专题2.4 竖直面内的圆周运动
【专题诠释】
常见 类型 均是没有支撑的小球 过最高点的临界条件 (1)当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径(1)过最高点时，v≥gr，v2FN＋mg＝m，绳、圆轨r讨论 分析 道对球产生弹力FN (2)不能过最高点时，v 【2019·江苏卷】如图所示，摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运动．座舱的质量为m，运动半径 为R，角速度大小为ω，重力加速度为g，则座舱（ ） v2由mg＝m得v临＝gr r由小球恰能做圆周运动得v临＝0 均是有支撑的小球 绳模型 杆模型 A．运动周期为 2πR B．线速度的大小为ωR C．受摩天轮作用力的大小始终为mg D．所受合力的大小始终为mω2R 【答案】BD 1 【解析】由于座舱做匀速圆周运动，由公式2π2π，解得：T，故A错误；由圆周运动的线速度与 T角速度的关系可知，vR，故B正确；由于座舱做匀速圆周运动，所以座舱受到摩天轮的作用力是变力， 2不可能始终为mg，故C错误；由匀速圆周运动的合力提供向心力可得：F合mR，故D正确。 【2018·天津卷】滑雪运动深受人民群众的喜爱，某滑雪运动员（可视为质点）由坡道进入竖直面内的圆弧 形滑道AB，从滑道的A点滑行到最低点B的过程中，由于摩擦力的存在，运动员的速率不变，则运动员沿 AB下滑过程中（ ） A．所受合外力始终为零 B．所受摩擦力大小不变 C．合外力做功一定为零 D．机械能始终保持不变 【答案】C 【解析】根据曲线运动的特点分析物体受力情况，根据牛顿第二定律求解出运动员与曲面间的正压力变化情况，从而分析运动员所受摩擦力变化；根据运动员的动能变化情况，结合动能定理分析合外力做功；根据运动过程中，是否只有重力做功来判断运动员的机械能是否守恒；因为运动员做曲线运动，所以合力一定不为零，A错误；运动员受力如图所示，重力垂直曲面的分力与曲面对运动员的支持力的合力充当向心 v2v2力，故有FNmgcosmFNmmgcos，运动过程中速率恒定，且𝜃在减小，所以曲面对 RR运动员的支持力越来越大，根据fFN可知摩擦力越来越大，B错误；运动员运动过程中速率不变，质量不变，即动能不变，动能变化量为零，根据动能定理可知合力做功为零，C正确；因为克服摩擦力做功，机械能不守恒，D错误。 【2018·新课标全国I卷】如图，abc是竖直面内的光滑固定轨道，ab水平，长度为2R：bc是半径为R的四 分之一的圆弧，与ab相切于b点。一质量为m的小球。始终受到与重力大小相等的水平外力的作用，自a 点处从静止开始向右运动，重力加速度大小为g。小球从a点开始运动到其他轨迹最高点，机械能的增量为 2 （ ） A．2mgR 【答案】C B．4mgR C．5mgR D．6mgR 【解析】本题考查了运动的合成与分解、动能定理等知识，意在考查考生综合力学规律解决问题的能力。 F·3R–mgR=设小球运动到c点的速度大小为vC，则对小球由a到c的过程，由动能定理得： 1mvc2，又F=mg，2解得：vc2=4gR，小球离开c点后，在水平方向做初速度为零的匀加速直线运动，竖直方向在重力作用力下做匀减速直线运动，由牛顿第二定律可知，小球离开c点后水平方向和竖直方向的加速度大小均为g，则由竖直方向的运动可知，小球从离开c点到其轨迹最高点所需的时间为：t=vC/g=2g，小球在水平方向的加R速度a=g，在水平方向的位移为x= 12 at=2R。由以上分析可知，小球从a点开始运动到其轨迹最高点的过25R=5mgR，选项C正确ABD错误。 程中，水平方向的位移大小为5R，则小球机械能的增加量ΔE=F·【技巧方法】 1.分析竖直平面内圆周运动临界问题的思路 2. 命题角度及对应策略 命题角度 解决办法 在最高点进行受力分析，由牛顿汽车过拱桥模型 第二定律求解速度与力的关系 则汽车做平抛运动 易错警示 最高点存在临界最大速度，超速在最高点或最低点求特殊速度，绳中只有拉力且不能松驰，最小轻绳模型 然后由动能定理求解其他各点力为0，可求出临界速度 3 的速度 在特殊点如最高点或最低点进杆上可有拉力也可有支持力，在轻杆模型 行受力分析，然后推广到一般位最高点上的速度可能为0 置 【最新考向解码】 【例1】(2019·福建龙岩高三上学期期末)如图甲所示，轻绳一端固定在O点，另一端固定一小球(可看成质点)，让小球在竖直平面内做圆周运动。改变小球通过最高点时的速度大小v，测得相应的轻绳弹力大小F，得到F-v2图象如图乙所示，已知图线的延长线与纵轴交点坐标为(0，－b)，斜率为k。不计空气阻力，重力加速度为g，则下列说法正确的是( ) A．该小球的质量为bg b B．小球运动的轨道半径为 kg C．图线与横轴的交点表示小球通过最高点时所受的合外力为零 D．当v2＝a时，小球通过最高点时的向心加速度为g 【答案】B 【解析】 设小球运动的轨道半径为l，小球在最高点时受到拉力F和重力mg，根据牛顿第二定律可知Fv2v2bmmb ＋mg＝m，解得F＝m－mg，结合图象可知：mg＝b，即m＝，斜率＝k，解得：l＝＝，A错误， llglkkgB正确；图线与横轴的交点表示小球通过最高点时所受的拉力为零，所受的合外力等于重力，C错误；当v2＝a时，F＝b＝mg，小球通过最高点时受到的合外力为2mg，向心加速度为2g，D错误。 【例2】(2019·哈尔滨三中期中)如图所示，长为L的细绳一端拴一质量为m小球，另一端固定在O点，绳 的最大承受能力为11mg，在O点正下方O′点有一小钉，先把绳拉至水平再释放小球，为使绳不被拉断且小 球能以O′为轴完成竖直面完整的圆周运动，则钉的位置到O点的距离为 ( ) 4 23 A．最小为L B．最小为L 5549 C．最大为L D．最大为L 510【答案】BC v2 【解析】当小球恰好到达圆周运动的最高点时小球的转动半径为r，重力提供向心力，则有mg＝m，根据r1223 机械能守恒定律可知，mg(L－2r)＝mv2，联立解得：r＝L，故钉的位置到O点的距离为L－L＝L；当小 2555球转动时，恰好达到绳子的最大拉力时，即F＝11mg，此时一定处在最低点，设半径为R，则有：11mg－v21140 mg＝m，根据机械能守恒定律可知，mgL＝mv2故此时离最高点距离为L，则可知，0，联立解得：R＝L，R25534 距离最小为L，距离最大为L，故B、C正确，A、D错误． 55 【例3】(2019·烟台模拟)一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直面内做半径 为R的圆周运动，如图所示，则下列说法正确的是 ( ) A．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零 B．小球过最高点的最小速度是gR C．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大 D．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小 【答案】A 【解析】轻杆可对小球产生向上的支持力，小球经过最高点的速度可以为零，当小球过最高点的速度v＝gR时，杆所受的弹力等于零，A正确，B错误；若v＜gR，则杆在最高点对小球的弹力竖直向上，mg－F＝v2v2 m，随v增大，F减小，若v＞gR，则杆在最高点对小球的弹力竖直向下，mg＋F＝m，随v增大，FRR增大，故C、D均错误． 5 【微专题精练】 1.(多选)(2019·山东青岛期末)如图所示，内壁光滑的大圆管，用一细轻杆固定在竖直平面内；在管内有一小 球(可视为质点)做圆周运动．下列说法正确的是 ( ) A．小球通过最低点时，小球对圆管的压力向下 B．小球通过最高点时，小球对圆管可能无压力 C．细杆对圆管的作用力一定大于圆管的重力大小 D．细杆对圆管的作用力可能会大于圆管和小球的总重力大小 【答案】ABD 【解析】小球通过最低点时，小球受到重力、圆管向上的支持力，合力指向圆心，根据牛顿第三定律，小球对圆管的压力向下，选项A正确；当小球通过最高点时，若速度为gR，圆管对小球的弹力为零，小球对圆管无压力，选项B正确；对圆管和球组成的整体为研究对象，当小球的向心加速度向上(或分量向上)时，细杆对圆管的作用力会大于圆管和小球的总重力大小；当小球的向心加速度向下(或分量向下)时，细杆对圆管的作用力小于圆管和小球的总重力大小，选项C错误，D正确． 2.如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动．小 球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为FN，小球在最高点的速度大小为v，其FN-v2图象如图乙所示．则 ( ) aR A．小球的质量为 bR B．当地的重力加速度大小为 b C．v2＝c时，在最高点杆对小球的弹力方向向上 D．v2＝2b 时，在最高点杆对小球的弹力大小为2a 6 【答案】A 【解析】由图乙可知当小球运动到最高点时，若v2＝b，则FN＝0，轻杆既不向上推小球也不向下拉小球，mv2b 这时由小球受到的重力提供向心力，即mg＝，得v2＝gR＝b，故g＝，B错误；当v2>b时，轻杆向下 RRb 拉小球，C错误；当v2＝0时，轻杆对小球弹力的大小等于小球重力，即a＝mg，代入g＝得小球的质量m RaRmv2 2 ＝，A正确；当v＝2b时，由向心力公式得F＋mg＝，得杆的拉力大小F＝mg，故F＝a，D错误． bR3.(2019·北京密云质检)如图所示，甲、乙、丙、丁是游乐场中比较常见的过山车，甲、乙两图的轨道车在轨 道的外侧做圆周运动，丙、丁两图的轨道车在轨道的内侧做圆周运动，两种过山车都有安全锁(由上、下、 侧三个轮子组成)把轨道车套在了轨道上，四个图中轨道的半径都为R，下列说法正确的是( ) A．甲图中，当轨道车以一定的速度通过轨道最高点 时，座椅一定给人向上的力 B．乙图中，当轨道车以一定的速度通过轨道最低点时，安全带一定给人向上的力 C．丙图中，当轨道车以一定的速度通过轨道最低点时，座椅一定给人向上的力 D．丁图中，轨道车过最高点的最小速度为gR 【答案】BC v2 【解析】甲图中，由mg＝m可知，当轨道车以一定的速度v＝gR通过轨道最高点时，座椅给人向上的力 Rv2 为零，选项A错误；乙图中，由F－mg＝m可知，当轨道车以一定的速度通过轨道最低点时，安全带一定 Rv2v2 给人向上的力F＝mg＋m，选项B正确；丙图中，由F－mg＝m可知，当轨道车以一定的速度通过轨道RRv2 最低点时，座椅一定给人向上的力F＝mg＋m，选项C正确；由于过山车都有安全锁(由上、下、侧三个 R轮子组成)把轨道车套在了轨道上，丁图中，轨道车过最高点的最小速度可以为零，选项D错误． 4．(2019·山西吕梁模拟)如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为R，小球 半径为r，则下列说法正确的是 ( ) 7 A．小球通过最高点时的最小速度vmin＝g（R＋r） B．小球通过最高点时的最小速度vmin＝0 C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力 D．小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力 【答案】BC 【解析】在最高点，由于外管或内管都可以对小球产生弹力作用，当小球的速度等于0时，内管对小球产生弹力，大小为mg，故最小速度为0，故A错误，B正确；小球在水平线ab以下管道运动时，由于沿半径方向的合力提供小球做圆周运动的向心力，所以外侧管壁对小球一定有作用力，而内侧管壁对小球一定无作用力，故C正确；小球在水平线ab以上管道运动时，由于沿半径方向的合力提供小球做圆周运动的向心力，可能外侧壁对小球有作用力，也可能内侧壁对小球有作用力，故D错误． 5.如图所示，竖直放置的光滑圆轨道被固定在水平地面上，半径r＝0.4 m，最低点处有一小球(半径比r小很多)，现给小球一水平向右的初速度v0，则要使小球不脱离圆轨道运动，v0应当满足(g＝10 m/s2)( ) A．v0≥0 C．v0≥25 m/s 【答案】CD 【解析】.解决本题的关键是全面理解“小球不脱离圆轨道运动”所包含的两种情况： (1)小球通过最高点并完成圆周运动； (2)小球没有通过最高点，但小球没有脱离圆轨道． mv2 对于第(1)种情况，当v0较大时，小球能够通过最高点，这时小球在最高点处需要满足的条件是mg≤，又rmv2mv20 根据机械能守恒定律有＋2mgr＝，可求得v0≥25 m/s，故选项C正确；对于第(2)种情况，当v0较小 22时，小球不能通过最高点，这时对应的临界条件是小球上升到与圆心等高位置处，速度恰好减为零，根据mv20 机械能守恒定律有mgr＝，可求得v0≤22 m/s，故选项D正确． 2 B．v0≥4 m/s D．v0≤22 m/s 8 6.一辆汽车匀速率通过一座圆弧形拱形桥后，接着又以相同速率通过一圆弧形凹形桥．设两圆弧半径相等，汽车通过拱形桥桥顶时，对桥面的压力FN1为车重的一半，汽车通过圆弧形凹形桥的最低点时，对桥面的压力为FN2，则FN1与FN2之比为( ) A．3∶1 C．1∶3 【答案】C 【解析】.汽车过圆弧形桥的最高点(或最低点)时，由重力与桥面对汽车的支持力的合力提供向心力．如图甲所示，汽车过圆弧形拱形桥的最高点时，由牛顿第三定律可知，汽车受桥面对它的支持力与它对桥面的压力大小相等，即FN1＝F′N1 所以由牛顿第二定律可得 mv2 mg－F′N1＝ R ② ① B．3∶2 D．1∶2 mv2 同样，如图乙所示，F′N2＝FN2，汽车过圆弧形凹形桥的最低点时，有F′N2－mg＝ R1 由题意可知FN1＝mg 2 3 由①②③④式得FN2＝mg，所以FN1∶FN2＝1∶3. 2 7.如图所示，轻绳的一端固定在O点，另一端系一质量为m的小球(可视为质点)。当小球在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动时，通过传感器测得轻绳拉力FT、轻绳与竖直线OP的夹角θ满足关系式FT＝a＋bcos θ，式中a、b为常数。若不计空气阻力，则当地的重力加速度为( ) ④ ③ b2b3bbA. B． C. D． 2mmm3m【答案】D 9 mv21 【解析】 当小球运动到最低点时，θ＝0，拉力最大，FT1＝a＋b，FT1＝mg＋；当小球运动到最高点时， Lmv2112b2 θ＝180°，拉力最小，FT2＝a－b，FT2＝－mg＋；由动能定理有mg·2L＝mv2，1－mv2，联立解得g＝L223m选项D正确。 8.如图所示，在质量为M的物体内有光滑的圆形轨道，有一质量为m的小球在竖直平面内沿圆轨道做圆周运动，A与C两点分别是轨道的最高点和最低点，B、D两点与圆心O在同一水平面上．在小球运动过程中，物体M静止于地面，则关于物体M对地面的压力FN和地面对物体M的摩擦力方向，下列说法正确的( ) A．小球运动到A点时，FN＞Mg，摩擦力方向向左 B．小球运动到B点时，FN＝Mg，摩擦力方向向右 C．小球运动到C点时，FN＜(M＋m)g，地面对M无摩擦 D．小球运动到D点时，FN＝(M＋m)g，摩擦力方向向右 【答案】B 【解析】小球在A点时，系统在水平方向不受力的作用，所以没有摩擦力的作用，A项错误；小球在B点时，需要的向心力向右，所以M对小球有向右的支持力的作用，对M受力分析可知，地面要对物体有向右的摩擦力的作用，在竖直方向上，由于没有加速度，物体受力平衡，所以物体M对地面的压力FN＝Mg，B项正确；小球在C点时，小球的向心力向上，所以物体M对小球的支持力要大于小球的重力，故M受到的小球的压力大于mg，那么M对地面的压力就要大于(M＋m)g，系统在水平方向上不受力，则地面对M没有摩擦，C项错误；小球在D点和B点的受力的类似，M对小球的弹力向左，则小球对M的弹力向右，则M受到地面的摩擦力方向向左，在竖直方向上，根据平衡条件知，FN＝Mg，D项错误． 9.(2019·江苏扬州)如图所示，杂技演员在表演“水流星”，用长为1.6 m轻绳的一端，系一个总质量为0.5 kg的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，若“水流星”通过最高点的速度为4 m/s，g取10 m/s2，则下列说法正确的是( ) 10 A．“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出 B．“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器的底部受到的压力均为零 C．“水流星”通过最高点时处于完全失重状态，不受力的作用 D．“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N 【答案】B v2 【解析】 当水对桶底压力为零时，有mg＝m，解得v＝gr＝4 m/s，“水流星”通过最高点的速度为4 m/s， rv2 知水对桶底压力为零，不会从容器中流出．对水和桶分析，有T＋Mg＝M，解得T＝0，知此时绳子的拉 r力为零，故A、D项错误，B项正确；“水流星”通过最高点时，仅受重力，处于完全失重状态，故C项错误． 10.(2019·福建福州)半径为R的光滑半圆球固定在水平面上，顶部有一个小物体m，如图所示，今给它一个水平的初速度v0＝gR，则物体将( ) A．沿球面下滑至M点 B．先沿球面至某点N，再离开球面做斜下抛运动 C．按半径大于R的新的圆弧轨道运动 D．立即离开半球做平抛运动 【答案】D 【解析】小物体在半球面的顶点，若是能沿球面下滑，则它受到的半球面的弹力与重力的合力提供向心力， 2 mv0 有mg－FN＝＝mg，FN＝0，这说明小物体与半球面之间无相互作用力，小物体只受到重力的作用，又有 R 水平初速度，小物体将做平抛运动，D选项正确；即使小物体的初速度为0，在光滑曲面上的某点也将离开2 曲面，其高度我们在力的分解中已证明为h＝R，A、B选项错误；离开曲面受恒力mg的作用，不可能做 3圆周运动，圆周运动的合外力为变力，C选项错误． 11.(2019·深圳一模)如图为过山车以及轨道简化模型，不计一切阻力，以下判断正确的是( ) A．过山车在圆轨道上做匀速圆周运动 B．过山车在圆轨道最高点时的速度应不小于gR C．过山车在圆轨道最低点时乘客处于超重状态 11 D．过山车在斜面h＝2R高处由静止滑下能通过圆轨道最高点 【答案】BC 【解析】由于过山车在轨道上运动时，速度大小发生变化，因此其运动为非匀速圆周运动，A错误；在轨v2 道最高点，过山车应满足mg＋N＝m，因为N≥0，则v≥gR，B正确；过山车过轨道最低点时，合外力、 R加速度竖直向上，车内的乘客均处于超重状态，C正确；过山车由释放点至圆轨道最高点由机械能守恒定律15 得mgh＝mg2R＋mv2，其中v≥gR，则h>R， 故D错误． 22 12.如图所示，用长为L的轻绳把一个小铁球悬挂在高2L的O点处，小铁球以O为圆心在竖直平面内做圆周运动且恰能到达最高点B处，则有( ) A．小铁球在运动过程中轻绳的拉力最大为6mg B．小铁球在运动过程中轻绳的拉力最小为mg C．若运动中轻绳断开，则小铁球落到地面时的速度大小为7gL D．若小铁球运动到最低点时轻绳断开，则小铁球落到地面时的水平位移为2L 【答案】AC 【解析】小铁球以O为圆心在竖直平面内做圆周运动且恰能到达最高点B处，说明小铁球在最高点B处时，mv2mv2mv21 轻绳的拉力最小为零，mg＝，v＝gL，由机械能守恒定律得，小铁球运动到最低点时动能＝＋L22mv21 mg·2L，在最低点时轻绳的拉力最大，由牛顿第二定律F－mg＝，联立解得轻绳的拉力最大为F＝6mg， L17 选项A正确，B错误；以地面为重力势能参考平面，小铁球在B点处的总机械能为mg·3L＋mv2＝mgL， 2217 无论轻绳是在何处断开，小铁球的机械能总是守恒的，因此到达地面时的动能mv′2＝mgL，落到地面时的 221 速度大小为v′＝7gL，选项C正确；小铁球运动到最低点时速度v1＝5gL，由x＝v1t，L＝gt2，联立解得 2小铁球落到地面时的水平位移为x＝10L，选项D错误． 12 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容