高中数学知识点总结及公式大全

高中数学知识点总结

1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 如：集合Ax|ylgx，By|ylgx，C(x,y)|ylgx，A、B、C 中元素各表示什么？

2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 如：集合Ax|x22x30，Bx|ax1 若BA，则实数a的值构成的集合为 （答：1，0，） 3. 注意下列性质：

（1）集合a1，a2，……，an的所有子集的个数是2n； （2）若ABABA，ABB； （3）德摩根定律：

13CUABCUACUB，CUABCUACUB

ax50的解集为M，若3M且5M，求实数a

x2a 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于x的不等式的取值范围。

（∵3M，∴

a·35032aa·55025a5a1，9，25）

3∵5M，∴ 5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”()，“且”()和

“非”().

若pq为真，当且仅当p、q均为真

若pq为真，当且仅当p、q至少有一个为真 若p为真，当且仅当p为假

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6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。）

原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。

7. 对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？

（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）

8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域）

9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ 例：函数yx4xlgx32的定义域是

（答：0，22，33，4） 10. 如何求复合函数的定义域？

如：函数f(x)的定义域是a，b，ba0，则函数F(x)f(x)f(x)的定 义域是_____________。 （答：a，a）

11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？ 如：f 令t2x1exx，求f(x). x1，则t0

 ∴xt1 ∴f(t)et21t21 x21x0

∴f(x)ex21 12. 反函数存在的条件是什么？ （一一对应函数）

求反函数的步骤掌握了吗？

（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）

1x 如：求函数f(x)2x1x0的反函数

x0x1x1） （答：f(x)xx0 13. 反函数的性质有哪些？

①互为反函数的图象关于直线y＝x对称； ②保存了原来函数的单调性、奇函数性；

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③设yf(x)的定义域为A，值域为C，aA，bC，则f(a)=bf(b)a f1f(a)f1(b)a，ff1(b)f(a)b 14. 如何用定义证明函数的单调性？ （取值、作差、判正负） 如何判断复合函数的单调性？

1（yf(u)，u(x)，则yf(x)（外层）（内层）

当内、外层函数单调性相同时f(x)为增函数，否则f(x)为减函数。） 如：求ylog1x2x的单调区间

22 （设ux2x，由u0则0x2 且log1u，ux11，如图：

222 u O 1 2 x

当x(0，1]时，u，又log1u，∴y

2 当x[1，2)时，u，又log1u，∴y

2 ∴……）

15. 如何利用导数判断函数的单调性？

在区间a，b内，若总有f'(x)0则f(x)为增函数。（在个别点上导数等于

零，不影响函数的单调性），反之也对，若f'(x)0呢？

如：已知a0，函数f(x)xax在1，上是单调增函数，则a的最大 值是（ ） A. 0

B. 1

23 C. 2 D. 3

aa （令f'(x)3xa3xx0

33中国教育开发网

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则xa或x3a 3a1，即a3 3 由已知f(x)在[1，)上为增函数，则 ∴a的最大值为3）

16. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？ （f(x)定义域关于原点对称）

若f(x)f(x)总成立f(x)为奇函数函数图象关于原点对称 若f(x)f(x)总成立f(x)为偶函数函数图象关于y轴对称

注意如下结论：

（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

（2）若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0)0。

a·2xa2为奇函数，则实数a 如：若f(x)x21 （∵f(x)为奇函数，xR，又0R，∴f(0)0

a·20a20，∴a1） 即0212x， 又如：f(x)为定义在(1，1)上的奇函数，当x(0，1)时，f(x)x41求f(x)在1，1上的解析式。

2x （令x1，0，则x0，1，f(x)x

412x2x 又f(x)为奇函数，∴f(x)x

4114x2xx41 又f(0)0，∴f(x)x24x1 17. 你熟悉周期函数的定义吗？

x(1，0)x0x0，1）

（若存在实数T（T0），在定义域内总有fxTf(x)，则f(x)为周期

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函数，T是一个周期。）

如：若fxaf(x)，则

（答：f(x)是周期函数，T2a为f(x)的一个周期） 又如：若f(x)图象有两条对称轴xa，xb 即f(ax)f(ax)，f(bx)f(bx) 则f(x)是周期函数，2ab为一个周期 如：

18. 你掌握常用的图象变换了吗？ f(x)与f(x)的图象关于y轴对称 f(x)与f(x)的图象关于x轴对称 f(x)与f(x)的图象关于原点对称 f(x)与f1(x)的图象关于直线yx对称 f(x)与f(2ax)的图象关于直线xa对称 f(x)与f(2ax)的图象关于点(a，0)对称 将yf(x)图象左移a(a0)个单位右移a(a0)个单位yf(xa)

yf(xa)上移b(b0)个单位yf(xa)b  yf(xa)b下移b(b0)个单位 注意如下“翻折”变换：

f(x)f(x)f(x)f(|x|)

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如：f(x)log2x1

作出ylog2x1及ylog2x1的图象

y y=log2x O 1 x 19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？

(k<0) y (k>0) y=b O’(a,b) O x x=a （1）一次函数：ykxbk0 （2）反比例函数：y的双曲线。

kkk0推广为ybk0是中心O'(a，b) xxa2b4acb2 （3）二次函数yaxbxca0ax图象为抛物线 2a4a2b4acb2b， 顶点坐标为，对称轴x

4a2a2a 开口方向：a0，向上，函数ymin4acb2

4a a0，向下，ymax4acb2

4a 应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程

ax2bxc0，0时，两根x1、x2为二次函数yax2bxc的图象与x轴

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的两个交点，也是二次不等式ax2bxc0(0)解集的端点值。

②求闭区间［m，n］上的最值。

③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。 ④一元二次方程根的分布问题。

0b2 如：二次方程axbxc0的两根都大于kk

2af(k)0 y (a>0) O k x1 x2 x

一根大于k，一根小于kf(k)0 （4）指数函数：yaxa0，a1  （5）对数函数ylogaxa0，a1 由图象记性质！ （注意底数的限定！）

y y=ax(a>1) (01) 1 O 1 x (0（6）“对勾函数”yxkk0 x 利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？

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y k O k x 20. 你在基本运算上常出现错误吗？ 指数运算：a1(a0)，a amn0p

1(a0) panam(a0)，amn1nam(a0)

对数运算：logaM·NlogaMlogaNM0，N0 logaM1logaMlogaN，loganMlogaM Nnlogax 对数恒等式：ax

对数换底公式：logab 21. 如何解抽象函数问题？

（赋值法、结构变换法）

logcbnlogambnlogab

logcam 如：（1）xR，f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，证明f(x)为奇函数。 （先令xy0f(0)0再令yx，……）

（2）xR，f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，证明f(x)是偶函数。 （先令xytf(t)(t)f(t·t) ∴f(t)f(t)f(t)f(t) ∴f(t)f(t)……）

（3）证明单调性：f(x2)fx2x1x2……

22. 掌握求函数值域的常用方法了吗？

（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。）

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如求下列函数的最值： （1）y2x3134x （2）y2x4 x32x2 （3）x3，y

x3 （4）yx49x （5）y4x2设x3cos，0，

9，x(0，1] x11l·R·R2） 22

R

1弧度 O R 23. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗？ （l·R，S扇

24. 熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义 sinMP，cosOM，tanAT

y T B S P α O M A x

如：若0，则sin，cos，tan的大小顺序是8

又如：求函数y12cosx的定义域和值域。 2 （∵12cosx）12sinx0 2中国教育开发网

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∴sinx2，如图： 2

∴2k5x2kkZ，0y12 44 25. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？

sinx1，cosx1

y ytgx x   O  22

对称点为k

，0，kZ 2 ysinx的增区间为2k，2kkZ 22中国教育开发网

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减区间为2k，2kkZ 22 图象的对称点为k，0，对称轴为xk ycosx的增区间为2k，2kkZ 减区间为2k，2k2 图象的对称点为k3kZ 2kZ

，0，对称轴为xkkZ

2，k2kZ 2 ytanx的增区间为k 26. 正弦型函数y=Asinx+的图象和性质要熟记。或yAcosx （1）振幅|A|，周期T2 || 若fx0A，则xx0为对称轴。

若fx00，则x0，0为对称点，反之也对。 （2）五点作图：令x依次为0，（x，y）作图象。

（3）根据图象求解析式。（求A、、值）

3，，，2，求出x与y，依点 22

(x1)0 如图列出

(x2)2 解条件组求、值

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正切型函数yAtanx，T || 27. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。 如：cosx （∵x23，x，，求x值。 622375513，∴x，∴x，∴x） 26636412

28. 在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？ 如：函数ysinxsin|x|的值域是 （x0时，y2sinx2，2，x0时，y0，∴y2，2） 29. 熟练掌握三角函数图象变换了吗？

（平移变换、伸缩变换） 平移公式：

x'xha(h，k) （1）点P（x，y） P'（x'，y'），则y'yk平移至 （2）曲线f(x，y)0沿向量a(h，k)平移后的方程为f(xh，yk)0 如：函数y2sin2x图象？

（y2sin2x1的图象经过怎样的变换才能得到ysinx的 41横坐标伸长到原来的2倍1y2sin2x1 4241个单位42sinx1y2sinx1上平移y2sinx 4左平移个单位12ysinx） 纵坐标缩短到原来的倍 30. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？

如：1sincossectantan·cotcos·sectan2222 4cos0……称为1的代换。 2 “k·”化为的三角函数——“奇变，偶不变，符号看象限”，

2sin“奇”、“偶”指k取奇、偶数。

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如：cos97tansin2164

又如：函数y A. 正值或负值

sintan，则y的值为coscot

B. 负值

C. 非负值

D. 正值

sin2sincos1cos （y0，∵0）

coscos2sin1cossinsin 31. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗？ 理解公式之间的联系：

sin22sincos sinsincoscossin令coscoscossinsincos2cos2sin2 令tantantan22 2cos112sin 1tan·tan1cos22 1cos2sin22cos2tan2

2tan 1tan2

asinbcos sincosa2b2sin，tan 4 3b a2sin sin3cos2sin 应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中不含三角函数，能求值，尽可能求值。） 具体方法：

（1）角的变换：如，…… 222 （2）名的变换：化弦或化切

（3）次数的变换：升、降幂公式

（4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。 如：已知sincos21，tan，求tan2的值。

1cos23中国教育开发网

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sincoscos1 1，∴tan2sin22sin22 又tan

3 （由已知得：21tantan1 ∴tan2tan32）

1tan·tan12·1832 32. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？

b2c2a2 余弦定理：abc2bccosAcosA

2bc222 （应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。）

a2RsinAabc2Rb2RsinB 正弦定理：sinAsinBsinCc2RsinC S1a·bsinC 2 ∵ABC，∴ABC ∴sinABsinC，sin 如ABC中，2sin （1）求角C；

2ABCcos 22ABcos2C1 2c2，求cos2Acos2B的值。 （2）若ab2222 （（1）由已知式得：1cosAB2cosC11

又ABC，∴2cosCcosC10

21或cosC1（舍） 2 又0C，∴C

31222 （2）由正弦定理及abc得：

232222 2sinA2sinBsinCsin343 1cos2A1cos2B

4 ∴cosC中国教育开发网

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∴cos2Acos2B3） 4 33. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。 反正弦：arcsinx，，x1，1 22 反余弦：arccosx0，，x1，1

 反正切：arctanx，，xR 22 34. 不等式的性质有哪些？

c0acbc （1）ab，

c0acbc （2）ab，cdacbd （3）ab0，cd0acbd （4）ab01111，ab0 ababnnn （5）ab0ab，nab

（6）|x|aa0axa，|x|axa或xa 如：若2110，则下列结论不正确的是（ab2）

A.abB.abb2

C.|a||b||ab| 答案：C

35. 利用均值不等式：

D.ab2 baab a2b22aba，bR；ab2ab；ab求最值时，你是否注

22意到“a，bR”且“等号成立”时的条件，积(ab)或和(ab)其中之一为定

值？（一正、二定、三相等） 注意如下结论：

a2b2ab2ababa，bR 22ab 当且仅当ab时等号成立。

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a2b2c2abbccaa，bR 当且仅当abc时取等号。 ab0，m0，n0，则

bbmana1 aambnb4 如：若x0，23x的最大值为x

（设y23x

42212243 x 当且仅当3x423，又x0，∴x时，ymax243） x3

又如：x2y1，则2x4y的最小值为 （∵2x22y22x2y221，∴最小值为22） 36. 不等式证明的基本方法都掌握了吗？

（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等） 并注意简单放缩法的应用。 如：证明1 （1111…2 22223n111111……1……

1223n1n2232n211

11111……223n1n212）n

37.解分式不等式f(x)aa0的一般步骤是什么？ g(x) （移项通分，分子分母因式分解，x的系数变为1，穿轴法解得结果。） 38. 用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始

如：x1x1x20

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39. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论 如：对数或指数的底分a1或0a1讨论

40. 对含有两个绝对值的不等式如何去解？

（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。） 例如：解不等式|x3|x11 （解集为x|x1） 2 41.会用不等式|a||b||ab||a||b|证明较简单的不等问题 如：设f(x)xx13，实数a满足|xa|1 求证：f(x)f(a)2(|a|1)

证明：|f(x)f(a)||(xx13)(aa13)|

222|(xa)(xa1)|(|xa|1) |xa||xa1||xa1|

|x||a|1 又|x||a||xa|1，∴|x||a|1 ∴f(x)f(a)2|a|22|a|1

（按不等号方向放缩）

42. 不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“△”问题） 如：af(x)恒成立af(x)的最小值 af(x)恒成立af(x)的最大值 af(x)能成立af(x)的最小值

例如：对于一切实数x，若x3x2a恒成立，则a的取值范围是 （设ux3x2，它表示数轴上到两定点2和3距离之和 umin325，∴5a，即a5

或者：x3x2x3x25，∴a5） 43. 等差数列的定义与性质

定义：an1and(d为常数)，ana1n1d

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等差中项：x，A，y成等差数列2Axy

前n项和Sna1annna21nn12d

性质：an是等差数列

（1）若mnpq，则amanapaq；

（2）数列a2n1，a2n，kanb仍为等差数列； Sn，S2nSn，S3nS2n……仍为等差数列；

（3）若三个数成等差数列，可设为ad，a，ad； （4）若an，bn是等差数列Sn，Tn为前n项和，则amS2m1； bmT2m12 （5）an为等差数列Snanbn（a，b为常数，是关于n的常数项为

0的二次函数）

2 Sn的最值可求二次函数Snanbn的最值；或者求出an中的正、负分界

项，即：

当a10，d0，解不等式组an0可得Sn达到最大值时的n值。

a0n1an0 当a10，d0，由可得Sn达到最小值时的n值。

a0n1 如：等差数列an，Sn18，anan1an23，S31，则n （由anan1an233an13，∴an11 又S3

a1a3·33a221，∴a21 311na1anna2an1·n318 ∴Sn222 n27）

44. 等比数列的定义与性质

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定义：an1q（q为常数，q0），ana1qn1 an 等比中项：x、G、y成等比数列G2xy，或Gxy

na1(q1) 前n项和：Sna11qn（要注意!）

(q1)1q 性质：an是等比数列

（1）若mnpq，则am·anap·aq （2）Sn，S2nSn，S3nS2n……仍为等比数列 45.由Sn求an时应注意什么？

（n1时，a1S1，n2时，anSnSn1） 46. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？

例如：（1）求差（商）法

111a12a2……nan2n52221 解：n1时，a1215，∴a114

2111 n2时，a12a2……n1an12n152221 12得：nan2

2 如：an满足 ∴an2n11

2

14(n1) ∴ann1

2(n2)［练习］

数列an满足SnSn15an1，a14，求an 3Sn14 Sn （注意到an1Sn1Sn代入得：n 又S14，∴Sn是等比数列，Sn4

n2时，anSnSn1……3·4n1

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（2）叠乘法

例如：数列an中，a13，an1n，求an ann1 解：

a2aaa12n11·3……n·……，∴n a1a2an123na1n 又a13，∴an3 n （3）等差型递推公式

由anan1f(n)，a1a0，求an，用迭加法

n2时，a2a1f(2)a3a2f(3) 两边相加，得：

…………anan1f(n) ana1f(2)f(3)……f(n) ∴ana0f(2)f(3)……f(n) ［练习］

n1 数列an，a11，an3an1n2，求an

（an1n31） 2 （4）等比型递推公式

ancan1dc、d为常数，c0，c1，d0 可转化为等比数列，设anxcan1x ancan1c1x 令(c1)xd，∴x ∴and c1dd是首项为a，c为公比的等比数列 1c1c1 ∴anddn1a1·c c1c1dn1dc c1c1 ∴ana1中国教育开发网

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［练习］

数列an满足a19，3an1an4，求an

4 （an83 （5）倒数法

n11）

例如：a11，an12an，求an

an2 由已知得：1an1an211 2an2an ∴1an111 an2 111 为等差数列，1，公差为a12an1111n1·n1 an22  ∴an2 n1 47. 你熟悉求数列前n项和的常用方法吗？

例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。 如：an是公差为d的等差数列，求1 k1akak1n 解：由n11111d0

ak·ak1akakddakak1n1111 ∴

aadaak1kk1k1kk1

1111111……da1a2a2a3anan1111da1an1

［练习］ 求和：1111…… 12123123……n中国教育开发网

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（an…………，Sn2 （2）错位相减法：

若an为等差数列，bn为等比数列，求数列anbn（差比数列）前n项

1） n1和，可由SnqSn求Sn，其中q为bn的公比。

如：Sn12x3x4x……nx23n11

2

234n1nxn x·Snx2x3x4x……n1x2n1nxn 12：1xSn1xx……x x1时，Sn1xnxnn1x21x

x1时，Sn123……nnn12

（3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。

Sna1a2……an1an相加

Snanan1……a2a1 2Sna1ana2an1……a1an…… ［练习］

x2111，则f(1)f(2)ff(3)ff(4)f 已知f(x)2341x2

x1 （由f(x)fx1x22x211 2221x1x11x1x2 ∴原式f(1)f(2)ff(3)ff(4)f

121314 111113） 22 48. 你知道储蓄、贷款问题吗？

△零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：

若每期存入本金p元，每期利率为r，n期后，本利和为： Snp1rp12r……p1nrpnnn1r……等差问题 2中国教育开发网

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△若按复利，如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型（按揭贷款——分期等额归还本息的借款种类）

若贷款（向银行借款）p元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，第n次还清。如果每期利率为r（按复利），那么每期应还x元，满足 p(1r)nx1rn1x1rn2……x1rx

n11rn1r1 x x11rr ∴xpr1rn1rn1

p——贷款数，r——利率，n——还款期数

49. 解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。 （1）分类计数原理：Nm1m2……mn （mi为各类办法中的方法数） 分步计数原理：Nm1·m2……mn （mi为各步骤中的方法数）

（2）排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一

列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为Amn.

Annn1n2……nm1mn!mn

nm! 规定：0!1

（3）组合：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并组成一组，叫做从n个不

同元素中取出m个元素的一个组合，所有组合个数记为Cmn.

nn1……nm1Amn! Cn mm!m!nm!Ammn 规定：Cn1 （4）组合数性质： CnCnmnmm101nn，CmCmnCnn1，CnCn……Cn2

0 50. 解排列与组合问题的规律是：

相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法；相

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同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。 如：学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩

xi89，90，91，92，93，(i1，2，3，4)且满足x1x2x3x4，

则这四位同学考试成绩的所有可能情况是（ ） A. 24 B. 15 解析：可分成两类：

C. 12

D. 10

 （1）中间两个分数不相等，

有C55（种）

4

（2）中间两个分数相等 x1x2x3x4

相同两数分别取90，91，92，对应的排列可以数出来，分别有3，4，3种，∴有10种。 ∴共有5＋10＝15（种）情况 51. 二项式定理

(ab)CnaCnan0n1n1n22nrrnbC2b…Crb…Cnnananb

rnr 二项展开式的通项公式：Tr1Cnarbr(r0，1……n)

Cn为二项式系数（区别于该项的系数） 性质：

nr （1）对称性：CrCr0，1，2，……，n nn （2）系数和：CnCn…Cn2 CnCnCn…CnCnCn…2135024n101nn

（3）最值：n为偶数时，n＋1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第

n2；n为奇数时，(n1)为偶数，中间两项的二项式 1项，二项式系数为Cn2n1n1系数最大即第项及第1项，其二项式系数为Cn2Cn2

22 如：在二项式x1的展开式中，系数最小的项系数为表示）

（∵n＝11

11n1n1n（用数字

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∴共有12项，中间两项系数的绝对值最大，且为第 由C11x6r11r126或第7项 2(1)r，∴取r5即第6项系数为负值为最小：

5 C11C11426 又如：12x2004a0a1xa2x2……a2004x2004xR，则

（用数字作答）

a0a1a0a2a0a3……a0a2004 （令x0，得：a01

令x1，得：a0a2……a20041

∴原式2003a0a0a1……a20042003112004） 52. 你对随机事件之间的关系熟悉吗？

（1）必然事件，P)1，不可能事件，P()0

（2）包含关系：AB，“A发生必导致B发生”称B包含A。

A B 

（3）事件的和（并）：AB或AB“A与B至少有一个发生”叫做A与B 的和（并）。

（4）事件的积（交）：A·B或AB“A与B同时发生”叫做A与B的积。

（5）互斥事件（互不相容事件）：“A与B不能同时发生”叫做A、B互斥。 A·B

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（6）对立事件（互逆事件）：

“A不发生”叫做A发生的对立（逆）事件，A AA，AA

（7）独立事件：A发生与否对B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。 A与B独立，A与B，A与B，A与B也相互独立。

53. 对某一事件概率的求法：

分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列组合的方法，即 P(A)A包含的等可能结果m

一次试验的等可能结果的总数n （2）若A、B互斥，则PABP(A)P(B) （3）若A、B相互独立，则PA·BPA·PB （4）P(A)1P(A)

（5）如果在一次试验中A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中A恰好发生

kk次的概率：Pn(k)Ckp1pnnk

如：设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。 （1）从中任取2件都是次品；

C224 P12C1015 （2）从中任取5件恰有2件次品；

3C2104C6 P2521C10 （3）从中有放回地任取3件至少有2件次品；

解析：有放回地抽取3次（每次抽1件），∴n＝103

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而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品” ∴mC3·464

23C2443·4·64 ∴P3

1251032213 （4）从中依次取5件恰有2件次品。

解析：∵一件一件抽取（有顺序） ∴nA10，mC4A5A6

23C2104A5A6 ∴P4 521A105223 分清（1）、（2）是组合问题，（3）是可重复排列问题，（4）是无重复排列问题。

54. 抽样方法主要有：简单随机抽样（抽签法、随机数表法）常常用于总体个数较少时，它的特征是从总体中逐个抽取；系统抽样，常用于总体个数较多时，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一个；分层抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要用于总体中有明显差异，它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等，体现了抽样的客观性和平等性。

55. 对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的概率，用样本的期望（平均值）和方差去估计总体的期望和方差。

要熟悉样本频率直方图的作法： （1）算数据极差xmaxxmin； （2）决定组距和组数； （3）决定分点； （4）列频率分布表； （5）画频率直方图。

其中，频率小长方形的面积组距× 样本平均值：x频率 组距1x1x2……xn n12 样本方差：Sx1x2x2x2……xnx2

n 如：从10名女生与5名男生中选6名学生参加比赛，如果按性别分层随机抽样，则组成此参赛队的概率为____________。

42C10C5 （） 6C15 56. 你对向量的有关概念清楚吗？

（1）向量——既有大小又有方向的量。

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（2）向量的模——有向线段的长度，|a|

 （3）单位向量|a0|1，a0a|a| （4）零向量0，|0|0



长度相等 （5）相等的向量ab

方向相同 在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。

（6）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。 规定零向量与任意向量平行。

b∥a(b0)存在唯一实数，使ba （7）向量的加、减法如图：



 OAOBOC  OAOBBA

（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）

e1，e2是平面内的两个不共线向量，a为该平面任一向量，则存在唯一

实数对1、2，使得a1e12e2，e1、e2叫做表示这一平面内所有向量

的一组基底。

（9）向量的坐标表示

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i，j是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数x，y，使得

axiyj，称(x，y)为向量a的坐标，记作：ax，y，即为向量的坐标

表示。

设ax1，y1，bx2，y2

则abx1，y1y1，y2x1y1，x2y2 ax1，y1x1，y1 若Ax1，y1，Bx2，y2

 则ABx2x1，y2y1  |AB|x2x12y2y12，A、B两点间距离公式

 57. 平面向量的数量积

（1）a·b|a|·|b|cos叫做向量a与b的数量积（或内积）。 为向量a与b的夹角，0，

B  b O  数量积的几何意义：

a D A

 a·b等于|a|与b在a的方向上的射影|b|cos的乘积。 （2）数量积的运算法则 ①a·bb·a

②(ab)ca·cb·c

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③a·bx1，y1·x2，y2x1x2y1y2

注意：数量积不满足结合律(a·b)·ca·(b·c) （3）重要性质：设ax1，y1，bx2，y2 ①a⊥ba·b0x1·x2y1·y20 ②a∥ba·b|a|·|b|或a·b|a|·|b| ab（b0，惟一确定） x1y2x2y10

③a|a|xy，|a·b||a|·|b|

222121 ④cos［练习］

a·b|a|·|b|x1x2y1y2xy·xy21212222

 （1）已知正方形ABCD，边长为1，ABa，BCb，ACc，则 |abc| 答案：22

（2）若向量ax，1，b4，x，当x 答案：2

（3）已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a3b| 答案：13 58. 线段的定比分点

设P1x1，y1，P2x2，y2，分点Px，y，设P1、P2是直线l上两点，P点在

o

时a与b共线且方向相同



l上且不同于P1、P2，若存在一实数，使P1PPP2，则叫做P分有向线段 P1P2所成的比（0，P在线段P1P2内，0，P在P1P2外），且 x1x2x1x2xx12，P为P1P2中点时， 

yyyy22y1y112中国教育开发网

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如：ABC，Ax1，y1，Bx2，y2，Cx3，y3 则ABC重心G的坐标是yy2y3x1x2x3，1

33 ※. 你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗？

59. 立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？ 平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：

线∥线线∥面面∥面 线⊥线线⊥面面⊥面

判定性质线∥线线⊥面面∥面 线面平行的判定：

a∥b，b面，aa∥面

a b  线面平行的性质：

∥面，面，ba∥b 三垂线定理（及逆定理）：

PA⊥面，AO为PO在内射影，a面，则 a⊥OAa⊥PO；a⊥POa⊥AO

线面垂直：

P O a

a⊥b，a⊥c，b，c，bcOa⊥

a O α b c

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面面垂直：

a⊥面，a面⊥

面⊥面，l，a，a⊥la⊥

α a l β

a⊥面，b⊥面a∥b 面⊥a，面⊥a∥

a b 

60. 三类角的定义及求法

（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90°

（2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90° ＝0时，b∥或b

o

（3）二面角：二面角l的平面角，0180

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（三垂线定理法：A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，连AO，则AO⊥棱l，∴∠AOB为所求。）

三类角的求法：

①找出或作出有关的角。

②证明其符合定义，并指出所求作的角。

③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。 ［练习］

（1）如图，OA为α的斜线OB为其在α内射影，OC为α内过O点任一直线。 证明：coscos·cos

A θ O β B C D α

（为线面成角，∠AOC=，∠BOC=）

（2）如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中对角线BD1＝8，BD1与侧面B1BCC1所成的为30°。 ①求BD1和底面ABCD所成的角； ②求异面直线BD1和AD所成的角； ③求二面角C1—BD1—B1的大小。

D1 C1 A1 B1 H G D C A B

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（①arcsin36；②60o；③arcsin） 43 （3）如图ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PD⊥面ABCD，且PD＝AD，求面PAB与面PCD所成的

锐二面角的大小。

P F D C A E B

（∵AB∥DC，P为面PAB与面PCD的公共点，作PF∥AB，则PF为面PCD与面PAB的交线……） 61. 空间有几种距离？如何求距离？

点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。

将空间距离转化为两点的距离，构造三角形，解三角形求线段的长（如：三垂线定理法，或者用等积转化法）。

如：正方形ABCD—A1B1C1D1中，棱长为a，则： （1）点C到面AB1C1的距离为___________； （2）点B到面ACB1的距离为____________；

（3）直线A1D1到面AB1C1的距离为____________； （4）面AB1C与面A1DC1的距离为____________； （5）点B到直线A1C1的距离为_____________。

D C A B D1 C1 A1 B1

62. 你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质？ 正棱柱——底面为正多边形的直棱柱

正棱锥——底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。

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正棱锥的计算集中在四个直角三角形中： RtSOB，RtSOE，RtBOE和RtSBE 它们各包含哪些元素？ S正棱锥侧 V锥1C·h'（C——底面周长，h'为斜高） 21底面积×高 3 63. 球有哪些性质？

（1）球心和截面圆心的连线垂直于截面rR2d2

（2）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此，要找球心角！ （3）如图，θ为纬度角，它是线面成角；α为经度角，它是面面成角。

（4）S球4R，V球24R3 3 （5）球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半径R与内切球半径r之比为R：r＝3：1。

如：一正四面体的棱长均为2，四个顶点都在同一球面上，则此球的表面 积为（ ） A.3B.4C.33D.6

答案：A

64. 熟记下列公式了吗？

（1）l直线的倾斜角0，，ktany2y1，x1x2

x2x12 P1x1，y1，P2x2，y2是l上两点，直线l的方向向量a1，k （2）直线方程：

点斜式：yy0kxx0（k存在） 斜截式：ykxb 截距式：xy1 ab 一般式：AxByC0（A、B不同时为零）

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（3）点Px0，y0到直线l：AxByC0的距离dAx0By0CAB22

（4）l1到l2的到角公式：tank2k1

1k1k2 l1与l2的夹角公式：tank2k1

1k1k2 65. 如何判断两直线平行、垂直？

A1B2A2B1l1∥l2

A1C2A2C1 k1k2l1∥l2（反之不一定成立） A1A2B1B20l1⊥l2 k1·k21l1⊥l2

66. 怎样判断直线l与圆C的位置关系？ 圆心到直线的距离与圆的半径比较。

直线与圆相交时，注意利用圆的“垂径定理”。 67. 怎样判断直线与圆锥曲线的位置？

联立方程组关于x（或y）的一元二次方程“”0相交；0相切；0相离

68. 分清圆锥曲线的定义

椭圆PF1PF22a，2a2cF1F2 第一定义双曲线PF1PF22a，2a2cF1F2

抛物线PFPK 第二定义：ePFPKc a 0e1椭圆；e1双曲线；e1抛物线

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y

b O F1 F2 a x a2x c

x2y2 221ab0

ab a2b2c2



x2y2 221a0，b0

ab c2a2b2

 e>1 e=1 P 0x2y2x2y2 69.与双曲线221有相同焦点的双曲线系为220

abab 70. 在圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程，要注意其二次项系数是否为零？△≥0的限制。

（求交点，弦长，中点，斜率，对称存在性问题都在△≥0下进行。） 弦长公式P1P21kx21x24x1x2

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1212y1y24y1y2 k 71. 会用定义求圆锥曲线的焦半径吗？

如：

y P(x0,y0) K F1 O F2 x l

x2y2 221

aba2 e，PF2ex0ex0a

PKc PF1ex0a

y A P2 O F x P1 B 2 y2pxp0

PF2

通径是抛物线的所有焦点弦中最短者；以焦点弦为直径的圆与准线相切。 72. 有关中点弦问题可考虑用“代点法”。

如：椭圆mxny1与直线y1x交于M、N两点，原点与MN中点连

22线的斜率为2m，则的值为2n

答案：

m2 n2 73. 如何求解“对称”问题？

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（1）证明曲线C：F（x，y）＝0关于点M（a，b）成中心对称，设A（x，y）为曲线C上任意一点，设A'（x'，y'）为A关于点M的对称点。 （由axx'yy'，bx'2ax，y'2by） 22 只要证明A'2ax，2by也在曲线C上，即f(x')y' （2）点A、A'关于直线l对称AA'⊥lAA'中点在l上

kAA'·kl1AA'中点坐标满足l方程22

xrcos74.圆xyr的参数方程为（为参数）

yrsin2xacosx2y2 椭圆221的参数方程为（为参数）

abybsin 75. 求轨迹方程的常用方法有哪些？注意讨论范围。

（直接法、定义法、转移法、参数法）

76. 对线性规划问题：作出可行域，作出以目标函数为截距的直线，在可行域内平移直线，求出目标函数的最值。

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高中数学常用公式及常用结论

1. 元素与集合的关系

xAxCUA,xCUAxA. 2.德摩根公式

CU(AB)CUACUB;CU(AB)CUACUB.

3.包含关系

ABAABBABCUBCUA ACUBCUABR

4.容斥原理

card(AB)cardAcardBcard(AB)

card(ABC)cardAcardBcardCcard(AB)

card(AB)card(BC)card(CA)card(ABC).

nnn 5．集合{a1,a2,,an}的子集个数共有2 个；真子集有2–1个；非空子集有2 –1

个；非空的真子集有2–2个.

6.二次函数的解析式的三种形式

(1)一般式f(x)axbxc(a0); (2)顶点式f(x)a(xh)k(a0); (3)零点式f(x)a(xx1)(xx2)(a0). 7.解连不等式Nf(x)M常有以下转化形式

22nNf(x)M[f(x)M][f(x)N]0

f(x)NMNMN0 ||f(x)Mf(x)2211. f(x)NMN8.方程f(x)0在(k1,k2)上有且只有一个实根,与f(k1)f(k2)0不等价,前者是后

2者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程axbxc0(a0)有且只有一个实根在

kk2b(k1,k2)内,等价于f(k1)f(k2)0,或f(k1)0且k11,或f(k2)0且

2a2k1k2bk2. 22a9.闭区间上的二次函数的最值

二次函数f(x)axbxc(a0)在闭区间p,q上的最值只能在x2b处及区2a间的两端点处取得，具体如下：

(1)当a>0时，若xbbp,q，),f(x)maxmaxf(p),f(q)；则f(x)minf( 2a2axbp,q，f(x)maxmaxf(p),f(q)，f(x)minminf(p),f(q). 2a中国教育开发网

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(2)当a<0时，若xbp,q，则f(x)minminf(p),f(q)，若2axbp,q，则f(x)maxmaxf(p),f(q)，f(x)minminf(p),f(q). 2a10.一元二次方程的实根分布

依据：若f(m)f(n)0，则方程f(x)0在区间(m,n)内至少有一个实根 . 设f(x)x2pxq，则

p24q0（1）方程f(x)0在区间(m,)内有根的充要条件为f(m)0或p；

m2f(m)0f(n)0（2）方程f(x)0在区间(m,n)内有根的充要条件为f(m)f(n)0或p24q0mpn2f(m)0f(n)0或或；

af(n)0af(m)0p24q0（3）方程f(x)0在区间(,n)内有根的充要条件为f(m)0或p .

m211.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据

(1)在给定区间(,)的子区间L（形如,，,，,不同）上含参数的二次不等式f(x,t)0(t为参数)恒成立的充要条件是f(x,t)min0(xL).

(2)在给定区间(,)的子区间上含参数的二次不等式f(x,t)0(t为参数)恒成立的充要条件是f(x,t)man0(xL).

a0a042(3)f(x)axbxc0恒成立的充要条件是b0或2.

c0b4ac012.真值表 ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假 13.常见结论的否定形式 原结论 反设词 原结论 是 不是 至少有一个 都是 不都是 至多有一个 大于 不大于 至少有n个 小于 不小于 至多有n个 对所有x， 存在某x， 成立 不成立 p或q 对任何x， 存在某x， 反设词 一个也没有 至少有两个 至多有（n1）个 至少有（n1）个 p且q 中国教育开发网

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不成立 成立 p且q p或q 14.四种命题的相互关系

原命题 互逆 逆命题 若ｐ则ｑ 若ｑ则ｐ 互 互 互 为 为 互 否 否 逆 逆 否 否 否命题 逆否命题 若非ｐ则非ｑ 互逆 若非ｑ则非ｐ 15.充要条件

（1）充分条件：若pq，则p是q充分条件.

（2）必要条件：若qp，则p是q必要条件.

（3）充要条件：若pq，且qp，则p是q充要条件.

注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 16.函数的单调性

(1)设x1x2a,b,x1x2那么

f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是增函数；

x1x2f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是减函数. (x1x2)f(x1)f(x2)0x1x2(2)设函数yf(x)在某个区间内可导，如果f(x)0，则f(x)为增函数；如果f(x)0，则f(x)为减函数.

17.如果函数f(x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内,和函数f(x)g(x)也是减函数; 如果函数yf(u)和ug(x)在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数yf[g(x)]是增函数.

(x1x2)f(x1)f(x2)018．奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．

19.若函数yf(x)是偶函数，则f(xa)f(xa)；若函数yf(xa)是偶函数，则f(xa)f(xa).

20.对于函数yf(x)(xR),f(xa)f(bx)恒成立,则函数f(x)的对称轴是函数xabab;两个函数yf(xa)与yf(bx) 的图象关于直线x对称. 22a21.若f(x)f(xa),则函数yf(x)的图象关于点(,0)对称; 若

2f(x)f(xa),则函数yf(x)为周期为2a的周期函数.

nn122．多项式函数P(x)anxan1xa0的奇偶性

多项式函数P(x)是奇函数P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零.

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多项式函数P(x)是偶函数P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数yf(x)的图象的对称性

(1)函数yf(x)的图象关于直线xa对称f(ax)f(ax)

f(2ax)f(x).

(2)函数yf(x)的图象关于直线xab对称f(amx)f(bmx) 2f(abmx)f(mx).

24.两个函数图象的对称性

(1)函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于直线x0(即y轴)对称. (2)函数yf(mxa)与函数yf(bmx)的图象关于直线x(3)函数yf(x)和yf1ab对称. 2m(x)的图象关于直线y=x对称.

25.若将函数yf(x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数yf(xa)b的图象；若将曲线f(x,y)0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线f(xa,yb)0的图

象.

26．互为反函数的两个函数的关系

f(a)bf1(b)a.

27.若函数yf(kxb)存在反函数,则其反函数为y11[f(x)b],并不是ky[f1(kxb),而函数y[f1(kxb)是y1[f(x)b]的反函数. k28.几个常见的函数方程

(1)正比例函数f(x)cx,f(xy)f(x)f(y),f(1)c.

(2)指数函数f(x)a,f(xy)f(x)f(y),f(1)a0.

(3)对数函数f(x)logax,f(xy)f(x)f(y),f(a)1(a0,a1).

(4)幂函数f(x)x,f(xy)f(x)f(y),f(1).

'x(5)余弦函数f(x)cosx,正弦函数g(x)sinx，f(xy)f(x)f(y)g(x)g(y)，

f(0)1,limx0g(x)1. x29.几个函数方程的周期(约定a>0)

（1）f(x)f(xa)，则f(x)的周期T=a； （2）f(x)f(xa)0，

1(f(x)0)， f(x)1或f(xa)(f(x)0),

f(x)12或f(x)f(x)f(xa),(f(x)0,1),则f(x)的周期T=2a； 21(f(x)0)，则f(x)的周期T=3a； (3)f(x)1f(xa)f(x1)f(x2)(4)f(x1x2)且f(a)1(f(x1)f(x2)1,0|x1x2|2a)，则

1f(x1)f(x2)f(x)的周期T=4a；

或f(xa)中国教育开发网

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(5)f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a)

f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a),则f(x)的周期T=5a； (6)f(xa)f(x)f(xa)，则f(x)的周期T=6a.

30.分数指数幂 (1)a(2)amn1nmnam1mn（a0,m,nN，且n1）. （a0,m,nN，且n1）.

a31．根式的性质

n（1）(na)a.

（2）当n为奇数时，nana； 当n为偶数时，nan|a|32．有理指数幂的运算性质 (1) aaarsrrsrrrsrsa,a0.

a,a0(a0,r,sQ).

(2) (a)a(a0,r,sQ). (3)(ab)ab(a0,b0,rQ).

注： 若a＞0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.

33.指数式与对数式的互化式

logaNbabN(a0,a1,N0).

34.对数的换底公式

logmN (a0,且a1,m0,且m1, N0).

logmann推论 logamblogab(a0,且a1,m,n0,且m1,n1, N0).

mlogaN35．对数的四则运算法则

若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则 (1)loga(MN)logaMlogaN;

MlogaMlogaN; Nn(3)logaMnlogaM(nR).

(2) loga2236.设函数f(x)logm(axbxc)(a0),记b4ac.若f(x)的定义域为

R,则a0，且0;若f(x)的值域为R,则a0，且0.对于a0的情形,需要

单独检验.

37. 对数换底不等式及其推广

1,则函数ylogax(bx) a11 (1)当ab时,在(0,)和(,)上ylogax(bx)为增函数.

aa11)和(,)上ylogax(bx)为减函数. ， (2)当ab时,在(0,aa 若a0,b0,x0,x中国教育开发网

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推论:设nm1，p0，a0，且a1，则 （1）logmp(np)logmn. （2）logamloganloga2mn. 238. 平均增长率的问题

如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，有

yN(1p)x.

39.数列的同项公式与前n项的和的关系

n1s1,( 数列{an}的前n项的和为sna1a2anss,n2nn140.等差数列的通项公式

an).

ana1(n1)ddna1d(nN*)；

其前n项和公式为

n(a1an)n(n1)na1d 22d1n2(a1d)n. 22sn41.等比数列的通项公式

ana1qn1a1nq(nN*)； q其前n项的和公式为

a1(1qn),q1sn1q

na,q11a1anq,q1或sn1q.

na,q1142.等比差数列an:an1qand,a1b(q0)的通项公式为

b(n1)d,q1anbqn(db)qn1d；

,q1q1其前n项和公式为

nbn(n1)d,(q1)sn. d1qnd(b)n,(q1)1qq11q43.分期付款(按揭贷款)

ab(1b)n每次还款x元(贷款a元,n次还清,每期利率为b).

(1b)n1中国教育开发网

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44．常见三角不等式 （1）若x(0,(2) 若x(0,2)，则sinxxtanx.

2(3) |sinx||cosx|1.

)，则1sinxcosx2. 45.同角三角函数的基本关系式

sin2cos21，tan=

46.正弦、余弦的诱导公式

sin，tancot1. cos(n为偶数) (n为奇数) (n为偶数) (n为奇数) nn(1)2sin,sin() n12(1)2cos,

nn(1)2cos, cos()n12(1)2sin,47.和角与差角公式

sin()sincoscossin;

cos()coscossinsin;

tantantan().

1tantansin()sin()sin2sin2(平方正弦公式); cos()cos()cos2sin2.

asinbcos=a2b2sin()(辅助角所在象限由点(a,b)的象限决

b定,tan ).

a48.二倍角公式

sin2sincos.

cos2cos2sin22cos2112sin2.

2tan. tan221tan49. 三倍角公式

sin33sin4sin34sinsin()sin().

33cos34cos33cos4coscos()cos()333tantan3tan3tantan()tan().

13tan23350.三角函数的周期公式

函数ysin(x)，x∈R及函数ycos(x)，x∈R(A,ω,为常数，且A≠0，

.

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ω＞0)的周期T2；函数ytan(x)，xk2,kZ(A,ω,为常数，且A

≠0，ω＞0)的周期T51.正弦定理

. abc2R. sinAsinBsinC52.余弦定理

a2b2c22bccosA; b2c2a22cacosB; c2a2b22abcosC.

53.面积定理

111ahabhbchc（ha、hb、hc分别表示a、b、c边上的高）. 222111（2）SabsinCbcsinAcasinB.

2221(3)SOAB(|OA||OB|)2(OAOB)2. 2（1）S54.三角形内角和定理

在△ABC中，有ABCC(AB)

CAB2C22(AB). 222k55. 简单的三角方程的通解

sinxaxk(1)arcsina(kZ,|a|1). cosxax2karccosa(kZ,|a|1).

tanxaxkarctana(kZ,aR).

特别地,有

sinsink(1)k(kZ).

coscos2k(kZ).

tantank(kZ).

56.最简单的三角不等式及其解集

sinxa(|a|1)x(2karcsina,2karcsina),kZ.

sinxa(|a|1)x(2karcsina,2karcsina),kZ. cosxa(|a|1)x(2karccosa,2karccosa),kZ.

cosxa(|a|1)x(2karccosa,2k2arccosa),kZ.

tanxa(aR)x(karctana,k2),kZ.

tanxa(aR)x(k2,karctana),kZ.

57.实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数，那么

(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a; (2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa; (3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb. 58.向量的数量积的运算律：

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(1) a·b= b·a （交换律）;

(2)（a）·b= （a·b）=a·b= a·（b）; (3)（a+b）·c= a ·c +b·c. 59.平面向量基本定理

如果e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．

不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 60．向量平行的坐标表示

设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b0，则ab(b0)x1y2x2y10. 53. a与b的数量积(或内积) a·b=|a||b|cosθ． 61. a·b的几何意义

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积． 62.平面向量的坐标运算

(1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a+b=(x1x2,y1y2).

(2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a-b=(x1x2,y1y2). (3)设A(x1,y1)，B(x2,y2),则ABOBOA(x2x1,y2y1).

(4)设a=(x,y),R，则a=(x,y).

(5)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=(x1x2y1y2). 63.两向量的夹角公式

cosx1x2y1y2xyxy21212222(a=(x1,y1),b=(x2,y2)).

64.平面两点间的距离公式 dA,B=|AB|ABAB (x2x1)2(y2y1)2(A(x1,y1)，B(x2,y2)).

65.向量的平行与垂直

设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b0，则 A||bb=λa x1y2x2y10. ab(a0)a·b=0x1x2y1y20. 66.线段的定比分公式

设P1P2的分点,是实数，且PP1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)是线段P1PP2，则

x1x2OPOP21 OP1y1y2111（）. t(1t)OPOPtOP121xy67.三角形的重心坐标公式

△ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则△ABC的重心的坐标是G(x1x2x3y1y2y3,). 3368.点的平移公式

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''xxhxxh''OPOPPP . ''yykyyk注:图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图形F'上的对应点为P(x,y)，且PP的坐标为(h,k).

69.“按向量平移”的几个结论

（1）点P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到点P(xh,yk).

(2) 函数yf(x)的图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C,则C的函数解析式为yf(xh)k.

(3) 图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C,若C的解析式yf(x),则C的函数解析式为yf(xh)k.

(4)曲线C:f(x,y)0按向量a=(h,k)平移后得到图象C,则C的方程为

'''''''''''f(xh,yk)0.

(5) 向量m=(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到的向量仍然为m=(x,y).

70. 三角形五“心”向量形式的充要条件

设O为ABC所在平面上一点，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，则 （1）O为ABC的外心OAOBOC. （2）O为ABC的重心OAOBOC0.

（3）O为ABC的垂心OAOBOBOCOCOA. （4）O为ABC的内心aOAbOBcOC0. （5）O为ABC的A的旁心aOAbOBcOC. 71.常用不等式：

（1）a,bRab2ab(当且仅当a＝b时取“=”号)．

22222abab(当且仅当a＝b时取“=”号)． 2333（3）abc3abc(a0,b0,c0).

（2）a,bR（4）柯西不等式

(a2b2)(c2d2)(acbd)2,a,b,c,dR.

（5）ababab. 72.极值定理

已知x,y都是正数，则有

（1）若积xy是定值p，则当xy时和xy有最小值2p； （2）若和xy是定值s，则当xy时积xy有最大值推广 已知x,yR，则有(xy)(xy)2xy （1）若积xy是定值,则当|xy|最大时,|xy|最大； 当|xy|最小时,|xy|最小.

（2）若和|xy|是定值,则当|xy|最大时, |xy|最小； 当|xy|最小时, |xy|最大.

73.一元二次不等式axbxc0(或0)(a0,b4ac0)，如果a与

2212s. 422ax2bxc同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2bxc异号，则其解集在两根之

间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.

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x1xx2(xx1)(xx2)0(x1x2)； xx1,或xx2(xx1)(xx2)0(x1x2).

74.含有绝对值的不等式 当a> 0时，有

xax2aaxa.

2xax2a2xa或xa.

75.无理不等式 （1）（2）（3）f(x)0 . f(x)g(x)g(x)0f(x)g(x)f(x)0f(x)0. f(x)g(x)g(x)0或g(x)0f(x)[g(x)]2f(x)0. f(x)g(x)g(x)0f(x)[g(x)]276.指数不等式与对数不等式 (1)当a1时,

af(x)ag(x)f(x)g(x);

f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0.

f(x)g(x)(2)当0a1时,

af(x)ag(x)f(x)g(x);

f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0

f(x)g(x)77.斜率公式

ky2y1（P1(x1,y1)、P2(x2,y2)）.

x2x178.直线的五种方程

（1）点斜式 yy1k(xx1) (直线l过点P1(x1,y1)，且斜率为k)． （2）斜截式 ykxb(b为直线l在y轴上的截距).

yy1xx1(y1y2)(P1(x1,y1)、P2(x2,y2) (x1x2)).

y2y1x2x1xy(4)截距式 1(a、b分别为直线的横、纵截距，a、b0)

ab（5）一般式 AxByC0(其中A、B不同时为0).

（3）两点式

79.两条直线的平行和垂直

(1)若l1:yk1xb1，l2:yk2xb2

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①l1||l2k1k2,b1b2; ②l1l2k1k21.

(2)若l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,且A1、A2、B1、B2都不为零,

A1B1C1； A2B2C2②l1l2A1A2B1B20；

①l1||l280.夹角公式

k2k1|.

1k2k1(l1:yk1xb1，l2:yk2xb2,k1k21)

ABA2B1|. (2)tan|12A1A2B1B2(l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,A1A2B1B20).

(1)tan|直线l1l2时，直线l1与l2的夹角是81. l1到l2的角公式

. 2k2k1.

1k2k1(l1:yk1xb1，l2:yk2xb2,k1k21)

ABA2B1(2)tan12.

A1A2B1B2(l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,A1A2B1B20).

(1)tan直线l1l2时，直线l1到l2的角是

. 282．四种常用直线系方程

(1)定点直线系方程：经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为yy0k(xx0)(除直线

xx0),其中k是待定的系数; 经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为A(xx0)B(yy0)0,其中A,B是待定的系数．

(2)共点直线系方程：经过两直线l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20的交点的直线系方程为(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0(除l2)，其中λ是待定的系数．

(3)平行直线系方程：直线ykxb中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．与直线AxByC0平行的直线系方程是AxBy0(0)，λ是参变量．

(4)垂直直线系方程：与直线AxByC0 (A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是

BxAy0,λ是参变量．

83.点到直线的距离

AB84. AxByC0或0所表示的平面区域

设直线l:AxByC0，则AxByC0或0所表示的平面区域是： 若B0，当B与AxByC同号时，表示直线l的上方的区域；当B与AxByCd|Ax0By0C|22(点P(x0,y0),直线l：AxByC0).

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异号时，表示直线l的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.

若B0，当A与AxByC同号时，表示直线l的右方的区域；当A与AxByC异号时，表示直线l的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.

85. (A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0或0所表示的平面区域

设曲线C:(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0（A1A2B1B20），则

(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0或0所表示的平面区域是： (A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0所表示的平面区域上下两部分； (A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0所表示的平面区域上下两部分.

86. 圆的四种方程

（1）圆的标准方程 (xa)(yb)r.

（2）圆的一般方程 xyDxEyF0(D2E24F＞0).

22222xarcos.

ybrsin（4）圆的直径式方程 (xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0(圆的直径的端点是A(x1,y1)、B(x2,y2)).

（3）圆的参数方程 87. 圆系方程

(1)过点A(x1,y1),B(x2,y2)的圆系方程是

(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)[(xx1)(y1y2)(yy1)(x1x2)]0 (xx1)(xx2)(yy1)(yy2)(axbyc)0,其中axbyc0是直线AB的方程,λ是待定的系数．

22(2)过直线l:AxByC0与圆C:xyDxEyF0的交点的圆系方程

是xyDxEyF(AxByC)0,λ是待定的系数．

2222(3) 过圆C1:xyD1xE1yF10与圆C2:xyD2xE2yF20的交

222222点的圆系方程是xyD1xE1yF1(xyD2xE2yF2)0,λ是待定的

系数．

88.点与圆的位置关系

点P(x0,y0)与圆(xa)(yb)r的位置关系有三种 若d(ax0)(by0)，则

22222dr点P在圆外;dr点P在圆上;dr点P在圆内.

89.直线与圆的位置关系

直线AxByC0与圆(xa)(yb)r的位置关系有三种:

222dr相离0; dr相切0; dr相交0.

其中dAaBbCAB22.

90.两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，O1O2d

dr1r2外离4条公切线; dr1r2外切3条公切线;

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r1r2dr1r2相交2条公切线; dr1r2内切1条公切线; 0dr1r2内含无公切线.

91.圆的切线方程

(1)已知圆xyDxEyF0．

①若已知切点(x0,y0)在圆上，则切线只有一条，其方程是

22D(x0x)E(y0y)F0. 22D(x0x)E(y0y)当(x0,y0)圆外时, x0xy0yF0表示过两个切点

22 x0xy0y的切点弦方程．

②过圆外一点的切线方程可设为yy0k(xx0)，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．

③斜率为k的切线方程可设为ykxb，再利用相切条件求b，必有两条切线．

(2)已知圆xyr．

2①过圆上的P0(x0,y0)点的切线方程为x0xy0yr;

222②斜率为k的圆的切线方程为ykxr1k2.

xacosx2y292.椭圆221(ab0)的参数方程是.

abybsinx2y293.椭圆221(ab0)焦半径公式

aba2a2PF1e(x)，PF2e(x).

cc94．椭圆的的内外部

x2y2（1）点P(x0,y0)在椭圆221(ab0)的内部abx2y2（2）点P(x0,y0)在椭圆221(ab0)的外部ab95. 椭圆的切线方程

22x0y01. a2b222x0y021. 2abx2y2xxyy(1)椭圆221(ab0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是02021.

ababx2y2 （2）过椭圆221(ab0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是

abx0xy0y21. a2bx2y2 （3）椭圆221(ab0)与直线AxByC0相切的条件是

ab22222AaBbc.

x2y296.双曲线221(a0,b0)的焦半径公式

ab中国教育开发网

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a2a2PF1|e(x)|，PF2|e(x)|.

cc97.双曲线的内外部

x2y2(1)点P(x0,y0)在双曲线221(a0,b0)的内部abx2y2(2)点P(x0,y0)在双曲线221(a0,b0)的外部ab98.双曲线的方程与渐近线方程的关系

22x0y01. a2b222x0y021. 2abx2y2x2y2b(1）若双曲线方程为221渐近线方程：220yx.

ababax2y2xyb (2)若渐近线方程为yx0双曲线可设为22.

ababax2y2x2y2 (3)若双曲线与221有公共渐近线，可设为22（0，焦点在x

abab轴上，0，焦点在y轴上）.

99. 双曲线的切线方程

x2y2xxyy (1)双曲线221(a0,b0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是02021.

ababx2y2 （2）过双曲线221(a0,b0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是

abx0xy0y21. 2abx2y2 （3）双曲线221(a0,b0)与直线AxByC0相切的条件是

abA2a2B2b2c2.

2100. 抛物线y2px的焦半径公式

p2抛物线y2px(p0)焦半径CFx0.

2pp过焦点弦长CDx1x2x1x2p.

222y2101.抛物线y2px上的动点可设为P(,y)或P(2pt2,2pt)或 P(x,y)，其中

2py22px.

b24acb2)(a0)的图象是抛物线：（1）102.二次函数yaxbxca(x2a4ab4acb2b4acb21,)；（2）焦点的坐标为(,)；（3）准线方程是顶点坐标为(2a4a2a4a4acb21y.

4a2103.抛物线的内外部

2(1)点P(x0,y0)在抛物线y2px(p0)的内部y2px(p0). 2点P(x0,y0)在抛物线y2px(p0)的外部y2px(p0).

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(2)点P(x0,y0)在抛物线y2px(p0)的内部y2px(p0). 点P(x0,y0)在抛物线y2px(p0)的外部y2px(p0). (3)点P(x0,y0)在抛物线x2py(p0)的内部x2py(p0). 点P(x0,y0)在抛物线x2py(p0)的外部x2py(p0). (4) 点P(x0,y0)在抛物线x2py(p0)的内部x2py(p0). 点P(x0,y0)在抛物线x2py(p0)的外部x2py(p0). 104. 抛物线的切线方程

2(1)抛物线y2px上一点P(x0,y0)处的切线方程是y0yp(xx0).

2 （2）过抛物线y2px外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是y0yp(xx0).

222222222222 （3）抛物线y2px(p0)与直线AxByC0相切的条件是pB2AC.

105.两个常见的曲线系方程

(1)过曲线f1(x,y)0,f2(x,y)0的交点的曲线系方程是

22f1(x,y)f2(x,y)0(为参数).

x2y221,其中kmax{a2,b2}.当(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程2akbkkmin{a2,b2}时,表示椭圆; 当min{a2,b2}kmax{a2,b2}时,表示双曲线.

106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB(x1x2)2(y1y2)2或

AB(1k2)(x2x1)2|x1x2|1tan2|y1y2|1cot2（弦端点

A(x1,y1),B(x2,y2)，由方程ykxb2 消去y得到axbxc0，0,为直线

F(x,y)0AB的倾斜角，k为直线的斜率）.

107.圆锥曲线的两类对称问题

（1）曲线F(x,y)0关于点P(x0,y0)成中心对称的曲线是F(2x0-x,2y0y)0. （2）曲线F(x,y)0关于直线AxByC0成轴对称的曲线是

F(x2A(AxByC)2B(AxByC),y)0. 2222ABAB222108.“四线”一方程

2对于一般的二次曲线AxBxyCyDxEyF0，用x0x代x，用y0y代y，

用

x0yxy0xxyy代xy，用0代x，用0代y即得方程 222xyxy0xxyyAx0xB0Cy0yD0E0F0，曲线的切线，切点弦，中点

222弦，弦中点方程均是此方程得到.

109．证明直线与直线的平行的思考途径 （1）转化为判定共面二直线无交点； （2）转化为二直线同与第三条直线平行； （3）转化为线面平行； （4）转化为线面垂直； （5）转化为面面平行.

110．证明直线与平面的平行的思考途径 （1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行；

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（3）转化为面面平行.

111．证明平面与平面平行的思考途径 （1）转化为判定二平面无公共点； （2）转化为线面平行； （3）转化为线面垂直.

112．证明直线与直线的垂直的思考途径 （1）转化为相交垂直； （2）转化为线面垂直；

（3）转化为线与另一线的射影垂直； （4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 113．证明直线与平面垂直的思考途径

（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面； （5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114．证明平面与平面的垂直的思考途径 （1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直.

115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律：a＋b=b＋a．

(2)加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)． (3)数乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb．

116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.

117.共线向量定理

对空间任意两个向量a、b(b≠0 )，a∥b存在实数λ使a=λb．

P、A、B三点共线AP||ABAPtABOP(1t)OAtOB.

AB||CDAB、CD共线且AB、CD不共线ABtCD且AB、CD不共线.

118.共面向量定理

向量p与两个不共线的向量a、b共面的存在实数对x,y,使paxby． 推论 空间一点P位于平面MAB内的存在有序实数对x,y,使MPxMAyMB， 或对空间任一定点O，有序实数对x,y，使OPOMxMAyMB.

119.对空间任一点O和不共线的三点A、B、C，满足OPxOAyOBzOC（xyzk），则当k1时，对于空间任一点O，总有P、A、B、C四点共面；当k1时，若O平面ABC，则P、A、B、C四点共面；若O平面ABC，则P、A、B、C四点不共面．

A、B、 C、D 四点共面AD与AB、AC共面ADxAByAC

OD(1xy)OAxOByOC（O平面ABC）.

120.空间向量基本定理

如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc．

推论 设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使OPxOAyOBzOC.

121.射影公式

已知向量AB=a和轴l，e是l上与l同方向的单位向量.作A点在l上的射影A，作B

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点在l上的射影B'，则

A'B'|AB|cos〈a，e〉=a·e

122.向量的直角坐标运算

设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)则 (1)a＋b＝(a1b1,a2b2,a3b3)； (2)a－b＝(a1b1,a2b2,a3b3)； (3)λa＝(a1,a2,a3) (λ∈R)； (4)a·b＝a1b1a2b2a3b3； 123.设A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则

ABOBOA= (x2x1,y2y1,z2z1).

124．空间的线线平行或垂直

设a(x1,y1,z1)，b(x2,y2,z2)，则

x1x2abab(b0)y1y2；

zz21abab0x1x2y1y2z1z20.

125.夹角公式

设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，则 cos〈a，b〉=a1b1a2b2a3b3aaa212223bbb2222推论 (a1b1a2b2a3b3)(aaa)(b1b2b3)，此即三维柯西不等式.

212122222323.

126. 四面体的对棱所成的角

四面体ABCD中, AC与BD所成的角为,则

|(AB2CD2)(BC2DA2)|cos.

2ACBD127．异面直线所成角

cos|cosa,b|

=

|ab||a||b||x1x2y1y2z1z2|xyzx2y2z2212121222

（其中（090）为异面直线a, b所成角，a,b分别表示异面直线a,b的方向向量）

128.直线AB与平面所成角

ABm(m为平面的法向量).

|AB||m|129.若ABC所在平面若与过若AB的平面成的角,另两边AC,BC与平面成的角分别是1、2,A、B为ABC的两个内角，则

arcsinsin21sin22(sin2Asin2B)sin2.

特别地,当ACB90时,有

sin21sin22sin2.

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130.若ABC所在平面若与过若AB的平面成的角,另两边AC,BC与平面成的角分别是1、2,A、B为ABO的两个内角，则

''tan21tan22(sin2A'sin2B')tan2.

特别地,当AOB90时,有

sin21sin22sin2. 131.二面角l的平面角

arccosmnmn或arccos（m，n为平面，的法向量）.

|m||n||m||n|132.三余弦定理

设AC是α内的任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C，又设AO与AB所成的角为1，AB与AC所成的角为2，AO与AC所成的角为．则coscos1cos2.

133. 三射线定理

若夹在平面角为的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是1,2,与二面

2222角的棱所成的角是θ，则有sinsinsin1sin22sin1sin2cos ;

|12|180(12)(当且仅当90时等号成立).

134.空间两点间的距离公式

若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则

ABAB(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2. 135.点Q到直线l距离

1h(|a||b|)2(ab)2(点P在直线l上，直线l的方向向量a=PA，向量

|a| dA,B=|AB|b=PQ).

136.异面直线间的距离

d|CDn|(l1,l2是两异面直线，其公垂向量为n，C、D分别是l1,l2上任一点，d为|n|l1,l2间的距离).

137.点B到平面的距离

|ABn|（n为平面的法向量，AB是经过面的一条斜线，A）. d|n|138.异面直线上两点距离公式

dh2m2n22mncos.

dh2m2n22mncosEA',AF. dh2m2n22mncos（EAA'F）.

(两条异面直线a、b所成的角为θ，其公垂线段AA的长度为h.在直线a、b上分别取两点E、F，AEm,AFn,EFd). 139.三个向量和的平方公式

(abc)2abc2ab2bc2ca

222222''abc2|a||b|cosa,b2|b||c|cosb,c2|c||a|cosc,a

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140. 长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为l1、l2、l3，夹角分别为1、2、3,则有

l2l12l22l32cos21cos22cos231sin21sin22sin232.

（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.

141. 面积射影定理

S'S.

cos(平面多边形及其射影的面积分别是S、S，它们所在平面所成锐二面角的为). 142. 斜棱柱的直截面

已知斜棱柱的侧棱长是l,侧面积和体积分别是S斜棱柱侧和V斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是c1和S1,则

①S斜棱柱侧c1l. ②V斜棱柱S1l.

143．作截面的依据

三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行. 144．棱锥的平行截面的性质

如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．

145.欧拉定理(欧拉公式)

VFE2(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F).

（1）E=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为n的多边形，则面数F与棱数E的关系：E'1nF； 21mV. 2（2）若每个顶点引出的棱数为m，则顶点数V与棱数E的关系：E146.球的半径是R，则

43R, 32其表面积S4R．

其体积V147.球的组合体

(1)球与长方体的组合体:

长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:

正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体:

棱长为a的正四面体的内切球的半径为148．柱体、锥体的体积

66a,外接球的半径为a. 1241V柱体Sh（S是柱体的底面积、h是柱体的高）.

31V锥体Sh（S是锥体的底面积、h是锥体的高）.

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149.分类计数原理（加法原理） Nm1m2mn. 150.分步计数原理（乘法原理） Nm1m2mn. 151.排列数公式

Anm=n(n1)(nm1)=

注:规定0!1. 152.排列恒等式

mm1(1）An(nm1)An;

n！*

.(n，m∈N，且mn)．

(nm)！nmAn1; nmmm1（3）AnnAn1;

（2）Anmnn1n（4）nAnAn1An; mmm1（5）An1AnmAn.

(6) 1!22!33!153.组合数公式

mnnn!(n1)!1.

n！Anmn(n1)(nm1)*

C=m==(n∈N，mN，且mn).

m！(nm)！12mAm154.组合数的两个性质 (1)Cn=Cnmmnm ; =Cn1.

m(2) Cn+Cnm10注:规定Cn1.

155.组合恒等式

nm1m1Cn; mnmm（2）CnCn1;

nmnm1m（3）CnCn1;

m（1）Cnm （4）

rCn=2n; r0rrnrrrr1（5）CCr1Cr2CnCn1. 012rnn(6)CnCnCnCnCn2. 135024n1(7)CnCnCnCnCnCn2. 123nn1 (8)Cn2Cn3CnnCnn2. r0r110rrr(9)CmCnCmCnCmCnCmn.

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021222n2n(10)(Cn)(Cn)(Cn)(Cn)C2n.

156.排列数与组合数的关系

mmAnm！Cn .

157．单条件排列

以下各条的大前提是从n个元素中取m个元素的排列. （1）“在位”与“不在位”

mm1m1①某（特）元必在某位有An1种；②某（特）元不在某位有AnAn1（补集思想）

1m1m1m1An1An1（着眼位置）An1Am1An1（着眼元素）种.

（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）

①定位紧贴：k(kmn)个元在固定位的排列有AkAnk种.

②浮动紧贴：n个元素的全排列把k个元排在一起的排法有Ank1Ak种.注：此类问题常用捆绑法；

③插空：两组元素分别有k、h个（kh1），把它们合在一起来作全排列，k个的一组互不能挨近的所有排列数有AhAh1种.

（3）两组元素各相同的插空

m个大球n个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？

nAmn1当nm1时，无解；当nm1时，有nCm1种排法.

Anhkkmknk1k（4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为Cmn. 158．分配问题

（1）(平均分组有归属问题)将相异的m、n个物件等分给m个人，各得n件，其分配方法数共有NCmnCmnnCmn2nC2nCnnnnnnn(mn)!. m(n!)（2）(平均分组无归属问题)将相异的m·n个物体等分为无记号或无顺序的m堆，其分配方法数共有

nnnnnCmnCmn(mn)!nCmn2n...C2nCnN.

m!m!(n!)m（3）(非平均分组有归属问题)将相异的P(P=n1+n2++nm)个物体分给m个人，物件

必须被分完，分别得到n1，n2，…，nm件，且n1，n2，…，nm这m个数彼此不相等，则

nmn1n2其分配方法数共有NCpCpn1...Cnmm!p!m!.

n1!n2!...nm!（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的P(P=n1+n2+nmn1n2CpCpn1...Cnmm!+nm)个物体分给m个人，

物件必须被分完，分别得到n1，n2，…，nm件，且n1，n2，…，nm这m个数中分别有a、b、c、…个相等，则其分配方法数有Na!b!c!... p!m!.

n1!n2!...nm!(a!b!c!...)（5）(非平均分组无归属问题)将相异的P(P=n1+n2++nm)个物体分为任意的n1，

n2，…，nm件无记号的m堆，且n1，n2，…，nm这m个数彼此不相等，则其分配方法数

p!有N.

n1!n2!...nm!（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的P(P=n1+n2++nm)个物体分为任意的n1，

n2，…，nm件无记号的m堆，且n1，n2，…，nm这m个数中分别有a、b、c、…个相等，

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则其分配方法数有Np!.

n1!n2!...nm!(a!b!c!...)（7）(限定分组有归属问题)将相异的p（pn1+n2++nm）个物体分给甲、乙、丙，……

等m个人，物体必须被分完，如果指定甲得n1件，乙得n2件，丙得n3件，…时，则无论n1，

n2，…，nm等m个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有

nmn1n2NCpCpn1...Cnmp!.

n1!n2!...nm!159．“错位问题”及其推广

贝努利装错笺问题:信n封信与n个信封全部错位的组合数为

1111(1)n]. 2!3!4!n!推广: n个元素与n个位置,其中至少有m个元素错位的不同组合总数为 f(n)n![1234f(n,m)n!Cm(n1)!Cm(n2)!Cm(n3)!Cm(n4)!(1)C(np)!ppm(1)C(nm)!pCm(1)pAnpmmm

1234CmCmCmCmn![11224AnAnAnAnmCm(1)m].

Anm160．不定方程x1+x2+(1)方程x1+x2+(2) 方程x1+x2+(3) 方程x1+x2+n1+xnm的解的个数

n1+xnm（n,mN）的正整数解有Cm个. 11+xnm（n,mN）的非负整数解有 Cnn个. m1+xnm（n,mN）满足条件xik(kN,2in1)+xnm（n,mN）满足条件xik(kN,2in1)

2n1(1)n2CnnCm1(n2)k个. 2的非负整数解有Cm1(n2)(k1)个.

(4) 方程x1+x2+161.二项式定理

0n1n12n22rnrrnn(ab)nCnaCnabCnabCnabCnb ;

n11n12n1的正整数解有CnCCCCm1n2mnk2n2mn2k3二项展开式的通项公式

rnrrTr1Cnab(r0，1，2，n).

162.等可能性事件的概率

P(A)m. n163.互斥事件A，B分别发生的概率的和 P(A＋B)=P(A)＋P(B)．

164.n个互斥事件分别发生的概率的和

P(A1＋A2＋…＋An)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)． 165.独立事件A，B同时发生的概率 P(A·B)= P(A)·P(B).

166.n个独立事件同时发生的概率

P(A1· A2·…· An)=P(A1)· P(A2)·…· P(An)． 167.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率

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kkPn(k)CnP(1P)nk.

168.离散型随机变量的分布列的两个性质

); （1）Pi0(i1,2,（2）P1P2169.数学期望

1.

xnPn

Ex1P1x2P2170.数学期望的性质

（1）E(ab)aE()b. （2）若～B(n,p),则Enp.

(3) 若服从几何分布,且P(k)g(k,p)q171.方差

k1p，则E21. pDx1Ep1x2Ep2172.标准差

22xnEpn

=D.

173.方差的性质

(1)DabaD；

2(2）若～B(n,p)，则Dnp(1p).

(3) 若服从几何分布,且P(k)g(k,p)qk1p，则Dq. 2p174.方差与期望的关系

DE2E.

175.正态分布密度函数

2fx1e262x262,x,，式中的实数μ，（>0）是参数，分别表

示个体的平均数与标准差.

176.标准正态分布密度函数

1e,x,. 262177.对于N(,)，取值小于x的概率

xFx.

Px1x0x2Pxx2Pxx1 fxx22Fx2Fx1

xx12.

178.回归直线方程

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nnxixyiyxiyinxybi1ni1n2. yabx，其中xixxi2nx2i1i1aybx179.相关系数

rxxyyiii1n(xx)(yy)2iii1i1nn 2xxyyiii1n(xi2nx2)(yi2ny2)i1i1nn. |r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小. 180.特殊数列的极限

0n（1）limq1n不存在|q|1q1|q|1或q1.

0(kt)aknkak1nk1a0at（2）lim(kt).

nbntbnt1b0tt1bk不存在 (kt)（3）Slimna11qn1qxx0a1n1（S无穷等比数列a1q (|q|1)的和）. 1q181. 函数的极限定理

xx0limf(x)alimf(x)limf(x)a.

xx0182.函数的夹逼性定理

如果函数f(x)，g(x)，h(x)在点x0的附近满足： （1）g(x)f(x)h(x);

（2）limg(x)a,limh(x)a（常数）,

xx0xx0则limf(x)a.

xx0本定理对于单侧极限和x的情况仍然成立. 183.几个常用极限

1； 0，liman0（|a|1）

nnn11（2）limxx0，lim.

xx0xxx0x0（1）lim184.两个重要的极限 （1）limsinx1；

x0xx1（2）lim1e(e=2.718281845…).

xx185.函数极限的四则运算法则

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若limf(x)a，limg(x)b，则

xx0xx0(1)limfxgxab；

xx0(2)limfxgxab;

xx0(3)limxx0fxab0. gxbn186.数列极限的四则运算法则 若limana,limbnb，则

n(1)limanbnab；

n(2)limanbnab；

n(3)limanab0

nbbnnnn(4)limcanlimclimanca( c是常数). 187.f(x)在x0处的导数（或变化率或微商）

f(x0)yxx0limf(x0x)f(x0)y. limx0xx0x188.瞬时速度

s(t)limav(t)limss(tt)s(t). limt0tt0t189.瞬时加速度

vv(tt)v(t). limt0tt0t190.f(x)在(a,b)的导数

dydfyf(xx)f(x). f(x)ylimlimdxdxx0xx0x191. 函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义

函数yf(x)在点x0处的导数是曲线yf(x)在P(x0,f(x0))处的切线的斜率f(x0)，相应的切线方程是yy0f(x0)(xx0).

192.几种常见函数的导数 (1) C0（C为常数）.

'n1(2) (xn)nx(nQ).

(3) (sinx)cosx. (4) (cosx)sinx. (5) (lnx)11ex；(loga)loga. xxxxxx(6) (e)e; (a)alna.

（1）(uv)uv. （2）(uv)uvuv.

''''''193.导数的运算法则

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u'u'vuv'(v0). （3）()2vv194.复合函数的求导法则

''设函数u(x)在点x处有导数ux(x)，函数yf(u)在点x处的对应点U处有'''''导数yuf(u)，则复合函数yf((x))在点x处有导数，且yxyuux，或写作

fx'((x))f'(u)'(x).

195.常用的近似计算公式（当x充小时）

1n1x;1x1x； 2n1(2)(1x)1x(R)； 1x；

1xx(3)e1x； (4)ln(1x)x；

(5)sinxx（x为弧度）； (6)tanxx（x为弧度）； (7)arctanxx（x为弧度）

196.判别f(x0)是极大（小）值的方法

(1)1x1当函数f(x)在点x0处连续时，

（1）如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则f(x0)是极大值； （2）如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则f(x0)是极小值. 197.复数的相等

abicdiac,bd.（a,b,c,dR） 198.复数zabi的模（或绝对值）

|z|=|abi|=a2b2. 199.复数的四则运算法则

(1)(abi)(cdi)(ac)(bd)i; (2)(abi)(cdi)(ac)(bd)i; (3)(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i; (4)(abi)(cdi)acbdbcad2i(cdi0). 222cdcd200.复数的乘法的运算律

对于任何z1,z2,z3C，有 交换律:z1z2z2z1.

结合律:(z1z2)z3z1(z2z3). 分配律:z1(z2z3)z1z2z1z3 . 201.复平面上的两点间的距离公式

d|z1z2|(x2x1)2(y2y1)2（z1x1y1i，z2x2y2i）.

202.向量的垂直

非零复数z1abi，z2cdi对应的向量分别是OZ1，OZ2，则 OZ1OZ2z1z2的实部为零z2222为纯虚数|z1z2||z1||z2| z1中国教育开发网

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|z1z2|2|z1|2|z2|2|z1z2||z1z2|acbd0z1iz2 (λ为非

零实数).

203.实系数一元二次方程的解

实系数一元二次方程axbxc0，

2bb24ac①若b4ac0,则x1,2;

2ab2②若b4ac0,则x1x2;

2a2③若b4ac0，它在实数集R内没有实数根；在复数集C内有且仅有两个共轭

2b(b24ac)i2复数根x(b4ac0).

2a

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