·３８· 中学数学研究 ３ ２。 ２０１８年第３期 在ｔ∈Ｎ ，ｔ＞１，使得ｄ １≥ｄ ２≥…≥ｄ ｌ＿ｌ≥０＞ ｄ ≥…≥ｄ ，则ａｌ≥ａ２≥…≥ａ ＜ａｔ＋ｌ≤ａｔ＋２ ≤…≤ａ ，ａ 是数列｛ａ ｝的最小项，所以１≥Ｓ ＞ ｎａ ．若ａ ＞０，当ｎ—｝。。时，１＞ｎａ 不可能恒成立， 若ａ ＝０，则１≥Ｓ ＞（／７，一１）·ｍｉｎ｛ａｆ＿１，ａ…｝， 当ｎ一∞时，上式不可能恒成立， 证 ２＝ 一ｏｎ＝者＜ ＝１一 ≤１一 ，以数列｛。 ｝递减， ａｎ＋ｌ＝ １若ａ ＜０，１≥．ｓ ＞ｎ，ａ 恒成立，但这与“各项均 为非负数”矛盾． 所以对任意ｎ∈Ｎ ，ｄ ＝ａ 一ａ ≥０． Ｓ ＝ａ１＋ａ２＋…＋ａ ＝ｌ‘（ａ１一ａ２）＋２。（ａ２ 一＝，所以。川≤川≤寺口 口 ｎ，则口 ≤。ｎ≤。。－·。（÷）寺） １ （÷）ｎ－１，因为ｎ ，所以 ２ａ１＋ ＝ ·４ａ２ ａ３）＋…＋ｎ·（ａ 一ａ ＋１）十ｎａ ＋１≥１’（ａ１一ａ２） ＋ ）＋ ＋２·（ａ２一ａ３）＋…＋ｎ·（ａ 一ａ ＋１）＝ｄ １＋２ｄ ２ ３（ａ３一ａ４）＋…＋ （ａ 一ａ ＋１）＝ａ１＋口２＋…＋ａ ＋…＋ ｄ （极端放缩）≥ｄ ＋２ｄ ＋…＋ｎｄ ＝ （１＋２＋…＋ ）ｄ， ： 又ｓ ≤ｌ，故１≥ ｄ， ，所以５ ≥ ｄ， ， 一 ＜ ｌ＿（ ３ ’ … ≤１＋÷＋．．．＋（÷） 所以ｄ ｎ≤ 氚２ ，所以０≤ａｎ一。 ≤ ＋ ＝ ４ａ２ ·２ｎａｎ＋ ２ａ１ ≥ ｎ（ｎ＋１）‘ 点评：对于第二问，由条件必有｛ａ ｝递减，且 ｌｌｍａ ＝０．验证０ ： １满足条件． 删 ≤ ＋ ·＋ ＜寻． 为了让学生更好地掌握数列不等式放缩技巧， 通过以上探究，本人所任班级学生大都能掌握数列 其中的ａ１＋ａ２＋…＋ａ ＝１·（ａ１一ａ２）＋２· （ａ２一ａ３）＋…＋凡·（ａ 一ａ ＋１）＋ｎａ 为阿贝尔变 换． 不等式放缩技巧，有时能提供多种放缩方法，这是一 件值得欣慰的事情．不等式放缩属于函数逼近论范 畴，高难技巧令人望而却步，但每出现一个漂亮的不 变式 在数列｛ａ ｝中，已知ａ。＝１，ａ州＝ 砌： ≤ ＋ ＋．．·＋ ＜ 等式，都是一个视觉震撼，这是数学优生喜欢数学的 一个珥由． 四步搞定含参数分段函数的最值问题 山东省诸城繁华中学 （２６２２００） 王启铸 近年来，在数学竞赛及高考题中出现了一类题 型，就是以含参数分段函数为背景的函数最值问题， 考生在解答此类题时感到比较棘手，笔者经过研究 得出了程序化的解题过程，只要按四步操作即可．希 望对大家有所启迪． 查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数 ）与时刻 （时）的关系为 ）＝Ｉ 一。ｌ＋ ２ａ＋ ， ∈［０，２４］，其中ｎ是与气象有关的参数， 例１ （２０１７年湖北名校联考理科）省环保研 且ｎ∈［０，÷］，若用每天，（ ）的最大值为当天的综 合放射性污染指数，并记作Ｍ（ａ）． 究所对某市市中心每天环境放射性污染情况进行调 ２０１８年第３期 中学数学研究 ·３９· （Ｉ）令￡＝ ， ∈［０，２４］．求￡的取值范 解：（Ｉ）略；￡∈［ｏ，２－－］１． ＝ ， ∈［０，２－－］Ｉ，令 ）： ）＝Ｉ ｆ一ⅡＩ＋ ２ｎ＋了２ｔ∈［０，２－－］Ｉ，， 一ｂ－１＂一－．．，）＝、 ３Ｕ，－Ｉ。＂亏，０≤ ≤。， ， ； ｇ（ｆ）的最大值为ｇ（０）＝３口＋ ２当口≤ ≤ １时，， ｇ（ ）的最大值为ｇ‘ １）＝口＋ ； 作差比较法：ｇ（０）一ｇ（ １）＝（３。＋了２）一（Ⅱ＋ ）＝２。一 ，令ｇ（０）一ｇ（ ）＞０，得｝＜口≤ １；令ｇ（０）一ｇ １）＜０，得０≤ｎ≤｝； ７ １ ㈩下 ＝ （１ｌＩ）略；由Ｍ（。）易知：当Ｏ≤。≤ ４时不超 标；当 ＜ｎ≤ １时超标． ｍｉｎ｛ ｝＝ｌ ≤），， （Ｉ）求使得等式ｒ（ｘ）＝ 一２ａｘ＋４ａ一２成 立的 的取值范围； （Ⅱ）（ｉ）求Ｆ（ ）的最小值ｍ（ａ）； （ｉｉ）求ｒ（ｘ）在［０，６］上的最大值Ｍ（ａ）． 解：（Ｉ）略；当２≤ ≤２ａ时，Ｆ（ ）＝ 一２ａｘ ＋４０—２： （ＩＩ）（ｉ）是一个含参的分段函数最小值问 题，可由四步式： （１）先求分段函数：由（Ｉ）知 Ｆ（ ）： 一２０ ＋４０—２，２≤ ≤２０， 【２ ｌ 一１ ｌ， ＞２ａ或 ＜２： （２）再求每一段上的最小值：当２≤ ≤２ａ时， Ｆ（ ）的最小值为一ａ ＋４ａ一２；当 ＞２ａ或 ＜２ 时，Ｆ（ ）的最小值为０； （３）比较两段上两个最小值的大小，从而确定 分段函数Ｆ（ ）的最小值： 作差比较，（一ａ ＋４ａ一２）一０＝一ａ ＋４ａ一２， 令一ａ。＋４ａ一２＞０，得ａ＞２＋ ；令一ａ ＋４ｎ一 ２＜０，得３≤ａ＜２＋√２； （４）下结论： ｍ ａ）：ｊ－０，３≤口≤２＋ ， 【一０ ＋４ａ一２，口＞２＋ ． （ｉｉ）依然是一个一个含参的分段函数最大值 问题，可由四步式： （１）先求分段函数： ．‘０≤ ≤６，由（Ｉ）知 Ｆ（ ）：ｌ２ ’ 一 ’，０≤ ≤２， ｔｘ 一２ａｘ＋４ａ一２，２＜ ≤６； （２）再求每一段上的最大值：当０≤ ≤２时， Ｆ（ｘ）的最大值为２；当２＜ ≤６时，ｒ（ｘ）的最大值 为ｍａｘ｛Ｆ（２），Ｆ（６）｝＝ｍａｘ｛２，３４—８ａ｝； （３）比较两段上两个最值的大小：虽然在２＜ ≤６上有两个值２和３４—８口需要比较，但此题巧的 是，０≤ ≤２时的最大值也是２，所以此题也是比较 两个值的大小，作差比较：（３４—８ａ）一２＝３２—８ａ， 令３２—８ａ＞０，得３≤ａ＜４；令３２—８ａ＜０，得ａ≥ ４； （４）下结论： （ ）＝｛３２４－８ａ，３≤口＜４， ．口≥４．