数学必修一全部知识点+经典题+解析

题看每道例题前面的基础知识复习。

学必修一看题复习

注：以下内容总结了数学必修一常考题型，请认真看完每一种类型的题目，题目给出了相应的解析。若解析仍然看不懂，带着问注：看题时注意动笔写一写，本次要求是熟练每种题目的做题方法，以看和记忆为主。

集合部分

考点一：集合的定义及其关系 基础知识复习 （1）集合的概念

集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法

N表示自然数集，N或N表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集.

（3）集合与元素间的关系

对象a与集合M的关系是aM，或者aM，两者必居其一. （4）集合的表示法

①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.

②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x|x具有的性质}，其中x为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类

①含有有限个元素的集合叫做有限集. ②含有无限个元素的集合叫做无限集. ③不含有任何元素的集合叫做空集(). （6）子集、真子集、集合相等 名称 记号 意义 性质 (1)AA (2)A (3)若AB且BC，则AC (4)若AB且或BA，则AB （1）A（A为非B中至少有一元素不（或BA） 属于A 示意图 子集 A中的任一（或BA) 元素都属于B BA AB 且AB，空子集） (2)若真子集 AB且 BC，则AC 集合 相等 A中的任一元素都属(1)AB 于B，B中(2)BA 的任一元素都属于A nn （7）已知集合A有n(n1)个元素，则它有2个子集，它有21个真子集，它有21个非空子集，它有22非空真子集.

nn题型1：集合元素的基本特征

[例1]（2008年江西理）定义集合运算：ABz|zxy,xA,yB．设

A1,2,B0,2，则集合AB的所有元素之和为（ ）

A．0；B．2；C．3；D．6

[解题思路]根据AB的定义，让x在A中逐一取值，让y在B中逐一取值，xy在值就是AB的元素 [解析]：正确解答本题,必需清楚集合AB中的元素，显然，根据题中定义的集合运算知AB=0,2,4，故应选择D

题型2：集合间的基本关系

[例2.1]．数集X(2n1),nZ与Y(4k1),kZ之的关系是（ ）

A．XY；B．YX； C．XY；D．XY

[解题思路]可有两种思路：一是将X和Y的元素列举出来，然后进行判断；也可依选择支之间的关系进行判断。 [解析] 从题意看，数集X与Y之间必然有关系，如果A成立，则D就成立，这不可能； 同样，B也不能成立；而如果D成立，则A、B中必有一个成立，这也不可能，所以只能是C

n1【例2.2】设集合A{x|x,nZ},B{x|xn,nZ}，则下列图形能表示A与B关系的是（ ）.

22解：简单列举两个集合的一BABAAB AB些元

素

，

A{ A 3 C． 1 D． 3． B． 11 1 3,，B{,,,,1,}， ,2222222易知BA，故答案选A．

32,0[例2.3]若集合Mx|x2x60,Nx|ax10，且NM，求实数a的值.

解：由x2x60x2或3，因此，M2,3.（i）若a0时，得N，此时，NM；

111112或3，解得a或a.

aaa2311故所求实数a的值为0或或

23考点二：集合的基本运算 基础知识复习

1．交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集． 记作A∩B(读作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}．

2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作：A∪B(读作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}．

3、交集与并集的性质：A∩A = A，A∩φ= φ, A∩B = B∩A，A∪A = A，A∪φ= A , A∪B = B∪A. 4、全集与补集

（1）全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。

（2）补集：设S是一个集合，A是S的一个子集（即AS），由S中 S （ii）若a0时，得N{}. 若NM,满足

所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）。 记作： CSA ，即 CSA ={x | xS且 xA}

（3）性质：⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA)∩A=Φ ⑶(C UA)∪A=U

(4)(C UA)∩(C UB)=C U(A∪B) (5)(C UA)∪(C UB)=C U(A∩B)

CsA A [例3.1] 设集合Axx3x20，Bxx2(a1)x(a5)0

222（1） 若AB2，求实数a的值；（注：这里的I指的是交，Y指的是并） （2）若ABA，求实数a的取值范围

[解题思路]对于含参数的集合的运算，首先解出不含参数的集合，然后根据已知条件求参数。 [解析]因为Axx3x201,2，

2（1）由AB2知，2B，从而得24(a1)(a5)0，即

22a24a30，解得a1或a3

当a1时，Bxx402,2，满足条件； 当a3时，Bxx4x402，满足条件

22所以a1或a3

（2）对于集合B，由4(a1)4(a5)8(a3) 因为ABA，所以BA

①当0，即a3时，B，满足条件； ②当0，即a3时，B2，满足条件；

221,2才能满足条件， ③当0，即a3时，BA5122(a1)a由根与系数的关系得2，矛盾 212a5a27故实数a的取值范围是a3

[例3.2]已知集合A{x|2x4}，B{x|xm}，且ABA，求实数m的取值范围. （注：这里的I指的是交，Y指的是并）

解：由ABA，可得AB.

在数轴上表示集合A与集合B，如右图所示： B A 由图形可知，m4.

-2 4 m x 2[例3.3]设集合A4,2a1,a,B9,a5,1a，若

AB9，求实数a的值.

（注：这里的I指的是交，Y指的是并）

解：由于A4,2a1,a2,B9,a5,1a，且AB9，则有：

当2a1＝9时， 解得a＝5，此时A={－4, 9, 25}，B={9, 0, －4}，不合题意，故舍去； 当a2＝9时，解得a＝3或－3. a＝3时， A={－4,5,9}， B={9,－2,－2}，不合题意，故舍去； a＝－3，A={－4, －7， 9}，B={9, －8, 4}，合题意. 所以，a＝－3

函数部分

考点一：判断两函数是否为同一个函数 基础知识复习：

1.构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域

注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）。

（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。 相同函数的判断方法：①定义域一致；②表达式相同 (两点必须同时具备) [例1] 试判断以下各组函数是否表示同一函数？

（1）f(x)（2）f(x)x2，g(x)3x3；

xx，g(x)11x0,x0;

（3）f(x)2n1x2n1，g(x)(2n1x)（4）f(x)2n1（n∈N*）；

x2x1，g(x)x2x；

2（5）f(x)x2x1，g(t)t2t1

[解题思路]要判断两个函数是否表示同一个函数，就要考查函数的三要素。 [解析] （1）由于f(x)函数.

（2）由于函数f(x)不是同一函数.

（3）由于当n∈N*时，2n±1为奇数，∴f(x)2n1x2n1x，g(x)(2n1x)值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数.

（4）由于函数f(x)2n1x2x，g(x)3x3x，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一

xx的定义域为(,0)(0,)，而g(x)11x0,x0;的定义域为R，所以它们

x，它们的定义域、

xx1的定义域为xx0，而g(x)x2x的定义域为xx0或x1，

它们的定义域不同，所以它们不是同一函数.

（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数. [答案]（1）、（2）、（4）不是；（3）、（5）是同一函数 考点二：求函数的定义域、值域 知识点复习：

1.求函数的定义域时，一般遵循以下原则：

①f(x)是整式时，定义域是全体实数．

②f(x)是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．

③f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．

④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤ytanx中，xk2(kZ)．

⑥零（负）指数幂的底数不能为零．没有0的0次方，也没有0的负数次方。

⑦若f(x)是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．

⑧对于求复合函数定义域问题，主要记住两个个问题，1，定义域指的是一个x的取值范围。2，括号范围对括号范围。例如：f（x+1）定义域是（1，2），求f（2x）定义域，先求第一个括号的范围x+1属于（2，3），所以2x属于（2，3），所以x属于（1，3/2）。

⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． 2．求值域的几种方法：

（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法

（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数

22ylog1(x2x3)就是利用函数ylog1u和ux2x3的值域来求。

222x1的值域 2x2x22x112由y2得yx2(y1)x2y10，若y0，则得x，所以y0是函数值域中的一个

2x2x2（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数y值；若y0，则由[2(y1)]4y(2y1)0得

2313313y且y0，故所求值域是22[313313,] 22（4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。已知cos x属于（-1，1）如求函数y因为

2cosx3的值域，

cosx1y故

2cosx3555，因为cos x属于（-1，1），所以cosx1(0,2]，所以2(,]，

cosx1cosx1cosx123x的值域

x24（5）利用对号函数求值域：如求函数y1.当x0时，y0；

2.当x0时，y34xx，若x0，则x+4/x的最小值是4，可得0若x0，则，x+4/x的最大值是-4。可得-3/4（7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域（求某些分段函数的值域常用此法）。 题型1：求有解析式的函数的定义域 [例2].（08年湖北）函数f(x)1ln(x23x2x23x4)的定义域为( ) x（注：这里的I指的是交，Y指的是并）

A.(,4)[2,);B.(4,0)(0,1)；C. [,4,0)(0,1];D. [,4,0)(0,1) [解题思路]函数的定义域应是使得函数表达式的各个部分都有意义的自变量的取值范围。

[解析]欲使函数f(x)有意义，必须并且只需

x23x202x3x40x[4,0)(0,1)，故应选择D 22x3x2x3x40x0题型2：求抽象函数的定义域 [例3]（2006·湖北）设fxlg2xx2，则ff的定义域为（ ） 2x2x（注：这里的I指的是交，Y指的是并）

A. 4,00,4；B. 4,11,4；C. 2,11,2；D. 4,22,4

x2[解题思路]要求复合函数ff的定义域，应先求f(x)的定义域。 2x[解析]由

2x0得，f(x)的定义域为2x2，故 2x解得x4,11,4。故

x2ff的定义域为4,11,4.选B. 2x题型3；求函数的值域

3x2； （2）yx2x2. 54x55解：（1）要使函数有意义，则54x0，解得x. 所以原函数的定义域是{x|x}.

443x2112x813(4x5)23323333y0，所以值域为{y|y}.

54x454x454x454x444199（2）yx2x2(x)2. 所以原函数的定义域是R，值域是(,].

244[例4] 求下列函数的定义域与值域：（1）y考点三：映射的概念 基础知识复习

映射的概念

① 设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个元素，在集合B中都有唯一的元

素和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到B的映射，记作

f:AB．

②给定一个集合A到集合B的映射，且aA,bB．如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象．

[例5] （06陕西）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知加密规则为：明文a,b,c,d对应密文a2b,2bc,2c3d,4d.例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为（ ） A．7,6,1,4；B．6,4,1,7；C．4,6,1,7；D．1,6,4,7

[解题思路] 密文与明文之间是有对应规则的，只要按照对应规则进行对应即可。

[解析] 当接收方收到密文14，9，23，28时，

a2b14a62bc9b4有，解得，解密得到的明文为C．

2c3d23c14d28d7考点四：函数的表达式

题型1：由复合函数的解析式求原来函数的解析式

1x1x2[例6] （04湖北改编）已知f(，则f(x)的解析式可取为 )=21x1x[解题思路]这是复合函数的解析式求原来函数的解析式，应该首选换元法 [解析] 令故应填

1xt12t2x，∴ f(t)2.∴f(x)2. t，则x1xt1t1x12x 21x题型2：求二次函数的解析式

[例7] （普宁市城东中学09届高三第二次月考）二次函数f(x)满足f(x1)f(x)2x，且f(0)1。 ⑴求f(x)的解析式；

⑵在区间[1,1]上，yf(x)的图象恒在y2xm的图象上方，试确定实数m的范围。

[解题思路]（1）由于已知f(x)是二次函数，故可应用待定系数法求解；（2）用数表示形，可得求2xmf(x)对于x[1,1]恒成立，从而通过分离参数，求函数的最值即可。

f(x1)f(x)[a(x1)2b(x1)c](ax2bxc)[解析]⑴设f(x)axbxc(a0)，则

2axab22a2,a1,与已知条件比较得：解之得，又f(0)c1，

ab0b1⑵由题意得：x2x12xm即mx23x1对x1,1恒成立，

2易得m(x3x1)min1

考点五：分段函数 基础知识复习：

在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．注意：（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．

题型1：根据分段函数的图象写解析式

[例8] (07年湖北)为了预防流感，某学校对教室用药

物消毒法进行消毒。已知药物释放过程中，室内每立方米空气中含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药

1物释放完毕后，y与t的函数关系式为y161a（a为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问

题：

（Ⅰ）从药物释放开妈，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为 ；

（Ⅱ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室。

[思路点拨]根据题意，药物释放过程的含药量y（毫克）与时间t是一次函数，药物释放完毕后，y与t的函数关系是已知的，由特殊点的坐标确定其中的参数，然后再由所得的表达式解决（Ⅱ）

[解析] （Ⅰ）观察图象，当0t0.1时是直线，故y10t；当t0.1时，图象过(0.1,1)

1所以1161（Ⅰ）160.1a10t,0t0.1，即a0.1，所以y1t0.1

(),t0.1160.1a0.1a10.25161160.5t0.6，所以至少需要经过0.6小时

题型2：由分段函数的解析式画出它的图象

例9] (2006·上海)设函数f(x)x24x5，在区间[2,6]上画出函数f(x)的图像。

[思路点拨]需将来绝对值符号打开，即先解x24x50，然后依分界点将函数分段表示，再画出图象。

2x4x5[解析] f(x)x4x52(x4x5)22x1或5x61x5,如右上图.

考点六 函数的单调性 基础知识复习：

①定义及判定方法 函数的 性 质 定义 如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x< 1．．．x时，都有f(x)f(x)，212．．．．．．．．．．．．．那么就说f(x)在这个区间上是减函数． ．．．图象 判定方法 （1）利用定义 （2）利用已知函数的单调性 （3）利用函数图象（在某个区间图 象上升为增） （4）利用复合函数 （1）利用定义 （2）利用已知函数的单调性 （3）利用函数图象（在某个区间图 象下降为减） （4）利用复合函数 函数的 单调性 ②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．

③对于复合函数yf[g(x)]，令ug(x)，若yf(u)为增，ug(x)为增，则yf[g(x)]为增；若

yf(u)为减，ug(x)为减，则yf[g(x)]为增；若yf(u)为增，ug(x)为减，则yf[g(x)]为

减；若yf(u)为减，ug(x)为增，则yf[g(x)]为减． （2）打“√”函数f(x)x

a(a0)的图象与性质 xy f(x)分别在(,a]、[a,)上为增函数，分别在[a,0)、(0,a]上为减函数．

题型1：讨论函数的单调性 2x在区间（0，1）上的单调性. x12x12x22(x2x1)解：任取x1,x2∈(0,1)，且x1x2. 则f(x1)f(x2). x11x21(x11)(x21) )f(x)0，即f(x)f(x). xx0，故f(xx 由于0x1x21，x110，x210o，2112122x所以，函数f(x)在（0，1）上是减函数. x1[例9.2] 求下列函数的单调区间： （1）y|x1||2x4|；（2）yx22|x|3. [例9.1] 试用函数单调性的定义判断函数f(x)3x3,x1解：（1）y|x1||2x4|x5,2x1，其图象如右. 3x3,x2由图可知，函数在[2,)上是增函数，在(,2]上是减函数.

2x2x3,x0（2）yx2|x|32，其图象如右.

x2x3,x0由图可知，函数在(,1]、[0,1]上是增函数，在[1,0]、[1,)上是减函数.

3x1[例9.3.]已知f(x)，指出f(x)的单调区间.

x23(x2)55解：∵ f(x)， 3x2x25∴ 把g(x)的图象沿x轴方向向左平移2个单位，再沿y轴向上平移3个单位，

xf(x)的图象，如图所示.

由图象得f(x)在(,2)单调递增，在(2,)上单调递增.

2得到

题型2：研究抽象函数的单调性

[例10] 定义在R上的函数yf(x)，f(0)0，当x＞0时，f(x)1，且对任意的a、b∈R，有f（a+b）=f（a）·f（b）.

（1）求证：f（0）=1；

（2）求证：对任意的x∈R，恒有f（x）＞0； （3）求证：f（x）是R上的增函数； （4）若f（x）·f（2x－x2）＞1，求x的取值范围.

[解题思路]抽象函数问题要充分利用“恒成立”进行“赋值”，从关键等式和不等式的特点入手。 [解析]（1）证明：令a=b=0，则f（0）=f 2（0）.

又f（0）≠0，∴f（0）=1.

（2）证明：当x＜0时，－x＞0， ∴f（0）=f（x）·f（－x）=1. ∴f（－x）=

1＞0.又x≥0时f（x）≥1＞0， f(x)∴x∈R时，恒有f（x）＞0.

（3）证明：设x1＜x2，则x2－x1＞0. ∴f（x2）=f（x2－x1+x1）=f（x2－x1）·f（x1）. ∵x2－x1＞0，∴f（x2－x1）＞1. 又f（x1）＞0，∴f（x2－x1）·f（x1）＞f（x1）. ∴f（x2）＞f（x1）.∴f（x）是R上的增函数. （4）解：由f（x）·f（2x－x2）＞1，f（0）=1得f（3x－x2）＞f（0）.又f（x）是R上的增函数， ∴3x－x2＞0.∴0＜x＜3.. 考点七 最值的求法 题型1：求分式函数的最值

x22xa[例11] （2000年上海）已知函数f(x),x[1,).

x1时，求函数f(x)的最小值； 211 [解题思路]当a时，f(x)x2，这是典型的“对钩函数”，欲求其最小值，可以考虑均值不等式或

22x当a导数； [解析]当a111时，f(x)x2,f'(x)12 22x2xx1，f(x)0。f(x)在区间[1,)上为增函数。



f(x)在区间[1,)上的最小值为f(1)7。

2题型2：还原法求最值

[例11.1] 求函数y2xx1的最小值. 解：

115令x1t，则t0，xt21，所以y2t2t22(t)2，在t0时是增函数，当t0时，ymin2，

48故函数的最小值为2.

考点八 判断函数的奇偶性及其应用 基础知识复习：

①定义及判定方法 函数的 性 质 定义 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(－x)=－f(x),那么函数．．．．．．．．．．．f(x)叫做奇函数． ．．．图象 判定方法 （1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于原点对称） 函数的 奇偶性 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(－f(x),那么函数．．．x)=．．．．．．．f(x)叫做偶函数． ．．． （1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y轴对称） ②若函数f(x)为奇函数，且在x0处有定义，则f(0)0．

③奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反．

④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数． 题型1：判断有解析式的函数的奇偶性 [例12] 判断下列函数的奇偶性：

（1）f（x）=|x+1|－|x－1|；（2）f（x）=（x－1）·1x； 1xx(1x)1x2（3）f(x)；（4）f(x)|x2|2x(1x)(x0),(x0).

[思路点拨]判断函数的奇偶性应依照定义解决，但都要先考查函数的定义域。

[解析] （1）函数的定义域x∈（－∞，+∞），对称于原点.

∵f（－x）=|－x+1|－|－x－1|=|x－1|－|x+1|=－（|x+1|－|x－1|）=－f（x）， ∴f（x）=|x+1|－|x－1|是奇函数. （2）先确定函数的定义域.由

1x≥0，得－1≤x＜1，其定义域不对称于原点，所以f（x）既不是奇函数也不是1x偶函数.

（3）去掉绝对值符号，根据定义判断.

1x20,1x1,由得

x0且x4.|x2|20,故f（x）的定义域为［－1，0）∪（0，1］，关于原点对称，且有x+2＞0.

1(x)21x21x21x2从而有f（x）= =，∴f（－x）==－=－f（x）

xx22xx故f（x）为奇函数.

（4）∵函数f（x）的定义域是（－∞，0）∪（0，+∞），并且当x＞0时，－x＜0， ∴f（－x）=（－x）［1－（－x）］=－x（1+x）=－f（x）（x＞0）. 当x＜0时，－x＞0，∴f（－x）=－x（1－x）=－f（x）（x＜0）. 故函数f（x）为奇函数.

[例13] （09年山东梁山）定义在区间(1,1)上的函数f (x)满足：对任意的x,y(1,1)， 都有f(x)f(y)f(求证f (x)为奇函数；

[思路点拨]欲证明f(x)为奇函数，就要证明f(x)f(x)，但这是抽象函数，应设法充

xy). 1xy分利用条件“对任意的x,y(1,1)，都有f(x)f(y)f(“赋值”

[解析]令x = y = 0，则

f (0) + f (0) = f(xy)”中的x,y进行合理 1xy00)f(0) 10∴ f (0) = 0

令x∈(－1, 1) ∴－x∈(－1, 1)

xx∴ f (x) + f (－x) = f () = f (0) = 0

21x∴ f (－x) =－f (x)

∴ f (x) 在(－1，1)上为奇函数

考点九 函数奇偶性、单调性的综合应用

[例14] （普宁市城东中学09）已知奇函数f(x)是定义在(2,2)上的减函数，若f(m1)f(2m1)0，求实数m的取值范围。

[思路点拨]欲求m的取值范围，就要建立关于m的不等式，可见，只有从

f(m1)f(2m1)0出发，所以应该利用f(x)的奇偶性和单调性将外衣“f”脱去。

[解析] f(x)是定义在(2,2)上奇函数

对任意x(2,2)有fxfx

由条件f(m1)f(2m1)0得f(m1)f(2m1)=f(12m)

f(x)是定义在(2,2)上减函数

12m 2312实数m的取值范围是m

23212mm12，解得 [例15]设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f(2a2+a+1)1a23a1)的单调递减区间. 2[思路点拨]欲由f(2a2+a+1)1a23a1)是一个复合函数，应该利用复合函数单调性的判定方法解决 2[解析]设0∴f(－x2)由f(2a2+a+1)3a2－2a+1.解之，得0又a2－3a+1=(a－∴函数y=(

325)－. 2431a23a1)的单调减区间是[,) 22323结合022考点十 函数奇偶性、周期性的综合应用 基础知识复习：

若f（x）=f（x+a），则f（x）的周期为a， 若f（x）=1/f（x+a），则f（x）的周期为2a 若f（x）=f（a-x），则f（x）关于x=a/2对称

[例5] 已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x)1对 于xR恒成立，且f(x)0，则f(119) ________

[思路点拨]欲求f(119)，应该寻找f(x)的一个起点值，发现f(x)的周期性

[解析]由f(x2)f(x)1得到f(x2)1，从而得f(x4)f(x)，可见f(x)是以4为周期的f(x)函数，从而f(119)f(4293)f(3)， 又由已知等式得f(3)1 f(1)又由f(x)是R上的偶函数得f(1)f(1)

又在已知等式中令x1得f(1)f(1)1，即f(1)1 所以f(119)1

指数函数与对数函数部分

考点一 指数与对数公式

基础知识复习： （一）指数

1．根式的概念：

n负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作0=0。 nn(a)a 注意：(1)

a,a0na|a|nnaaa,a0 (2)当 n是奇数时， ，当 n是偶数时，

n2．分数指数幂

nmaa(a0,m,nN,且n1)

正数的正分数指数幂的意义，规定：

mna正数的正分数指数幂的意义：

_mn1amn(a0,m,nN,且n1)

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质

rsrsaaa(a0,r,sR) （1）

rsrs(a)a(a0,r,sR) （2）

rrr(ab)ab(a0,b0,rR) （3）

注意：在化简过程中，偶数不能轻易约分；如[(12)]12而应=21 （二）对数

xxlogaN1．对数的概念：一般地，如果aN ，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作：

122（ a— 底数， N— 真数，

logaN— 对数式）

说明：1. 注意底数的限制，a>0且a≠1；2. 真数N>0 3. 注意对数的书写格式． 2、两个重要对数：

（1）常用对数：以10为底的对数,

log10N记为lgN ；

．

（2）自然对数：以无理数e 为底的对数的对数 ,

logeN记为lnN3、对数式与指数式的互化 对数式 指数式 对数底数← a → 幂底数 对数← x → 指数 真数← N → 幂 结论：（1）负数和零没有对数

（2）logaa=1, loga1=0 特别地， lg10=1, lg1=0 , lne=1, ln1=0 (3) 对数恒等式：alogaNN

对数的运算性质

如果 a > 0，a  1，M > 0， N > 0 有： 1、

log（logaMlogaNaMN） 两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和

2 、3 、

logaMlogaMlogaNN 两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差

一个正数的n次方的对数等于这个正数的对数n倍

logaMnnlogaM（nR）说明:

1) 简易语言表达:”积的对数=对数的和”…… 2) 有时可逆向运用公式

3) 真数的取值必须是(0,＋∞) 4) 特别注意：

logaMNlogaMlogaN

logab注意：换底公式

logcblgba0,a1,c0,c1,b0logcalga

利用换底公式推导下面的结论

logab①

1logba ②

logablogbclogcdlogad③

logambnnlogabm

考点二 指数函数 基础知识复习：

1、指数函数的概念：一般地，函数ya 叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．即 a>0且a≠1 2、指数函数的图象和性质 01 图 像 x性质 定义域R , 值域（0，+∞） （1）过定点（0，1）,即x=0时，y=1 (2)在R上是减函数 （3）当x>0时,01 (2)在R上是增函数 （3）当x>0时,y>1; 当x<0时,00时,01 函数值开始减小极快， 到了某一值后减小速度较慢； 增函数 当x>0时,y>1; 当x<0时,01 自左向右看，图象逐渐上升 在第一象限内的图象纵坐标都大于1 在第二象限内的图象纵坐标都小于1 图象上升趋势是越来越陡 函数值开始增长较慢， 到了某一值后增长速度极快； 注意： 指数增长模型：y=N(1+p)x 指数型函数： y=kax 3 考点：（1）ab=N, 当b>0时，a,N在1的同侧；当b<0时，a,N在1的 异侧。

（2）指数函数的单调性由底数决定的，底数不明确的时候要进行讨论。掌握利用单调性比较幂的大小，同底找

对应的指数函数，底数不同指数也不同插进1(=a0)进行传递或者利用（1）的知识。 （3）求指数型函数的定义域可将底数去掉只看指数的式子，值域求法用单调性。 （4）分辨不同底的指数函数图象利用a1=a，用x=1去截图象得到对应的底数。 题型一：比较大小

[例1] 已知函数f(x)x2bxc满足f(1x)f(1x)，且f(0)3，则f(bx)与f(cx)的大小关系是_____． 分析：先求b，c的值再比较大小，要注意bx，cx的取值是否在同一单调区间内． 解：∵f(1x)f(1x)， ∴函数f(x)的对称轴是x1．

故b2，又f(0)3，∴c3．

1上递减，在1，∞上递增． ∴函数f(x)在∞， 若x≥0，则3x≥2x≥1，∴f(3x)≥f(2x)； 若x0，则3x2x1，∴f(3x)f(2x)． 综上可得f(3x)≥f(2x)，即f(cx)≥f(bx)．

题型二 求解有关指数不等式

[例2] 已知(a22a5)3x(a22a5)1x，则x的取值范围是___________． 分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围． 解：∵a22a5(a1)24≥41，

∴函数y(a22a5)x在(∞，∞)上是增函数， ∴3x1x，解得x11．∴x的取值范围是，∞． 44 题型三 求定义域及值域问题 [例3.1] 求函数y16x2的定义域和值域．

解：由题意可得16x2≥0，即6x2≤1，

2． ∴x2≤0，故x≤2． ∴函数f(x)的定义域是∞， 令t6x2，则y1t，

又∵x≤2，∴x2≤0． ∴06x2≤1，即0t≤1． ∴0≤1t1，即0≤y1．

1． ∴函数的值域是0，[例3.2] 求下列函数的定义域与值域.

(1)y＝2

1x3; (2)y＝4+2+1.

1x3xx+1

解：(1)∵x-3≠0，∴y＝2

1x3x

1的定义域为｛x｜x∈R且x≠3｝.又∵≠0，∴2x3≠1，

x31∴y＝2的值域为｛y｜y>0且y≠1｝.

x+1

x

x

x+1

x2

x

x

2

(2)y＝4+2+1的定义域为R.∵2>0,∴y＝4+2+1＝(2)+2·2+1＝(2+1)>1.

xx+1

∴y＝4+2+1的值域为｛y｜y>1｝. 题型四 最值问题

[例4] 函数ya2x2ax1(a0且a1)在区间[11]，上有最大值14，则a的值是_______． 分析：令tax可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后t的取值范围． 解：令tax，则t0，函数ya2x2ax1可化为y(t1)22，其对称轴为t1．

， ∴当a1时，∵x11， 11 ∴≤ax≤a，即≤t≤a．

aa ∴当ta时，ymax(a1)2214． 解得a3或a5（舍去）； ， 当0a1时，∵x11， 11 ∴a≤ax≤，即a≤t≤，

aa11 ∴ t时，ymax1214，

aa2111 解得a或a（舍去），∴a的值是3或．

353 题型五 解指数方程

[例5] 解方程3x232x80．

解：原方程可化为9(3x)2803x90，令t3x(t0)，上述方程可化为9t280t90，解得t9或1，∴3x9，∴x2，经检验原方程的解是x2． t（舍去）

9 题型六 图象变换及应用问题

[例6] 为了得到函数y93x5的图象，可以把函数y3x的图象（ ）．

A．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度 B．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度 C．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度 D．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度

分析：注意先将函数y93x5转化为t3x25，再利用图象的平移规律进行判断．

解：∵y93x53x25，∴把函数y3x的图象向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，可得到函数y93x5的图象，故选（C）． 题型七 指数函数与复合函数

基础知识参照函数的单调性中复合函数的应用 [例7] 求函数y＝13x23x2的单调区间.

这是复合函数求单调区间的问题

112

可设y＝,u＝x-3x+2，其中y＝为减函数

33∴u＝x-3x+2的减区间就是原函数的增区间(即减减→增) 2

u＝x-3x+2的增区间就是原函数的减区间(即减、增→减)

2

uu12

解：设y＝,u＝x-3x+2,y关于u递减，

33)时，u为减函数， 23∴y关于x为增函数；当x∈［，+∞)时，u为增函数，y关于x为减函数.

2当x∈(-∞，

题型八 指数函数与单调性及奇偶性 [例8] 已知函数f（x）=a－

u2（a∈R）， x21（1） 求证：对任何a∈R，f（x）为增函数． （2） 若f（x）为奇函数时，求a的值。 （1）证明：设x1＜x2

2(2x22x1)f（x2）－f（x1）=＞0 x1x2(12)(12)故对任何a∈R，f（x）为增函数． （2）xR，又f（x）为奇函数

f(0)0 得到a10。即a1

题型九 指数函数变换图像

｜x｜

[例9] 函数y＝a(a>1)的图像是( )

本题主要考查指数函数的图像和性质、函数奇偶性的函数图像，以及数形结合思想和分类讨论思想. 解法1：(分类讨论)：

ax　　　　　(x0),去绝对值，可得y＝1x

(x0).()　　　　a又a>1，由指数函数图像易知，应选B.

｜x｜x-x

解法2：因为y＝a是偶函数，又a>1，所以当x≥0时，y＝a是增函数；x＜0时，y＝a是减函数. ∴应选B.

考点三 对数函数

1、对数函数的概念：函数ylogax (a>0，且a≠1) 叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 注意：（1） 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。 如：ylogax1，ylogax2 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．

（2） 对数函数对底数的限制：a>0，且a≠1

2、对数函数的图像与性质：对数函数ylogax(a>0，且a≠1)

图像 0 ＜ a ＜ 1 y a ＞ 1 y 0 (1,0) x 0 (1,0) x 性质 定义域：（0，＋∞） 值域：R 过点(1 ,0), 即当x ＝1时,y＝0 在(0,+∞)上是减函数 当x>1时，y<0 当x=1时，y=0 当00 在(0,+∞)上是增函数 当x>1时，y>0 当x=1时，y=0 当00;

aa当a,b不同在(0,1) 内，或不同在(1,+∞) 内时,有logb<0.

a口诀：底真同大于0（底真不同小于0）.

（其中，底指底数，真指真数，大于0指logb的值） 3 、如

a图，底数 a对函数ylogax 的影响。 规律: 底大枝头低, 头低尾巴翘。 题型一 对数函数定义域

例1．求下列函数的定义域：

22（1）ylogax； （2）yloga(4x)； （3）yloga(9x)．

分析：此题主要利用对数函数ylogax的定义域(0,)求解。

22解：（1）由x>0得x0，∴函数ylogax的定义域是xx0；

（2）由4x0得x4，∴函数yloga(4x)的定义域是xx4；

22（3）由9-x0得-3x3，∴函数yloga(9x)的定义域是x3x3．

题型二 反函数

例2．求函数y2和函数yx15x12x212(x0)的反函数。

1解：（1）y2 ∴f1(x)log1(x2) (x-2；)

55 （2） 12x21y-2 ∴f-1(x)log1(x-2) (2x25． )2题型三 对数大小比较

例3.1．比较下列各组数中两个值的大小：

（1）log23.4，log28.5； （2）log0.31.8，log0.32.7； （3）loga5.1，loga5.9. 解：（1）对数函数ylog2x在(0,)上是增函数，

于是log23.4log28.5；

（2）对数函数ylog0.3x在(0,)上是减函数，

于是log0.31.8log0.32.7；

（3）当a1时，对数函数ylogax在(0,)上是增函数，

于是loga5.1loga5.9，

当oa1时，对数函数ylogax在(0,)上是减函数，

于是loga5.1loga5.9．

例3.2．比较下列比较下列各组数中两个值的大小：

（1）log67，log76； （2）log3，log20.8； （3）1.1，log1.10.9，log0.70.8； （4）log53，log63，log73． 解：（1）∵log67log661， log76log771，∴log67log76； （2）∵log3log310， log20.8log210，∴log3log20.8． （3）∵1.1∴1.10.90.91.101， log1.10.9log1.110， 0log0.71log0.70.8log0.70.71， log0.70.8log1.10.9．

0.9 （4）∵0log35log36log37， ∴log53log63log73． 例3.3．已知logm4logn4，比较m，n的大小。 解：∵logm4logn4， ∴

1111，当m1，n1时，得0，

log4mlog4nlog4mlog4n110，

log4mlog4n∴log4nlog4m， ∴mn1．当0m1，0n1时，得

∴log4nlog4m， ∴0nm1．当0m1，n1时，得log4m0，0log4n， ∴0m1，n1， ∴0m1n．

综上所述，m，n的大小关系为mn1或0nm1或0m1n． 题型四 对数函数求定义域和值域

例4．1 .函数y=logx－1(3－x)的定义域是

2如果对数logx7(x6x5)有意义，求x的取值范围；

解：要使原函数有意义，则

解之得： -7-1 ∴原函数的定义域为-7，-6)(-6，-5)

2(-1，+)

例4．2函数ylg[x(k2)x]的定义域为一切实数，求k的取值范围。 例4.3 ．求下列函数的值域：

5422（1）ylog2(x3)；（2）ylog2(3x)；（3）yloga(x4x7)（a0且a1）．

解：（1）令tx3，则ylog2t， ∵t0， ∴yR，即函数值域为R． （2）令t3x，则0t3， ∴ylog23， 即函数值域为(,log23]．

（3）令tx4x7(x2)33， 当a1时，yloga3， 即值域为[loga3,)， 当0a1时，yloga3， 即值域为(,loga3]． 例4.4 设函数 分析：由值域为 解： 令

，若

的值域为

，求实数 的取值范围．

能取遍所有正实数的问题．

222 和对数函数的单调性可将问题转化为

，依题意

应取遍一切正实数即函数值域是正实数集的子集．则

有 或 ，解得 ． 题型五 对数函数与奇偶性

22

例4.5 已知函数f(x)=lg［(a－1)x+(a+1)x+1］. (1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围； (2)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围.

22

解：(1)(a－1)x+(a+1)x+1＞0对x∈R恒成立.

a2－1=0时，a=±1，经检验a=－1时恒成立；a2－1≠0时，

a＜－1或a＞ ，∴a≤－1或a＞ .

(2)a－1=0，即a=1时满足值域为R；a－1≠0时，

22

1＜a≤ .∴1≤a≤ .

例5．判断函数f(x)log2(x21x)的奇偶性。

解：∵x21x恒成立，故f(x)的定义域为(,)， f(x)log2(x21x)

log21x21x2log2x21x(x21)2x2 log2x21xf(x)，所以，f(x)为奇函数。

题型六 对数函数与单调性

例6.1．求函数y2log1(x3x2)的单调区间。

3解：令ux3x2(x)22322133在[,)上递增，在(,]上递减， 422又∵x3x20， ∴x2或x1，

2故ux3x2在(2,)上递增，在(,1)上递减， 又∵y2log1u为减函数，

3所以，函数y2log1(x23x2)在(2,)上递增，在(,1)上递减。

3说明：利用对数函数性质判断函数单调性时，首先要考察函数的定义域，再利用复合函数单调性的判断方法来求

单调区间。

2例6.2．若函数ylog2(xaxa)在区间(,13)上是增函数，a的取值范围。

解：令ug(x)xaxa， ∵函数ylog2u为减函数，

22∴ug(x)xaxa在区间(,1a133上)递减，且满足u0，∴2，解得

g(13)0223a2，

所以，a的取值范围为[223,2]． 题型七 对数函数与图像

例7.1如图，曲线是对数函数 值依次为( )． （A） （B） （C） （D）

的图象，已知 的取值 ，则相应于曲线 的

例7．2已知关于x的的方程log3xa，讨论a的值来确定方程根的个数。 解：因为ylog3xlog3x(x1)在同一直角坐标

log3x(0x1)系中作出函数与

ya的图象，如图可知：①当a0时，两个函数图象无公

根的个数为0个；

②当a0时，两个函数图象有一个公共点，所以原方程③当a0时，两个函数图象有两个公共点，所以原方程

共点，所以原方程

根的个数为1个； 根的个数为2个。

〖补充知识〗函数的图象

（1）作图

利用描点法作图：

①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象．

利用基本函数图象的变换作图：

要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象．

①平移变换 ②伸缩变换 ③对称变换 （2）识图

对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系． （3）用图

函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得

问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．