2020年高考数学一轮复习讲练测专题2.8函数与方程(练)文(含解析)

1．（2019·湖北十堰一中月考）设f(x)是区间[－1,1]上的增函数，且f 1－2·f 12

＜0，则方程f(x)＝0在区间[－1,1]内( )

A．可能有3个实数根 B．可能有2个实数根 C．有唯一的实数根 D．没有实数根

【答案】C

【解析】∵f(x)在区间[－1,1]上是增函数，且f 1－2·f 12＜0，

∴f(x)在区间11－2，2

上有唯一的零点．

∴方程f(x)＝0在区间[－1,1]内有唯一的实数根．

2．（2019·河南安阳一中期中）函数f(x)＝ln(2x)－1的零点位于区间( ) A．(2,3) B．(3,4) C．(0,1) D．(1,2)

【答案】D

【解析】∵f(x)＝ln(2x)－1是增函数，且是连续函数，

f(1)＝ln 2－1＜0，f(2)＝ln 4－1＞0，

∴根据函数零点的存在性定理可得，函数f(x)的零点位于区间(1,2)上．

3．（2019·辽宁阜新一中月考）设函数f(x)＝ln x－2x＋6，则f(x)零点的个数为( ) A．3 B．2 C．1 D．0

【答案】B

【解析】令f(x)＝0，则ln x＝2x－6，令g(x)＝ln x(x＞0)，h(x)＝2x－6(x＞0)，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，如图所示，两个函数图象的交点个数就等于函数f(x)零点的个数，容易看出函数f(x)零点的个数为2，故选B.

1

1x4．（2019·吉林通化一中期末）已知函数f(x)＝－log3x，若x0是函数y＝f(x)的零点，且0＜x1

5

＜x0，则f(x1)的值( )

A．恒为正值 C．恒为负值 【答案】A

B．等于0 D．不大于0

1x【解析】因为函数f(x)＝－log3x在(0，＋∞)上是减函数，所以当0＜x1＜x0时，有f(x1)＞

5

f(x0)．又x0是函数f(x)的零点，因此f(x0)＝0，所以f(x1)＞0，即f(x1)的值恒为正值，故选A.

5．（2019·河北沧州一中期中）已知f(x)是奇函数且是R上的单调函数，若函数y＝f(2x＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是( )

1A. 4【答案】C

【解析】令y＝f(2x＋1)＋f(λ－x)＝0，则f(2x＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ)，因为f(x)是R上的单调函数，所以2x＋1＝x－λ，即2x－x＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝7－. 8

6．（2019·哈尔滨三中期末）已知函数f(x)＝2＋x＋1，g(x)＝log2x＋x＋1，h(x)＝log2x－1的零点依次为a，b，c，则( )

A．a【解析】令函数f(x)＝2＋x＋1＝0，可知x<0，即a<0； 令g(x)＝log2x＋x＋1＝0， 则02

xx2

2

2

2

2

1B. 87C．－ 83D．－ 8

B．a7．（2019·广西来宾二中期中）已知函数f(x)＝

1，x≤0，1则使方程x＋f(x)＝mx，x>0，有解的实数m的取值范围是( )

A．(1，2)

B．(－∞，－2]

C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(－∞，1]∪[2，＋∞)

【答案】D

【解析】当x≤0时，x＋f(x)＝m，即x＋1＝m，解得m≤1；当x>0时，x＋f(x)＝m，即x＋1

x＝m，

解得m≥2，即实数m的取值范围是(－∞，1]∪[2，＋∞)．

2

8．（2019·江西吉安一中期末）定义在R上的函数f(x)，满足f(x)＝

x＋2，x∈[0，1），

2－x2

，x∈[－1，0），且f(x＋1)＝f(x－1)，若g(x)＝3－log2x，则函数F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)内的零点有( )

A．3个 B．2个

C．1个

D．0个

【答案】B

【解析】由f(x＋1)＝f(x－1)，即f(x＋2)＝f(x)，知y＝f(x)的周期T＝2. 在同一坐标系中作出y＝f(x)与y＝g(x)的图象，如图所示，

由于两函数图象有2个交点．

所以函数F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)内有2个零点．

9．（2019·江苏徐州一中期中）已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2

－2x.

(1)写出函数y＝f(x)的解析式；

(2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求实数a的取值范围． 【解析】(1)设x＜0，则－x＞0，

所以f(－x)＝x2

＋2x.又因为f(x)是奇函数， 所以f(x)＝－f(－x)＝－x2

－2x.

3

x－2x，x≥0，

所以f(x)＝2

－x－2x，x＜0.

2

(2)方程f(x)＝a恰有3个不同的解，

即y＝f(x)与y＝a的图象有3个不同的交点．

作出y＝f(x)与y＝a的图象如图所示，故若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，只需－1＜a＜1， 故实数a的取值范围为(－1,1)．

10．（2019·河山东威海一中期中）已知二次函数f(x)的最小值为－4，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}．

(1)求函数f(x)的解析式； (2)求函数g(x)＝

fx－4ln x的零点个数． x【解析】(1)因为f(x)是二次函数，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}， 所以f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax－2ax－3a，且a＞0. 所以f(x)min＝f(1)＝－4a＝－4，a＝1. 故函数f(x)的解析式为f(x)＝x－2x－3.

22

x2－2x－33

(2)因为g(x)＝－4ln x＝x－－4ln x－2(x＞0)，

xx34（x－1）（x－3）

所以g′(x)＝1＋2－＝. 2

xxx令g′(x)＝0，得x1＝1，x2＝3.

当x变化时，g′(x)，g(x)的取值变化情况如下.

x g′(x(0,1) ＋ 1 0 极大值 (1,3) － 3 0 极小值 (3，＋∞) ＋ ) g(x)

当0＜x≤3时，g(x)≤g(1)＝－4＜0.

又因为g(x)在(3，＋∞)上单调递增，因而g(x)在(3，＋∞)上只有1个零点．故g(x)在(0，＋∞)上

4

只有1个零点．

11．（2019·湖南湘潭一中模拟）已知函数f(x)＝a＋log2

2(x＋a)(a>0)的最小值为8，则实数a的取值范围( )

A．(5，6) B．(7，8) C．(8，9) D．(9，10) 【答案】A

【解析】由于f(x)在[0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上递减， 所以f(x)min＝f(0)＝a＋log2a＝8. 令g(a)＝a＋log2a－8，a>0.

则g(5)＝log25－3<0，g(6)＝log26－2>0. 又g(a)在(0，＋∞)上是增函数． 所以实数a所在的区间为(5，6)．

12．（2019·河北石家庄二中模拟）已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[－1，1]时，f(x)＝x2

.令g(x)＝f(x)－kx－k，若在区间[－1，3]内，函数g(x)＝0有4个不相等实根，则实数k的取值范围是( )

A．(0，＋∞)

B.10，2

C.0，14

D.14，13

【答案】C

【解析】令g(x)＝0，得f(x)＝k(x＋1)．

由题意知f(x)的周期为T＝2，作出y＝f(x)在[1，3]的图象，如图所示．

设直线y＝k1

1(x＋1)经过点(3，1)，则k1＝4

.

因为直线y＝k(x＋1)经过定点(－1，0)，且由题意知直线y＝k(x＋1)与y＝f(x)的图象有4个交点，所以04

.

5

13．（2019·浙江诸暨中学模拟）已知定义在R上的函数y＝f(x)对任意的x都满足f(x＋2)＝f(x)，π

当－1≤x＜1时，f(x)＝sin x，若函数g(x)＝f(x)－loga|x|至少有6个零点，则a的取值范围是( )

2

1A.0，∪(5，＋∞) 5

11C.，∪(5，7) 75【答案】A

1B.0，∪[5，＋∞) 5

11D.，∪[5，7) 75

【解析】当a＞1时，作出函数f(x)与函数y＝loga|x|的图象，如图所示．

loga|－5|＜1，

结合图象可知，故a＞5；

log|5|＜1，a

当0＜a＜1时，作出函数f(x)与函数y＝loga|x|的图象，如图所示．

loga|－5|≥－1，1

结合图象可知，故0＜a≤.故选A.

5loga|5|≥－1，

14．（2019·江西临川一中模拟）若曲线y＝log2(2－m)(x>2)上至少存在一点与直线y＝x＋1上的一点关于原点对称，则m的取值范围为________．

【答案】(2，4]

【解析】因为直线y＝x＋1关于原点对称的直线为y＝x－1， 依题意方程log2(2－m)＝x－1在(2，＋∞)上有解． 则m＝2

xx－1

xx在x∈(2，＋∞)上有解，所以m>2.

x又2－m>0恒成立，则m≤(2)min，即m≤4. 所以实数m的取值范围为(2，4]．

15．（2019·河南开封高中二模）设函数f(x)＝

x＋1

，x∈R且x≠1. x－1

1111(1)求f＋f＋f＋f＋f(4)＋f(6)＋f(8)＋f(10)的值； 10864

(2)就m的取值情况，讨论关于x的方程f(x)＋x＝m在x∈[2，3]上解的个数．

6

1＋11xx＋11＋x1＋x【解析】(1)根据题意，函数f(x)＝，则f＝＝＝－，

x－11－xx－1x1

－1

x1则f(x)＋f＝0，

x

1111111则f＋f＋f＋f＋f(4)＋f(6)＋f(8)＋f(10)＝f＋f(10)＋f＋f(8)＋f＋10864108f(6)＋f14

＋f(4)＝0.

(2)根据题意，设g(x)＝f(x)＋x＝

x＋1x－1＋x＝(x－1)＋2

x－1

＋2， 令t＝x－1，又由x∈[2，3]，则t∈[1，2]， 则设h(t)＝t＋2

t＋2，

有h′(t)＝1－2

t2－2

t2＝t2，

分析可得：在区间[1，2]上，h(t)单调递减，在区间[2，2]上，h(t)单调递增； 则h(t)在[1，2]有最小值h(2)＝22＋2， 且h(1)＝h(2)＝5，

则函数h(t)在区间[1，2]上有最大值5，最小值22＋2，

方程f(x)＋x＝m的解的个数即为函数g(x)与直线y＝m的交点个数，

分析可得：当m＜22＋2时，函数g(x)与直线y＝m没有交点，方程f(x)＋x＝m无解；当m＝22＋2时，函数g(x)与直线y＝m有1个交点，方程f(x)＋x＝m有1个解； 当22＋2＜m≤5时，函数g(x)与直线y＝m有2个交点，方程f(x)＋x＝m有2个解；当m＞5时，函数g(x)与直线y＝m没有交点，方程f(x)＋x＝m无解； 综上可得，当m＜22＋2或m＞5时，方程f(x)＋x＝m无解； 当m＝22＋2时，方程f(x)＋x＝m有1个解； 当22＋2＜m≤5时方程f(x)＋x＝m有2个解．

1.【2019年高考全国Ⅲ卷文数】函数f(x)2sinxsin2x在[0，2π]的零点个数为（A．2 B．3 C．4

D．5

【答案】B

6

7

）【解析】由f(x)2sinxsin2x2sinx2sinxcosx2sinx(1cosx)0， 得sinx0或cosx1，

Qx0,2π，x0、π或2π．

f(x)在0,2π的零点个数是3.

故选B．

x,x02.【2019年高考浙江】已知a,bR，函数f(x)131．若函数2x(a1)xax,x023yf(x)axb恰有3个零点，则（ ）

A．a<–1，b<0 C．a>–1，b<0 【答案】C

【解析】当x＜0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b＝0，得x则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点； 当x≥0时，y＝f（x）﹣ax﹣b，

B．a<–1，b>0 D．a>–1，b>0

x3（a+1）x+ax﹣ax﹣b2

x3（a+1）x﹣b，

2

yx2(a1)x，

当a+1≤0，即a≤﹣1时，y′≥0，y＝f（x）﹣ax﹣b在[0，+∞）上单调递增， 则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点，不合题意；

当a+1＞0，即a>﹣1时，令y′＞0得x∈(a+1，+∞），此时函数单调递增， 令y′＜0得x∈[0，a+1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.

根据题意，函数y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3个零点⇔函数y＝f（x）﹣ax﹣b在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点，

如图：

8

∴0且

，

解得b＜0，1﹣a＞0，b（a+1）3

，

则a>–1，b<0. 故选C．

x3.(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝

e，x≤0，

ln x，x＞0，(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，



g则a的取值范围是( )

A．[－1,0) B．[0，＋∞) C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)

【答案】C

【解析】令h(x)＝－x－a，则g(x)＝f(x)－h(x)．在同一坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)的示意图，如图所示．若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点，平移y＝h(x)的图象，可知当直线y＝－x－a过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－a，a＝－1.当y＝－x－a在

y＝－x＋1上方，即a＜－1时，仅有1个交点，不符合题意．当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a＞－1时，有2个交点，符合题意．综上，a的取值范围为[－1，＋∞)．故选C.

4.(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝cosπ

3x＋6在[0，π]的零点个数为________．

9

【答案】3

ππππ19π

【解析】由题意可知，当3x＋＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)＝0.∵x∈[0，π]，∴3x＋∈， ，

66266ππ3π5π

∴当3x＋取值为，，时，f(x)＝0，

6222π3x＋即函数f(x)＝cos在[0，π]的零点个数为3.

65. (2018·浙江卷)已知λ∈R，函数f(x)＝

x－4，x≥λ，

2

x－4x＋3，x<λ.

(1)当λ＝2时，不等式f(x)<0的解集是________.

(2)若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________. 【答案】(1)(1，4) (2)(1，3]∪(4，＋∞)

【解析】(1)若λ＝2，当x≥2时，令x－4<0，得2≤x<4；当x<2时，令x－4x＋3<0，解得1(2)令f(x)＝0，当x≥λ时，x＝4， 当x<λ时，x－4x＋3＝0， 解得x＝1或x＝3.

因为函数f(x)恰有2个零点，

结合如图函数的图象知，1<λ≤3或λ>4.

2

2

x＋2ax＋a，x≤0，

6．(2018·天津卷)已知a>0，函数f(x)＝ 2

－x＋2ax－2a，x>0.

2

若关于x的方程f(x)＝ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是________． 【答案】(4，8)

【解析】作出函数f(x)的示意图，如图．l1是过原点且与抛物线y＝－x＋2ax－2a相切的直线，l2是过原点且与抛物线y＝x＋2ax＋a相切的直线．

2

2

10

由图可知，当直线y＝ax在l1，l2之间(不含直线l1，l2) 变动时，符合题意．

由y＝ax 

y＝－x2

＋2ax－2a，消去y，整理得x2

－ax＋2a＝0. 由Δ＝0，得a＝8(a＝0舍去)． 由

y＝ax，

2

y＝x2

＋2ax＋a，

消去y，整理得x＋ax＋a＝0. 由Δ＝0，得a＝4(a＝0舍去)．综上，得4