维普资讯 http://www.cqvip.com 第２６卷第５期 ２００２年９月 河北师范大学学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈｅｂｅｉ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ） Ｖ０１．２６ ＮＯ．５ Ｓｅｐ．２００２ 曲Ｂａｎａｃｈ空问微分中值定理及其应用 徐永春 ， 苏永福 （１．张家口师范专科学校数学系，河北张家口０７５０２８；２．沧州师范专科学校数学系，河北沧州０６１００１） 摘要：提出了曲Ｂａｎａｃｈ空间的概念；证明了曲Ｂａｎａｃｈ空间中可微函数的微分中值定理；在此基础上， 应用它证明了概率Ｂａｎａｃｈ空间中可微函数的微分中值定理． 关键词：曲Ｂａｎａｃｈ空间；微分中值定理；概率Ｂａｎａｃｈ空间；一致可微函数 中图分类号：Ｏ １７７．９１；Ｏ １７７．３ 文献标识码：Ａ 文章编号：１０００—５８５４（２００２）０５—０４３６—０４ １ 曲Ｂａｎａｃｈ空间及微分中值定理 定义１ 设Ｅ是线性空间，ｌｆ．１Ｊ是Ｅ上非负实值函数，且满足 １）ｌ ｌｌｌ一０∞ 一 ， ∈Ｅ； ２）Ｖ实数ａ≠０，Ｖ ∈Ｅ，有ｌｌ ｌ ＋Ｙ ｌｌｌ≤ ｌｌ ｌｌ＋ ｌｌ—ｌ ａ… ｌｌ； ３）存在常数 ≥１（称为曲三角系数），使得Ｖ ，Ｙ∈Ｅ，有 ｌ ｌＹ ｌ１． 称（Ｅ，Ｊ１．１１）是曲线性赋范空间，（Ｅ，ｌＪ．１Ｊ）中的曲范数拓扑及完备性概念类似于线性赋范空间而建立， 完备的曲线性赋范空间称为曲Ｂａｎａｃｈ空间． 定义２ 设 （ｆ）是定义在闭区间 ，６］而取值于曲Ｂａｎａｃｈ空间Ｅ的函数， （ｆ）的连续与可微（导 数 （ｆ）存在）概念与取值Ｂａｎａｃｈ空间的函数的连续与可微概念形式相同．若 （ｆ）可微，且Ｖ ｅ＞０，存 在 ＞０，当０＜ｌ ｌ＜ 时，有 ｌ ± 二 一Ｘｔｌ∽ｌｌ＜ｅ，ｖ ∈［ ，ｂＪ， 称 （ｆ）在 ，６］上一致可微． （ｆ）左右可微及左右一致可微的概念类似可定义． 以下假设 （ｆ）是从闭区间 ，６］到曲Ｂａｎａｃｈ空间的一致右可微的函数（ 『＋（ｆ）存在），并设Ｄ一 ｛ ，＋（ｆ），ｔ∈ ，ｂ３｝，ＣＯ Ｄ是Ｄ的凸包，ｄ（ｘ，ｎ）一ｉｎ ｌ —Ｙ ｌｌｌ，表示Ｅ中子集ｎ与点 的距离． 引理１ Ｖ ｅ＞０，令 （ｅ）一｛ｔ∈ ，ｂ３，ｄ（ （ｆ）一ｘ（ａ），（ｆ—ａ）ｃｏ Ｄ）≤（ｆ—ａ）ｅ｝，则Ｔ（ｅ）非空， 且ｓｕｐ ’（ｅ）∈ （ ｅ），其中 是Ｅ的曲三角系数． 证 显然ａ∈ｒ，（ｅ），令 一ｓｕｐ丁（ｅ）．设ｔ ∈ （ｅ），ｔ 一 （ｆ ≤ ），于是存在 ∈ＣＯＤ，使 ｌ （ｌｆ ）一 （日）一（ｆ 一日） ｌｌ＜（ｆ 一日）ｅ＋音≤（ 一日）ｅ＋音， 一１，２，…． （１） 由于 （ｆ ）有界，故存在常数Ａ＞０，使得ｌｌ ｌｌ≤Ａ（ 一１，２，３，…），结合（１）式得 （ （ ）～ｘ（ａ），（ 一ａ）ｃｏＤ）≤ｌ ｌｘ（Ｘ。）一ｘ（ａ）一（ 一ａ） ｌｌ≤ ｌ （ｆｌ ）一 （日）一（ｆ 一ａ） ｌｌ＋ （ 一日）Ｍｅ＋ 令 一＋∞，有 ｄ（ｘ（ 。）—— （日），（ ｏ——ａ）ｃｏＤ）≤三（ ｏ——ａ）Ｍｅ． （２） ｌ （ｌ ）一ｘ（ｔ ）ｌｌ＋ ｌｌ（ 一ｔ ） ｌｌ＜ ＋Ｍ ｌ ｌｘ（Ｘｏ）一ｘ（ｔ ）ｌｌ＋ Ａ（ 一ｔ ）． 收稿日期：２００２—０４—１８ 基金项目：河北省自然科学基金资助项目（１ ９８１ ５５） 作者简介：徐永春（１９５８）。女。山西天镇人。张家口师范专科学校副教授 维普资讯 http://www.cqvip.com 第５期 徐永春等：曲Ｂａｎａｃｈ空间微分中值定理及其应用 ４３７ 这就证明了 。一ｓｕｐｒ，（￡）∈丁（ ￡）． 引理２ Ｖ￡＞０，存在 ＞０，当０＜ ≤ 且ｓｕｐ丁（￡）＋ ≤ｂ时，有ｓｕｐ ｒ，（￡）＋ ∈丁（ ￡）． 证 Ｖ￡＞０，由 （ｆ）的右一致可微性，存在 ＞０，当０＜ ≤ 时，有 ＩＩ 一 ，＋㈤ＩＩ＜ Ｍｅ， —ｓｕｐＴ（ｅ）． （３） ＩＩ （ ＋ ）一 （ ）一 ，＋（ ）ＩＩ＜等￡ ． 由（２）式，可取 ∈ＣＯＤ，使 ＩＩ （ ）一 （口）一（ 一日） ＩＩ＜（ 一日） ＋等￡ ． （４） 再由（３）和（４）式，当 ＋ ≤ｂ时，有 ｄ（ｘ（ ＋ ）一ｘ（ａ），（ ＋ 一ａ）ｃｏ Ｄ）≤ （ ＋ ）一 （口）一（ ＋ 一日）ｆ ＋，（ ）＋ Ｆ －＝ａ ＝ …一 ｘ（ｋ＋ ）一ｘ（ａ）一 ＋，（ ）一（ —ａ） Ｉｌ≤ ｌＩ ｘ（ｋ＋ ）一 （ ）一 ，＋（ ）Ｉｌ＋ ｌ ｌ（ ）一ｘ（ａ）一（ —ａ） ｌｌ＜ ￡ ，＋（ 一日） ￡＋３４２百￡ 一（ ＋ ，一日） ￡． 厶 厶 这就证明了 ＋ ∈丁（ ￡）． 引理３ Ｖ￡＞０，存在自然数Ⅳ，使得ｂ∈Ｔ（Ｍ ￡）． 证Ｖ￡＞０，由引理２知存在常数 ＞０，使得当０＜ ≤ 且ｓｕｐ丁（￡）＋ ≤ｂ时，有 ｓｕｐ丁（￡）＋ ∈Ｔ（Ｍ ￡）．又由引理１，ｓｕｐ丁（￡）∈Ｔ（ ￡）．下面证明ｂ∈丁（ ￡）． 事实上，令 。一ｓｕｐＴ（￡），由引理１知 。∈丁（ ￡）． 若 一ｂ，引理３获证． 若 ＜ｂ，可分２种情况：若 ＋ ＞ｂ，由引理２知ｂ一九＋（６一 ）∈Ｔ（Ｍ。￡）；若 ＋ ≤ｂ， 由引理２知 。＋ ∈Ｔ（Ｍ。￡）．这里再令 一ｓｕｐ Ｔ（Ｍ。￡），由引理１知 ∈Ｔ（Ｍ ￡）． 若 一ｂ，引理３获证． 若 ＜ｂ，可分２种情况：若 ＋ ＞ｂ，由引理２可知ｂ— ＋（６一 ）∈Ｔ（Ｍ ￡），引理３获证； 若 ＋ ≤ｂ，再由引理２知 ＋ ∈Ｔ（Ｍ ￡）．这里再令 ：一ｓｕｐＴ（Ｍ ￡），由引理１可知 ∈Ｔ（Ｍ ￡）． 若 一ｂ，则引理３获证． 若 ＜ｂ，又分２种情况讨论，依次下去，可得一数列： ＜ ＋ ≤ 。＜ ＋ ≤ ＜ ＋ ≤ 。＜ 。＋ ≤…， 易见只需有限步，即有 一ｂ或 ＋ ≥ｂ．由上述讨论可知存在自然数Ⅳ，使得ｂ∈丁（ ￡）． 定理１（微分中值定理） 设Ｅ是曲Ｂａｎａｃｈ空间， （ｆ）是闭区间［口，６］到Ｅ的一致右可微函数，则 ． （６）一 （口）∈（６一ａ）ｃｏ｛ ，＋（ｆ），ｔ∈［口，ｂ３｝． （５） 这里（５）式是微分中值公式． 证由引理３可见，ｂ∈７ （ ￡），从而 ｄ（ （６）一 （口），（６一ａ）ｃｏＤ）≤ （６一ａ）＾ ￡． 由ｅ的任意性，得 ｄ（ （６）一ｘ（ａ），（６一ａ）ｃｏＤ）一０， 且口． （６）一． （口）∈（６一ａ）ＣＯ Ｄ． 对一致左可微函数，也有类似结论． ２ 微分中值定理的应用 应用曲Ｂａｎａｃｈ空间中的微分中值定理，可以得到概率赋范空间中的微分中值定理． 维普资讯 http://www.cqvip.com ４３８ 河北师范大学学报（自然科学版） 第２６卷 定理２ 设（Ｅ，Ｆ，△）是Ｍｅｎｇｅｒ概率赋范空间 ｒ＋∞ ，Ａ（ａ，６）：ｍａｘ（ａ＋ｂ一１，０），Ｖ ｚ∈Ｅ，若 Ｊ ｔｄＦ （ｆ）＜＋ｏ。， Ｊ一∞ 令ｌ ｌｚ ｌｌ＝Ｉ ｔｄＦ （ｆ），则（Ｅ，ｌｌ・ｌ１）是曲线性赋范空间． 证 １）Ｖ ｚ∈Ｅ，ｌｌ ｚ ｌｌ≥０显然，另外ｚ—Ｏｖ：￣Ｆ （ｆ）＝Ｈ（ｆ）骨ｌ ｌｚ ｌｌ一０． ２）对口≠０，ｚ∈Ｅ，有 ｌ姐ｌｌ一 ｄＦ 一 ：三 （ ）一 ：三 ｄ （ ）一 ＩＩ ｘ ｌ１． ３）Ｖ ｚ，Ｙ∈Ｅ，有 ｌ ｚ＋ｌ＋ｌＹ ｌ＝－＝ＩＪｆ ：一三∞ ｔｄＦｘ＋ｙ ｃ（ ＝－ｆ）＝ＩＪｆ ｔ０ ｔｄＦｘ＋ｙ ｃ（ ≤－ｆ）≤ＩＪｆ ｔ０ ｄＡ（ｆ、 Ｆ （ｆ、０｜ －５ －）｝ ，Ｆ 、厶｜（ｆ号）告ｌ）｜Ｉ 一— ｔｄｍａｘ｛Ｆ （号）＋Ｆ （号）一 ，。｝－ｆ，Ｔｔｄ（Ｆ ｔ ）＋Ｆ ｔ ）一 ）． 又因为这里Ｆ （ ｔｏ）＋Ｆ （ ｔｏ）一１≥０，所以 －ｚ＋ “≤ ｄＦ （号）＋ ｔｄＦ，（号）≤ ｄＦ （号）＋ ｄＦ，ｔ ）＝ ２－ｆ 号ｄＦ （号）＋２－ｆ 号ｄＦ （号）一２ ｆＩ ｚ『Ｉ＋２『Ｉ 『Ｉ． 定义３ 设（Ｅ，Ｆ，△）是Ｍｅｎｇｅｒ概率赋范空间，厂（ｓ）：Ｅａ，６］一Ｅ在ｓ点右可微是指： ｌｉｍ Ｆ（，（件△Ｊ卜，（，）） 一，（，）（ｆ）一Ｈ（ｆ）； ．△Ｊ一０十 ’ 厂（ｓ）：Ｅａ，６］一Ｅ一致右可微是指：对任意满足 ｒ＋∞ Ｉ ｆｄＦ（ｆ）＜＋ｏ。， Ｆ（０）一０ Ｊ一∞ 的左连续分布函数Ｆ（ｆ），总存在 ＞０，使得当０＜Ａｓ＜ 时，有 Ｆ（ｆ（ ＋△Ｊ卜，（ ））／ 一，上（ ）（ｆ）≥Ｆ（ｆ），ｔ∈（一ｏ。，＋ｏ。）， 其中尸＋（ｓ）是厂（ｓ）的右导数． 定理３（完备概率赋范空间微分中值定理） 设（Ｅ，Ｆ，△）是完备概率赋范空间ｎ￣ ，Ａ—ｍａｘ｛ａ＋ ｂ一１，０），且Ｖ ｚ∈Ｅ，有 ｒ＋∞ Ｉ ｔｄＦ （ｆ）＜＋ｏ。， Ｊ ｏ 厂（ｓ）是［口，６］一Ｅ的一致右可微函数，则 厂（６）一厂（口）∈（６一口） ｛／’，＋（ｓ），ｓ∈Ｅａ，６］）． 证由定理２可知 ｌｌ・ｌｌ—Ｉ ｔｄＦ．（ｆ） 是Ｅ上的曲范数，且由定义３可知，厂（ｓ）：Ｅａ，６］一Ｅ在概率范数下的连续性、可微性、一致可微性分别与 在曲范数下的连续性、可微性、一致可微性是等价的，从而应用定理２的结论可知定理３结论成立． Ｂａｎａｃｈ空间中的微分中值定理见文献Ｅａ－Ｉ． 参考文献： ［１ ３ ＳＣＨＷＥＩＺＥＲ Ｂ，ＳＫＬＡＲ Ａ，Ｐｒｏｂａｂｉｌｉｓｔｉｃａｌ Ｍｅｔｒｉｃ Ｓｐａｃｅｓ［Ｍ］．Ｎｏｒｔｈ—Ｈｏｌｌａｎｄ：Ｎｏｒｔｈ—Ｈｏｌｌａｎｄ Ｐｒｅｓｓ，１ ９８３， ［２３ ＳＨＥＲＷＯＯＤ Ｈ．Ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｓｔｉｃ ｍｅｔｒｉｃ ｓｐａｃｅｓ［Ｊ］，Ｚ Ｗａｈｒ Ｖｅｒｗ Ｇｅｂｉｅｔｅ，１９７１，２０（１）：１１ ７－１２８， ［３］ ＺＨＡＮＧ Ｓｈｉ—ｓｈｅｎｇ，ＣＨＯ Ｙｅｏｌ—ｊｅ，ＫＡＮＧ Ｓｈｉ—ｍｉｎ．Ｐｒｏｂａｂｉｌｉｓｔｉｃ Ｍｅｔｒｉｃ Ｓｐａｃｅｓ ａｎｄ Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｏｐｅｒａｔｏｒ Ｔｈｅｏｒｙ 维普资讯 http://www.cqvip.com 第５期 徐永春等：曲Ｂａｎａｃｈ空间微分中值定理及其应用 ４３９ ［Ｍ］．成都：四川大学出版社，１９９４． ［４］ 张石生．不动点理论及应用［Ｍ］．重庆：重庆出版社，１９８４． ［５３郭大钧．非线性分析中的半序方法［Ｍ］．济南：山东科学技术出版社，２０００． Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｍｅａｎ Ｖａｌｕｅ Ｔｈｅｏｒｅｍ ｉｎ Ｃｕｒｖｅｄ Ｂａｎａｃｈ Ｓｐａｃｅ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ＸＵ Ｙｏｎｇ—ｃｈｕｎ ． ＳＵ Ｙｏｎｇ—ｆｕ （１．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｚｈａｎｇｊｉａｋｏｕ Ｎｏｒｍａｌ Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｈｅｂｅｉ Ｚｈａｎｇｊｉａｋｏｕ ０７５０２８，Ｃｈｉｎａ； ２．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｃａｎｇｚｈｏｕ Ｎｏｒｍａｌ Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｈｅｂｅｉ Ｃａｎｇｚｈｏｕ ０６１００１．Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｃｏｎｃｅｐｔ ｏｎ ｃｕｒｖｅｄ Ｂａｎａｃｈ ｓｐａｃｅ ｈａｓ ｂｅｅｎ ｇｉｖｅｎ ａｎｄ ｔｈｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｍｅａｎ ｖａｌｕｅ ｔｈｅｏｒｅｍ ｉｎ ｃｕｒｖｅｄ Ｂａｎａｃｈ ｓｐａｃｅ ｈａｓ ｂｅｅｎ ｐｒｏｖｅｄ．Ｔｈｅｒｅｆｏｒ，ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｍｅａｎ ｖａｌｕｅ ｔｈｅｏｒｅｍ ｉｎ ｃｕｒｖｅｄ Ｂａｎａｃｈ ｓｐａｃｅ，ｔｈｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｍｅａｎ ｖａｌｕｅ ｔｈｅｏｒｅｍ ｉｎ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｓｔｉｃ Ｂａｎａｃｈ ｓｐａｃｅ ｈａｓ ｂｅｅｎ ｐｒｏｖｅｄ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｃｕｒｖｅｄ Ｂａｎａｃｈ ｓｐａｃｅ；ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｍｅａｎ ｖａｌｕｅ ｔｈｅｏｒｅｍ；ｐｒｏｂａｂｉｌｉｓｔｉｃ Ｂａｎａｃｈ ｓｐａｃｅ； ｕｎｉｆｏｒｍｌｙ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｂｌｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ （责任编辑会讯・ 陈静） ・２００２年国际数学家大会组合学卫星会议 在河北师范大学召开 国际数学家大会（ＩＣＭ）是由国际数盟发起和组织的，已有百余年历史。它是当今最高水平的全 球性数学科学学术会议，每４年举办一次。第２４届国际数学家大会于２００２年８月２０日～２８日在中国 北京举行。这是素有国际数学“奥运会”之称的盛会首次在我国，也是首次在发展中国家举行。按照大会 惯例，在大会召开的前后将在承办国及周边地区举办数学各分支的卫星会议。 由中国数学会组合数学与图论专业委员会及河北师范大学数学与信息科学学院联合主办的２００２ 年国际数学家大会组合学卫星会议（ＩＣＭ２ＯＯ２一ＳＣＣ），于２００２年８月１６日至１９日在河北省省会石家 庄市河北师范大学举行。会议得到了国家自然科学基金委员会、河北省、河北省教育厅及河北 师范大学的赞助和支持。 组合学卫星会议共安排了５场大会报告，２３位代表作了大会发言。会议还安排了半天分组专题报 告，共分４个专题：组合计数与组合几何；组合设计与编码理论；图论与组合优化；组合矩阵与代数组合。 有３４位代表作了报告。 与会代表共１２３人，其中国外及港台代表２５人。中国组合数学与图论学会的负责人参加了会议。与 会的国内外代表对本次会议给予了高度评价，一致认为这次卫星会议进行得井然有序，有条不紊，为国 内外同行交流创造了良好的条件，是一次非常成功的学术会议。 河北师范大学数学与信息科学学院
