指数函数全方位解读

指数函数全方位解读

欢迎同学们进入指数函数的学习！指数函数是大家在已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上第一个系统研究的函数，也是高中阶段的主要研究内容之一。本节课的内容十分重要的，它对知识起到了承上启下的作用。为了帮助大家学好本节内容，下面我对指数函数作一全面解读。

一、指数函数的定义解读

对于指数函数的定义理解时应注意：

（1）定义域：因为指数的概念已经扩充到有理数和无理数，所以在底数a0的前提下，x可以是任意实数。

（2）规定底数a大于零且不等于1的理由：

xx如果a0，当x0时，a恒等于零；当x0时，a无意义。

x如果a0，比如y(2)，这是对于x11,x……，(2)x都无意义。 42如果a1，对于任何实数x，y1x1是一个常量，对它就没有研究的价值和必要了。 （3）形式上的严格性：在指数函数的定义表达式yax中，a前的系数是1，自变量x在指数的位置上，否则，不是指数函数。例如y2ax，yax1，yax1，yxa等都不是指数函数。

二、解读指数函数的图像

指数函数的图像在x轴上方，印证了指数函数的值域为（0,）；图像恒过（0，1）,是因

0为a0时，a1。对于指数函数在a1和0a1时的图像，同学们要熟记于心，并

x达到能灵活应用函数图像解题。下面我就指数函数图像的解题妙用举例分析。 例1 比较0.7与0.8的大小

分析：这两个幂值同指不同底，无法利用指数函数的单调性进行比较。我们不妨构造函数

x0.7a和0.8a分别为两函数在xa处的函数值解：构造函数y0.7 y0.7x和y0.8x，

xaa和y0.8，则两个函数的图像关系如图

y0.8xaa由图易知，当a0时，0.70.8， aa 当a0时，0.7=0.8， aa 当a0时，0.70.8

y0.7xyox注：同一直角坐标系中，在y轴右（左）侧，指数图像从上到下相应的底数有大（小）变小（大）。

例2 已知函数yab的图像经过一、三、四象限，试确定a、b的取值范围。

x

分析：函数yaxb的图像是有yax的图像向上（b0）或向下（b0）平移b个单位得到的，其形状与yax的图像相同。

0解：如图，当x0时，y0，所以ab0，即b1

y显然a0

故a(1,)，b(,1)

ox2. 解读定义域。指数函数的定义域为全体实数，表明a大于零且不等于1时，a的任何指数幂均有意义。

例3 求下列函数的定义域：（1）y4x1 （2）y0.31x1

分析：函数的定义域为使得函数有意义的自变量取值集合或区间，结合指数函数的定义域，此类问题不难解决。 解：（1）定义域为R （2）由x10，得x1，所以定义域为xxR,且x1

三、解读指数函数的单调性

指数函数的单调性分两种情形：当a1时，在R上单调递增；当0a1时，在R上单调递减。指数函数的单调性应用十分广泛，下面我给大家介绍一下其四个经典应用。 1、 利用单调性比较大小 例3 设y140.8，y280.48，y3()121.5，比较y1、y2、y3的大小

分析：三个幂值虽不同底，但可以化成同底幂，结合指数函数的单调性比较大小。 解：y121.6，y221.44，y321.5

y2x在R上单调递增 y1y3y2

2、 利用单调性解指数不等式 例4 不等式()16x2x21的解集为_________

160分析：先统一左右形式，将1化成()，再利用指数函数的单调性即可 解：()16x2x21()0 61y()x为R上减函数，

6x2x20，即x1或x2

不等式解集为(,2)(1,)

3、利用单调性求函数的最值或值域 例5 求函数yax22x3(a0且a1)的值域

分析：因为底数的范围不确定，切记对参数分类讨论 解：x22x3(x1)222 若a1，yax为增函数 ax22x3a2,函数值域为a2,

若0a1，yax为减函数 ax22x3a2，函数值域为0，a2

对于球最值问题，方法类似，不予赘述。