2021年九年级数学中考复习分类专题：
菱形的判定与性质（三）
一．选择题
1．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB＝AD＝5，BD＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．40 B．24 C．20 D．15
2．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为12cm，点B，D之间的距离为16cm，则线段AB的长为（ ）
A．9.6cm B．10cm C．20cm D．12cm
3．如图，在四边形ABCD中，AB＝1，则四边形ABCD的周长为（ ）
A．1 B．4 C． D．
4．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，且AD交EF于点O，则∠AOF为（ ）
A．60° B．90° C．100° D．110°
5．如图△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AF＝8，则四边形AEDF的周长是（ ）
A．24 B．32 C．40 D．48
6．如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，它们的夹角为锐角α，它们重叠部分（图中阴影部分）的面积是，那么sinα的值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在∠AOB中，以点O为圆心，任意长为半径作弧，交射线OA于点C，交射线OB于点D，再分别以C、D为圆心，OC的长为半径，两弧在∠AOB的内部交于点E，作射线
OE，若OC＝10，OE＝16，则C、D两点之间距离为（ ）
A．10 B．12 C．13 D．
8．如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝
DE，连结BE分别交AC，AD于点F、G，连结OG，则下列结论：①2OG＝AB； ②与△EGD全等的三角形共有5个；③S四边形ODGF＞S△ABF；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形，其中正确的是（ ）
A．①④ B．①③④ C．①②③ D．②③④
9．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，CE⊥AB于点E，点F、G分别是AD、BC的中点，连接CF、EF、FG，下列结论：①CE⊥FG；②四边形ABGF是菱形；③EF＝CF；④∠EFC＝2∠CFD．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，分别以Rt△ABC的斜边AB，直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE，F为AB的中点，DE，AB相交于点G．连接EF，若∠BAC＝30°，下列结论：①EF⊥AC；②四边形
ADFE为菱形；③AD＝4AG；④△DBF≌△EFA．则正确结论的序号是（ ）
A．①③ 二．填空题
B．②④ C．①③④ D．②③④
11．两个长为9，宽为3的全等矩形叠合而得到四边形ABCD（不完全重合），则四边形ABCD面积的最大值为 ．
12．如图，BF平行于正方形ABCD的对角线AC，点E在BF上，且AE＝AC，CF∥AE，则∠BCF的度数为 ．
13．如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE交AD于点F，连接BF，则线段AC、
BF、CD之间的关系式是 ．
14．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．若＝，CF＝6，则四边形BDFG的周长为 ．
15．如图，在四边形ABCD中，AC＝BD＝6，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则
EG2+FH2＝ ．
16．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC的平分线交AC于D．过点A作AE⊥BC于E，交BD于G，过点D作DF⊥BC于F，过点G作GH∥BC，交AC于点H，则下列结论： ①∠BAE＝∠C； ②S△ABG：S△EBG＝AB：BE； ③∠ADF＝2∠CDF； ④四边形AGFD是菱形； ⑤CH＝DF．
其中正确的结论是 ．
三．解答题
17．如图，四边形ABCD是菱形，点H为对角线AC的中点，点E在AB的延长线上，CE⊥AB，垂足为E，点F在AD的延长线上，CF⊥AD，垂足为F， （1）若∠BAD＝60°，求证：四边形CEHF是菱形； （2）若CE＝4，△ACE的面积为16，求菱形ABCD的面积．
18．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC平分∠BAD，DP∥AC．CP∥BD． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若AC＝4，BD＝6，求OP的长．
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．CD⊥AB，AF平分∠CAB，交CD于点E，交BC于点
F．过点F作FG⊥AB交AB于点G，连接EG．
（1）求证：四边形CEGF是菱形； （2）若∠B＝30°，AC＝6，求CE的长．
20．已知：在▱ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为点O，分别交AD，BC于点E，
F，连接BE，DF．
（1）如图1，求证：四边形BFDE是菱形；
（2）如图2，当∠ABC＝90°，且AE＝OF时，在不添加任何辅助线情况下，请直接写出图2中的四条线段，使写出的每条线段长度都等于OE长度的
倍．
21．如图，在△ABC中，AB＝BC，点D、E分别在边AB、BC上，且DE∥AC，AD＝DE，点F在边AC上，且CE＝CF，联结FD． （1）求证：四边形DECF是菱形；
（2）如果∠A＝30°，CE＝4，求四边形DECF的面积．
22．在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，对角线AC、BD交于点O，BD平分∠ABC，延长AD至点E，使DE＝BO，连接OD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AD＝4，∠DAB＝60°，求OE的长．
23．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝40cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以2cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以1cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是a秒（0＜a≤20）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的a值；如果不能，请说明理由； （2）当a为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
参考答案
一．选择题
1．解：∵AB＝AD，点O是BD的中点， ∴AC⊥BD，∠BAO＝∠DAO， ∵∠ABD＝∠CDB， ∴AB∥CD， ∴∠BAC＝∠ACD， ∴∠DAC＝∠ACD， ∴AD＝CD， ∴AB＝CD，
∴四边形ABCD是菱形， ∵AB＝5，BO＝BD＝4， ∴AO＝3， ∴AC＝2AO＝6，
∴四边形ABCD的面积＝×6×8＝24， 故选：B．
2．解：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，连接AC、BD交于点O． 由题意知：AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵两个矩形等宽， ∴AR＝AS， ∵AR•BC＝AS•CD， ∴BC＝CD，
∴平行四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，
在Rt△AOB中，∵OA＝AC＝6cm，OB＝BD＝8cm， ∴AB＝
＝10（cm），
故选：B．
3．解：由图可知：AB∥CD，BC∥AD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形， ∴四边形ABCD的周长＝4×1＝4， 故选：B．
4．解：∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF为平行四边形， ∴OA＝OD，OE＝OF，∠2＝∠3， ∵AD是△ABC的角平分线， ∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠3， ∴AE＝DE． ∴▱AEDF为菱形．
∴AD⊥EF，即∠AOF＝90°． 故选：B．
5．解：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形，∠EAD＝∠FDA， ∵AD平分∠BAC， ∴∠EAD＝∠FAD＝∠FDA，
∴FA＝FD，
∴平行四边形AEDF为菱形． ∴AE＝DE＝DF＝AF＝8，
∴四边形AEDF的周长＝4AF＝4×8＝32． 故选：B．
6．解：如图，过点A作AE⊥BC，AF⊥CD，
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形， ∵四边形ABCD的面积是1.5， ∴BC×AE＝CD×AF，且AE＝AF＝1， ∴BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形， ∴AD＝CD， ∵1.5＝CD×AF， ∴CD＝， ∴AD＝CD＝， ∴sinα＝故选：B．
7．解：由作图过程可知：OC＝OD，OC＝CE＝DE， ∵OC＝OD＝DE＝CE， ∴四边形ODEC是菱形． 如图，连接CD交OE于点F
＝，
，
∵四边形OCED是菱形，
∴OE⊥CD，OF＝FE＝OE＝8，OC＝10， ∴CF＝DF＝6， ∴CD＝12． 故选：B．
8．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD， ∴∠BAG＝∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD， ∵CD＝DE， ∴AB＝DE，
在△ABG和△DEG中，
，
∴△ABG≌△DEG（AAS）， ∴AG＝DG，
∴OG是△ACD的中位线， ∴OG＝CD＝AB， ∴2OG＝AB，①正确； ∵AB∥CE，AB＝DE，
∴四边形ABDE是平行四边形， ∵∠BCD＝∠BAD＝60°， ∴△ABD、△BCD是等边三角形， ∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°， ∴OD＝AG，四边形ABDE是菱形，
④正确； ∴AD⊥BE，
由菱形的性质得：△ABG≌△DEG（SAS），△BDG≌△DEG（SAS）， 在△ABG和△DCO中，
，
∴△ABG≌△DCO（SAS），
∴△ABO≌△DEG（SAS），△BCO≌△DEG（SAS），△CDO≌△DEG（SAS），△AOD≌△DEG（AAS），△ABG≌△DEG（SAS），△BDG≌△DEG（SAS）， ∴②不正确； ∵OB＝OD，AG＝DG， ∴OG是△ABD的中位线， ∴OG∥AB，OG＝AB，
∴△GOD∽△ABD（ASA），△ABF∽△OGF（ASA），
∴△GOD的面积＝△ABD的面积，△ABF的面积＝△OGF的面积的4倍，AF：OF＝2：1， ∴△AFG的面积＝△OGF的面积的2倍，
又∵△GOD的面积＝△AOG的面积＝△BOG的面积， ∴S四边形ODGF＝S△ABF； ③不正确； 正确的是①④． 故选：A．
9．解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC，
∵点F、G分别是AD、BC的中点， ∴AF＝AD，BG＝BC， ∴AF＝BG， ∵AF∥BG，
∴四边形ABGF是平行四边形， ∴AB∥FG，
∵CE⊥AB，
∴CE⊥FG；故①正确； ∵AD＝2AB，AD＝2AF， ∴AB＝AF，
∴四边形ABGF是菱形，故②正确； 延长EF，交CD延长线于M， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠A＝∠MDF， ∵F为AD中点， ∴AF＝FD， 在△AEF和△DFM中，∴△AEF≌△DMF（ASA）， ∴FE＝MF，∠AEF＝∠M， ∵CE⊥AB， ∴∠AEC＝90°， ∴∠AEC＝∠ECD＝90°， ∵FM＝EF，
∴FC＝EF＝FM，故③正确； ∴∠FCD＝∠M，
∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD∥BC， ∵AF＝DF，AD＝2AB， ∴DF＝DC， ∴∠DCF＝∠DFC， ∴∠M＝∠FCD＝∠CFD，
∵∠EFC＝∠M+∠FCD＝2∠CFD；故④正确， 故选：D．
，
10．解：连接FC，如图所示： ∵∠ACB＝90°，F为AB的中点， ∴FA＝FB＝FC， ∵△ACE是等边三角形， ∴EA＝EC， ∵FA＝FC，EA＝EC，
∴点F、点E都在线段AC的垂直平分线上， ∴EF垂直平分AC，即EF⊥AC；
∵△ABD和△ACE都是等边三角形，F为AB的中点，
∴DF⊥AB即∠DFA＝90°，BD＝DA＝AB＝2AF，∠DBA＝∠DAB＝∠EAC＝∠ACE＝60°． ∵∠BAC＝30°， ∴∠DAC＝∠EAF＝90°， ∴∠DFA＝∠EAF＝90°，DA⊥AC， ∴DF∥AE，DA∥EF，
∴四边形ADFE为平行四边形而不是菱形； ∵四边形ADFE为平行四边形， ∴DA＝EF，AF＝2AG，
∴BD＝DA＝EF，DA＝AB＝2AF＝4AG； 在△DBF和△EFA中，∴△DBF≌△EFA（SAS）； 综上所述：①③④正确， 故选：C．
，
二．填空题（共6小题）
11．解：如图1，作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形， ∵两个矩形的宽都是3， ∴AE＝AF＝3，
∵S四边形ABCD＝AE•BC＝AF•CD， ∴BC＝CD，
∴平行四边形ABCD是菱形． 如图2，
，
设AB＝BC＝x，则BE＝9﹣x， ∵BC2＝BE2+CE2，
∴x2＝（9﹣x）2+32， 解得x＝5，
∴四边形ABCD面积的最大值是：5×3＝15． 故答案为15．
12．解：过点A作AO⊥FB的延长线于点O，连接BD，交AC于点Q∵四边形ABCD是正方形， ∴BQ⊥AC ∵BF∥AC，
∴AO∥BQ 且∠QAB＝∠QBA＝45° ∴AO＝BQ＝AQ＝AC， ∵AE＝AC， ∴AO＝AE， ∴∠AEO＝30°， ∵BF∥AC，
∴∠CAE＝∠AEO＝30°， ∵BF∥AC，CF∥AE， ∴∠CFE＝∠CAE＝30°， ∵BF∥AC，
∴∠CBF＝∠BCA＝45°，
∴∠BCF＝180°﹣∠CBF﹣∠CFE＝180﹣45﹣30＝105°． 故答案为：105°．
，
13．解：∵五边形ABCDE是正五边形， ∴AB∥CE，AD∥BC，
∴四边形ABCF是平行四边形， 又∵AB＝BC＝CD＝DE＝EA， ∴四边形ABCF是菱形， ∴AC⊥BF， ∴OB2+OC2＝BC2， ∵AC＝2OC，BF＝2OB，
∴AC2+BF2＝（2OC）2+（2OB）2＝4OC2+4OB2＝4BC2， 又∵BC＝CD， ∴AC2+BF2＝4CD2． 故答案为：AC2+BF2＝4CD2． 14．解∵AG∥BD，BD＝FG， ∴四边形BGFD是平行四边形， ∵CF⊥BD， ∴CF⊥AG，
又∵点D是AC中点， ∴BD＝DF＝AC＝5， ∴四边形BGFD是菱形． ∵
＝，CF＝6，
∴GF＝5x，则AF＝8x，AC＝10x，在Rt△ACF中利用勾股定理得到：100x2＝64x2+36． 解得x2＝1，则x＝1（舍去负值）． 则GF＝5x＝5．
故四边形BDFG的周长＝4GF＝20． 故答案是：20．
15．解：如右图，连接EF，FG，GH，EH， ∵E、H分别是AB、DA的中点，
∴EH是△ABD的中位线， ∴EH＝BD＝3，
同理可得EF，FG，GH分别是△ABC，△BCD，△ACD的中位线， ∴EF＝GH＝AC＝3，FG＝BD＝3， ∴EH＝EF＝GH＝FG＝3， ∴四边形EFGH为菱形， ∴EG⊥HF，且垂足为O， ∴EG＝2OE，FH＝2OH，
在Rt△OEH中，根据勾股定理得：OE2+OH2＝EH2＝9， 等式两边同时乘以4得：4OE2+4OH2＝9×4＝36， ∴（2OE）2+（2OH）2＝36， 即EG2+FH2＝36． 故答案为：36．
16．解：①∵∠BAC＝90°， ∴∠BAE+∠CAE＝90°， ∵AE⊥BC，
∴∠C+∠CAE＝90°， ∴∠BAE＝∠C，①正确；
②作AM∥BD交CB的延长线于M，如图所示： 则∠M＝∠CBD，∠BAM＝∠ABD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠CBD＝∠ABD， ∴∠M＝∠BAM， ∴AB＝BM， ∵AM∥BD，
∴AG：GE＝BM：BE， ∴AG：GE＝AB：BE， ∵S△ABG：S△EBG＝AG：GE， ∴S△ABG：S△EBG＝AB：BE；②正确；
④∵∠AGD＝∠ABD+∠BAE，∠ADG＝∠CBD+∠C，∠BAE＝∠C，∠CBD＝∠ABD， ∴∠AGD＝∠ADG， ∴AG＝AD，
∵∠BAC＝90°，BD平分∠ABC．DF⊥BC， ∴AD＝DF， ∴AG＝DF， ∵AE⊥BC， ∴AG∥DF，
∴四边形AGFD是平行四边形， 又∵AG＝AD，
∴四边形AGFD是菱形；④正确； ⑤∵四边形AGFD是菱形；
∴∠AGD＝∠FGD，GF＝DF，∠ADB＝∠FDB， ∴∠AGB＝∠FGB， 在△ABG和△FBG中，∴△ABG≌△FBG（AAS）， ∴∠BAE＝∠BFG， ∵∠BAE＝∠C， ∴∠BFG＝∠C， ∴GF∥CH， ∵GH∥BC，
∴四边形GFCH是平行四边形， ∴GF＝CH， ∴CH＝DF，⑤正确； ③∵∠ADF＝2∠ADB，
，
当∠C＝30°，∠CDF＝60°， 则∠ADF＝120°，
∴∠ADF＝2∠CDF；③不正确； 故答案为：①②④⑤．
三．解答题（共7小题）
17．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°， ∴∠EAC＝∠FAC＝30°， 又∵CE⊥AB，CF⊥AD， ∴CE＝CF＝AC，
∵点H为对角线AC的中点， ∴EH＝FH＝AC， ∴CE＝CF＝EH＝FH， ∴四边形CEHF是菱形；
（2）∵CE⊥AB，CE＝4，△ACE的面积为16， ∴AE＝8， ∴AC＝
＝4
，
，
连接BD，则BD⊥AC，AH＝AC＝2∵点H为对角线AC的中点， ∴D、H、B在同一直线上，
∵∠AHB＝∠AEC＝90°，∠BAH＝∠EAC， ∴△ABH∽△ACE， ∴∴
＝＝
， ，
∴BH＝，
，
＝20．
∴BD＝2BH＝2
∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝
18．解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAC＝∠BCA， ∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠DAC， ∴∠BCA＝∠BAC， ∴AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形； （2）∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠DOC＝90°， ∵DP∥AC，CP∥BD，
∴四边形DOCP是平行四边形， ∵∠DOC＝90°，
∴平行四边形DOCP是矩形， ∴OP＝CD， ∵AC＝4，BD＝6， ∴OC＝2，OD＝3， ∴CD＝∴OP＝CD＝
＝．
，
答：OP的长为．
19．（1）证明：∵FG⊥AB，FC⊥AC，AF平分∠CAB， ∴∠ACF＝∠AGF＝90°，CF＝FG， 在Rt△ACF与Rt△AGF中，∴Rt△ACF≌Rt△AGF（HL）， ∴∠AFC＝∠AFG， ∵CD⊥AB，FG⊥AB， ∴CD∥FG， ∴∠CEF＝∠EFG， ∴∠CEF＝∠CFE， ∴CE＝CF， ∴CE＝FG， ∵CE∥FG，
∴四边形CEGF是平行四边形， ∵CE＝CF，
∴平行四边形CEGF菱形； （2）解：∵Rt△ACF≌Rt△AGF， ∴AG＝AC＝6，
∵∠B＝30°，∠ACB＝90°， ∴AB＝2AC＝2×6＝12， ∴BG＝AB﹣AG＝12﹣6＝6， 在Rt△BGF中，tan∠B＝∴tan30°＝
，
＝2
， ＝
， ，
∴FG＝6×tan30°＝6×∴CE＝FG＝2
．
20．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD∥BC， ∴∠EDO＝∠FBO，
∵EF垂直平分BD， ∴OB＝OD， 在△EOD和△FOB中，∴△DOE≌△BOF（ASA）； ∴OE＝OF， 又∵OB＝OD，
∴四边形EBFD是平行四边形， ∵EF⊥BD，
∴四边形BFDE为菱形．
（2）解：AB、CD、OB、OD四条线段都等于OE长度的由（1）得：OE＝OF，∠OBE＝∠OBF， ∵AE＝OF， ∴AE＝OE，
∵▱ABCD中，∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°， ∵EF⊥BD， ∴∠BOE＝90°， 在Rt△BAE和Rt△BOE中，∴Rt△BAE≌Rt△BOE（HL），
∴AB＝OB＝OD，∠ABE＝∠OBE＝∠OBF， ∵∠ABC＝90°， ∴∠ABE＝30°， ∴AB＝
，
倍，理由如下：
，
AE＝OE，
OE．
∴AB＝CD＝OB＝OD＝
21．解：（1）∵AB＝BC， ∴∠A＝∠C， ∵DE∥AC，
∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C， ∴∠BDE＝∠BED， ∴BD＝BE， ∴BA﹣BD＝BC﹣BE， ∴AD＝CE， ∵AD＝DE， ∴DE＝EC， ∵CE＝CF， ∴DE＝CF， ∵DE∥FC，
∴四边形DECF是平行四边形， ∵CE＝CF，
∴四边形DECF是菱形；
（2）过点F作FG⊥BC交BC于G， ∵四边形DECF是菱形，CE＝4， ∴CF＝4， ∵AB＝BC， ∴∠A＝∠C， ∵∠A＝30°， ∴∠C＝30°，
∵∠FGC＝90°，∠C＝30°， ∴FG＝FC＝2，
∴四边形DECF的面积＝EC•FG＝4×2＝8．
22．（1）证明：∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，∠CBD＝∠ADB， ∵BD平分∠ABC， ∴∠CBD＝∠ABD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵∠DAB＝60°，AB＝AD， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠ADB＝60°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OB＝OD， ∴∠AOD＝90°，OD＝ED， ∴∠E＝∠DOE， ∵∠ADO＝∠E+∠DOE， ∴∠E＝∠DOE＝30°， ∵∠DAO＝30°， ∴∠E＝∠EAO， ∴OE＝AO， ∵AD＝4， ∴AO＝
AD＝2．
23．（1）证明：能．
理由如下：在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝2a， ∴DF＝a， 又∵AE＝a，
∴AE＝DF， ∵AB⊥BC，DF⊥BC， ∴AE∥DF， 又∵AE＝DF，
∴四边形AEFD为平行四边形， 当AE＝AD时，四边形AEFD为菱形， 即40﹣2a＝a，解得a＝∴当a＝
（2）①当∠DEF＝90°时，由（1）知四边形AEFD为平行四边形， ∴EF∥AD，
∴∠ADE＝∠DEF＝90°， ∵∠A＝60°， ∴∠AED＝30°， ∴AD＝AE＝a，
又AD＝40﹣2a，即40﹣2a＝a，解得a＝16；
②当∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形，在Rt△AED中∠A＝60°，则∠ADE＝30°， ∴AD＝2AE，即40﹣2a＝2a，解得a＝10．
③若∠EFD＝90°，则E与B重合，D与A重合，此种情况不存在． 综上所述，当a＝16或10秒时，△DEF为直角三角形．
．
秒时，四边形AEFD为菱形．
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