利用几何画板探究二次函数一般式的性质

创作编号：

GB8878185555334563BT9125XW

创作者： 凤呜大王*

2yaxbxc(a0)的性质 二次函数

目标：学生经历使用几何画板绘制二次函数图像，通过观察、思考、讨论

得出二次函数yax2bxc(a0)中的待定系数a、b、c与图像之间的关系

重点：二次函数yax2bxc(a0)的性质 难点：二次函数yax2bxc(a0)性质的得出

信息技术硬件：信息技术教室、学生计算机 信息技术软件：几何画板、幻灯片投影 过程：

一、几何画板操作讲解

1. 将下载好的几何画板分发给学生机器 ，并控制所有学生机

2. 启动几何画板的方法：双击 图标，进入界面

3. 启动函数绘图的操作方法：图表→绘制新函数→新建函数对话框 或用快捷键（Ctrl+G）

4. 绘制指定函数图像的输入方法： 注意：指数使用“ ”输入

例如：要绘制函数y3x24x1，应该在对话框中依次输入3,X，︿，2，+，4，*，X，-，1，然后确定，就得到图像

可以通过向右、向左拖拽下图中的红点控制坐标系的精度大小和图像的大小

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例如：要绘制函数y3(x1)22，应该在对话框中依次输入3，（，X,-,1，）︿,2，+,2然后确定，就得到图像

二、学生实践

1. 教师取消学生机控制，让学生尝试用几何画板作函数yx2和

yx22x1的图像

2. 教师指导个别边缘学生操作

三、自主探究

探究1. 利用几何画板分别作函数yx23x2，y2x2x1的图像

探究2. 利用几何画板分别作函数yx22x2，yx23x4

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四、思考与讨论

1. 教师利用幻灯展示以上四个函数的图像

2. 教师提问，学生独立思考一下问题，教师随机抽查：

问题1：以上四个二次函数都是以一般式yax2bxc(a0)形式给出的，他们的图像都是什么形状的？

问题2：以上四个二次函数中的待定系数a、b、c各是多少？

问题3：以上四个二次函数图像的开口方向、顶点位置、图像与y轴的交点位置情况如何？

3. 学生以四人小组讨论：二次函数中的待定系数a、b、c与图像的开口方向、顶点位置、图像与y轴的交点位置有怎样的关系？ 学生展示，教师逐一抽查各小组讨论结果

五、教师讲解难点问题：“待定系数b的作用”

注意观察第一组函数yx23x2和y2x2x1的待定系数与图像，他们的二次项系数与一次项系数同号，且顶点都位于y轴的左侧；而第二组函数yx22x2，yx23x4的二次项系数与一次项系数异号，且顶点都位于y轴的右侧，由此我们不难得出这样的猜想：二次函数

yax2bxc(a0)中的待定系数b与抛物线的顶点位置有关，当b与a同

号时，顶点位于y轴的左侧，当b与a异号时，顶点位于y轴的右侧。这是一般性结论呢还是巧合，请同学们再次验证

六、学生验证

1. 每一位学生写出一个b与a同号的二次函数和一个b与a异号的二次函数并用几何画板验证以上猜想 2. 学生展示结果、质疑

七、教师给出一般性证明

对一般的二次函数yax2bxc(a0)进行配方后我们能得到

b4acb2) 顶点坐标公式：(,2a4a分类讨论：

1. 顶点位于y轴的左侧时，顶点横坐标两边同乘2得

bb0，两边同时除以1得0，2a2ab0，因此b与a同号 abb0，两边同时除以1得0，2a2a2. 顶点位于y轴的右侧时，顶点横坐标两边同乘2得

b0，因此b与a异号 a

八、师生互动、共同小结

二次函数一般式yax2bxc(a0)的图像是抛物线

1. 二次项系数“a”决定抛物线的开口方向 当a0时，开口向上 当a0时，开口向下

2. 一次项系数“b”与二次项系数“a”共同决定抛物线的顶点位置（左同右异）

当b与a同号时，顶点位于y轴的左侧 当b与a异号时，顶点位于y轴的右侧 3. 常数项“c”决定抛物线与y轴的交点位置 当c0时，抛物线与y轴交于正半轴，交点为(0,c) 当c0时，抛物线与y轴交于负半轴，交点为(0,c) 当c0时，抛物线经过原点(0,0)

反之亦然，我们也可以通过图像的特征得出待定系数a、b、c的正负。给出抛物线的形状让我们判断待定系数的正负是数学学业水平考试的重要考点之一。 九、课堂作业 1.

2.

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