必刷提高练【13.1轴对称】(原卷版)-2021-2022学年八年级数学上册必刷题闯关练(人教版)

第13章《轴对称》

13.1 轴对称

知识点1：线段垂直平分线的性质

【典型例题1】（2021•越秀区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，连接AD，AD将∠CAB分成两个角，且∠CAD：∠BAD＝2：5，则∠ADC的度数是（ ）

A．70°

B．75°

C．80°

D．85°

解：设∠CAD＝2x°，∠BAD＝5x°， ∵AB的垂直平分线是DE， ∴BD＝AD， ∴∠BAD＝∠B， 即∠B＝5x°， ∵∠C＝90°， ∴∠CAB+∠B＝90°， ∴2x+5x+5x＝90， 解得：x＝

，

）°，

）°+（

）°＝75°，

即∠B＝∠BAD＝（

∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝（

故选：B．

【变式训练1-1】（2021春•乾县期末）如图，在△ABC中，AB边的中垂线DE，分别与AB、AC边交于点D、E两点，BC边的中垂线FG，分别与BC、AC边交于点F、G两点，连接BE、BG．若△BEG的周长为16，GE＝1．则AC的长为（ ）

A．13

B．14

C．15

D．16

【变式训练1-2】（2021•南安市模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，直线DE垂直平分AB，交AB于点D，交AC于点E，过点D作DH⊥AC于点H，已知BC＝3，AC＝4，则EH的长为（ ）

A．

B．

C．

D．

【变式训练1-3】（2020秋•九龙坡区校级期末）如图，AE是∠CAM的角平分线，点B在射线AM上，DE是线段BC的中垂线交AE于E，过点E作AM的垂线交AM于点F．若∠ACB＝28°，∠EBD＝25°，则∠AED＝ °．

【变式训练1-4】（2021春•罗湖区校级期末）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A＝60°，∠ACF＝48°，则∠ABC的度数为 ．

【变式训练1-5】（2021秋•天山区校级期中）如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分边AC和边BC，交边AB于M，N两点，DM与EN相交于点F． （1）若AB＝3cm，求△CMN的周长． （2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．

【变式训练1-6】（2021秋•灌南县期中）如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F．

（1）若BC＝10，求△AEF周长． （2）若∠BAC＝128°，求∠FAE的度数．

知识点2：生活中的轴对称现象

【典型例题2】观察下图中各组图形，其中成轴对称的为 （只写序号1，2等）．

解：3中的伞把不对称，故填①②④ 故填①②④

【变式训练2-1】（2020春•偃师市期末）如图，弹性小球从点P（0，1）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为P1（﹣2，0），第2次碰到正方形的边时的点为P2，…，第n次碰到正方形的边时的点为Pn，则点P2020的坐标是（ ）

A．（0，1）

B．（﹣2，4）

C．（﹣2，0）

D．（0，3）

【变式训练2-2】（2007•绍兴）如图的方格纸中，左边图形到右边图形的变换是（ ）

A．向右平移7格

B．以AB的垂直平分线为对称轴作轴对称变换，再以AB为对称轴作轴对称变换 C．绕AB的中点旋转180°，再以AB为对称轴作轴对称 D．以AB为对称轴作轴对称，再向右平移7格

【变式训练2-3】下面四个图形是标出了长宽之比的台球桌的俯视图，一个球从一个角落以45°角击出，在桌子边沿回弹若干次后，最终必将落入角落的一个球囊．图1中回弹次数为1次，图2中回弹次数为2次，图3中回弹次数为3次，图4中回弹次数为5次．若某台球桌长宽之比为5：4，按同样的方式击球，球在边沿回弹的次数为（ ）次．

A．6

B．7

C．8

D．9

【变式训练2-4】弹子盘为长方形ABCD，四角有洞，弹子从A出发，路线与小正方形的边成45°角，撞到边界即反弹（如图所示）．AB＝4，AD＝3，弹子最后落入B洞．那么，当AB＝9，AD＝8时，弹子最后落入 洞，在落入洞之前，撞击BC边 次．

【变式训练2-5】如图，长方形台球桌ABCD上有两个球E，F．（保留作图痕迹，工具不限） （1）请你设计一条路径，使得球F撞击台球桌边AB反射后，撞到球E；

（2）请你设计一条路径，使得球F连续撞击台球桌边AB、BC反射后，撞到球E．

【变式训练2-6】指出下列图形中的轴对称图形，是轴对称图形的指出对称轴．

知识点3：轴对称的性质

【典型例题3】（2020秋•饶平县校级期末）如图，点P是∠AOB外的一点，点Q是点P关于OA的对称点，点R是点P关于OB的对称点，直线QR分别交∠AOB两边OA，OB于点M，N，连接PM，PN，如果∠PMO＝33°，∠PNO＝70°，求∠QPN的度数．

解：∵点Q和点P关于OA的对称， 点R和点P关于OB的对称

∴直线OA、OB分别是PQ、PR的中垂线， ∴MP＝MQ，NP＝NR，

∴∠PMO＝∠QMO，∠PNO＝∠RNO， ∵∠PMO＝3 3°，∠PNO＝70°

∴∠PMO＝∠QMO＝33°，∠PNO＝∠RNO＝70° ∴∠PMQ＝66°，∠PNR＝140° ∴∠MQP＝57°，

∴∠PQN＝123°，∠PNQ＝40°， ∴∠QPN＝17°．

【变式训练3-1】（2021秋•连江县期中）如图，△ABC与△A1B1C1关于直线l对称，若∠A＝60°，∠C1＝20°，则∠B1的度数为（ ）

A．130°

B．120°

C．110°

D．100°

【变式训练3-2】（2021秋•滨湖区期中）如图，点P是∠AOB内一点，OP＝m，∠AOB＝α，点P关于直线OA的对称点为点Q、关于直线OB的对称点为点T，连接QT，分别交OA、OB于点M、N，连接PM、PN，下列结论：①∠OTQ＝90°﹣α；②当α＝30°时，△PMN的周长为m；③0＜QT＜2m；④∠MPN＝180°﹣2α，其中正确的是（ ）

A．①②

B．③④

C．①②④

D．①②③④

【变式训练3-3】（2021•南通一模）如图，在Rt△ACB中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，△ABD与△ADB′关于直线AD对称，点B的对称点是点B′，若∠B′AC＝14°，则∠B的度数为（ ）

A．38°

B．48°

C．50°

D．52°

【变式训练3-4】（2020秋•金平区校级期中）如图，AD，BE在AB的同侧，AD＝4，BE＝4，AB＝8，点C为AB的中点，若∠DCE＝120°，则DE的最大值是 12 ．

【变式训练3-5】已知∠AOB＝60°，点P在∠AOB的内部，P1是点P关于OA的对称点，P2是点P关于OB的对称点，若OP＝6，则P1P2＝ 【变式训练3-6】（2021•香洲区校级模拟）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点P为边BC上的一点，BC＝3BP，且∠PAB＝15°，点C关于直线PA的对称点为D，连接BD，又△APC的PC边上的高为AH （1）求∠BPD的大小；

（2）判断直线BD，AH是否平行？并说明理由； （3）证明：∠BAP＝∠CAH．

【变式训练3-7】（2018秋•长寿区校级月考）如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点．求证：AB﹣AC＞PB﹣PC．

知识点4：轴对称图形

【典型例题4】（2020秋•房山区期末）我们将满足等式x2+y2＝1+|x|y的每组x，y的值在平面直角坐标系中画出，便会得到如图所示的“心形”图形．下面四个结论中， ①“心形”图形是轴对称图形； ②“心形”图形所围成的面积小于3；

③“心形”图形上任意一点到原点的距离都不超过

；

④“心形”图形恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）． 所有正确结论的序号是 ①③④ ．

解：如图，由题意，E（﹣1，1），F（1，1），G（﹣1，0），H（1，0），T（0，﹣1）． 观察图像可知，“心形”图形是轴对称图形，故①正确， ∵“心形”图形所围成的面积＞五边形EFHTG的面积， ∴“心形”图形所围成的面积＞3，故②错误， ∵当x＞0时，x2+y2＝1+|x|y≤1+（x2+y2）， ∴x2+y2≤2，

∴“心形”图形上任意一点到原点的距离都不超过

，故③正确，

∵“心形”图形恰好经过（﹣1，1），（0，1），（1，1），（﹣1，0），（1，0），（0，﹣1）， ∴“心形”图形恰好经过6个整点，故④正确， 故答案为：①③④．

【变式训练4-1】（2020秋•仪征市期末）如果一个三角形是轴对称图形，那么这个三角形一定是（ ） A．直角三角形

B．等腰三角形

C．锐角三角形

D．等边三角形

【变式训练4-2】（2004•日照）在日常生活中，你经常会看到一些含有特殊数学规律的汽车车牌号码，例

、

等，这些牌照中的5个数字都是关于中间的一个数字“对称”的，

给人以对称美的享受，我们不妨把这样的牌照叫作“数字对称”牌照，如果让你负责制作以8或9开头且有5个数字的“数字对称”牌照，那么最多可制作（ ） A．2000个

B．1000个

C．200个

D．100个

【变式训练4-3】（2017秋•襄城区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，△ABD是△ABC的轴对称图形，点E在AD上，点F在AC的延长线上．若点B恰好在EF的垂直平分线上，并且AE＝5，AF＝13，则DE＝ ．

【变式训练4-4】（2017秋•句容市月考）如图，在7×4的方格纸上画有如阴影所示的“9”，阴影边缘是线段或圆弧，则阴影面积占纸板面积的 ．

【变式训练4-5】（2010春•滕州市期末）如图，在△ABC中，高线CD将∠ACB分成20°和50°的两个小角．请你判断一下△ABC是轴对称图形吗？并说明你的理由．

【变式训练4-6】指出图中各有多少条对称轴．

知识点5：镜面对称

【典型例题5】（2020春•禅城区期末）室内墙壁上挂一平面镜，小明在平面镜内看到他背后墙上时钟的示数如图所示，则这时的实际时间应是（ ）

A．3：20

B．3：40

C．4：40

D．8：20

解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的时刻与3：40成轴对称，所以此时实际时刻为3：40． 故选：B．

【变式训练5-1】某人从平面镜里看到对面电子钟示数的像如图所示，这时的实际时刻应该是（ ）

A．10：21

B．10：51

C．21：10

D．12：01

【变式训练5-2】（2017秋•灌云县期中）若某一个数字在水中的倒影是如图，则这个数字是 2 ．

【变式训练5-3】（2017春•定安县期末）小强站在镜前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子表，其读数

为，则电子表的实际时刻是 ．

【变式训练5-4】（2017•隆回县模拟）小明从前面的镜子里看到后面墙上挂钟的时间为2：30，则实际时间是 ．

【变式训练5-5】（2013秋•张家港市校级期末）如图，DA、CB是平面镜前同一发光点S发出的经平面镜反射后的反射光线，请通过画图确定发光点S的位置，并将光路图补充完整．

【变式训练5-6】如图所示，一个算式在镜中所成的像构成的算式是正确的，但是在实际中是正确的吗？实际中这个算式是什么？（写出即可）