2016-2017学年上海市外国语大学附属外国语学校高一（上）期
末数学试卷
一、填空题
1．（3分）已知集合A={1，t，2t}，B={1，t2}，若B⊆A，则实数t= ． 2．（3分）不等式3．（3分）函数4．（3分）函数
的解集是 ．
的定义域为 ． 的单调递增区间为 ．
5．（3分）下列四个函数中偶函数的序号为 ①②③
④f（x）=x2+x﹣2． 6．（3分）函数
的值域 ．
7．（3分）抛物线形拱桥，桥顶离水面2米时，水面宽4米，当水面下降了1.125米时，水面宽为 ． 8．（3分）若
，则x2+y2的取值范围是 ．
9．（3分）若2x+2y=5，则2﹣x+2﹣y的最小值为 ．
10．（3分）已知函数的定义域为R+，且对任意的正实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），若f（8）=3，则
= ．
11．（3分）函数y=f（x）是定义在R上的增函数，y=f（x）的图象经过点A（0，﹣1）和点B时，能确定不等式|f（x+1）|＜1的解集恰好为{x|﹣1＜x＜2}，则点B的坐标为 ．
12．（3分）已知函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），设函数y=[f（x）]2+p•f（x）+q的零点所组成的集合为A，则以下集合不可能是A集合的序号为 ．
国产考试小能手
①②
③{﹣2，3，8} ④{﹣4，﹣1，0，2} ⑤{1，3，5，7}．
二、选择题（每题满分16分，满分16分）
13．（4分）关于幂函数y=xk及其图象，有下列四个命题： ①其图象一定不通过第四象限；
②当k＜0时，其图象关于直线y=x对称； ③当k＞0时，函数y=xk是增函数；
④y=xk的图象与y=x﹣k的图象至少有两个交点 其中正确的命题个数是（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 14．（4分）若a，b∈R且ab≠0，则A．a＞b＞0 B．b＞a
成立的一个充分非必要条件是（ ）
C．a＜b＜0 D．ab（a﹣b）＜0
在（0，+
15．（4分）若存在实数a，使得函数
∞）上为减函数，则实数a的取值范围是（ ） A．a＜0
B．a≤﹣1 C．﹣2≤a≤﹣1
D．﹣2≤a＜0
16．（4分）用计算器演算函数y=f（x）=xx，x∈（0，1）的若干值，可以猜想下列命题中真命题只能是（ ） A．y=f（x）在区间（0，0.4）上递减 C．y=f（x）的最小值为f（0.4）
三、解答题（满分为48分）
17．（8分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣x； （1）求函数f（x）的解析式；
B．y=f（x）在区间（0.35，1）上递减
D．y=f（x）在（0.3，0.4）上有最小值
国产考试小能手
（2）求不等式f（x）＜0的解集． 18．（8分）关于x的不等式组
且仅有一个整数，求实数k的取值范围．
19．（8分）为了保护一件珍贵文物，博物馆需要在一种无色玻璃的密封保护罩内充入保护气体．假设博物馆需要支付的总费用由两部分组成：①罩内该种气体的体积比保护罩的容积少0.5立方米，且每立方米气体费用1千元；②需支付一定的保险费用，且支付的保险费用与保护罩容积成反比，当容积为2立方米时，支付的保险费用为8千元．
（1）求博物馆支付总费用y与保护罩容积V之间的函数关系式； （2）求博物馆支付总费用的最小值． 20．（10分）已知函数
．
的解集为A，若集合A中有
（1）若f（x）＜2x在（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围； （2）若函数y=f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]，求实数a的取值范围． 21．（14分）已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足下列条件：①f（x）不恒为0；②对任意的正实数x和任意的实数y都有f（xy）=y•f（x）． （1）求证：方程f（x）=0有且仅有一个实数根；
（2）设a为大于1的常数，且f（a）＞0，试判断f（x）的单调性，并予以证明； （3）若a＞b＞c＞1，且2b=a+c，求证：f（a）•f（c）＜[f（b）]2．
国产考试小能手
2016-2017学年上海市外国语大学附属外国语学校高一
（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题
1．（3分）已知集合A={1，t，2t}，B={1，t2}，若B⊆A，则实数t= 2 ． 【解答】解：集合A={1，t，2t}，B={1，t2}，若B⊆A，可知t2=t或t2=2t． ∴t=2（t=0或1舍去） 故答案为：2．
2．（3分）不等式【解答】解：由
的解集是 得，
，
．
则（3x﹣2）（5﹣3x）＞0，即（3x﹣2）（3x﹣5）＜0， 解得
，
，
．
所以不等式的解集是故答案为：
3．（3分）函数
的定义域为 （﹣∞，﹣] ．
【解答】解：函数∴
﹣8≥0，
，
可化为21﹣3x≥23， 即1﹣3x≥3， 解得x≤﹣，
∴f（x）的定义域为（﹣∞，﹣]．
国产考试小能手
故答案为：（﹣∞，﹣]．
4．（3分）函数
的单调递增区间为 [﹣2，2] ．
【解答】解：令g（x）=﹣x2+4x+12=﹣（x﹣2）2+16， 令g（x）≥0，解得：﹣2≤x≤6， 而g（x）的对称轴是：x=2，
故g（x）在[﹣2，2）递增，在（2，6]递减， 故函数f（x）在[﹣2，2]递增， 故答案为：[﹣2，2]．
5．（3分）下列四个函数中偶函数的序号为 ①④ ①②③
④f（x）=x2+x2．
【解答】解：①函数f（x）的定义域是R， 因为
=f（x），所以函数f（x）是偶函数，
﹣
②函数f（x）的定义域是{x|x≠0}， 因为③由因为
=﹣f（x），所以函数f（x）是奇函数， 得﹣1≤x≤1，则f（x）的定义域是[﹣1，1]，
=﹣f（x），所以函数f（x）是奇函数，
④函数f（x）的定义域是{x|x≠0}，
因为f（﹣x）=（﹣x）2+（﹣x）﹣2=x2+x﹣2=f（x），所以函数f（x）是偶函数， 综上得，是偶函数的序号①④， 故答案为：①④．
6．（3分）函数
国产考试小能手
的值域 （﹣∞，1] ．
【解答】解：由1﹣2x≥0解得，x≤，此函数的定义域是（﹣∞，]， 令t=y=
，则x=
，且t≥0，代入原函数得，
+t=﹣t2+t+=﹣（t﹣1）2+1，
∵t≥0，∴﹣（t﹣1）2≤0，则y≤1， ∴原函数的值域为（﹣∞，1]．故答案为：（﹣∞，1]．
7．（3分）抛物线形拱桥，桥顶离水面2米时，水面宽4米，当水面下降了1.125米时，水面宽为 5m ．
【解答】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my， 将A（﹣2，﹣2）代入x2=my， 得m=﹣2
∴x2=﹣2y，代入D（x0，﹣3.125）得x0=2.5， 故水面宽为5m 故答案为：5m．
8．（3分）若
，则x2+y2的取值范围是 [1，
] ．
【解答】解：由题意：，设x=cosθ﹣2，y=2sinθ，
，
2+4sin2θ=cos2θ﹣4cosθ+4+4sin2θ=cos2θ﹣4cosθ+8﹣4cos2θ=那么：x2+y2=（cosθ﹣2）
国产考试小能手
，
当
时，x2+y2取值最大值为
．
当cosθ=1时，x2+y2取值最小值为1． 则x2+y2的取值范围是[1，故答案为：[1，
9．（3分）若2x+2y=5，则2﹣x+2﹣y的最小值为 【解答】解：若2x+2y=5，则2故2x+y≤则2﹣x+2﹣y=
，
≥5×
=，
≤5，
．
]
]
当且仅当x=y时“=”成立， 故答案为：．
10．（3分）已知函数的定义域为R+，且对任意的正实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），若f（8）=3，则
=
．
【解答】解：∵函数的定义域为R+，且对任意的正实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）， ∴
，f（2）=2f（1），
f（8）=2f（4）=4f（2）=8f（1）=3， ∴f（1）=，f（2）=2f（1）=，f（）=∴f（）=f（2）+f（）=故答案为：
11．（3分）函数y=f（x）是定义在R上的增函数，y=f（x）的图象经过点A（0，﹣1）和点B时，能确定不等式|f（x+1）|＜1的解集恰好为{x|﹣1＜x＜2}，则
国产考试小能手
，
=．
．
点B的坐标为 （3，1） ．
【解答】解：由题意不等式|f（x+1）|＜1的解集为{x|﹣1＜x＜2}． 即﹣1＜f（x+1）＜1的解集为{x|﹣1＜x＜2}． 又已知函数y=f（x）是定义在R上的增函数．
故设t=x+1，根据单调性可以分析得到值域为（﹣1，1）所对应的定义域为（0，3）
故可以分析到y=f（x）的图象过点（0，﹣1）和点（3，1）， 故B（3，1）， 故答案为：（3，1）．
12．（3分）已知函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），设函数y=[f（x）]2+p•f（x）+q的零点所组成的集合为A，则以下集合不可能是A集合的序号为 ②④ ． ①②
③{﹣2，3，8} ④{﹣4，﹣1，0，2} ⑤{1，3，5，7}．
【解答】解：f（x）=ax2+bx+c的对称轴为直线x=﹣设函数y=[f（x）]2+p•f（x）+q的零点为y1，y2， 则必有y1=ax2+bx+c，y2=ax2+bx+c，
方程y1=ax2+bx+c的两个解x1，x2要关于直线x=﹣也就是说2（x1+x2）=﹣，
同理方程y2=ax2+bx+c的两个解x3，x4也要关于直线x=﹣那就得到2（x3+x4）=﹣， ①②
可以找到对称轴直线x=不能找到对称轴直线，
，
对称，
对称
国产考试小能手
③{﹣2，3，8}可以找到对称轴直线x=3， ④{﹣4，﹣1，0，2}不能找到对称轴直线， ⑤{1，3，5，7}可以找到对称轴直线x=4， 故答案为：②④．
二、选择题（每题满分16分，满分16分）
13．（4分）关于幂函数y=xk及其图象，有下列四个命题： ①其图象一定不通过第四象限；
②当k＜0时，其图象关于直线y=x对称； ③当k＞0时，函数y=xk是增函数；
④y=xk的图象与y=x﹣k的图象至少有两个交点 其中正确的命题个数是（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解答】解：关于幂函数y=xk及其图象： ①其图象一定不通过第四象限；
因为x＞0时，y=xα＞0，故幂函数图象不可能出现在第四象限，故正确；②当k＜0时，如幂函数y=x﹣1其图象不关于直线y=x对称；故错误； ③当k＞0时，函数y=xk是增函数；如k=2，不成立，故错误； ④如y=x2和y=1个交点，故错误； 故选：B．
14．（4分）若a，b∈R且ab≠0，则成立的一个充分非必要条件是（A．a＞b＞0 B．b＞a
C．a＜b＜0 D．ab（a﹣b）＜0
【解答】解：a，b∈R且ab≠0，则⇔|a|＜|b|，
因此成立的一个充分非必要条件是a＜b＜0．
故选：C．
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）
15．（4分）若存在实数a，使得函数
∞）上为减函数，则实数a的取值范围是（ ） A．a＜0
B．a≤﹣1 C．﹣2≤a≤﹣1
D．﹣2≤a＜0
在（0，+
【解答】解：根据题意，若函数上为减函数，
当0＜x≤1时，f（x）=﹣x2+2（a+1）x+4递减，有a+1≤0， 当x＞1时，f（x）=xa为减函数，必有a＜0，
在（0，+∞）
综合可得：，解可得﹣2≤a≤﹣1；
故选：C．
16．（4分）用计算器演算函数y=f（x）=xx，x∈（0，1）的若干值，可以猜想下列命题中真命题只能是（ ） A．y=f（x）在区间（0，0.4）上递减 C．y=f（x）的最小值为f（0.4）
B．y=f（x）在区间（0.35，1）上递减
D．y=f（x）在（0.3，0.4）上有最小值
【解答】解：0.10.1≈0.79，0.20.2≈0.72，0.30.3≈0.70，0.350.35≈0.6925，0.40.4≈0.6931，0.50.5≈0.71；
∴判断出f（x）在区间（0，0.4）上递减错误，在（0.35，1）上递减错误，f（x）的最小值为f（0.4）错误；
∴排除选项A，B，C，得出D正确． 故选D．
三、解答题（满分为48分）
17．（8分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣x； （1）求函数f（x）的解析式； （2）求不等式f（x）＜0的解集．
【解答】解：（1）设x＜0，则﹣x＞0，∵当x≥0时，f（x）=x2﹣x，∴f（﹣x）
国产考试小能手
=x2+x，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣x2﹣x， ∴当x＜0时，f（x）=﹣x2﹣x， 综上所述，f（x）=
；
（2）当x≥0时，f（x）=x2﹣x＜0，∴0＜x＜1；
当x＜0时，f（x）=﹣x2﹣x＜0，∴x＜﹣1或x＞0，∴x＜﹣1， 综上所述，不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣1或0＜x＜1}．
18．（8分）关于x的不等式组
且仅有一个整数，求实数k的取值范围．
【解答】解：解不等式x2﹣x﹣2＞0得x＜﹣1或x＞2． 解方程2x2+（2k+5）x+5k=0得x1=﹣，x2=﹣k． （1）若﹣k
即k
时，不等式2x2+（2k+5）x+5k＜0的解为﹣k＜x＜﹣，
的解集为A，若集合A中有
此时不等式组的解集为A=（﹣k，﹣），
∵集合A中有且仅有一个整数，∴﹣4≤﹣k＜﹣3，解得3＜k≤4．
（2）若﹣k＞﹣即k＜时，不等式2x2+（2k+5）x+5k＜0的解为﹣＜x＜﹣k， 此时不等式组的解集为A=（﹣，﹣k）或A=（﹣，﹣1）或A=（﹣，﹣1）∪（2，﹣k），
∵集合A中有且仅有一个整数，∴﹣2＜﹣k≤3，解得﹣3≤k＜2． 综上，k的取值范围是（3，4]∪[﹣3，2）．
19．（8分）为了保护一件珍贵文物，博物馆需要在一种无色玻璃的密封保护罩内充入保护气体．假设博物馆需要支付的总费用由两部分组成：①罩内该种气体的体积比保护罩的容积少0.5立方米，且每立方米气体费用1千元；②需支付一定的保险费用，且支付的保险费用与保护罩容积成反比，当容积为2立方米时，支付的保险费用为8千元．
国产考试小能手
（1）求博物馆支付总费用y与保护罩容积V之间的函数关系式； （2）求博物馆支付总费用的最小值． 【解答】解：（1）设
，把x=2，y=8000代入，得k=16000…（3分）
（V＞0.5）…（8分）
（2）当且仅当
…（11分）
，即V=4立方米时不等式取得等号
所以，博物馆支付总费用的最小值为7500元．…（14分）
20．（10分）已知函数
．
（1）若f（x）＜2x在（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围； （2）若函数y=f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]，求实数a的取值范围． 【解答】解：（1）若f（x）＜2x在（1，+∞）上恒成立， 得a﹣＜2x即a＜+2x，
记g（x）=+2x，在（1，+∞）上是增函数， 得g（x）＞g（1）=3， 所以：a≤3
（2）函数y=f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞） ⅰ）当n＞m＞0时，f（x）在[m，n]上是增函数， 故
，解得：a＞2；
ⅱ） 当0＞n＞m时，f（x）在[m，n]上是减函数， 故
，解得：a=0；
所以：a∈{0}∪（2，+∞）．
21．（14分）已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足下列条件：①f（x）不恒为0；②对任意的正实数x和任意的实数y都有f（xy）=y•f（x）． （1）求证：方程f（x）=0有且仅有一个实数根；
国产考试小能手
（2）设a为大于1的常数，且f（a）＞0，试判断f（x）的单调性，并予以证明； （3）若a＞b＞c＞1，且2b=a+c，求证：f（a）•f（c）＜[f（b）]2．
【解答】（1）证明：令y=0，∵对任意的正实数x和任意的实数y都有f（xy）=y•f（x）．
则f（1）=0，因此x=1是方程f（x）=0一个实数根． 先证明以下结论：
设0＜a，a≠1时，假设x，y＞0，则存在m，n，使x=am，y=an， ∵对任意的正实数x和任意的实数y都有f（xy）=y•f（x）． ∴f（xy）=f（aman）=f（am+n）=（m+n）f（a），
f（x）+f（y）=f（am）+f（an）=mf（a）+nf（a）=（m+n）f（a）． 则f（xy）=f（x）+f（y）． 令y=0，则f（x）=0，
若方程f（x）=0还有一个实数根，可得f（x）≡0． 与已知f（x）不恒为0矛盾．
因此：方程f（x）=0有且仅有一个实数根； （2）设xy=ac，则y=logxac， ∴设x0∈（0，1），则f（
）=（logax0）f（a）＜0，
＜1，
设x1，x2为区间（0，+∞）内的任意两个值，且x1＜x2，则0＜由（1）可得： f（x1）﹣f（x2）=f（
•x2）﹣f（x2）=f（
）+f（x2）﹣f（x2）=f（）＜0
所以f（x1）＜f（x2），所以f（x）在（0，+∞）上是增函数． （3）设xy=ac，则y=logxac，
∴f（ac）=f（xy）=yf（x）=（logxac）f（x）=（logxa+logxc）f（x）=（logxa）f（x）+（logxc）f（x）=f（∵b2=ac，
∴f（b2）=f（ac）， 即2f（b）=f（a）+f（c），
国产考试小能手
）+f（）=f（a）+f（c）
f（b）=[f（a）+f（c）]， ∴[f（b）]2﹣f（a）•f（c）=[下面证明当x≠1时，f（x）≠0．
假设存在x≠1，f（x0）=0，则对于任意x≠1，f（x）=f（f（x0）=0
不合题意．所以，当x≠1时，f（x）≠0． 因为a＞b＞c＞1，所以存在m≠1， f（a）﹣f（c）=f（
）﹣f（
）=（logma﹣logmc）f（m）≠0，
）=（log
x）
]2﹣f（a）•f（c）=[
]2，
所以f（a）≠f（c），所以f（a）f（c）＜f2（b）．
国产考试小能手
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