新课标高考数学试题研究应用大题概率统计理科

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统计和概率 直方图

(20XXⅠ)从某企业某种产品中抽取500件，测量这些产品一项质量指标值，由测量结果得以下频率分布直方图：

(Ⅰ)求这500件产品质量指标值样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间中点值作代表）；

（Ⅱ）由频率分布直方图能够认为，这种产品质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差. (i)利用该正态分布，求；

（ii）某用户从该企业购置了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）产品件数，利用（i）结果，求. 附：≈12.2.

若～，则=0.6826，=0.9544. B.茎叶图

(20XXⅡ)某企业为了解用户对其产品满意度，从A，B两地域分别随机调查了20个用户，得到用户对产品满意度评分以下：

A地域：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89

B地域：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79

（Ⅰ）依据两组数据完成两地域用户满意度评分茎叶图，并经过茎叶图比较两地域满意度评分平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）； （Ⅱ）依据用户满意度评分，将用户满意度从低到高分为三个不等级： 满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分 满意度等级

1

不满意 满意 很满意

记事件C：“A地域用户满意度等级高于B地域用户满意度等级”。假设两地域用户评价结果相互独立。依据所给数据，以事件发生频率作为对应事件发生概率，求C概率. C.回归分析

（20XXⅠ）某企业为确定下十二个月度投入某种产品宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）影响，对近8年年宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面散点图及部分统计量值. 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中，.

(Ⅰ)依据散点图判定，和哪一个适宜作为年销售量相关年宣传费回归方程类型？（给出判定即可，无须说明理由）

(Ⅱ)依据（Ⅰ）判定结果及表中数据，建立y相关x回归方程； (Ⅲ)已知这种产品年利率z和x、y关系为.依据(Ⅱ)结果回复下列问题： （i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润预报值是多少？ （ⅱ）年宣传费x为何值时，年利润预报值最大？

附：对于一组数据,其回归直线斜率和截距最小二乘估量分别为： 解：

（Ⅰ）由散点图能够判定，适宜作为年销售量相关年宣传费回归方程类型………………2分

2

（Ⅱ）令，先建立相关线性回归方程，因为 所以相关线性回归方程为，

所以相关线性回归方程…………………………………………6分 （Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当初，年销售量预报值 年利润预报值

…………………………………9分 （ⅱ）依据（Ⅱ）结果知，年利润预报值 所以，当，即时，取得最大值，

故年宣传费为46.24千元时，年利润预报值最大……………12分 D.随机变量

(20XX湖南理)某商店试销某种商品20天，取得以下数据： 日销售量（件） 0 1 2 3 频数 1 5 9 5

试销结束后（假设该商品日销售量分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当日营业结束后检验存货，若发觉存货少于2件，则当日进货补充至3件，不然不进货，将频率视为概率。 （Ⅰ）求当日商品不进货概率；

（Ⅱ）记X为第二天开始营业时该商品件数，求X分布列和数学期望. 解：（I）（“当日商品不进货”）（“当日商品销售量为0件”）（“当日商品销售量为1件”）

（Ⅱ）由题意知，可能取值为2,3.

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（“当日商品销售量为1件”）

（“当日商品销售量为0件”）（“当日商品销售量为2件”）（“当日商品销售量为3件”） 故分布列为 2 3

数学期望为

(20XX全国理)依据以往统计资料，某地车主购置甲种保险概率为0．5，购置乙种保险但不购置甲种保险概率为0．3,设各车主购置保险相互独立 （I）求该地1位车主最少购置甲、乙两种保险中l种概率；

（Ⅱ）X表示该地l00位车主中，甲、乙两种保险全部不购置车主数，求X期望.

解：记A表示事件：该地1位车主购置甲种保险；

B表示事件：该地1位车主购置乙种保险但不购置甲种保险； C表示事件：该地1位车主最少购置甲、乙两种保险中1种； D表示事件：该地1位车主甲、乙两种保险全部不购置； （I）

…………3分

…………6分

（II）

，即X服从二项分布， 所以期望

…………10分

…………12分

(20XXⅠ)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品件数记为n.假如n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若全部为优质品，则这批产品经过检验；假如n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品经过检验；其它情况下，这批产品全部不能经过检验．

假设这批产品优质品率为50%，即取出每件产品是优质品概率全部为，且各件产品是否为优质品相互独立． (1)求这批产品经过检验概率；

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(2)已知每件产品检验费用为100元，且抽取每件产品全部需要检验，对这批产品作质量检验所需费用记为X(单位：元)，求X分布列及数学期望． 解：

(1)设第一次取出4件产品中恰有3件优质品为事件A1， 第一次取出4件产品全是优质品为事件A2， 第二次取出4件产品全部是优质品为事件B1， 第二次取出1件产品是优质品为事件B2， 这批产品经过检验为事件A，

依题意有A＝(A1B1)∪(A2B2)，且A1B1和A2B2互斥，所以 P(A)＝P(A1B1)＋P(A2B2) ＝P(A1)P(B1|A1)＋P(A2)P(B2|A2) ＝.

(2)X可能取值为400,500,800，而且 P(X＝400)＝， P(X＝500)＝， P(X＝800)＝. 所以X分布列为 X 400 500 800 P

EX＝＝506.25. E.独立性检验

为调查某地域老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地域调查了500位老年人，结果以下： 是否需要志愿 性别 男 女

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需要 40 30 不需要 160 270

（1）估量该地域老年人中，需要志愿者提供帮助老年人百分比； （2）能否有99％把握认为该地域老年人是否需要志愿者提供帮助和性别相关？

（3）依据（2）结论，能否提供愈加好调查方法来估量该地域老年人，需要志愿帮助老年人百分比？说明理由. 附：

0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828

解：（1）调查500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，所以该地域老年人中，需要帮助老年人百分比估算值为 （2）

因为9.967>6.635,所以有99%把握认为该地域老年人是否需要帮助和性别相关。

（3）由（2）结论知，该地域老年人是否需要帮助和性别相关，而且从样本数据能看出该地域男性老年人和女性老年人中需要帮助百分比有显著差异，所以在调查时，先确定该地域老年人中男、女百分比，再把老年人分成男、女两层并采取分层抽样方法比采取简单随机抽样方法愈加好． F.和函数结合

(20XXⅡ)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品赢利润500元，未售出产品，每1 t亏损300元．依据历史资料，得到销售季度内市场需求量频率分布直方图，图所表示．经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品．以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品利润．

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(1)将T表示为X函数；

(2)依据直方图估量利润T不少于57 000元概率；

(3)在直方图需求量分组中，以各组区间中点值代表该组各个值，并以需求量落入该区间频率作为需求量取该区间中点值概率(比如：若需求量X∈[100,110)，则取X＝105，且X＝105概率等于需求量落入[100,110)频率)，求T数学期望．

解：(1)当X∈[100,130)时，

T＝500X－300(130－X)＝800X－39 000， 当X∈[130,150]时， T＝500×130＝65 000. 所以

(2)由(1)知利润T不少于57 000元当且仅当120≤X≤150. 由直方图知需求量X∈[120,150]频率为0.7，

所以下一个销售季度内利润T不少于57 000元概率估量值为0.7. 依题意可得T分布列为 T 45 000 53 000 61 000 65 000 P 0.1 0.2 0.3 0.4

所以ET＝45 000×0.1＋53 000×0.2＋61 000×0.3＋65 000×0.4＝59 400. （20XX）某花店天天以每枝元价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝元价格出售，假如当日卖不完，剩下玫瑰花作垃圾处理。

（1）若花店一天购进枝玫瑰花，求当日利润(单位：元)相关当日需求量（单

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位：枝，）函数解析式。

（2）花店统计了100天玫瑰花日需求量（单位：枝），整理得下表： 以100天统计各需求量频率作为各需求量发生概率。

（i）若花店一天购进枝玫瑰花，表示当日利润（单位：元），求分布列， 数学期望及方差；

（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？

请说明理由。 (20XX三检)

(20XX一检)第30届夏季奥运会将于20XX年7月27日在伦敦举行，当地某学校招募了8名男志愿者和12名女志愿者。将这20名志愿者身高编成以下茎叶图（单位：cm）：若身高在180cm以上（包含180cm）定义为“高个子”，身高在180cm以下（不包含180cm）定义为“非高个子”,且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”。

（I）假如用分层抽样方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么最少有一人是“高个子”概率是多少？

（Ⅱ）若从全部“高个子”中选3名志愿者，用X表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”人数，试写出X分布列，并求X数学期望。

(20XXⅡ)某地域20XX年至20XX年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）数据以下表： 年份 20XX 20XX 20XX 20XX 20XX 20XX 20XX 年份代号t

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1 2 3 4 5 6 7

人均纯收入y 2 ．9 3 ．3 3 ．6 4 ．4 4 ．8 5 ．2 5 ．9

（Ⅰ）求y相关t线性回归方程；

（Ⅱ）利用（Ⅰ）中回归方程 ，分析20XX年至20XX年该地域农村居民家庭人均纯收入改变情况 ，并估计该地域20XX年农村居民家庭人均纯收入 ． 附：回归直线斜率和截距最小二乘法估量公式分别为： ，

(20XX三检)有甲、乙两个班级进行数学考试，根据大于等于85分为优异，85分以下为非优异统计成绩后，得到以下列联表． 优异 非优异 总计 甲班 乙班 累计105

已知从全部105人中随机抽取1人为优异概率为．

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（Ⅰ）请完成上面列联表；

（Ⅱ）依据列联表数据，若按95％可靠性要求，能否认为“成绩和班级相关系”；

（Ⅲ）若按下面方法从甲班优异学生中抽取一人：把甲班优异10名学生从2到

11进行编号，前后两次抛掷一枚均匀骰子，出现点数之和为被抽取人序号．试求抽到6号或10号概率． 参考数据：

（20XX北京）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否碰到红灯是相互独立，碰到红灯概率全部是，碰到红灯时停留时间全部是2min。 （Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次碰到红灯概率； （Ⅱ）求这名学生在上学路上因碰到红灯停留总时间分布列及期望。 （20XX湖北理）计划在某水库建一座至多安装3台发电机水电站，过去50年水文资料显示，水库年入流量(年入流量：十二个月内上游来水和库区降水之和.单位：亿立方米）全部在40以上.其中，不足80年份有，不低于80且不超出120年份有35年，超出120年份有5年.将年入流量在以上三段频率作为对应段概率，并假设各年年入流量相互独立.

求未来4年中，至多1年年入流量超出120概率；

水电站期望安装发电机尽可能运行，但每十二个月发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有以下关系；

若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润均值达成最大，应安装发电机多少台？ (20XX)

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