般交换群，而且大大简化了其证明． 参考文献： ［１］Ｄａｙ Ｍ．Ａｍｍｅｎａｂｌｅ ｓｅｍｉｇｒｏｕｐｓ［Ｊ］．Ｉｌｌｉｎｏｉｓ Ｊ Ｍａｔｈ，１９５７，１：５０９—５４４． ［２］Ｓｕｚｕｋｉ Ｔ，Ｔａｋａｈａｓｈｉ Ｗ．Ｓｔｒｏｎｇ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ Ｍａｎｎ’Ｓ ｔｙｐｅ ｓｅｑｕｅｎｃｅｓ ｆｏｍｎｅ－ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｎｏｎｅｘｐａｎｓｉｖｅ ｓｅｍｉｇｒｏｕｐｓ ｉｎ ｇｅｎｅｒａｌ Ｂａ－ ｎａｃｈ ｓｐａｃｅｓ［Ｊ］．Ｊ Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｃｏｎｖｅｘ Ａｎａｌ，２００４，５：２０９—２１６． ［３］Ｓｕｚｕｋｉ Ｔ．Ｓｔｒｏｎｇ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｈｔｅｏｒｅｍ ｔｏ ｅｏｍｍｏｎｆｉｘｅｄ ｐｏｉｎｔｓ ｏｆ ｔｗｏ ｎｏｎｅｘｐａｎｓｉｖｅ ｍａｐｐｉｎｇｓ ｉｎ ｇｅｎｅｒａｌ Ｂａｎａｃｈ ｓａｐｃｅｓ［Ｊ］．Ｊ Ｎｏｎ— ｌｉｎｅａｒ ＣｏｎｖｅｘＡｎａｌ，２Ｏ０２，３：３８１—３９１． ［４］Ｙｏｓｉｄａ Ｋ．Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ Ａｎａｌｙｓｉｓ［Ｍ］．６ｔｈ．Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ：Ｓｐｒｉｇｎｅｒ－Ｖｅｒｌａｇ，１９９８． Ｆｉｘｅｄ Ｐｏｉｎｔ Ｔｈｅｏｒｅｍｓ Ｆｏｒ Ｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｅ Ｓｅｍｉｇｒｏｕｐｓ ｏｆ Ｎｏｎｅｘｐａｎｓｉｖｅ Ｍａｐｐｉｎｇｓ ｉｎ Ｇｅｎｅｒａｌ Ｂａｎａｃｈ Ｓｐａｃｅｓ ＪＩＡＮＧ Ｘｉａｎｇ—ｈｕａ （Ｚｈｅｎｊｉａｎｇ Ｃｏｌｌｅｇｅ Ｄａｎｙａｎｇ Ｃａｍｐｕｓ，Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ，Ｄａｎｙａｎｇ Ｊｉａｎ￣ｕ ２１２３００，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｗｅ ｆｉｒｓｔ ｐｒｏｖｉｄｅ ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｔｈｅｏｒｅｍｓ ｏｆ ｆｒｘｅｄ ｐｏｉｎｔｓ ｆｏｒ ｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｅ ｓｅｍｉｇｒｏｕｐｓ ｏｆ ｎｏｎｅｘｐａｎｓｉｖｅ ｍａｐｐｉｎｇｓ ｉｎ ｇｅｎｅｒａｌ Ｂａｎａｃｈ ｓｐａｃｅｓ．Ｏｕｒ ｒｅｓｕｌｔｓ ｅｘｔｅｎｄ ｓｏｍｅ ｋｎｏｗｎ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ Ｓｕｚｕｋｉａ ａｎｄ Ｔａｋａｈａｓｈｉ ｔｏ ｔｈｅ ｅａｓｅ ｏｆ ｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｅ ｓｅｍｉｇｒｏｕｐｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ： ｆｉｘｅｄ ｐｏｉｎｔ；ｂａｎａｃｈ ｓｐａｃｅ；ｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｅ ｓｅｍｉｇｒｏｕｐ ［责任编辑：胡宏］
