例1.求阴影部分的面积。(单位:厘米) 解：这是最基本的方法：
圆面积减去等腰直角三角形的面积，
×-2×1=1.14（平方厘米）
例2.正方形面积是7平方厘米，求阴影部分的面积。(单位:厘米) 解：这也是一种最基本的方法用正方形的面积减去
圆的面积。
设圆的半径为r，因为正方形的面积为7平方厘米，所以=7，
所以阴影部分的面积为：7-=7-×7=1.505平方厘米
例3.求图中阴影部分的面积。(单位:厘米) 解：最基本的方法之一。用四个圆组成一个圆，用正方形的面积减去圆的
面积，
所以阴影部分的面积：2×2-π＝0.86平方厘米。
例4.求阴影部分的面积。(单位:厘米) 解：同上，正方形面积减去圆面积，
16-π（)=16-4π
=3.44平方厘米
例5.求阴影部分的面积。(单位:厘米)
解：这是一个用最常用的方法解最常见的题，为方便起见，
我们把阴影部分的每一个小部分称为“叶形”，是用两个圆减去一个正方
形，
π（)×2-16=8π-16=9.12平方厘米另外：此题还可以看成是
1题中阴影部分的8倍。
1
例6.如图：已知小圆半径为多多少厘米？
2厘米，大圆半径是小圆的3倍，问：空白部分甲比乙的面积
解：两个空白部分面积之差就是两圆面积之差（全加上阴影部分）π-π（)=100.48平方厘米
（注：这和两个圆是否相交、交的情况如何无关）例7.求阴影部分的面积。(单位:厘米)
解：正方形面积可用(对角线长×对角线长÷2，求) 正方形面积为：5×5÷2=12.5 所以阴影面积为：π
÷4-12.5=7.125平方厘米
,无需割、补、增、减变形)
(注:以上几个题都可以直接用图形的差来求例8.求阴影部分的面积。(单位:厘米) 解：右面正方形上部阴影部分的面积，积，割补以后为
圆，
等于左面正方形下部空白部分面
所以阴影部分面积为：π（)=3.14平方厘米
例9.求阴影部分的面积。(单位:厘米)
解：把右面的正方形平移至左边的正方形部分，则阴影部分合成一个长方形，
所以阴影部分面积为：2×3=6平方厘米
例10.求阴影部分的面积。(单位:厘米)
解：同上，平移左右两部分至中间部分，则合成一个长方形，
所以阴影部分面积为2×1=2平方厘米(注: 8、9、10三题是简单割、补或平移)
例11.求阴影部分的面积。(单位:厘米)
这种图形称为环形，可以用两个同心圆的面积差或差的一部分来求。（π
-π）×
=×3.14=3.66平方厘米
解：
2
例12.求阴影部分的面积。(单位:厘米) 解：三个部分拼成一个半圆面积．
π（)÷２＝14.13平方厘米
例13.求阴影部分的面积。(单位:厘米)
解: 连对角线后将\"叶形\"剪开移到右上面的空白部分,凑成正方形的一半.
所以阴影部分面积为：8×8÷2=32平方厘米
例14.求阴影部分的面积。(单位:厘米) 解：梯形面积减去
圆面积，
(4+10)×4-π=28-4π=15.44平方厘米 . 例15.已知直角三角形面积是
12平方厘米，求阴影部分的面积。
分析: 此题比上面的题有一定难度,这是\"叶形\"的一个半. 解: 设三角形的直角边长为r，则
=12，
=6
圆面积为：π
÷2=3π。圆内三角形的面积为
12÷2=6，
阴影部分面积为：(3π-6)×=5.13平方厘米
例16.求阴影部分的面积。(单位:厘米) 解：［π
＋π
－π
］
=π(116-36)=40π=125.6平方厘米
例17.图中圆的半径为5厘米,求阴影部分的面积。(单位:厘米) 解：上面的阴影部分以AB为轴翻转后，整个阴影部分成为梯形减去直角三角形，或两个小直角三角形
AED、BCD面积和。
所以阴影部分面积为：5×5÷2+5×10÷2=37.5平方厘米
3
例18.如图，在边长为6厘米的等边三角形中挖去三个同样的扇形解：阴影部分的周长为三个扇形弧，拼在一起为一个半圆弧，
所以圆弧周长为：2×3.14×3÷2=9.42厘米
,求阴影部分的周长。
例19.正方形边长为2厘米，求阴影部分的面积。
解：右半部分上面部分逆时针，下面部分顺时针旋转到左半部分，组成一个矩形。
所以面积为：1×2=2平方厘米
例20.如图，正方形ABCD的面积是36平方厘米，求阴影部分的面积。解：设小圆半径为r，4=36, r=3，大圆半径为R，
将阴影部分通过转动移在一起构成半个圆环所以面积为:π(
,
=2=18,
-)÷2=4.5π=14.13平方厘米
1厘米，求阴影部分的面积。
例21.图中四个圆的半径都是
解：把中间部分分成四等分，分别放在上面圆的四个角上，补成一个正方形，边长为2厘米，
所以面积为：2×2=4平方厘米
例22.如图，正方形边长为8厘米，求阴影部分的面积。
解法一: 将左边上面一块移至右边上面,补上空白,则左边为一三角形,右边一个半圆.
阴影部分为一个三角形和一个半圆面积之和
π(
)÷2+4×4=8π+16=41.12平方厘米
.
4
解法二: 补上两个空白为一个完整的圆.
所以阴影部分面积为一个圆减去一个叶形所以阴影部分的面积为:π(
例23.图中的4个圆的圆心是正方形的
,叶形面积为:π(
)÷２-4×4=8π-16
)-8π+16=41.12平方厘米
4个顶点，，它们的公共点是该正方形的中心，
如果
每个圆的半径都是1厘米，那么阴影部分的面积是多少？解：面积为４个圆减去８个叶形，叶形面积为：
所以阴影部分的面积为:4π
-8(
π
-1×1=π-1
π-1)=8平方厘米
例24.如图，有8个半径为1厘米的小圆，用他们的圆周的一部分连成一个花瓣图形，的黑点是这些圆的圆心。如果圆周米？
图中
π率取3.1416，那么花瓣图形的的面积是多少平方厘
分析：连接角上四个小圆的圆心构成一个正方形，各个小圆被切去这四个部分正好合成３个整圆，而正方形中的空白部分合成两个小圆．解：阴影部分为大正方形面积与一个小圆面积之和．
为：4×4+π=19.1416平方厘米
个圆，
例25.如图，四个扇形的半径相等，求阴影部分的面积。分析：四个空白部分可以拼成一个以２为半径的圆．
所以阴影部分的面积为梯形面积减去圆的面积，4×(4+7)÷２-π=22-4π=9.44平方厘米
(单位:厘米)
例26.如图，等腰直角三角形部分的面积。
ABC和四分之一圆DEB，AB=5厘米，BE=2厘米，求图中阴影
解: 将三角形CEB以B为圆心，逆时针转动90度，到三角形ABD位置,阴影部分成为三角形ACB面积减去个小圆面积,
为: 5×5÷２-π÷4=12.25-3.14=9.36平方厘米
例27.如图，正方形ABCD的对角线AC=2厘米，扇形ACB是以AC为直径
5
的半圆，扇形DAC是以D为圆心，AD为半径的圆的一部分，求阴影部分的面积。解: 因为2
=
=4，所以
=2
以AC为直径的圆面积减去三角形π
-2×2÷4+[ππ-1)
ABC面积加上弓形AC面积，
÷４-2]
=π-1+(
=π-2=1.14平方厘米
例28.求阴影部分的面积。(单位:厘米)
解法一：设AC中点为B,阴影面积为三角形ABD面积加弓形BD的面积,
三角形ABD的面积为:5×5÷2=12.5弓形面积为:[π
÷2-5×5]÷2=7.125
所以阴影面积为:12.5+7.125=19.625平方厘米
解法二：右上面空白部分为小正方形面积减去π
小圆面积，其值为：5×５-π=25-
阴影面积为三角形ADC减去空白部分面积，为：10×5÷２-（25-平方厘米
例29.图中直角三角形ABC的直角三角形的直角边
π）=π=19.625
AB=4厘米，BC=6厘米，扇形BCD所在圆
是以B为圆心，半径为BC的圆，∠CBD=，问：阴影部分甲比乙面积小多少？解: 甲、乙两个部分同补上空白部分的三角形后合成一个扇形
BCD，一个成为三角形ABC，
此两部分差即为：π×－×4×6＝5π-12=3.7平方厘米
6
例30.如图，三角形ABC是直角三角形，阴影部分甲比阴影部分乙面积大厘米。求BC的长度。
解：两部分同补上空白部分后为直角三角形
40X÷２-π
÷2=28
28平方厘米，AB=40
ABC，一个为半圆，设BC长为X，则
所以40X-400π=56 则X=32.8厘米
例31.如图是一个正方形和半圆所组成的图形，其中Q为正方形一边上的中点，求阴影部分的面积。解：连PD、PC转换为两个三角形和两个弓形，
P为半圆周的中点，
两三角形面积为：△APD面积+△QPC面积=（5×10+5×5）=37.5 两弓形PC、PD面积为：
π
-5×５
所以阴影部分的面积为：37.5+例32.如图，大正方形的边长为
π-25=51.75平方厘米
4厘米。求阴影部分的面积。
6厘米，小正方形的边长为
解：三角形DCE的面积为:×4×10=20平方厘米
梯形ABCD的面积为:
(4+6)×4=20平方厘米从而知道它们面积相
圆ABE的
等,则三角形ADF面积等于三角形EBF面积，阴影部分可补成面积，其面积为：
π÷4=9π=28.26平方厘米
例33.求阴影部分的面积。(单位:厘米) 解:用大圆的面积减去长方形面积再加上一个以
2为半径的圆ABE面积，为
(π+π)-6
=×13π-6 =4.205平方厘米
例34.求阴影部分的面积。(单位:厘米)
解：两个弓形面积为：π-3×4÷2=π-6
7
阴影部分为两个半圆面积减去两个弓形面积，结果为
π+π-（π-6）=π（4+-）+6=6平方厘米
例35.如图，三角形OAB是等腰三角形，OBC是扇形，OB=5厘米，求阴影部分的面积。解：将两个同样的图形拼在一起成为
圆减等腰直角三角形
[π÷４-×5×5]÷２
=（π-）÷2=3.5625平方厘米
例36.如图19－10所示，两圆半径都是1厘米，且图中两个阴影部分的面积相等。求长方形ABO1O的面积。
A
B
O
O
解：因为两圆的半径相等，所以两个扇形中的空白部分相等。又因为图中两个阴影部分的
面积相等，所以扇形的面积等于长方形面积的一半（如图19－10右图所示）。所以
12
3.14×1××2＝1.57（平方厘米）
4
答：长方形长方形ABO1O的面积是1.57平方厘米。例37.如图19－14所示，求阴影部分的面积（单位：厘米）。
C 6D
I
A
19－14
E
B 4
II
解：我们可以把三角形ABC看成是长方形的一部分，把它还原成长方形后（如右图所示），
因为原大三角形的面积与后加上的三角形面积相等，并且空白部分的两组三角形面积分别相等，所以I和II的面积相等。
6×4＝24（平方厘米）
答：阴影部分的面积是24平方厘米。
8
例38如图19－18所示，图中圆的直径AB是4厘米，平行四边形ABCD的面积是7平方厘米，∠ABC＝30度，求阴影部分的面积（得数保留两位小数）。
D
C
D
C
A
B
O 19－18
A
B
O
解：阴影部分的面积等于平行四边形的面积减去扇形AOC的面积，再减去三角形
面积。
半径：4÷2＝2（厘米）
扇形的圆心角：180－（180－30×2）＝60（度）
60
扇形的面积：2×2×3.14×≈2.09（平方厘米）
360
三角形BOC的面积：7÷2÷2＝1.75（平方厘米）7－（2.09+1.75）＝3.16（平方厘米）
答：阴影部分的面积是
3.16平方厘米。
BOC的
★组合图形的周长与面积练习题
圆的周长和面积(一)
【知识要点】：用剪拼移补的方法计算组合图形的面积1、计算下面图形中涂色部分的面积。（单位：厘米）①
3 1
5
3
②
2、求下面图形中涂色部分的面积。（单位：厘米）①
5 5 8
②
3、下面两个圆中直角等腰三角形的面积都是① O
5平方厘米，求圆的面积。②
4、如下图示，AB＝4厘米，求涂色部分的面积。
9
A O B
5.求阴影面积
←15厘米→
15.7厘米，求长方形的面积。
6、如下图所示，一个圆的周长是
圆的周长和面积(二)
一、关键问题：
对于组合图形的面积，可以通过把其中的部分图形进行平移，翻折或旋转，化难为易。二、典型例题：（一）基础部分：
1、例1、将半径分别是3厘米和2厘米的两个半圆如图放置，求阴影部分的周长。
O1
2厘米
O
3厘米
2、例2、求图中阴影部分的面积（单位：厘米）
6
6
6
3、例3、求图中阴影部分的面积（单位：厘米）
4
（二）拓展部分：
o
1、例1：两条细绳各自牢牢地绑住如（甲）（乙）两图所示的卷筒纸，每个卷筒纸的半径是10㎝。请问这两条细绳的长度分别是几厘米？
10
（甲）（乙）
三、热身演练：（一）基础练习：
1、如图：正方形的边长是
5厘米，那么阴影部分的周长是多少厘米？
o
5
2、求阴影部分的周长。
o
2 3 45o
3、计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米）
6
6
6
4、计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米）
4
4
(二)拓展练习：
1、有7根直径都是2分米的圆柱形木棍，想用一根绳子把它们捆成一捆，最短需要多少米长的绳子？（打结用的绳长不计）
2、直径均为1米的四根管子被一根金属带紧紧地捆在一起，（如图），试求金属带的长度。
3、求下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。
6
11
4、下图：大圆直径上的所有小圆的周长之和与大圆的周长有什么关系？如果小圆的直径分别是3厘米、1厘米、4厘米、2厘米。请求出大圆直径上所有小圆的周长之和，以及大
圆的周长。
5、下图：小圆的周长是12.56厘米，环形的宽度是2厘米，请求出环形的面积。
6、下图：长方形的长是6厘米，宽是3厘米。请求出阴影部分的面积。
7、下图：大正方形的边长是10厘米，小正方形的边长是8厘米，请求出阴影部分的面积。
8、求出下图阴影部分的面积。
9、求出下图阴影部分的面积。
12
10、下图：正方形的边长是几？
5厘米，请求出阴影部分的面积。阴影部分占正方形的百分之
11、下图是由两个边长是5厘米正方形的拼成长方形，请求出阴影部分的面积。
12、下图正方形的面积是8平方厘米，画出其对称轴，并求出阴影部分的面积。
13、下面正方形的边长是5厘米，请求出阴影部分的面积。
14、根据上图，以及上图的条件求出阴影部分的面积。
15、下图：圆的周长是25.15厘米，请求出阴影部分的面积。
13
16、下图：直角三角形的两直角边分别是阴影部分的面积。
8厘米，6厘米，斜边是三角形周长的
512
，求出
17、下图：正方形的边长是5厘米，请求出阴影部分的面积。
18、如图8，已知EO=8㎝，求阴影部分的周长和面积。
19、如图10，求阴影部分的周长和面积。（单位：㎝）
20、如图11，求阴影部分的面积及阴影弧线长的和。（单位：㎝）
21、如图12，已经半圆的直径为10㎝，求阴部分的面积及阴影弧线长的和
14
。
22、如下图，已知AB=12厘米，且阴影部分甲的面积比阴影部分乙的面积大求BC的长是多少厘米？
12平方厘米。
23、如下图，求出阴影部分的周长和面积。（单位：㎝）
24、如下图，已知AC=CD=DB=2㎝，求阴影部分的周长和面积。
25、已经半圆的直径为9㎝，求阴影部分的面积。
26、如下图，求阴影部分的周长与面积。（单位：㎝）
27、如图所示，圆的周长为12.56厘米，AC两点把圆分成相等的两段弧，阴影部分（的面积与阴影部分（2）的面积相等，求平行四边形ABCD的面积。C
15
1）
A
1
B
2 D
C
28、如图所示，直径BC＝8厘米，AB＝AC，D为AC的重点，求阴影部分的面积。
A
D
B
8
C
29、如图所示，AB＝BC＝8厘米，求阴影部分的面积。
A
c
B
30、如图所示，求四边形ABCD的面积。（单位：厘米）
C 3 D
A
7
45
○
B
31、如图19－16所示，BE长5厘米，长方形AEFD面积是38平方厘米。求CD的长度。
C
D
38
A
19－16
E
F
B
32.图19－17是两个完全一样的直角三角形重叠在一起，按照图中的已知条件求阴影部分
的面积（单位：厘米）。
40
16
30
5
120
19－17
33、如图19－19所示，∠1＝15度，圆的周长位62.8厘米，平行四边形的面积为厘米。求阴影部分的面积（得数保留两位小数）。
100平方
34、如图19－20所示，三角形ABC的面积是31.2平方厘米，圆的直径AC＝6厘米，BD：
DC＝3：1。求阴影部分的面积。
35、如图19－21所示，求阴影部分的面积（单位：厘米。得数保留两位小数）。
A
A
5.2
30A
19－19
B
D 19－20
C
○
C
B
O
O 60
○
12 19－21
B
三角形面积计算
【例题1】已知如图，三角形ABC的面积为8平方厘米，AE＝ED，BD=2/3BC，求阴影部分
的面积。
【思路导航】阴影部分为两个三角形，但三角形AEF的面积无法直接计算。由于AE=ED,连接DF，可知S△AEF=S△EDF（等底等高），采用移补的方法，将所求阴影部分转化为求三角形BDF的面积。因为BD=2/3BC，所以S△BDF＝2S△DCF。又因为AE＝ED，所以S△ABF＝S△BDF＝2S△DCF。因此，S△ABC＝5 S△DCF。由于S△ABC＝8平方厘米，所以S△DCF＝8÷5＝1.6（平方厘米），则阴影部分的面积为1.6×2＝3.2（平方厘米）。练习1：
1．如图，AE＝ED，BC=3BD，S△ABC＝30平方厘米。求阴影部分的面积。
17
2．如图所示，AE=ED，DC＝1/3BD，S△ABC＝21平方厘米。求阴影部分的面积。
3．如图所示，DE＝1/2AE，BD＝2DC，S△EBD＝5平方厘米。求三角形ABC的面积。
【例题2】两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形，如图所示，已知两个三角形的面积，求另两个三角形的面积各是多少？【思路导航】已知S△BOC是S△DOC的2倍，且高相等，可知：BO＝2DO；从S△ABD与S△ACD相等（等底等高）可知：S△ABO等于6，而△ABO与△AOD的高相等，底是△AOD的2倍。所以△AOD的面积为6÷2＝3。
因为S△ABD与S△ACD等底等高所以S△ABO＝6 因为S△BOC是S△DOC的2倍所以△ABO是△AOD的2倍所以△AOD＝6÷2＝3。答：△AOD的面积是3。练习2：
1．两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形，（如图所示），已知两个三角形的面积，求另两个三角形的面积是多少？
2．已知AO＝1/3OC，求梯形ABCD的面积（如图所示）。
18
3．已知三角形AOB的面积为15平方厘米，线段OB的长度为OD的3倍。求梯形ABCD的面积。（如图所示）。
【例题3】四边形ABCD的对角线BD被E、F两点三等分，且四边形AECF的面积为15平方厘米。求四边形ABCD的面积（如图所示）。【思路导航】由于E、F三等分BD，所以三角形ABE、AEF、AFD是等底等高的三角形，它们的面积相等。同理，三角形BEC、CEF、CFD的面积也相等。由此可知，三角形ABD的面积是三角形AEF面积的3倍，三角形BCD的面积是三角形CEF面积的3倍，从而得出四边形ABCD的面积是四边形AECF面积的3倍。15×3＝45（平方厘米）答：四边形ABCD的面积为45平方厘米。练习3：
1．四边形ABCD的对角线BD被E、F、G三点四等分，且四边形AECG的面积为15平方厘米。求四边形ABCD的面积（如图）。
2．已知四边形ABCD的对角线被E、F、G三点四等分，且阴影部分面积为四边形ABCD的面积（如图所示）。
15平方厘米。求
3．如图所示，求阴影部分的面积（ABCD为正方形）。
【例题4】如图所示，BO＝2DO，阴影部分的面积是4平方厘米。那么，梯形ABCD的面积是多少平方厘米？
【思路导航】因为BO＝2DO，取BO中点E，连接AE。根据三角形等底等高面积相等的性质，可知S△DBC＝S△CDA；S△COB＝S△DOA＝4，类推可得每个三角形的
19
面积。所以，S△CDO＝4÷2＝2（平方厘米） S△DAB＝4×3＝12平方厘米S梯形ABCD＝12+4+2＝18（平方厘米）答：梯形ABCD的面积是18平方厘米。练习4：
1．如图所示，阴影部分面积是4平方厘米，OC＝2AO。求梯形面积。
2．已知OC＝2AO，S△BOC＝14平方厘米。求梯形的面积（如图所示）。
3．已知S△AOB＝6平方厘米。OC＝3AO，求梯形的面积（如图所示）。
【例题5】如图所示，长方形ADEF的面积是16，三角形ADB的面积是3，三角形ACF的面积是4，求三角形ABC的面积。【思路导航】连接AE。仔细观察添加辅助线AE后，使问题可有如下解法。
由图上看出：三角形ADE的面积等于长方形面积的一半（16÷2）＝8。用8减去3得到三角形ABE的面积为5。同理，用8减去4得到三角形
AEC的面积也为4。因此可知三角形AEC与三角形ACF等底等高，C为EF的中点，而三角形ABE与三角形BEC等底，高是三角形BEC的2倍，三角形BEC的面积为5÷2＝2.5，所以，三角形ABC的面积为16－3－4－2.5＝6.5。练习5：
1．如图所示，长方形ABCD的面积是20平方厘米，三角形ADF的面积为5平方厘米，三角形ABE的面积为7平方厘米，求三角形AEF的面积。
2．如图所示，长方形ABCD的面积为20平方厘米，S△ABE＝4平方厘米，S△AFD＝6平方厘米，求三角形AEF的面积。
20
3．如图所示，长方形ABCD的面积为24平方厘米，三角形ABE、AFD的面积均为4平方厘米，求三角形AEF的面积。
简单几何体的表面积与体积的计算
一、四种常见几何体的平面展开图
1.正方体
沿正方体的某些棱将正方体剪开铺平，就可以得到它的平面展开图，这一展开图是由六个全等的正方形组成的，见图
6—1。
图6─l只是正方体平面展开图的一种画法，还有别的画法（从略）。2.长方体
沿长方体的某些棱将长方体剪开铺平，就可以得到它的平面展开图。这一展开图是六个两两彼此全等的长方形组成的，见图还有别的画法（从略）。
6—2。图6—2只是长方体平面展开图的一种画法，
3.（直）圆柱体沿圆柱的一条母线和侧面与上、下底面的交线将圆柱剪开铺平，就得到圆柱体的平面展开图。它由一个长方形和两个全等的圆组成，这个长方形的长是圆柱底
21
面圆的周长，宽是圆柱体的高。这个长方形又叫圆柱的侧面展开图。图面展开图。
6—3就是圆柱的平
4.（直）圆锥体
沿圆锥体的一条母线和侧面与下底面圆的交线将圆锥体剪开铺平，就得到圆锥的平面展开图。它是由一个半径为圆锥体的母线长，弧长等于圆锥体底面圆的周长的扇形和一个圆组成的，这个扇形又叫圆锥的侧面展开
图。具体图形见图
6—4。
二、四种常见几何体表面积与体积公式
1.长方体
长方体的表面积=2×（a×b+b×c+c×a）
长方体的体积=a×b×c（这里a、b、c分别表示长方体的长、宽、高）。
2.正方体
正方体的表面积=6×a
2
正方体的体积=a（这里a为正方体的棱长）。
3
3.圆柱体
圆柱体的侧面积=2πRh
22
圆柱体的全面积=2πRh+2πR2
=2πR（h+R）
圆柱体的体积=πR2
h（这里R表示圆柱体底面圆的半径，
h表示圆柱的高）。
4.圆锥体
圆锥体的侧面积=πRl
圆锥体的全面积=πRl+πR
2
母线长与高）。
三、例题选讲
例1 图6—5中的几何体是一个正方体，图6—6是这个正方体的一个平面展开图，图6—7（a）、（b）、
（c）也是这个正方体的平面展开图，但每一展开图上都有四个面上的图案没画出来，请你给补上。
分析与解：从图6—5和图6—6中可知：与；与；与互相处于相对面的位
置上。只要在图
6—7
23
（a）、（b）、（c）三个展开图中，判定谁与谁处在互为对面的位置上，则标有数字的四个空白面上的图案便可以补上。
先看图6—7中的（a），仔细观察可知，1与4，3与处在互为对面的位置上。
再看图6—7中的（b），同上，1与3，2与处在互为对面的位置上。
最后再看图6—7中的（c），同上，1与，2与4处在互为对面的位置上。
图6—7（a）、（b）、（c）标有数字的空白面上的图案见图6—8中的（a）、（b）、（c）。
例2图6—9中的几何体是一个长方体，C的平面与长方体相交所得到的图形），
四边形APQC是长方体的一个截面（即过长方体上四点A、P、Q、
P、Q分别为棱A1B1、B1C1的中点，请在此长方体的平面展图
上，标出线段AC、CQ、QP、PA来。
分析与解：只要能正确画出图就是题目中所要标出的线段
6—9中长方体的平面展开图，问题便能迎刃而解。图AC、CQ、QP、PA。
6—10中的粗实线，
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例3 在图6—11中，M、N是圆柱体的同一条母线上且位于上、下底面上的两点，若从M点绕圆柱体的
侧面到达N，沿怎么样的路线路程最短？
分析与解：沿圆柱体的母线圆柱体的侧面到达
MN将圆柱的侧面剪开铺平，得出圆柱的侧面展开图，见图6—12，从M点绕
N。而
N点。实际上是从侧面展开图的长方形的一个顶点M到达不相邻的另一个顶点
两点间以线段的长度最短。所以最短路线就是侧面展开图中长方形的一条对角线，见图13。
6—12和图6—
例4 图6—14中的几何体是一棱长为4厘米的正方体，若在它的各个面的中心位置上，
π=3.14）？
各打一个直径为
2厘米，深为1厘米的圆柱形的孔，求打孔后几何体的表面积是多少（
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分析与解：因为正方体的棱长为2厘米，而孔深只有1厘米，所以正方体没有被打透。这一来打孔后所
得几何体的表面积，等于原来正方体的表面积，再加上六个完全一样的圆柱的侧面积、这六个圆柱的高为1厘米，底面圆的半径为
1厘米。
正方体的表面积为42×6=96（平方厘米）
一个圆柱的侧面积为2π×1×1=6.28（平方厘米）
几何体的表面积为96+6.28×6=133.68（平方厘米）
答：（略）
例5 图6—15是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的几何体，求此几何体的表面积是多少？
分析与解：从图6—15中可以看出，18个小正方体一共摆了三层，第一层2个，第二层7个，因为18-7-2=9所以第三层摆了
9个。另外，上、下两个面的表面积是相同的，同样，前、后；左、右两个面的表面积
也是分别相同的。因为小正方体的棱长是
1厘米，所以
上面的表面积为12×9=9（平方厘米）
前面的表面积为12×8=8（平方厘米）
左面的表面积为12×7=7（平方厘米）
几何体的表面积为9×2+8×2+7×2=
答：（略）
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，例6 图6—16中所示图形，是一个底面直径为20厘米的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个
当铅锤从水中取出后，
杯里的水将下降几厘米？
（π
底面直径为6厘米，高20厘米的一个圆锥体铅锤，
=3.14）
分析与解：因为玻璃杯是圆柱形的，所以铅锤取出后，水面下降部分实际是一个小圆柱，这个圆柱的底面与玻璃杯的底面一样，是一直径为的高就是水面下降的高度。
20厘米的圆，它的体积正好等于圆锥体铅锤的体积，这个小圆柱
因为圆锥形铅锤的体积为
设水面下降的高度为x，则小圆柱的体积为x（20÷2）×x=100πx（立方厘米）
2
所以有下列方程：
60π=100πx，解此方程得：
x=0.6（厘米）
答：铅锤取出后，杯中水面下降了0.6厘米。
例7横截面直径为钢的体积是多少（
2分米的一根圆钢，截成两段后，两段表面积的和为π=3.14）？
75.36平方分米，求原来那根圆
分析与解：根据圆柱体的体积公式，体积=底面积×高。假设圆钢长为x，因为将圆钢截成两段后，两段
表面积的和，等于圆钢的侧面积加上四个底面圆的面积，所以有下面式子：
2π×（2÷2）×x+4π×（2÷2）
2
=2πx+4π
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根据题目中给出的已知条件，可得下面方程：2πx+4π=75.36
解方程：
圆钢的体积为答：（略）。
2÷2）2
×10≈31.428
π×（（立方分米）
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