专题限时集训(三)
[第3讲 函数与方程、函数模型及其应用]
(时间：45分钟)
1
1．函数f(x)＝－＋log2x的一个零点落在下列哪个区间( )
xA．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
2．有一组实验数据，如下表： t v 1.99 1.5 3.0 4.04 4.0 7.5 5.1 12 6.12 18.01 则最佳的体现这些数据关系的函数模型是( ) A．v＝log2t B．v＝2t－2 t2－1
C．v＝ D．v＝2t－2
2
1
3．若a>2，则函数f(x)＝3x3－ax2＋1在(0,2)内零点的个数为( ) A．3 B．2 C．1 D．0
π1
4．函数f(x)＝3cos2x－log2x－2的零点个数为( ) A．2 B．3 C．4 D．5
5．如图3－1的函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是( )
图3－1
6．一矩形铁皮的长为8 cm，宽为5 cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，盒子容积的最大值是( ) A．12 cm3 B．15 cm3 C．18 cm3 D．16 cm3
kx＋1，x≤0，
7．已知函数f(x)＝则下列关于函数y＝f[f(x)]＋1的零点个数的判断正确的是
lnx，x>0.
( )
A．当k>0时，有3个零点；当k<0时，有2个零点 B．当k>0时，有4个零点；当k<0时，有1个零点 C．无论k为何值，均有2个零点 D．无论k为何值，均有4个零点
8．已知函数f(x)＝|2x－1|，则函数g(x)＝f(f(x))＋lnx在(0,1]上的不同零点个数为( ) A．2 B．3 C．4 D．5
1x2－9．已知5的展开式中的常数项为T，f(x)是以T为周期的偶函数，且当x∈[0,1]5x3时，f(x)＝x，若在区间[－1,3]内，函数g(x)＝f(x)－kx－k有4个零点，则实数k的取值范围
是________．
10．一个工厂生产某种产品，每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x>20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元，则y(万元)与x(件)的函数关系式为________________________________________________________________________，
该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大．(年利润＝年销售总收入－年总投资) 1，x>0，
11．已知符号函数sgn(x)＝0，x＝0，
－1，x<0，________．
4
12．已知定义在区间(－2,2]上的函数f(x)满足f(x＋2)＝，且当x∈[0,2]时，f(x)＝x，若
fx＋2g(x)＝f(x)－mx－m有两个不同的零点，则实数m的取值范围是________________．
13．省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合x2
放射性污染指数f(x)与时刻x(时)的关系为f(x)＝x2＋1－a＋2a＋3，x∈[0,24]，其中a是与
则函数f(x)＝sgn(lnx)－ln2x的零点个数为
1
0，，若用每天f(x)的最大值作为当天的综合放射性污染指数，并气象有关的参数，且a∈2记作M(a)．
x
(1)令t＝，x∈[0,24]，求t的取值范围；
x2＋1
(2)省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？
14．某公司有价值a万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，从而提高产品附加值，改造需要投入，假设附加值y(万元)与技术改造投入x(万元)之间的ax
关系满足：①y与a－x和x的乘积成正比；②x＝时，y＝a2；③0≤≤t，其中t为常数，
22a－x且t∈[0,1]．
(1)设y＝f(x)，求f(x)的表达式，并求y＝f(x)的定义域； (2)求出附加值y的最大值，并求出此时的技术改造投入．
专题限时集训(三) 【基础演练】
1
1．B [解析] f(x)为单调增函数，根据函数的零点存在定理得到f(1)f(2)＝(－1)×2<0，故函数的一个零点在区间(1,2)内．
t2－1
2．C [解析] 将表中的数据代入各选项中的函数解析式验证，可知只有v＝2满足．故选C.
3．C [解析] f′(x)＝x2－2ax，由a>2可知，f′(x)在(0,2)上恒为负，即f(x)在(0,2)内单调递减，8
又f(0)＝1>0，f(2)＝－4a＋1<0，∴f(x)在(0,2)上只有一个零点．故选C.
3
π1
4．B [解析] 在同一坐标系内画出函数y＝3cosx和y＝log2x＋的图象，可得交点个数为
223.
【提升训练】 5．B [解析] 分析选项中所给图象，只有零点两侧的函数值是同号的，不能用二分法求解．故选B. 6．C [解析] 设小正方形的边长为x，则盒子底面长为8－2x，宽为5－2x.V＝(8－2x)(5－2x)x510
0 7．B [解析] 当k>0时，若f(x)＝－1，则x＝－k或x＝e.若f[f(x)]＝－1时，f(x)＝－k或f(x)2＋k1－e2＋k12211 ＝e.若f(x)＝－k，则x＝－k2或x＝e－k；若f(x)＝e，则x＝ke或x＝ee.当k>0时，－k21－e21 ＝ke关于k无解；e－k＝ee关于k无解．所以此时函数y＝f[f(x)]＋1有四个零点．(注意必须说明四个零点互异) 1 当k<0时，f(x)＝－1，在x≤0时无解，在x>0时的解为x＝，所以f[f(x)]＝－1时，只有f(x) e1－e11 ＝e，此时当x≤0时，x＝ke>0，此时无解，当x>0时，解得x＝ee.故在k<0时，函数y＝f[f(x)]＋1只有一个零点．(本题主要是对函数概念的理解、指数与对数运算的转换) 2x－1，2≤x≤1， 8．B [解析] f(x)＝1 1－2x，0 33－4x，1≤x<24，f(f(x))＝11 4x－1，4≤x<2，11－4x，0 3 4x－3，≤x≤1， 4 313 当≤x≤1时，g(x)＝4x－3＋lnx，则g′(x)＝4＋>0在≤x≤14x4 3 故g(x)在≤x≤1上为单调递增函数， 4 333又g＝ln<0，g(1)＝1>0，故在≤x≤1上有1个根． 444 13111 同理可分析得在≤x<，≤x<上各有1个根，在0 1 0， [解析] 按二项式公式展开得T＝2，函数g(x)＝f(x)－kx－k有4个零点， 9.41 0，4. 等价于函数y1＝f(x)与y2＝k(x＋1)的图象有4个交点，再利用数形结合可得k∈ －x2＋32x－100，0 160－x，x>20，x∈N* [解析] 只要把成本减去即可，成本为x＋100，故得函数关系式为y＝ －x2＋32x－100，0 当0 11．2 [解析] 依题意，当x>1时，lnx>0，sgn(lnx)＝1，则f(x)＝sgn(lnx)－ln2x＝1－ln2x，1 令1－ln2x＝0，得x＝e或x＝e，结合x>1得x＝e；当x＝1时，lnx＝0，sgn(lnx)＝0，f(x)＝－ln2x，令－ln2x＝0，得x＝1，符合；当0 12．0 －2x4 计算出f(x)＝，然后画fx＋2x＋2 出f(x)在x∈(－2,2]上的图象．若g(x)＝f(x)－mx－m有两个不同零点，则y＝f(x)和y＝mx＋ m有两个不同的交点，也就是过定点(－1,0)的直线y＝mx＋m和f(x)在x∈(－2,2]上的图象有－2x2 两个交点．结合图象发现当0 垂直于x轴之间时也是两个交点的情况，此时m<－6－42.所以实数m的取值范围是0 11x1 0，，即t的取值范围是当0 0，1. 2120，2时，记g(t)＝|t－a|＋2a＋， (2)当a∈3 －t＋3a＋3，0≤t≤a， 则g(t)＝21 t＋a＋，a 1 a，上单调递增， ∵g(t)在[0，a]上单调递减，在21271＝2a－1. 且g(0)＝3a＋3，g＝a＋，g(0)－g2246 ，0≤a≤1，g24 故M(a)＝11 g0， a＋6，0≤a≤4，＝211 3a＋， 4 ∴当且仅当a≤时，M(a)≤2. 9 441 故当0≤a≤时不超标，当 a 14．解：(1)设y＝k(a－x)x，由当x＝时，y＝a2，可得k＝4， 2∴y＝4(a－x)x. x 由0≤≤t得 2a－xx t，② 2a－x≤x ≥0，①2a－x 又x≥0，所以由①得a－x>0，即0≤x ， 1＋2t 2at 因为t∈[0,1]，所以 综上可得函数f(x)＝4(a－x)x，定义域为0，1＋2t，其中t为常数，且t∈[0,1]． a x－22＋a2， (2)y＝4(a－x)x＝－4 当 2ata1a ≥时，即≤t≤1，x＝时，ymax＝a2， 221＋2t2 2at2ata12at0，当<2，即0≤t<2时，y＝4(a－x)x在上为增函数，∴当x＝时，ymax＝ 1＋2t1＋2t1＋2t8a2t . 1＋2t2 1a 答：当2≤t≤1时，投入x＝2，附加值y最大，为a2万元； 12at8a2t 当0≤t<2时，投入x＝，附加值y最大，为万元． 1＋2t1＋2t2 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容