第三部分 电场磁场
第9讲 带电粒子在电场中的运动
目录
一、理清单，记住干 .................................................................................................................................................. 1 二、研高考，探考情 .................................................................................................................................................. 2 三、考情揭秘 .............................................................................................................................................................. 3 四、定考点，定题型 .................................................................................................................................................. 3
超重点突破1 平行板电容器的动态分析.......................................................................................................... 3 超重点突破2 带电粒子在电场中的运动.......................................................................................................... 4 超重点突破3 带电体在电场和重力场作用下运动 .......................................................................................... 6 五、固成果，提能力 .................................................................................................................................................. 8
一、理清单，记住干
1．直线运动的两种处理方法 (1)动能定理：不涉及t、a时可用．
(2)牛顿第二定律和运动学公式：涉及a、t时可用．尤其是交变电场中，最好再结合v－t图象使用． 2．匀强电场中偏转问题的处理方法 (1)运动的分解
已知粒子只在电场力作用下运动，且初速度方向与电场方向垂直． L①沿初速度方向做匀速直线运动，运动时间t＝.
v0
FqEqU
②沿电场方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝＝＝.
mmmd12qUL2
③离开电场时的偏移量y＝at＝.
22mdv02④速度偏向角
vyqUxx＝LqUL
tan φ＝＝ ――→ tan φ＝；
v0mdv02mdv02位移偏向角
yqUxx＝LqUL
tan θ＝＝ ――→tan θ＝.
x2mdv022mdv02
1
(2)动能定理：涉及功能问题时可用．
注意：偏转时电场力做的功不一定是W＝qU板间，应该是W＝qEy(y为偏移量)． 3．非匀强电场中的曲线运动
(1)电荷的运动轨迹偏向所受合外力的一侧，即合外力指向轨迹凹的一侧；电场力一定沿电场线切线方向，即垂直于等势面．
(2)由电场力的方向与运动方向的夹角，判断电场力做功的正负，再由功能关系判断动能、电势能的变化．
二、研高考，探考情
【2019·全国卷Ⅱ·24】如图，两金属板P、Q水平放置，间距为d.两金属板正中间有一水平放置的金属网G，P、Q、G的尺寸相同．G接地，P、Q的电势均为φ(φ>0)．质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子自G的左端上方距离G为h的位置，以速度v0平行于纸面水平射入电场，重力忽略不计．
(1)求粒子第一次穿过G时的动能，以及它从射入电场至此时在水平方向上的位移大小； (2)若粒子恰好从G的下方距离G也为h的位置离开电场，则金属板的长度最短应为多少？
【2019·全国卷Ⅲ·24】空间存在一方向竖直向下的匀强电场，O、P是电场中的两点．从O点沿水平方向以不同速度先后发射两个质量均为m的小球A、B.A不带电，B的电荷量为q(q>0)．A从O点发射时的速度大t
小为v0，到达P点所用时间为t；B从O点到达P点所用时间为.重力加速度为g，求：
2(1)电场强度的大小； (2)B运动到P点时的动能．
【2019·高考天津卷】如图所示，在水平向右的匀强电场中，质量为m的带电小球，以初速度v从M点竖直向上运动，通过N点时，速度大小为2v，方向与电场方向相反，则小球从M运动到N的过程( )
2
1
A．动能增加mv2 B．机械能增加2mv2
23
C．重力势能增加mv2 D．电势能增加2mv2
2
【2018·全国卷Ⅲ】如图所示，一平行板电容器连接在直流电源上，电容器的极板水平；两微粒a、b所带电荷量大小相等、符号相反，使它们分别静止于电容器的上、下极板附近，与极板距离相等。现同时释放a、b，它们由静止开始运动。在随后的某时刻t，a、b经过电容器两极板间下半区域的同一水平面。a、b间的相互作用和重力可忽略。下列说法正确的是( )
A．a的质量比b的大 B．在t时刻，a的动能比b的大 C．在t时刻，a和b的电势能相等 D．在t时刻，a和b的动量大小相等
三、考情揭秘
近几年高考带电粒子在电场中的运动的题型选择题、计算题都有可能，主要考查了带电粒子在电场或重力场、电场的叠加场中的运动问题，题目综合性强，难度大．
应考策略：2020年高考命题点会以电场线、等势线为背景，结合场强、电势、电势能等基本概念进行考查．备考中还要重视带电粒子在电场中的加速、偏转以及电容器的相关知识在实际生产、生活中的应用，如静电除尘、电容式传感器、喷墨打印机、示波器等．
四、定考点，定题型
超重点突破1 平行板电容器的动态分析
1．必须记住的三个公式
QεrSU定义式C＝，决定式C＝，关系式E＝.
U4πkdd2．掌握两个重要结论
(1)电容器与电路(或电源)相连，则两端电压取决于电路(或电源)，稳定时相当于断路，两端电压总等于与之并联的支路电压．
(2)充电后电容器与电路断开，电容器所带电荷量不变，此时若只改变两板间距离，则板间电场强度大小不变．
3．注意一个特例：当有电容器的回路接有二极管时，因二极管的单向导电性，将使电容器的充电或放电受到限制.
4.电容器动态分析的解题思路
(1)确定不变量，分析是电压不变还是所带电荷量不变． εrS
(2)根据C＝，分析平行板电容器电容的变化情况．
4πkd
3
Q
(3)根据C＝分析电容器所带电荷量或两极板间电压的变化情况．
UU4πkQ
(4)根据E＝或E＝分析电容器极板间电场强度的变化情况．
dεrS
(5)根据Q的变化情况，分析电容器发生充电还是放电，分析电路中电流的方向．
【例1】(2019·河南重点中学高三理科综合联考)如图所示，两块较大的金属板A、B平行放置并与一电源相连，S闭合后，两板间有一质量为m、电荷量为q的油滴恰好处于静止状态．以下说法正确的是 ( )
A．若将A板向上平移一小段位移，则油滴向下加速运动，G中有b→a的电流 B．若将A板向左平移一小段位移，则油滴仍然静止，G中有b→a的电流 C．若将S断开，则油滴立即做自由落体运动，G中无电流
D．若将S断开，再将A板向下平移一小段位移，则油滴向上加速运动，G中有b→a的电流
【针对训练1】(2019·河南驻马店高三期末)一平行板电容器两极板保持与恒压直流电源相连接，若在电容器两极板间插入某种绝缘介质，则该电容器( )
A．极板上的电荷量变大，极板间的电场强度变大 B．极板上的电荷量变大，极板间的电场强度不变 C．极板上的电荷量变小，极板间的电场强度变大 D．极板上的电荷量变小，极板间的电场强度不变
超重点突破2 带电粒子在电场中的运动
1.分析方法：先分析受力情况，再分析运动状态和运动过程(平衡、加速或减速，轨迹是直线还是曲线)，然后选用恰当的力学规律如牛顿运动定律、运动学公式、动能定理、能量守恒定律解题.
2.受力特点：在讨论带电粒子或其他带电体的静止与运动问题时，重力是否要考虑，关键看重力与其他力相比较是否能忽略.一般来说，除明显暗示外，带电小球、液滴的重力不能忽略，电子、质子等带电粒子的重力可以忽略，一般可根据微粒的运动状态判断是否考虑重力作用. 3.带电粒子在电场中运动问题的分析思路
(1)首先分析粒子的运动规律，确定粒子在电场中做直线运动还是曲线运动．
(2)对于直线运动问题，可根据对粒子的受力分析与运动规律分析，从以下两种途径进行处理：
①如果是带电粒子在恒定电场力作用下的直线运动问题，应用牛顿第二定律求出加速度，结合运动学公式确定带电粒子的速度、位移等．
②如果是非匀强电场中的直线运动，一般利用动能定理研究全过程中能的转化，研究带电粒子的速度变化、运动的位移等．
(3)对于曲线运动问题，一般是类平抛运动模型，通常采用运动的合成与分解方法处理．通过对带电粒子的受力分析和运动规律分析，借助运动的合成与分解，寻找两个分运动，再应用牛顿运动定律或运动学公式
4
求解．
(4)当带电粒子从一个电场区域进入另一个电场区域时，要注意分析带电粒子的运动规律的变化及两区域电场交界处有关联的物理量，这些关联量往往是解决问题的突破口．
【例2】在直角坐标系中，三个边长都为l的正方形如图所示排列，第一象限正方形区域ABOC中有水平向左的匀强电场，电场强度大小为E0，第二象限正方形COED的对角线CE左侧CED区域内有竖直向下的匀强电场，三角形OEC区域内无电场，正方形DENM区域内无电场．
(1)现有一带电荷量为＋q、质量为m的带电粒子(重力不计)从AB边上的A点由静止释放，恰好能通过E点，求CED区域内的匀强电场的电场强度E1的大小．
(2)保持(1)问中电场强度不变，若在正方形区域ABOC内的某些点由静止释放与上述相同的带电粒子，要使所有的粒子都经过E点，则释放的坐标值x、y间应满足什么关系？
4
(3)若CDE区域内的电场强度大小变为E2＝E0，方向不变，其他条件都不变，则在正方形区域ABOC内的
3某些点由静止释放与上述相同的带电粒子，要使所有粒子都经过N点，则释放点坐标值x、y间又应满足什么关系？
【针对训练2】(2019·山东潍坊高三期末检测)如图所示，一个带正电的粒子以平行于x轴正方向的初速度v0从y轴上a点射入第一象限内，为了使这个粒子能经过x轴上定点b，可在第一象限的某区域内加一方向沿y轴负方向的匀强电场．已知所加电场的场强大小为E，电场区域沿x方向的宽度为s，Oa＝L，Ob＝2s，粒子的质量为m，带电荷量为q，重力不计，试讨论电场的左边界与b的可能距离．
5
【例3】如图所示，一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子在匀强电场中运动，A、B为其运动轨迹上的两点。已知该粒子在A点的速度大小为v0，方向与电场方向的夹角为60°；它运动到B点时速度方向与电场方向的夹角为30°。不计重力。求A、B两点间的电势差。
【针对训练3】(2019·湖南衡阳市第二次联考)如图所示，水平线a、b、c、d为匀强电场中的等差等势线，一个质量为m，电荷量绝对值为q的粒子在匀强电场中运动，A、B为其运动轨迹上的两个点，已知该粒子在A点的速度大小为v1，在B点的速度大小为v2，且方向与等势线平行．A、B连线长为L，连线与竖直方向的夹角为θ，不计粒子受到的重力，则( )
mv12－v22A．该粒子一定带正电 B．匀强电场的电场强度大小为 2qLcos θC．粒子在B点的电势能一定大于在A点的电势能 D．等势线b的电势比等势线d的电势高
超重点突破3 带电体在电场和重力场作用下运动
(1)根据带电体的受力情况和运动情况进行分析，综合运用牛顿运动定律和匀变速直线运动的规律解决问题。 (2)根据功能关系或能量守恒的观点来处理问题，分析带电体的能量转化情况时，往往涉及重力势能、电势能以及动能的转化，但应注意总的能量保持不变。
【例4】(2019·河南驻马店高三期末)如图所示，在水平向右的匀强电场中，固定有一根与水平方向成45°角的绝缘光滑直杆ab.一带电小圆环套在杆上，恰好能沿杆匀速下滑．当小圆环以大小为v0的速度从b端脱离
6
杆后，经过一段时间正好通过b端正下方的c点处．已知重力加速度为g，杆固定不动，则b、c两点之间的距离为( )
2
v2v22v22v0000
A. B. C. D. 2gggg
【针对训练4】(2019·湖北十堰高三期末)在电场方向水平向右的匀强电场中，从A点竖直向上抛出一带电小球，其运动的轨迹如图所示，小球运动轨迹上的A、B两点在同一水平线上，M为轨迹的最高点，小球抛出时的动能为8 J，在M点的动能为6 J，不计空气的阻力，则下列判断正确的是( )
A．小球水平位移x1与x2的比值为1∶3 B．小球水平位移x1与x2的比值为1∶4
C．小球落到B点时的动能为32 J D．小球从A点运动到B点的过程中最小动能为6 J
【例5】如图所示，两水平面(虚线)之间的距离为H，其间的区域存在方向水平向右的匀强电场。自该区域上方的A点将质量均为m、电荷量分别为q和－q(q>0)的带电小球M、N先后以相同的初速度沿平行于电场的方向射出。小球在重力作用下进入电场区域，并从该区域的下边界离开。已知N离开电场时的速度方向竖直向下；M在电场中做直线运动，刚离开电场时的动能为N刚离开电场时动能的1.5倍。不计空气阻力，重力加速度大小为g。求：
(1)M与N在电场中沿水平方向的位移之比； (2)A点距电场上边界的高度； (3)该电场的电场强度大小。
【针对训练5】(2019·青岛模拟)如图(a)所示，两个带正电的小球A、B(均可视为点电荷)套在一根倾斜的光
7
滑绝缘直杆上，其中A球固定，电荷量QA＝2.0×104 C，B球的质量m＝0.1 kg.以A为坐标原点，沿杆向上建立直线坐标系，B球的总势能(重力势能与电势能之和)随位置x的变化规律如图(b)中曲线Ⅰ所示，直线Ⅱ为曲线Ⅰ的渐近线．图中M点离A点距离为6 m．令A所在垂直x轴的平面为参考平面，无穷远处电势为零，重力加速度g取10 m/s2，静电力恒量k＝9.0×109 N·m2/C2.下列说法正确的是( )
－
A．杆与水平面的夹角θ＝60° B．B球的电荷量QB＝1.0×105 C
C．若B球以4 J的初动能从M点沿杆向上运动，到最高点时电势能减小2 J D．若B球从离A球2 m处静止释放，则向上运动过程中加速度先减小后增大
－
五、固成果，提能力
1.(2019·福建龙岩模拟)如图，带电粒子P所带的电荷量是带电粒子Q的5倍，它们以相等的速度v0从同一点出发，沿着跟电场强度垂直的方向射入匀强电场，分别打在M、N点，若OM＝MN，则P和Q的质量之比为(不计重力)( )
A．2∶5 C．4∶5
B．5∶2 D．5∶4
2.如图所示，两平行的带电金属板水平放置.若在两板中间a点从静止释放一带电微粒，微粒恰好保持静止状态，现将两板绕过a点的轴(垂直于纸面)逆时针旋转45°，再由a点从静止释放一同样的微粒，该微粒将( )
A.保持静止状态 B.向左上方做匀加速运动 C.向正下方做匀加速运动 D.向左下方做匀加速运动
3.(2019·河北“五个一名校联盟” 第一次诊断)如图所示，地面上某区域存在着水平向右的匀强电场，一个质量为m的带负电的小球以水平方向的初速度v0由O点射入该区域，刚好竖直向下通过竖直平面中的P点，已知连线OP与初速度方向的夹角为60°，重力加速度为g，则以下说法正确的是( )
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A．电场力大小为
3mg3mg
B．小球所受的合外力大小为 23
3v05
D．小球通过P点时的动能为mv02 g2
C．小球由O点到P点用时
4. (2019·安徽安庆市二模)如图所示，一水平放置的平行板电容器与电源相连，开始时开关闭合．一带电油滴沿两极板中心线方向以一初速度射入，恰好沿中心线①通过电容器．则下列判断正确的是( )
A．粒子带正电
B．保持开关闭合，将B板向上平移一定距离，可使粒子沿轨迹②运动 C．保持开关闭合，将A板向上平移一定距离，可使粒子仍沿轨迹①运动 D．断开开关，将B板向上平移一定距离，可使粒子沿轨迹②运动
5.(多选)如图所示，平行金属板A、B水平正对放置，分别带上等量异种电荷。一带电微粒水平射入板间，在重力和电场力共同作用下运动，轨迹如图中虚线所示，那么( )
A．若微粒带负电荷，则A板可能带正电荷 B．微粒从M点运动到N点，电势能可能增加 C．微粒从M点运动到N点，机械能一定增加 D．微粒从M点运动到N点，动能一定增加
6.(2019·浙江杭州模拟)如图为一有界匀强电场，场强方向为水平方向(虚线为电场线)，一带负电微粒以某一角度θ从电场的a点斜向上方射入，沿直线运动到b点，则可知( )
A．电场中a点的电势低于b点的电势
B．微粒在a点时的动能与电势能之和与在b点时的动能与电势能之和相等
C．微粒在a点时的动能小于在b点时的动能，在a点时的电势能大于在b点时的电势能 D．微粒在a点时的动能大于在b点时的动能，在a点时的电势能小于在b点时的电势能
9
7.(多选)(2019·广东惠州模拟)如图所示，在水平放置的已经充电的平行板电容器之间，有一带负电的油滴处于静止状态。若某时刻油滴的电荷量开始减小(质量不变)，为维持该油滴原来的静止状态应( )
A.给平行板电容器继续充电，补充电荷量 B.让平行板电容器放电，减少电荷量 C.使两极板相互靠近些 D.将上极板水平右移一些
8.(2019·安徽安庆高三上学期期末)如图所示，带有小孔的平行极板A、B间存在匀强电场，A、B板间电势差大小为U，极板间距离为L.其右侧有与A、B垂直的平行极板C、D，极板长度为L，C、D板间加恒定的电压．现有一质量为m、带电荷量为e的电子(重力不计)，从A板处由静止释放，经电场加速后通过B板的小孔飞出；经过C、D板间的电场偏转后从电场的右侧边界M点飞出电场区域，速度方向与边界夹角为60°，求：
(1)电子在A、B间的运动时间； (2)C、D间匀强电场的电场强度大小．
9.(2019·重庆九校联考)在如图所示的平面直角坐标系xOy中，第Ⅰ象限区域内有沿y轴正方向(竖直向上)的匀强电场，电场强度大小E0＝50 N/C；第Ⅳ象限区域内有一宽度d＝0.2 m、方向沿x轴正方向(水平向右)的匀强电场。质量m＝0.1 kg、带电荷量q＝＋1×102 C的小球从y轴上P点以一定的初速度垂直y轴方向进入电场，通过第Ⅰ象限后，从x轴上的A点进入第Ⅳ象限，并恰好沿直线通过该区域后从B点离开，已知P、A的坐标分别为(0,0.4)、(0.4,0)，取重力加速度g＝10 m/s2。求：
－
10
(1)初速度v0的大小；
(2)A、B两点间的电势差UAB； (3)小球经过B点时的速度大小。
10.如图所示，竖直平行正对放置的带电金属板A、B，B板中心的小孔(未画出)正好位于平面直角坐标系xOy4的O点，y轴沿竖直方向，在x>0的区域内存在沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小为E＝×103 V/m，
3比荷为1.0×105 C/kg的带正电的粒子P从A板中心O′处由静止释放，其运动轨迹恰好经过M(3 m,1 m)点．粒子P的重力不计．
(1)求金属板A、B之间的电势差UAB；
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(2)若在粒子P经过O点的同时，在y轴右侧匀强电场中某点由静止释放另一带电粒子Q，使P、Q恰能在运动中相碰．假设Q的质量是P的质量的2倍，带电情况与P相同，Q的重力及P、Q之间的相互作用力均忽略不计，求粒子Q所有释放点的集合．
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