初一升初二数学暑期衔接教辅

初一升初二暑期数学辅导资料

目录

第一讲 三角形总复习 第二讲 如何做几何证明题 第三讲 勾股定理 第四讲 平方根 第五讲 立方根 第六讲 实数

第七讲 非负数的性质及应用 第八讲 分母有理化

第九讲 二次根式的混合运算 第十讲 平行四边形的性质 第十一讲 平行四边形的判定 第十二讲 菱形

第十三讲 《勾股定理》质量检测 第十四讲 《实数》质量检测 第十五讲 《二次根式》质量检测 第十六讲 综合评估

- 1 -

乐教、诚毅、奉献、创新

第一讲、三角形总复习

【知识精读】

1. 三角形的内角和定理与三角形的外角和定理； 2. 三角形中三边之间的关系定理及其推论； 3. 全等三角形的性质与判定；

4. 特殊三角形的性质与判定（如等腰三角形）； 5. 直角三角形的性质与判定。

三角形一章在平面几何中占有十分重要的地位。从知识上来看，许多内容应用十分广泛，可以解决一些简单的实际问题；从证题方法来看，全等三角形的知识，为我们提供了一个及为方便的工具，通过证明全等，解决证明两条线段相等，两个角相等，从而解决平行、垂直等问题。因此，它揭示了研究封闭图形的一般方法，为以后的学习提供了研究的工具。因此，在学习中我们应该多总结，多归纳，使知识更加系统化，解题方法更加规范，从而提高我们的解题能力。 【分类解析】

1. 三角形内角和定理的应用 例1. 如图1，已知ABC中，BAC90，ADBC于D，E是AD上一点。 求证：BEDC AEBD图1

说明：在角度不定的情况下比较两角大小，如果能运用三角形内角和都等于180°间接求得。

- 2 -

C 乐教、诚毅、奉献、创新

2. 三角形三边关系的应用

例2. 已知：如图2，在ABC中，ABAC，AM是BC边的中线。 求证：AM1ABAC 2ABMCD图2

说明：在分析此问题时，首先将求证式变形，得2AMABAC，然后通过倍长中线的方法，相当于将AMC绕点旋转180°构成旋转型的全等三角形，把AC、AB、2AM转化到同一三角形中，利用三角形三边不等关系，达到解决问题的目的。很自然有

11ABACAMABAC。请同学们自己试着证明。 22

3. 角平分线定理的应用

例3. 如图3，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC。 求证：AM平分DAB。 DGCMA图3 B 说明：本题的证明过程中先使用角平分线的定理是为判定定理的运用创造了条件MG＝MB。同时要注意不必证明三角形全等，否则就是重复判定定理的证明过程。

- 3 -

乐教、诚毅、奉献、创新

4. 全等三角形的应用

（1）构造全等三角形解决问题

例4. 已知如图4，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角（∠BDC）为 120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的角，它的两边分别交AB于M，交AC于N，连结MN。求证：AMN的周长等于2。 AMNBD图4CM' 分析：欲证AMN的周长等于2，需证明它等于等边ABC的两边的长，只需证MNBMCN。采用旋转构造全等的方法来解决。

说明：通过旋转，使已知图形中的角、线段充分得到利用，促进了问题的解决。

（2）“全等三角形”在综合题中的应用

例5. 如图5，已知：点C是∠FAE的平分线AC上一点，CE⊥AE，CF⊥AF，E、F为垂足。点B在AE的延长线上，点D在AF上。若AB＝21，AD＝9，BC＝DC＝10。求AC的长。 FDCA图5- 4 - EB 乐教、诚毅、奉献、创新

分析：要求AC的长，需在直角三角形ACE中知AE、CE的长，而AE、CE均不是已知长度的线段，这时需要通过证全等三角形，利用其性质，创设条件证出线段相等，进而求出AE、CE的长，使问题得以解决。

5、中考点拨 例1.

如图，在ABC中，已知∠B和∠C的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD＋CE＝9，则线段DE的长为（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 ADBFEC 分析：初看此题，看到DE＝DF＋FE后，就想把DF和FE的长逐个求出后再相加得DE，但由于DF与FE的长都无法求出，于是就不知怎么办了？其实，若能注意到已知条件中的“BD＋CE＝9”，就应想一想，DF＋FE是否与BD＋CE相关？是否可以整体求出？若能想到这一点，就不难整体求出DF＋FE也就是DE的长了。 6、题型展示

例1. 已知：如图6，ABC中，AB＝AC，∠ACB＝90°，D是AC上一点，AE垂直BD的延长线于E，AE1BD。 2 求证：BD平分∠ABC

- 5 -

乐教、诚毅、奉献、创新 AEDC图6B F 分析：要证∠ABD＝∠CBD，可通过三角形全等来证明，但图中不存在可证全等的三角形，需设法进行构造。注意到已知条件的特点，采用补形构造全等的方法来解决。

说明：通过补形构造全等，沟通了已知和未知，打开了解决问题的通道。

例2. 某小区结合实际情况建了一个平面图形为正三角形的花坛。如图7，在正三角形ABC花坛外有满足条件PB＝AB的一棵树P，现要在花坛内装一喷水管D，点D的位置必须满足条件AD＝BD，∠DBP＝DBC，才能使花坛内全部位置及树P均能得到水管D的喷水，问∠BPD为多少度时，才能达到上述要求？ APDB图7C 分析：此题是一个实际问题，应先将实际问题转化成数学问题，转化后的数学问题是：如图7，D为正ABC内一点，P为正ABC外一点，PB＝AB，AD＝BD，∠DBP＝∠DBC，求∠BPD＝？在解此数学问题时，要用到全等三角形的知识。

- 6 -

乐教、诚毅、奉献、创新

【实战模拟】

1. 填空：等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm，则这个等腰三角形底边的长为____________。

2. 在锐角ABC中，高AD和BE交于H点，且BH＝AC，则∠ABC＝__________。 3. 如图所示，D是ABC的∠ACB的外角平分线与BA的延长线的交点。试比较∠BAC与∠B的大小关系。

DA12DCE 4. 如图所示，AB＝AC，∠BAC＝90°，M是AC中点，AE⊥BM。 求证：∠AMB＝∠CMD

AEBDMC 5. 设三个正数a、b、c满足abc某个三角形三边的长。

22222a4b4c4，求证：a、b、c一定是

- 7 -

乐教、诚毅、奉献、创新

第二讲、如何做几何证明题

【知识精读】

1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。 2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法：

（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；

（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止； （3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。

3. 掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。 【分类解析】

1、证明线段相等或角相等

两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。

例1. 已知：如图1所示，ABC中，C90，ACBC，ADDB，AECF。 求证：DE＝DF

AEDCF图1B

- 8 - 乐教、诚毅、奉献、创新

分析：由ABC是等腰直角三角形可知，AB45，由D是AB中点，可考虑连结CD，易得CDAD，DCF45。从而不难发现DCFDAE

说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。显然，在等腰直角三角形中，更应该连结CD，因为CD既是斜边上的中线，又是底边上的中线。本题亦可延长ED到G，使DG＝DE，连结BG，证EFG是等腰直角三角形。有兴趣的同学不妨一试。

例2. 已知：如图2所示，AB＝CD，AD＝BC，AE＝CF。 求证：∠E＝∠F EADBF图2C

说明：利用三角形全等证明线段求角相等。常须添辅助线，制造全等三角形，这时应注意：

（1）制造的全等三角形应分别包括求证中一量； （2）添辅助线能够直接得到的两个全等三角形。

- 9 -

乐教、诚毅、奉献、创新

2、证明直线平行或垂直

在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90°，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证。

例3. 如图3所示，设BP、CQ是ABC的内角平分线，AH、AK分别为A到BP、CQ的垂线。 求证：KH∥BC AQKBM图3HNC P 分析：由已知，BH平分∠ABC，又BH⊥AH，延长AH交BC于N，则BA＝BN，AH＝HN。同理，延长AK交BC于M，则CA＝CM，AK＝KM。从而由三角形的中位线定理，知KH∥BC。

说明：当一个三角形中出现角平分线、中线或高线重合时，则此三角形必为等腰三角形。我们也可以理解成把一个直角三角形沿一条直角边翻折（轴对称）而成一个等腰三角形。

例4. 已知：如图4所示，AB＝AC，∠A90，AEBF，BDDC。 求证：FD⊥ED AF123EBD图4- 10 - C 乐教、诚毅、奉献、创新

说明：有等腰三角形条件时，作底边上的高，或作底边上中线，或作顶角平分线是常用辅助线。

证明二：如图5所示，延长ED到M，使DM＝ED，连结FE，FM，BM AFEBMDC图5

说明：证明两直线垂直的方法如下：

（1）首先分析条件，观察能否用提供垂直的定理得到，包括添常用辅助线，见本题证二。

（2）找到待证三直线所组成的三角形，证明其中两个锐角互余。 （3）证明二直线的夹角等于90°。

- 11 -

乐教、诚毅、奉献、创新

3、证明一线段和的问题

（一）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。（截长法）

例5. 已知：如图6所示在ABC中，B60，∠BAC、∠BCA的角平分线AD、CE相交于O。

求证：AC＝AE＋CD BE123ODAF图66C 分析：在AC上截取AF＝AE。易知AEOAFO，12。由B60，知5660，160，23120。123460，得：

FOCDOC，FCDC

（二）延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段，则两较短线段成为一条线段，证明该线段等于较长线段。（补短法）

例6. 已知：如图7所示，正方形ABCD中，F在DC上，E在BC上，EAF45。 求证：EF＝BE＋DF A312DFGBE图7C 分析：此题若仿照例1，将会遇到困难，不易利用正方形这一条件。不妨延长CB至G，使BG＝DF。

- 12 - 乐教、诚毅、奉献、创新

4、中考题：

如图8所示，已知ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE＝BD，连结CE、DE。 求证：EC＝ED EFAB 题型展示： 证明几何不等式： C图8D 例题：已知：如图9所示，12，ABAC。 求证：BDDC A12BD图9CE 证明二：如图10所示，在AB上截取AF＝AC，连结DF

A12FB34D图10C 说明：在有角平分线条件时，常以角平分线为轴翻折构造全等三角形，这是常用辅助线。

- 13 -

乐教、诚毅、奉献、创新

【实战模拟】 1. 已知：如图11所示，ABC中，C90，D是AB上一点，DE⊥CD于D，交BC于E，且有ACADCE。求证：DE1CD 2CEAD图11B 2. 已知：如图12所示，在ABC中，A2B，CD是∠C的平分线。 求证：BC＝AC＋AD ADB图12C

3. 已知：如图13所示，过ABC的顶点A，在∠A内任引一射线，过B、C作此射线的垂线BP和CQ。设M为BC的中点。 求证：MP＝MQ

- 14 -

乐教、诚毅、奉献、创新

AQBP图13

4. ABC中，BAC90，ADBC于D，求证：AD

MC1ABACBC 4

- 15 -

乐教、诚毅、奉献、创新

第三讲 勾股定理

［情景引入］ 【知识要点】

1、勾股定理是：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即：abc 2、勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足abc那么这个三角形是直角三角形。

222222

【典型习题】

例1、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（ ） A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm

例2、求下列各图字母中所代表的正方形的面积。

B 225 400 A 225 400 C 112 256 400 D 144 SA SB SC SD 例3、如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面2.8米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部9.6米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少有多高？

2.8

9.6

例4、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形

的边和长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm

米

- 16 -

米 乐教、诚毅、奉献、创新

例5、在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是________m。

例6、为丰富少年儿童的业余文化生活，某社区要在如图所示的AB所在的直线上建一图书阅览室，该社区有两所学校，所在的位置分别在点C和点D处。CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，已知AB=25km，CA=15km,DB=10km,试问：阅览室E建在距A点多远时，才能使它到C、D两所学校的距离相等？

C A

E

B D

例 7、如图所示，MN表示一条铁路，A、B是两个城市，它们到铁路的所在直线MN的垂直

距离分别AA1=20km,BB1=40km，A1B1=80km.现要在铁路A1，B1=80km。现要在铁路A1，B1之间设一个中转站P，使两个城市到中转站的距离之和最短。请你设计一种方案确定P点的位置，并求这个最短距离。

例8、“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A正前方30米B处，过了2秒后，测得小汽车C与车速检测仪A间距离为50米，这辆小汽车超速了吗？

例9、如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20分米、3分米、2分米，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短的路程是多少?

- 17 -

B A M A1 B1 N 乐教、诚毅、奉献、创新

例10、直角三角形的周长为24，斜边长为10，则其面积为_______

例11、如图，一个长为10米的梯子斜靠在墙上， 梯子的顶端距地面的垂直高度为8米，

A 梯子的顶端下滑2米后，底端也水平滑动2米吗？试说明理由。

D

E B

C

例12、如图2—5—4所示，某市住宅社区在相邻两楼之间修建一个仿古通道，它的上方是一个半圆，下方是长方形，现有一辆卡车装满家具后，高4米，宽2.8米，请问这辆送家具的卡车能通过这个通道吗？ · 2.8

4米

图2—5—4

例13、甲、乙两船同时从A港出发，甲朝北偏东60°方向行驶，乙朝南偏东30°方向行驶。已知甲、乙两船的航速分别为45千米/时和50千米/时，经2小时航行后，试估算两船相距多少千米？（精确到0.1千米）

例14、如图1—3—10，已知直角三角形ABC的三边分别为6、8、10，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，求图中阴影部分的面积。 、

- 18 -

C 6 8 · A B 图1—3—10

乐教、诚毅、奉献、创新

【随堂练习】

一、填空题（每空3分，共24分）

1、 若直角三角形两直角边分别为6和8，则斜边为___________；

2、 已知两条线的长为5cm和4cm，当第三条线段的长为_________时，这三条线段能组成

一个直角三角形；

3、 能够成为直角三角形三条边长的正整数，称为勾股数。请你写出三组勾股数：

_________________________；

4、 如图，求出下列直角三角形中未知边的长度。

C=__________ b=__________ h=__________

5、 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC∶AC=3∶4，AB=10，则AC=_______，BC=________

二、选择题（每题3分，共15分）

1、a、b、c是△ABC的三边，

①a=5,b=12,c=13 ②a=8,b=15,c=17 ③a∶b∶c=3∶4∶5 ④a=15,b=20,c=25

上述四个三角形中直角三角形有 （ ） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

2、一直角三角形的三边分别为2、3、x，那么以x为边长的正方形的面积为 （ ） A、13 B、5 C、13或5 D、无法确定 3、将一个直角三角形两直角边同时扩大到原来的两倍，则斜边扩大到原来的 （ ） A、4倍 B、2倍 C、不变 D、无法确定

4、正方形的面积是4，则它的对角线长是 （ ） A、2 B、2 C、22 D、4

5、如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AB=3，BD=2，DC=1，则AC=（ ）

A、6 B、6 C、5 D、4

三、解答题

1、 公路旁有一棵大树高为5.4米，在刮风时被吹断，断裂处距地面1.5米，请你通过计算

说明在距离该大树多大范围内将受到影响。

- 19 -

乐教、诚毅、奉献、创新

2如图，∠C=90°,AC=3，BC=4，AD=12，BD=13，试判断△ABD的形状，并说明理由。

3已知三角形的三边分别是n-2，n，n+2，当n是多少时，三角形是一个直角三角形？

4如图，每个小方格都是边长为1的正方形，试计算出五边形ABCDE的周长和面积。

5如图，一个圆柱形纸筒的底面周长是40cm，高是30cm，一只小蚂蚁在圆筒底的A处，它想吃到上底与下底面中间与A点相对的B点处的蜜糖，试问蚂蚁爬行的最短的路程是多少？

- 20 -

乐教、诚毅、奉献、创新

【课后练习】

一、填空题（每题3分，共24分）

1．三角形的三边长分别为 a2＋b2、2ab、a2－b2（a、b都是正整数），则这个三角形是（ ）

A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定

2．若△ABC的三边a、b、c满足a2＋b2＋c2十338＝10a＋24b＋26c，则△ABC的面积是（ ）

A.338 B.24 C.26 D.30 3．若等腰△ABC的腰长AB＝2，顶角∠BAC＝120°，以 BC为边的正方形面积为（ ） A.3 B.12 C.

2716 D. 434．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为（ ）

A.42 B.32 C.42 或32 D.37 或 33

5．直角三角形三条边的比是3∶4∶5.则这个三角形三条边上的高的比是（ ） A.15∶12∶8 B. 15∶20∶12 C. 12∶15∶20 D.20∶15∶12 6．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4.以斜边AB为直径作半圆，则这个半圆的面积等于（ ）

A.

252525 B. C. D.25π 84167．如图1，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC

沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（ ）

A.2cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm AB E 18cm

B C16cm D A 图1 图2

8．如图2，一个圆桶儿，底面直径为16cm，高为18cm，则一只小虫底部点A爬到上

底B处，则小虫所爬的最短路径长是（π取3）（ ）

A.20cm B.30cm C.40cm D.50cm

二、填空题（每小题3分，共24分）

9．在△ABC中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则以两个这样的三角形所拼成的长方形的面积是＿＿＿．

10．一个长方体同一顶点的三条棱长分别是3、4、12，则这个长方体内能容下的最长的木棒为＿＿＿.

11．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝60cm，CA＝80cm，一只蜗牛从C点出发，以每分

- 21 -

乐教、诚毅、奉献、创新

20cm的速度沿CA→AB→BC的路径再回到C点，需要＿＿＿分的时间．

12．如图3，一艘船由岛A正南30海里的B处向东以每小时20海里的速度航行2小时后到达C处.则AC间的距离是＿＿＿．

13．在△ABC中，∠B＝90°，两直角边AB＝7，BC＝24，三角形内有一点P到各边的距离相等，则这个距离是＿＿＿．

14．已知两条线段长分别为5cm、12cm，当第三条线段长为＿＿＿时，这三条线段可以组成一个直角三角形，其面积是＿＿＿．

15．观察下列一组数：

列举：3、4、5，猜想：32＝4+5； 列举：5、12、13，猜想：52＝12+13； 列举：7、24、25，猜想：72＝24+25；

图3 …… ……

列举：13、b、c，猜想：132＝b+c；

请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得b＝＿＿＿，c＝＿＿＿.

16．已知：正方形的边长为1.（1）如图4（a），可以计算出正方形的对角线长为2；如图（b），两个并排成的矩形的对角线的长为＿＿＿；n个并排成的矩形的对角线的长为

＿＿＿.（2）若把（c）（d）两图拼成如图5“L”形，过C作直线交DE于A，交DF于B.若DB＝

（a）

（b）

（c） 图4

A

E

A B

C

D F

C 图5

图6

图7 E B （d）

5，则 DA的长度为＿＿＿． 3

- 22 -

乐教、诚毅、奉献、创新

第四讲 平方根

［情景引入］

【知识要点】

1、平方根

一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）。

①一个正数有两个平方根，它们互为相反数； ②0只有一个平方根是0； ③负数没有平方根。

2、算术平方根

一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记为“a”，读作“根号a”。 特别地，我们规定0的算术平方根是0，即00。

3、开平方

求一个数a的平方根的运算叫做开平方，其中a叫做被开方数，a必须为非负数，即a有意义的条件是a≥0。 4、开平方与平方的关系：互为逆运算。

5、a（a≥0）的非负性，即一个非负数的算术平方根仍为非负数。

aa06、形如a2a aa0

【典型例题】

例1-1、求下列各数的算术平方根、平方根。 ①

915； ②； ④0.09； ⑤1； ⑥0。 29

例1-2、求下列各数的算术平方根、平方根： ①

例2、填空：

- 23 -

256； ③0.0036； ④3； ⑤81； 3625 乐教、诚毅、奉献、创新

（1）32= ； （2）（5）102= ； （6）

132= ；

1102= ；

（9）对于任意数x，x2= ；

例3、求适合下列各式中未知数的值：

2（1）25x0x0 （2）x149

2

（3）100x25

23（4）x13

例4、已知y

例5、已知x3y1z20，求xyz的值。

2x55x3；求x+y的值。

例6、x为何值时，1x

例7、已知2a1的平方根是3，3ab1的平方根是4，求a2b的平方根。

例8、小明家最近刚购买一套新房，他要在客厅铺花岗岩地面，客厅面积为32m，他要用50块正方形的花岗岩。请你帮助小明计算一下，他在购买多少米的花岗岩地砖？

- 24 -

2x有意义。

乐教、诚毅、奉献、创新

【随堂练习】

一、选择题：

1．一个数的平方根是它本身，那么这个数是（ ）。

A．0

A．4的平方根是2 C．-1的算术平方根是-1 3．5表示（ ）。

A．5的平方根 C．5的负的平方根

A．93

B．93

C．93

D．93

B．1 C．±1 D．0或1

2．下列语句正确的是（ ）。

B．0没有算术平方根 D．3有两个平方根

B．5的算术平方根 D．5开平方

4．9的平方根是±3，用数学符号表示为（ ）。

5．以下各数没有平方根的是（ ）。

2221 A．

6

1B．

61C．

6D．

16

6．下列说法正确的是（ ）。 A．4的平方根是±2 C．0.9的平方根是±0.3

二、填空题：

1．49的算术平方根是 ，平方根是 。

2． 有两个平方根， 的平方根有且只有一个，

没有平方根。

3．平方根是±9的数是 。

4．-5是 的负的平方根。

5．16的平方根是 ，算术平方根是 。

6．x7有意义，那么x的取值范围是 。

- 25 -

B．a一定没有平方根 D．a1一定有平方根

22 乐教、诚毅、奉献、创新

7．若x6，则x= ，若x26，则x= 。

三、解答题：

１．x为何值时，2x

２．若x1

３．解下列方程：

2（１）x21690； （２）25x1250；

2x2有意义。

xy40，求xy的值。

6．为了美化校园，希望中学欲在教学提前建一圆形花坛，若想使花坛的面积为6.28㎡，那么花坛的半径应为多少米？（取3.14）

- 26 -

乐教、诚毅、奉献、创新

【课后作业】

1．下列各式中，正确的是（ ）。 A．255 C．366

B．

323

D．a21一定有平方根

1 2．平方根是±的数是（ ）

31 A．±

91B．

9C．1 3D．1 3 3．对于4x1，当x 时，它有意义？ 4．当一个数a的值为 时（在线上填入一个你认为合适的数），它有两个平方根，平方根是 。

5．一个数的算术平方根为a，比这个数大2的数是 。

7．求下列各式的值：

（1）160025； （2）100

8．解下列方程:

（1）4x22560

（3）x4169

2491； 251625（2）x34

23

9．若x10xy250，求xyxy的值。

- 27 -

乐教、诚毅、奉献、创新

第五讲 立方根

［情景引入］

【知识要点】

1、立方根的定义

一般地，如果一个数x的立方等于a，即xa，那么这个数x就叫 做a的立方根。

2、性质：正数的立方根是一个正数；

负数的立方根是一个负数； 0的立方根是0。

3、立方根的表示方法：

每个数a都只有一个立方根（立方根的唯一性），记为“3a”，读作 “三次根号a”。 4、开立方与立方的关系：

求一个数a的立方根的运算叫做开立方，其中a叫做被开方数。 开立方与立方互为逆运算。记：

3a33a,3a3a

5、开立方和小数点移动规律：被开方数的小数点向右或向左每移动三位， 则立方根的小数点就向右或向左移动一位。 6、n次方根的定义：

如果一个数的n次方等于a，这个数叫做a的n次方根。 7、n次方根的性质：

（1）正数的偶次方根有两个，它们互为相反数，负数没有偶次方根； （2）任何数a的奇次方根只有一个，且与a同正负。

【典型例题】

例1-1 下列各数有立方根吗？若有，请你把它求出来； （1）-27 （2）

- 28 -

125 （3）0 （4） 乐教、诚毅、奉献、创新

（5）-1 （6）-125 （7）43 （8）5

3

例1-2 求下列各式的值： （1）3

（3）38 （4）53261

222719 （2）31 27

例2 求满足下列各式的未知数x：

（1）x1250 （2）x31

（3）1x133317 27633 （4）3x4375

例3 已知381,nn22x35，求x的值。

例4 阅读下题，回答问题： 已知33.0491.45,330.493.124，

- 29 -

乐教、诚毅、奉献、创新

求33049,

（2）若345.63.57,

例5 邦德学校教学楼顶上有一正方体水池，其体积为米，求正方体底 面积是多少平方米？

例6 很久很久以前，在古希腊的某个地方发生大旱，地里的庄稼都早死了 ，人们找不到水喝，于是大家一同到庙里去向神祈求。神说，我之所以不给你 们降水，是因为你们给我做的这个正方体祭坛太小，如果你们做一个比它大一 倍的祭坛放在我面前，我就会给你们降雨水。大家觉得很好办，于是很已然做 好一个新祭坛送到神那儿，新祭坛的棱长是原祭坛棱长的2倍。可是神愈发恼 怒，他说，你们竞敢愚弄我！这个祭坛的体积根本不是原来的2倍，我要加倍 惩罚你们！请大家想一想，新祭坛的体积到底是原祭坛的多少倍？要做一个体 积是原来祭坛的2倍的新祭坛，它的棱长应是原来的多少倍？

- 30 -

3330.03049,33049000,330490的值。 4.561.66,3a0.357，求a的值。

乐教、诚毅、奉献、创新

【课堂练习】 一、选择题

1、如果-m是n的立方根，那么下列结论正确的是（ ） A、m也是n的立方根 C、-m也是-n的立方根

B、m也是-n的立方根 D、以上答案都不正确

2、16的平方根与-8的立方根之和是（ ） A、0

B、-4

C、0或-4

D、4

3、下列四个说法中：

①1的算术平方根是1； ② ③-27没有立方根； 其中正确的是（ ）

A、①② 二、填空题 1、

2、的立方根是 。

3、某数的立方根等于它本身，则这个数是 。

4、一个正数的算术平方根是8，则这个数的立方根是 。

5、4的平方根是 ，4的立方根是 。

3311的立方根是±； 82④互为相反数的两数立方根互为相反数 C、①④

D、②④

B、①③

1是 的立方根，35是 的立方根。 4三、求下列各式的值： （1）3 （3）31

- 31 -

1241 125（2）3119 2761 （4）30.0

乐教、诚毅、奉献、创新

2四、已知144x49，且y80，求xy的值。

3

五、解答题

1、李师傅打算制作一个正方体水箱，使其容积是3.375m，试问此木箱至少需多少木板？

2、将半径为12cm的铁球熔化，重新铸造出8个半径相同的小铁球，不计损耗，小铁球的 半径是多少？（球的体积公式是V

343R） 3

- 32 -

乐教、诚毅、奉献、创新

【课后作业】

1．若3a44，那么a65的值是（ ）

3 A、 2．若32a3 A、B、-1 C、-125 D、125

71，则a的值是（ ） 8B、

1 81 16C、1 16D、

1 83．平方根等于本身的数是 ，立方根等于本身是 。

4．0.0的立方根等于 ，1的立方根等

6于 。

5．81的平方根的立方根等于 ，9的立方根可表示成 。 6．求下列各式的值： （1）327

7．求下列各式中的x的值： （1）1x13256 （2）30.0

124 125（2）x1250

3

（3）x1250

8．希望中学欲在教学楼顶上建一个正方体的水池，其体积为m，打算由一名建筑工人完成，已知该建筑工人一天可垒1米高，一天的工资为40元，问垒完水池后希望中学应付给建筑工人多少钱？

33（4）27x2343

3

- 33 -

乐教、诚毅、奉献、创新

第六讲 实数综合

【知识要点】 1．实数

有理数和无理数统称为实数，实数有以下两种分类方法：

（1）按定义分类

正有理数有理数0数有限小数或无限循环小负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 （2）按大小分类

正实数实数0

负实数  2．实数中的倒数、相反数、绝对值概念和有理数一样，例如：3的相反数为3，倒数为3的绝对值为33。

133，3 3．实数与数轴上点的关系

实数和数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都可以用一个实数表示。 4．实数的运算

（1）关于有理数的运算律和运算性质，在实数范围内仍适用。

（2）涉及无理数的计算，可根据问题的要求取其近似值，转化为有理数进行计算。

- 34 -

乐教、诚毅、奉献、创新 一、填空题

51．在2.71,16,2.5,0,,3,中，属于有理数的

8是 ，属于无理数的

••是 。

2．设a是最小的自然数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的实数，则abc 。

3

3计算

1311•273 ；

3 。

17122718 。 4．化简：15．

32的相反数是 ；

32= 。

6．若ab0则aba2= 。 7．计算232 。 8．比较大小：33 12。 29．比较大小：35 26。

10．若x1是4的平方根，则x= ；若x1是-8的立方根，则x= 。 二、单项选择题

1．若3xx2有意义，则x的取值为（ ）

A．x﹥3 C．x≦3 2下列各式中：323B．x﹤3 D．x=3

1045,0.000010.1,102432, 27332727，计算正确的有（ ）

A．1个 C．3个

B．2个 D．4个

3．已知a、b是实数，下列命题中正确的是（ ） A：ab,则a2b2 B．ab,则a2b2 C ab,则a2b2D．a3b3,则a2b2 4．设a、b均为负实数，且ab，则（ ）

A．ab

B．ab

- 35 -

乐教、诚毅、奉献、创新 C．ab

D．ab

5．若数轴上表示数a的点在原点左边，则化简2aa2的结果是（ ） A．3a

B．3a D．a

C

．

a6．下列答句中不正确的是（ ）

A．无理数是带根号的数，其根号下的数字开方开不尽；

B．8的立方根是±2；

C．绝对值等于6的实数是6；

D．每一个实数都有数轴上的一个点与它对应。 7．下列计算正确的是（ ） A．3 C．

27 421221 33B．9D．

3xy3xy0 4y2y2112 338．一个三角形的三边的长为38,232,250，则此三角形的周长是（ ）

A 9√2 B．62232102 C．14250 D．242

9．底面为正方形的水池容积是4.86m3，池深1.5m，则底面边长是（ ）

A．3.24m C．0.324m 是（ ）

A．65 B．±65

143143C． D．65或

3311．设a是不等于零的有理数，b是无理数，那么下面四个数中必然为无理数的是（ ）

A．a3b3 C．abb 12．已知n为任意整数，同的数是（ ） A．一定是整数 C．一定是有理数

B．一定是无理数 D．可能是有理数，也可

- 36 -

B．1.8m D．0.18m

10．已知x是169的平方根，且2x3yx2，则y的值

B．ab

3

D．aba

n3n2n1n1表示

乐教、诚毅、奉献、创新 能是理数

13．下列命题中，正确的个数是（ ） （1）两个有理数的和是有理数 （2）两个无理数的和是无理数 （3）两个无理数的积是无理数 （4）无理数与有理数的积是无理数 （5）无理数除以有理数是无理数 （6）有理数除以无理数是无理数

A．2个 C．4个

14．下列计算正确的是（ ） A．235 C．2•36

B．2222 D．

42 2B．3个 D．5个

15．与23相乘，结果为1的数是（ ）

A．3 C．23

16．下列计算正确的是（ ） A．233253 C．55262

B．822 D．B．23 D．23

626

17．数轴上表示实数x的点在表示-1的点的左边，则式子

x222x12的值是（ ）

B．-1 D．大于-1

A．正数 C．小于-1

18 设a1003997,b1001999,c21001, a,b,c之间的大小关系是（ ）

A．a﹥b﹥c C．b﹥a﹥c

19．若a﹤0，则a23a3的值为（ ）

A．-2a C．2a 20．化简

352B．a﹥c﹥b D．c﹥b﹥a

B．0 D．±2a

，甲、乙两同学的解法如下：

- 37 -

乐教、诚毅、奉献、创新 甲： 乙：

352352352525252552252 52

对于他们的解法，正确的是（ ） A．甲、乙的解法都正确 C．甲、乙的解法都错误 三、解答题 1．计算：

（1）26661200136；

0B．甲正确、乙不正确 D．乙正确、甲不正确

（2）323216； 6

（3）1x

（4）222.53

（5）12 （6）

12100010； 55x221x2；

3332391；

2332；

（7）

- 38 -

439； 328 乐教、诚毅、奉献、创新

（8）432 （9）

（10）30072

2．已知实数

满足等式30，求2xy的平方根。

5x，y

1175； 3321322；

2

3227；

2x3y1x2y2

23．已知yx55x3,求yx的平方根。

4．已知x，y是正数a的两个平方根，且3x2y2，求a。

- 39 -

乐教、诚毅、奉献、创新 5．已知x1232,y1232,求x2y2的值。

6．已知a是有理数，且a32743，求a的值。

7．设7的小数部分为b，求4bb的值。

8．一正方形鱼池的边长是6m，另一正方形鱼池的面积比第一个大45m2，求另一个鱼池的边长。

9．大正方形边长为3223，小正方形的边长为

3223，求图中阴影部分的面积。

- 40 -

乐教、诚毅、奉献、创新

10．四边形ABCD中，AB⊥BC，CD⊥BC，AB=BC=32，求四边形的周长和面积。

A B C

1CD，CD=6，4D

1 11．求等式2x24x21中字母x的值。

2

12．已知：x是10的整数部分，y是10的小数部分，求y10

x1的平方根。

- 41 -

乐教、诚毅、奉献、创新

第七讲 非负数的性质及应用

【知识要点】

1、二次根式的基本性质（式子aa0叫做二次根式）

2对于非负数a，有aaaa0 （1） 2，则aa0a0对于任意实数aa0



（2）若a>b>0，则ab。

2、最简二次根式

要满足下列条件的根式是最简二次根式： （1）被开方数的每一个因式的指数是1。 （2）被开方数不含有分母。 3、二次根式运算法则 （1）aba*ba0，b0；

（2）

aaa0，b0； bb （3） （4）

anana0；

a4aa0；

4、复合二次根式a2b的化简：

设法找到两个正数x，y（x>y），使x＋y=a，x·y=b，则

ab2xy2xy

25、非负数的三种形式：绝对值a、平方项a、算术平方根aa0。

【典型例题】

- 42 -

乐教、诚毅、奉献、创新

例1-1 已知xy52xy4c，求y的值。

例1-2 已知ab23ab222c，求

例2 化简a2a3。

例3-1 设△ABC的三边分别是a、b、c，且ac8b4ab4bc0。 试判断△ABC的形状。

例3-2 已知xyz32ABC的形状。

例4-1 已知xyz1yzx2zxy3，求

222xb的值。 axyz，若x、y、z代表△ABC的三边，试判断△

xyz的值。

- 43 -

乐教、诚毅、奉献、创新

例4-2 已知xyz11yzx5zxy1，求

xyz的值。

2004b2004的值是多少？ 例5 已知a、b为实数，且满足1ab11b0，则a

例6 若实数a，b，c满足a2b

例7 若u，v满足v

例8-1 设ab，化简根式2abab。

- 44 -

2，且ab321bccc，则的值为多少？ 24a2uvv2u3，求u2uvv2的值。

4u3v4u3v2 乐教、诚毅、奉献、创新

例8-2 化简322322。

例8-3 已知ab 例9 求

思考题：化简

- 45 -

19921991，ab那么ab的值是多少？ 19921991，

53的整数部分。

413n2n1n1n2n123232。

乐教、诚毅、奉献、创新

【课堂练习】 一、选择题。

1已知x，y是实数，

3x4y2y90，若

axy3xy，则实数a的值是（ ）。

A．

1 47C．

41 47 D．

4B．

2．实数a满足aa0，则a是（ ）。 A．零或负数 C．非零实数 3．如果

B．非负数 D．负数

x1在实数范围内有意义，则x的取值范围是

（ ）。

A．大于零 B．等于零

C．不小于1 D．大于1 4．x1是一个实数，则x可取值的个数为（ ）。

2 A．0个

C．2个

5．已知实数x、y满足x2的值是（ ）。 A．0

C．2 6．若a，b是实数，且

B．1个 D．无数个

42则xyxy50，

B．5

D．-5

ab2ba，则a与b的大小关

系是（ ）。 A．a>b B．aC．a≥b D．a≤b

7．若a、b是实数，则下列命题正确的是（ ）。 A．若ab，则ab C．若ab，则ab

222B．若ab，则ab D．若ab，则ab

- 46 -

222 乐教、诚毅、奉献、创新

二、填空题。 1．若2xx2有意义，则x= 。

2．若两个实数x和y互为倒数，则xy= 。 3．14．化简

5．代数式863863的值是 。

6．635635的值为 。 7

．

若

9的算术平方根的倒数的相反数是 。 163113的结果是 。

y2x5104x10,则

x= ,y= 。

8．若a与它的绝对值的和为零，则a23a3 。

9．等式a2bab成立的条件是 。

10．已知x是 。

三、解答题。

1、已知2xy17a2b11ab14x3y1,

221,化简3x214x4x2的结果2求ab+xy的值。

a211a2a，求ab3的值。 2．若a、b为实数，且b=

a1 3．a+b+c=2

设a、b、c是实

- 47 -

乐教、诚毅、奉献、创新

a14b16c214，求bcbcacab的值。

4．已知x+y+z=2zxyz3,若x、y、z代表△

ABC的三边，试判断△ABC的形状。

5．若实数a、b、c满足a=2b+2，且ab值为多少？

6．已知s、t为实数，且4s12321bccc,则的 24a13-1求实数S-tt2c，

3的倒数的相反数是多少？

7．化简a4a1。

- 48 -

乐教、诚毅、奉献、创新

8．计算：2323322322

9．化简：415415235

补选题：9．322的值等于（ ）。 A．32 B．31 C．32 D．21

10．xy7352,xy7253，那么xy的值是（ A．3332

B．3332

C．53 D．7253

11．化简8215得（ ）。 A．35

B．5-5

C．53 D．35

12．式子

3x2x33x2x3成立的条件是（ ）。 A．x23 B．x3 C．x3 D．x23且x3。

13．等式

aabbxaay在实数范围内成- 49 -

）。 乐教、诚毅、奉献、创新

3x2xyy2立，其中a、x、y是两个不同的实数，则x2xyy2的值是（ ）。 A．3 B．13 C．2 D．-3

第八讲 分母有理化

【知识要点】

1．二次根式的定义：

一般地，如果一个数x的平方等于a,即x2=a(a≥0)，那么我们称x为a的平方根。（也称作a的二次方根），即“a”可称为二次根式。 2．分母有理化的定义：

把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 3．有理化因式：

两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。 4．有理化的因式确定方法：

①单项二次根式：利用a·a=a来确定，如：a与a，ab与ab，ab与ab等分别互为有理化因数。

②两项二次根式：利用平方差公式（a+b）(a-b)来确定。

如：a+b与a-b,a-b,ax+by与

ax-by分别互为有理化因式。 5．分母有理化的方法与步骤： ①先将分子、分母化成最简二次根式；

②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；

③最后结果都乘以最简二次根式的有理式。

【典型例题】

例1 化简下列各式。

①48； ②160； ③75；

- 50 -

乐教、诚毅、奉献、创新

21④0.5； ⑤； ⑥；

233242 ⑦

例2 计算： ① ③

例3 比较大小。

①76与65 ②53与83

例4 已知x=3,y=

- 51 -

1102； ⑧； ⑨；

6773312 340②

332

xy

xy④

xy2xyxy

1x13yxy的值。 ,求xx42 乐教、诚毅、奉献、创新 例5 已知a=

例6 化简并求值：a=2+3,b23.

例7 把6+13的整数部分记为a，小数部分记为b，则

1a+= 。 b

11bb,b=，求的值。 23ababaababb，其中abbaab

【课堂练习】 1.计算： 1． 3．

- 52 -

436； 2．521 ； 512311； 4．2133； 242711 乐教、诚毅、奉献、创新 5．

7．262432； 8． 9. 1 11. 12．

1111…… 213243109132； 3225539110.7； 10． 4053531310.5； 6． 34653； 25

- 53 -

乐教、诚毅、奉献、创新

【课后作业】

1．二次根式ab的有理化因式是（ ）。 A．ab C．ab

B．ab D．ab

2．二次根式2718的有理化因式是（ ）。 A．32 C．32 3．

123B．2718 D．2718

的整数部分是（ ）。

B．2 D．4

A．1

C．3

4．计算：

①2835； ② ③5

5．比较大小：

①1715与75

- -

21 3681•1•3 273②55与35

乐教、诚毅、奉献、创新

26．已知x132，求x11x3xx11的值

第九讲 二次根式的混合运算【知识要点】 1．最简二次根式：

①被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数中不能含有能开 尽方的因式和因数。 2．同类二次根式：

几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同。 3．分母有理化的方法

①若分母中只含有a，则分子、分母同时乘以a，由a·a=a，则分母变成a。

②若分母含有a+b（或a-b），则分子、分母同剩以a-b（或a+b），根据（a+b）（a-b）=a-b，将 4．二次根式的混合运算方法:

①二次根式化成最简二次根式后，再合并成同类二次根式。

②二次根式的混合运算与有理数的混合运算法则一样，合并同类项方法类似。 5．二次根式运算法则：

①mnnamnn（a≥0）; ②aba•b（a≥0;b≥0） ③aabb（a≥0,b﹥0）

④anan（a≥0） ⑤a4a（a≥0）

【典型例题】 例1 计算：

- 55 -

乐教、诚毅、奉献、创新

5108224512327

284723784

③26242；

④32181575313412 ⑤45188125；

⑥53322

- 56 -

乐教、诚毅、奉献、创新

例2 计算： ①632632 ②

12③2•526

3

④5665256652

32533253

122132122132

62•6265

- 57 -

乐教、诚毅、奉献、创新 ① ②

例3 已知x=2+3,y23，求下列各式的值。 ①

例4 求下列各式的整式部分和分数部分。 ①

例5 若a、b、c是△ABC的三边。 化简

【课堂练习】 1．计算：

- 58 -

22352335 643326332

xy yx②x2y2 ③x2+2xy+y2

51

2②22132

abc2abc2bca2cab2

乐教、诚毅、奉献、创新 ①16230138； 2 ②12631327 ③3228344827147； ④58252

⑤2123113

⑥5132348

⑦15210340•5；

- 59 -

乐教、诚毅、奉献、创新 ⑧512512

⑨1232627； ⑩12321232

2．计算： ①81b23b4b55b21b； ②a3bab3abab

- 60 -

乐教、诚毅、奉献、创新 ③yx2xyxyy（x﹥0,y﹥0） x

【课后作业】

1．计算： 1①5310245 ②15360•5 3

 ③ ⑤ ⑥

⑦3223

- 61 -

35•8215 ④426352•4635

2235235

65656565

32223

2 乐教、诚毅、奉献、创新

⑧323323233

2．已知a+b=-6,ab=5,求ab的值。 ba

3．计算：

111122334120001999

……

- 62 -

乐教、诚毅、奉献、创新

第十讲 平行四边形的性质

【知识要点】

1．平行四边形的有关概念 （1）平行四边形的定义：

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 表示方法：“ ABCD ” （2）对边、对角、对角线的概念：

平行四边形共有四条边，四个角，把不相邻的边称为对边，不相邻的角称为对角，因此平行四边形有两组对边，两组对角。 对角线：平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫对角线。

2．平行四边形的相关性质： ①平行四边形对边平行且相等；

数学形式：∵ ABCD ∴AB ＝∥ DC ，AD ＝∥

BC ②平行四边形的对角相等： A D 数学形式：∵ ABCD O ∴AC,BD

③平形四边形的对角线互相平分： B C 数学形式：∵ ABCD ∴OA=OC=

12AC， OB=OD=12BD．

3．平行线间的距离

（1）两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离称为平行线之间的距离。 （2）平行线之间的垂线段处处相等。 【典型例题】

例1—1 在平行四边形ABCD中（利用平行四边形的性质—边、解）

（1）若∠A=40°，则∠B= ，∠C= ，∠D= 。

（2）若∠A－∠B=80°，则∠A= ，∠B= 。

- 63 -

乐教、诚毅、奉献、创新

（3）若∠A+∠C=220°，则∠A= ，∠B= 。 （4）若周长为44cm，AB－BC=2cm，则CD= ，AD= 。

例1 如图，□ABCD中，AD⊥BD，垂足为D，OA=10，OB=6，求BC、AB的长。

例2 如图，四边形ABCD为平行四形，∠A+∠C=80°，□ABCD的周长为40cm，且AB－BC=2cm，求□ABCD各边长和各内角的度数。

例5 如图，□ABCD中，对角线AC和BD相交于O点，若AC=8，BD=6，则边AB长的取值范围为（ ） A．1﹤AB﹤7 C．6﹤AB﹤8

例4—1 小强家承包了一块苗圃用来养花。如图所示，苗圃的形状为平行四边形，经测量，其周长是36m，从钝角顶点D处向AB、BC引两条高DE、DF的长分别为5m、7m，求这个平行四边形苗圃的面积。

- -

D O A B C D C A B B．2﹤AB﹤14 D．3﹤AB14

D O A

B

C D C A E

F B 乐教、诚毅、奉献、创新

例4—2 已知□ABCD中周长是36cm，且AB=10cm，AD与BC间的距离为6cm，求：AB与CD之间的距离。

【课堂练习】 一、选择题

1．如图，在□ABCD中，AC、BD相交于O，则图中全等的三角形共有（ ） A．2对 C．4对 数为（ ） A．60°

B．80° D．120°

C

．

100

°

B．3对 D．5对

O C A D B A h C B 3．□ABCD中，∠A比∠B大20°，则∠C的度D 4．下列说法正确的是（ ） A．平行四边形的对角线相等；

B．平行四边形的对角线的交点到一组对边的距离相等； C．四边形具有平行四边形的性质；

D．沿平行四边形的一条对角线对折，这条对角线两旁的图形能互相重合。

5．在平行四边形ABCD中，若∠A:∠B=5:4，则∠C的度数是（ ） A．80°

二、填空题

1．两组对边分别 的四边形叫做平行四边形，平行四边形的

的两个顶点连成的线段叫做它的对角线。 2．平行四边形的对边 ，对角 。

3．在平行四边形ABCD中，若AB=5cm，周长等于22cm，则CD= cm，BC= cm，AD= cm。

4．在平行四边形ABCD中，若∠A=2∠B，则∠A= ，∠B= ，

∠C= ，∠D= 。

5．已知平行四边形相邻两角的度数之比为2:3，则较大角为 。

6．平行四边形一组邻角的平分线一定是 。

三、解答题

1．在平行四边形ABCD中，∠B+∠D=140°，求各内角的度数。

- 65 -

B．120° D．110°

C．100°

乐教、诚毅、奉献、创新

2．平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交DC于E，AD=5cm，AB=8cm，求EC的长。

3．如图，平行四边形ABCD中，AD=2AB，点M为AD的中点，求∠BMC的度数。

4．在□ABCD中，E、F分别是AC、CA延长线上的点，且CE=AF，求证：BF∥DE。

6．如图，在□ABCD中，AB=4cm，AD=7cm，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF长多少？

- 66 -

D E C A B A M D B C F A D B C E

F A E D B C 乐教、诚毅、奉献、创新

【课后作业】

1．如图，O为□ABCD对角线AC、BD的交点，EF经过点O，且与边AD、BC

分别交于点E，若BF=DE，则图中的全等三角形最多有（ ） A．2对

2．在□ABCD中，若∠A－∠B=70°,则∠A= ，∠B= ，

∠C= ，∠D= 。

3．在□ABCD中，AC⊥BD，相交于O，AC=6，BD=8，则AB= ， BC= 。

4．平行四边形ABCD的对角线相交于点O，如果△AOB的面积为3，那么平行四边形ABCD的面积是 。

5．直线m∥n，m上一点A到n的距离为6cm，B为n上任一点，则B到m的距离为 cm。

6．已知：□ABCD的周长是48cm，且AB=12cm，AD与BC间的距离为8cm，求：AB与CD之间的距离。

7．已知：在□ABCD中，BE平分∠B，DF平分∠D，且BE、DF分别交AD、BC于E、F，求证：（1）BE=DF；（2）∠BED=∠BFD。

- 67 -

B．3对 D．6对

C．D 5对

C A B 乐教、诚毅、奉献、创新

第十一讲 平行四边形的判定

【知识要点】

1．平行四边形的判定方法： 从边的角度：

（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）两组对边分到相等的四边形是平行四边形； （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 从对角线的角度：

对角线互相平分的四边形是平行四边形。 从角的角度：

两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 2．知识点延伸：

除两组对角分别相等的四边形是平行四边形外还有：

（1）一组对角相等，一组对边也相等的四边形是平行四边形；

（2）一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形。

【典型例题】

对平行四边形的判定条件和掌握 例1 下列说法中正确个数有（ ）

①一组对边平行且相等的四边形为平行四边形； ②一组对边平行而另一组对边相等的四边形为平行四边形；

③两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ④有两边相等，另外两边也相等的四边形是平行四边形；

⑤一组对边及一对对角相等的四边形是平行四边形。

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

- 68 -

乐教、诚毅、奉献、创新

例2 A、B、C、D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③BC∥AD；④BC=AD，这四个条件中选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有多少种（ ） A．3 B．4 C．5 D．6

例3 如图1，已知O是 ABCD的对角线AC的中点，过点O的直线EF分别交AB、CD于E、F两点，四边形AECF为平行四边形吗？说明理由。

练习 如图2，已知 ABCD中，点E、F分别是AB、CD上的点，AF=CF，M、N分别是DE、BF的中点，四边形ENFM是平行四边形吗？说说你的理由。

例4 如图3， ABCD，AF、CF分别与直线DB相交于E和F，且AE∥CF，求证：CE∥AF。

- 69 -

D F C O A 图1

E

B D M A E 图2

F N B C E D C A E 图3

B F 乐教、诚毅、奉献、创新 练习 如图4，平行四边形ABCD中，点E、F分别为AD、BC的中点，请问AC、EF互相平分吗？说明理由。 （利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形来说明：）

例5 如图5，四边形ABCD为平行四边形，E、F分别为AB、DC的中点，AF、DE交于G，BF、CE交于H，试说明：EHFG为平行四边形。

练习 如图7，在 ABCD中，E、F、G、H分别是四条边上的点，且满足AE=CF，BG=DH，连结EF、GH。求证：EF与GH互相平分。

例6 如图8， ABCD中，点M、N是对角线AC上的点，且AM=CN，DE=BF，求证：四边形MFNE是平行四边形。

练习 如图9，四边形ABCD中，AB∥CD，以AD、AC边作平行四边形ACED，延长DC交EB于F，你认为EF

- 70 -

A E D B F 图4

C D G A E 图5

F C

H B D H F C

G A E 图7

B D H M 1 E 2 N B C A F 图8

E 乐教、诚毅、奉献、创新 与BF相等吗？试说明理由。

【课堂练习】

1．一个四边形要具备下列条件之一就是平行四边形：两组对边 ；两组对角 ；一组对边 ；对角线 。

2．相邻两个角都互补的四边形是 。

3．四边形ABCD与四边形BMNC是平行四边形，则四边形AMND是 四边形，理由是 。

4．点E是三角形ABC的中线BD上的任意一点，延长BD到F，使DF=ED，则四边形AECF是 。

5．在 ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若∠EAF=60，则平行四边形ABCD的各内角的度数分别为 、 、 、 。

6．一个平行四边形一边长为10cm，一条对角线长7cm，则它的另一条对角线B x的取值范围是 。

7． ABCD中，BC=9，CD=5，BE平分∠ABC交AC于E，则ED= 。

8．如图所示，BD是平行四边形ABCD的对角线，点E、F在BD上，要使AECF是平行四边形，还需要增加的一个条件是 。（填上你认为正确的一个即可）

9．如图，在 ABCD中，E、G是AD的三等分点，F、H是BC的三等分点，则图B 中的平行四边形有 个。

10．已知 ABCD中，AD∥BC，分别添加下列条件：①AB∥CD；②AB=CD；③AD=BC；④∠A=∠C；⑤∠B=∠C，能使四边形ABCD为平行四边形的条件的序号是 。

11．用两个全等的三角形拼成的四边形，有下列说法：①一定是平行四边形；②可能是平行四边形；③一定不是平行四边形；其中正确的说法是 。

F

H

C A E G D E C A F D



- 71 -

乐教、诚毅、奉献、创新

【课后作业】

1．如图1， ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，且AE=CF，试判断DE与BF的大小

E 关系并说明理由。 A

2．在 ABCD中，O为AC、BD的交点，点E、F、G、H分别为AO、BO、CO、DO的中点，四边形EFGH是平行四边形吗？试说明理由。

3．如图3，在 ABCD中，AB:BC=5:3，其同长为50，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E、F，∠EAF=2∠DAB，求AE和AF的长。

E

图2

A B F D C B 图1

F

C D

- 72 -

乐教、诚毅、奉献、创新

第十二 菱 形

【知识要点】 1、菱形的定义

一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2、菱形的性质

（1）菱形具有平行四边形的一切性质； （2）菱形是轴对称图形； （3）菱形的四条边相等；

（4）菱形的两条对角线互相垂直且每一条对角线平分一组对角； 3、菱形的判定方法

（1）定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形； （2）四条边都相等的四边形是菱形；

（3）两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 4、菱形对角线把它分成四个全等的直角三角形。 5、若菱形边长为a，对角线分别为m、n，则其面积为S两个对边之间的距离为h，则S=ah。

【典型例题】

例1-1 如图1，已知菱形ABCD的周长为100cm，对角线BD的长为14cm，求：（1）对角线AC的长是多少？（2）菱形ABCD的面积为多少？

D A C

1mn，若2O B 图1

例2-2 如图2，菱形花坛ABCD的边长为6cm，∠B=60，其中有两个正六边形组成图形部分种花，则种花部分的图形周长为 。

A G B H - 73 -

F E I D C 图2

乐教、诚毅、奉献、创新

例1-3 如图3，在菱形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，AF⊥CD，垂足为F，且BE=EC，CF=DF，求∠EAF的度数。

例2-2 两条等宽的长纸条倾斜地重叠着，试证重叠部分ABCD为菱形。

B - 74 - D F A E B 图3

C 例1-4 如图4，已知菱形对角线长分别为12m和16m，求菱形的高。

B C A E 图4

D 例2-1 如图5，AD是△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于F，试说明四边形AEDF是菱形。

A E F B D 图5

C A E F D C 图6

乐教、诚毅、奉献、创新

例3-1 如图7，已知 ABCD的对角线AC被EF垂直平分，EF分别交AD、AC、BC于点E、O、F，四边形AFCE是菱形吗？为什么？

例3-2 如图8，在菱形ABCD中，AC、BD相交于O点，E为AB中点，并且DE⊥AB，若AB=4，求：（1）ABC度数；（2）对角线AC的长；（3）菱形ABCD的面积。

例3-3 已知如图9，AD是Rt△ABC斜边上的高，BE平分∠ABC交AD于G，交AC于E，过E作EF⊥BC于F，说明：（1）AG=AE；（2）四边形AEFG是菱形。

例4 如图10，这是工人师傅要制作的一种铁艺图案，按要求，四边形ABCD应为菱形，AC=6cm，BD比AC长2cm，请你帮他算一下，最少要用多长铁片才能制作出该图案？

- 75 -

A 1 O B F

图7 2 E D C D C O A E 图8

B A E G B D

F 图9

C D A O C B

乐教、诚毅、奉献、创新

例5 如图11，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD交BC于E，交BD于F，∠FAG=∠FAD，连结EG、ED，求证：四边形AGED是菱形。

例6 已知，如图12，△ABC中，AB=AC，△ABD，△BCE，△ACF都是等边三角形，试判断四边形ADEF的形状，并加以说明。

- 76 -

A D G F B 图11

C E

A D F

E B 图12

C

乐教、诚毅、奉献、创新

【课堂练习】 一、选择题。

1．菱形对角线的平方和等于一边平方的（ ）。 A．2倍

B．3倍

C．4倍

D．8倍

2．下列条件中不能确定菱形的形状和大小的是（ ）。 A．已知菱形的两条对角线 C．已知菱形的四条

3．下列命题正确的是（ ）。 A．有两组邻角相等的四边形是菱形 B．有一组邻边相等的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形

4．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）。 A．对角线互相平分 C．对角相等 A．平行四边形 C．等边三角形 A．平行四边形 C．矩形

B．邻角互补

D．每条对角线平分一组对角 B．菱形 D．圆 B．菱形 D．不存在

B．已知菱形的一边和一个内角 D．已知菱形的周长和面积

5．下列不是中心对称图形的是（ ）。

6．能找到一点，便该点到各边的距离相等的图形为（ ）。

7．菱形两条对角线长为8cm，6cm，它的高为（ ）。 A．

24cm 5B．

48cm 5C．

6cm 5D．

12cm 5 8．在菱形ABCD中，若∠ADC=120，则BD:AC等于（ ）。 A．3:2 （ ）。 A．2cm

B．4cm

C．225cm D．25 cm

B．3:3

C．1:2

D．3:1

9．一个菱形两条对角线之比为1:2，一条较短的对角线长为4cm，那么菱形的边长为

 10．万花筒是由三块等宽等长的玻璃片围成的，如图是看到的万花筒的一个图案，图中所有的三角形均为全等的等边三角形，其中的菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以A为中心（ ）。

A．顺时针旋转60得到 B．顺时针旋转120得到 C．逆时针旋转60得到 D．逆时针旋转120得到

二、填空题。

- 77 -

G A B C

D E F  乐教、诚毅、奉献、创新

1．菱形的一边与两条对角线所构成的两个角的差是32，则菱形较小的内角是 。

2．从菱形的钝角顶点向对边引垂线，若垂线平分对边，则这个菱形四个角的度数分别是 。

3．在△ABC中，AD⊥BC于D，过D作DE∥AB分别交AB、AC于点E、F，若△ABC满足条件 时，四边形AEDF是菱形。

4．菱形的两条对角线长分别是8cm和6cm，则菱形的周长是 cm。

5．如图，菱形ABCD的高DE垂直平分边AB，且AB长为4cm，那么对角线BD= cm，AC= cm。

6．菱形的周长为20cm，两邻角之比为1:2，则较短对角线长为 ，一组对边的距离为 。

A E B D D F C C A E

B 7．菱形有一个内角为60，它的一条对角线长为8cm，则此菱形的周长为 。 8． BD是菱形ABCD的一条对角线，若∠ABD=65，则∠A= 。 三、解答题。

1．一个菱形的一条较短对角线长是4cm，它的一个内角为60，求边长。

2．如图，已知菱形对角线长分别为12m和16m，求菱形的高。

3．已知：D点是等腰△ABC的底边BC的中点，DE∥AB交AC于E，DF∥AC交AB于F，求证，四边形AEDF是菱形。

- 78 -

D C O A E

B 乐教、诚毅、奉献、创新

4．已知菱形的面积等于80cm，高为82cm，则（1）菱形的周长为多少？（2）若对角线的长一条是另一条的2倍，求两对角线的长。

5．现在流行一种衣帽架，它是由本条构成的几个连续菱形，每个顶点处都有一个挂钩，不仅美丽而且实用，你能根据形状说出它的好处和固定方法吗？

6．用你认为最简单的方法画一菱形，使它的对角线长分别为3cm、4cm。

- 79 -

2 乐教、诚毅、奉献、创新

【课后作业】

1．如图1，过矩形ABCD的四个顶点作对角线AC、BD的平行线，分别交于E、F、G、H四点，则四边形EFGH是（ ）。 A．平行四边形 C．菱形

2．一个菱形两条对角线分别为6cm和8cm，则这个菱形的面积等于（ ）。 A．48cm

3．如图2，菱形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，E、F为垂足，AE=EB，则∠EBF等于（ ）。 A．75 C．50 是 。

5．一个菱形的两条对角线长分别是30cm和40cm，则它的面积是 ，则它的边长是 。

6．菱形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，分别以点A、C为圆心，AO、CO长为半径画圆弧，交菱形各边于E、F、G、H，若AC=23，BD=2，则图中阴影部分面积为 。

7．如图3，DE是 ABCD中∠ADC的平分线，EF∥AD交DC于F。 （1）求证：四边形AEFD是菱形。

（2）如果∠A=60，AD=5，求菱形AEFD的面积。

8．如图4，△ABC中，∠C=90，AD平分∠BAC，ED⊥BC，DF∥AB，求证：AD与EF互相垂直平分。

A 2E A H B G 图1

C D F B．矩形 D．正方形

B．24cm

2C．12cm

2D．6cm

2B C B．60 D．45

A D E 图2

4．一个菱形的一条较长的对角线是2cm，它的一个内角是120，则它的边长

G A D 2 1 F C E 图3

B 

B - 80 -

E F D 图4

C