湖北省孝感市云梦县2019-2020学年八年级上学期期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1. 下面四个交通标志图中为轴对称图形的是( )
A.
B.
C.
D.
2. 下列各组线段，能构成三角形的是( )
A. 1cm，3cm，5cm C. 4cm，4cm，1cm
3. 下列图形具有稳定性的是( )
B. 2cm，4cm，6cm D. 8cm，8cm，20cm
B. 矩形 B. 四边形
C. 平行四边形 C. 五边形
D. 直角三角形 D. 六边形
A. 正方形 A. 三角形
4. 下列多边形中，内角和与外角和相等的是( )
5. 如图，已知△𝐴𝐵𝐶三条边、三个角，则甲、乙两个三角形中和△𝐴𝐵𝐶全等的图形是( )
A. 甲 B. 乙 C. 甲和乙都是 D. 都不是
6. 如图，∠𝐴𝐶𝐷=120°，∠𝐵=20°，则∠𝐴的度数是( )
A. 120° A. 3cm C. 3cm或8cm
B. 90° C. 100° B. 8cm
D. 以上答案均不对
D. 30°
7. 等腰三角形的一边长为3cm，周长为19cm，则该三角形的腰长为( )
8. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶=45°，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，𝐶𝐸⊥𝐴𝐵，垂足分别为D、E，
AD、CE交于点H，且𝐸𝐻=𝐸𝐵.下列四个结论：①∠𝐴𝐵𝐶=45°；②𝐴𝐻=𝐵𝐶；③𝐵𝐸+𝐶𝐻=𝐴𝐸；④△𝐴𝐸𝐶是等腰直角三角形.你认为正确的序号是( )
A. ①②③
①②③④
B. ①③④ C. ②③④ D.
9. 如图，𝐴𝐵⊥𝐵𝐶，𝐷𝐶⊥𝐵𝐶，E是BC上一点，∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐷𝐸𝐶=60°，𝐵𝐸=𝐶𝐷，𝐴𝐸=6，则
CE的长为( )
A. 2
不是
B. 3 C. 4 D. 以上都
10. 在等腰直角△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶=90°，BE平分∠𝐴𝐵𝐶交
AC于E，过C作𝐶𝐷⊥𝐵𝐸于D，过A作𝐴𝑇⊥𝐵𝐸于T点，有下列结论：①△𝐴𝐸𝑇≌△𝐶𝐷𝐸，②𝐵𝐶=𝐴𝐵+𝐴𝐸，③∠𝐴𝐷𝐵=45°，④𝐵𝐸=𝐴𝑇+𝑇𝐸，其中正确的有( ) 2
1
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 点𝐴(𝑎,−5)和(3,𝑏)关于x轴对称，则𝑎= ______ ，𝑏= ______ ． ∠𝐵𝐷𝐶=35°，∠𝐷𝐵𝐶=50°，12. 如图，已知△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐶𝐵，
则∠𝐴𝐵𝐷=______．
13. 如图，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90°，AD平分∠𝐵𝐴𝐶，𝐴𝐵=5，
𝐶𝐷=2，则△𝐴𝐵𝐷的面积是______．
14. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，AD平分∠𝐵𝐴𝐶且与BC相交于点D，∠𝐵=40°，∠𝐵𝐴𝐷=30°，则∠𝐶的度数
是 ．
15. 如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直
线前进10米，又向左转30°，……照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了_____米．
16. 如图，在正方形ABCD中，𝐴𝐵=8，E是BC的中点，点P是对角线AC
上一动点，则𝑃𝐸+𝑃𝐵的最小值为______．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）
17. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点D在BC上，且∠1=∠2，∠3=∠4，∠𝐵𝐴𝐶=78°，求∠𝐷𝐴𝐶的度数．
18. 如图，𝐴𝐹=𝐷𝐵，𝐵𝐶=𝐸𝐹，𝐴𝐶=𝐸𝐷，求证：𝐶𝐵//𝐸𝐹．
19. 如图：在平面直角坐标系中𝐴(−1,5)、𝐵(−1,0)、𝐶(−4,3)．
(1)在图中作出△𝐴𝐵𝐶关于y轴的对称图形△𝐴1𝐵1𝐶1； (2)写出△𝐴1𝐵1𝐶1关于x轴的对称点𝐴2、𝐵2、𝐶2坐标．
(3)求出△𝐴𝐵𝐶的面积．
20. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．
(1)若∠𝐴=40°，求∠𝐷𝐵𝐶的度数；
(2)若𝐴𝐸=6，△𝐶𝐵𝐷的周长为20，求BC的长．
21. 如图，线段AB、CD相交于点E，连接AC、DB、CB，已知∠𝐴𝐶𝐸=∠𝐷𝐵𝐸，𝐴𝐶=𝐶𝐷，延长
DB到F，连接CF，使得∠𝐵𝐶𝐹=∠𝐴𝐶𝐸．
(1)求证：△𝐴𝐶𝐵≌△𝐷𝐶𝐹；
(2)在△𝐵𝐶𝐹中，作CF边上的中线BM，延长BM到N，连接FN，使∠𝐵𝑁𝐹=2∠𝐵𝐶𝐹，过N作𝑁𝐺⊥𝐵𝐶，交BC的延长线于点G，若∠𝐴𝐵𝐶=60°，求证：𝑁𝐺=𝑁𝑀．
1
22. 如图，已知△ABC是等边三角形，点E在线段AB上，作∠ACF=∠ECB，且FC=EC，连接
AF．
(1)求证：AF=BE； (2)若∠ECB=40°，求
的度数．
23. 如图，∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐸=90°，𝐴𝐵=𝐴𝐷，𝐴𝐸=𝐴𝐶，𝐴𝐹⊥𝐶𝐵，垂足为F．
(1)求证：△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸；(图1) (2)求∠𝐹𝐴𝐸的度数；(图1)
(3)如图2，延长CF到G点，使𝐵𝐹=𝐺𝐹，连接𝐴𝐺.求证：𝐶𝐷=𝐶𝐺；并猜想CD与2𝐵𝐹+𝐷𝐸的关系．
24. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐴𝐶=𝐵𝐶.𝐷为BC边上任一点，
连接AD，过D作𝐷𝐸⊥𝐴𝐷，且𝐷𝐸=𝐴𝐷.连接BE，探究BE与AB的位置关系，并说明理由．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：B
解析：解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，故本选项符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B．
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.答案：C
解析：
本题考查了能够组成三角形三边的条件．注意：用两条较短的线段相加，如果大于最长那条就能够组成三角形．
根据三角形任意两边的和大于第三边，进行分析判断． 解：𝐴.1+3<5，故不能构成三角形，选项错误； B.2+4=6，故不能构成三角形，选项错误； C.4+1>4，故能构成三角形，选项正确； D.8+8<20，故不能组成三角形，选项错误． 故选C.
3.答案：D
解析：解：直角三角形具有稳定性． 故选：D．
根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性进行判断．
此题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，正确掌握三角形的性质是解题关键．
4.答案：B
解析：
本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟记公式与定理是解题的关键． 根据多边形的内角和公式(𝑛−2)⋅180°与多边形的外角和定理列式进行计算即可得解． 解：设多边形的边数为n，根据题意得
(𝑛−2)⋅180°=360°， 解得：𝑛=4．
所以这个多边形是四边形． 故选B.
5.答案：B
解析：
本题考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL，根据定理逐个判断即可．
解：图甲不符合三角形全等的判定定理，即图甲和△𝐴𝐵𝐶不全等； 图乙符合ASA定理，即图乙和△𝐴𝐵𝐶全等． 故选B．
6.答案：C
解析：
本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．根据三角形的外角的性质计算即可． 解：∠𝐴=∠𝐴𝐶𝐷−∠𝐵
=120°−20°
=100°， 故选C．
7.答案：B
解析：
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
此题要分情况考虑：3cm是底或3cm是腰．根据周长求得另一边，再进一步根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，判断是否能够组成三角形． 解：当3cm是底时，则腰长是(19−3)÷2=8(𝑐𝑚)，此时能够组成三角形；
当3cm是腰时，则底是19−3×2=13(𝑐𝑚)，此时3+3<13，不能组成三角形，应舍去． 故选B．
8.答案：C
解析：
本题主要考查全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的判定；证明△𝐻𝐸𝐴≌△𝐵𝐸𝐶是解题的关键． 解：∵𝐶𝐸⊥𝐴𝐵， ∴∠𝐴𝐸𝐻=∠𝐶𝐸𝐵=90°， ∵∠𝐵𝐴𝐶=45°，∠𝐴𝐸𝐻=90°， ∴∠𝐴𝐶𝐸=45°，
∴𝐴𝐸=𝐸𝐶，故④△𝐴𝐸𝐶是等腰直角三角形正确； 在△𝐻𝐸𝐴和△𝐵𝐸𝐶中，
∴△𝐻𝐸𝐴≌△𝐵𝐸𝐶， ∴𝐴𝐻=𝐵𝐶，故②正确； ∵𝐴𝐸=𝐸𝐶，𝐸𝐻=𝐸𝐵，
∴𝐸𝐶=𝐶𝐻+𝐸𝐻=𝐶𝐻+𝐸𝐵=𝐴𝐸， 即𝐵𝐸+𝐶𝐻=𝐴𝐸，故③正确； ∵𝐸𝐻=𝐸𝐵，∠𝐶𝐸𝐵=90°， ∴△𝐵𝐸𝐻是等腰直角三角形， ∴∠𝐸𝐵𝐻=45°， 又∵∠𝐴𝐵𝐶>∠𝐸𝐵𝐻， ∴∠𝐴𝐵𝐶≠45°，故①不正确． 故选C．
9.答案：B
解析：
此题考查三角形全等，根据全等三角形对应边相等和在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半求解．
解：因为𝐴𝐵⊥𝐵𝐶，𝐷𝐶⊥𝐵𝐶 所以
因为∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐷𝐸𝐶=60°，𝐵𝐸=𝐶𝐷 所以𝛥𝐴𝐵𝐸≌𝛥𝐸𝐶𝐷，所以𝐷𝐸=𝐴𝐸=6 所以𝐶𝐸=2𝐷𝐸=3 故选B．
1
10.答案：B
解析：解：如图，
∵𝐵𝐸是∠𝐴𝐵𝐶的平分线， ∴𝐴𝐸≠𝐸𝐶，
∴△𝐴𝐸𝑇不可能与△𝐶𝐷𝐸全等，故①错误， 作𝐸𝐻⊥𝐵𝐶于H，
∵∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐵𝐻𝐸=90°，∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐻𝐵𝐸，𝐵𝐸=𝐵𝐸， ∴△𝐵𝐸𝐴≌△𝐵𝐸𝐻(𝐴𝐴𝑆)， ∴𝐴𝐵=𝐵𝐻，𝐴𝐸=𝐸𝐻， ∵∠𝐻𝐶𝐸=∠𝐻𝐸𝐶=45°， ∴𝐸𝐻=𝐻𝐶，
∴𝐵𝐶=𝐵𝐻+𝐶𝐻=𝐴𝐵+𝐴𝐸，故②正确， ∵𝐶𝐷⊥𝐵𝐷， ∴∠𝐶𝐷𝐸=90°， ∵∠𝐵𝐴𝐸=90°， ∴∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐶𝐷𝐸=90°， ∴𝐴，B，C，D四点共圆，
∴∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐴𝐶𝐵=45°，故③正确， 取BE的中点M，连接AM． ∵∠𝐵𝐴𝐸=90°， ∴𝐴𝑀=𝐵𝑀=𝑀𝐸，
∴∠𝑀𝐵𝐴=∠𝑀𝐴𝐵=∠𝐴𝐵𝐶=22.5°，
21
∴∠𝐴𝑀𝑇=45°， ∵𝐴𝑇⊥𝐵𝐷， ∴∠𝐴𝑇𝑀=90°，
∴∠𝑇𝐴𝑀=∠𝑇𝑀𝐴=45°， ∴𝐴𝑇=𝑀𝑇，
∴2𝐵𝐸=𝐸𝑀=𝑇𝑀+𝑇𝐸=𝑇𝐴+𝑇𝐸，故④正确，
1
故选：B．
①根据𝐴𝐸≠𝐸𝐶，即可判断①错误．
②作𝐸𝐻⊥𝐵𝐶于H，证明△𝐵𝐸𝐴≌△𝐵𝐸𝐻(𝐴𝐴𝑆)，即可判断． ③利用四点共圆即可判断．
④取BE的中点M，连接𝐴𝑀.利用直角三角形斜边中线的性质以及等腰直角三角形的判定即可判断．本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
11.答案：3；5
解析：解：∵点𝐴(𝑎,−5)和(3,𝑏)关于x轴对称， ∴𝑎=3，𝑏=5． 故答案为：3，5．
根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，解答即可．
本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决此类题目的关键是掌握好对称点的坐标规律： (1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； (2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数； (3)关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
12.答案：45°
解析：解：∵∠𝐵𝐷𝐶=35°，∠𝐷𝐵𝐶=50°，
∴∠𝐵𝐶𝐷=180°−∠𝐵𝐷𝐶−∠𝐷𝐵𝐶=180°−35°−50°=95°， ∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐶𝐵， ∴∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐵𝐶𝐷=95°，
∴∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐷𝐵𝐶=95°−50°=45°． 故答案为：45°．
根据三角形的内角和等于180°求出∠𝐵𝐶𝐷，再根据全等三角形对应角相等可得∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐵𝐶𝐷，然后列式进行计算即可得解．
本题考查了全等三角形对应角相等的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．
13.答案：5
解析：解：∵∠𝐶=90°，AD平分∠𝐵𝐴𝐶， ∴点D到AB的距离=𝐶𝐷=2， ∴△𝐴𝐵𝐷的面积是5×2÷2=5．
故答案为：5．
要求△𝐴𝐵𝐷的面积，有𝐴𝐵=5，可为三角形的底，只求出底边上的高即可，利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知△𝐴𝐵𝐷的高就是CD的长度，所以高是2，则可求得面积．
本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质．注意分析思路，培养自己的分析能力．
14.答案：80°
解析：
本题主要考查了三角形的角平分线的定义，三角形的内角和定理，求出∠𝐵𝐴𝐶的度数是解题的关键； 根据角平分线的定义求出∠𝐵𝐴𝐶=2∠𝐵𝐴𝐷，再根据三角形的内角和等于180°列式求解即可． 解：∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐷=30°， ∴∠𝐵𝐴𝐶=2∠𝐵𝐴𝐷=2×30°=60°，
∴∠𝐶=180°−∠𝐵−∠𝐵𝐴𝐶=180°−40°−60°=80°． 故答案为80°．
15.答案：120
解析：
本题主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是360°．
由题意可知小亮所走的路线为一个正多边形，根据多边形的外角和为360°即可求出答案． 解：∵360÷30=12，
∴他需要走12次才会回到原来的起点，即一共走了12×10=120(米)． 故答案为：120．
16.答案：4√5
解析：解：连接DE，交AC于点P，连接BD． ∵点B与点D关于AC对称， ∴𝐷𝐸的长即为𝑃𝐸+𝑃𝐵的最小值， ∵𝐴𝐵=8，E是BC的中点， ∴𝐶𝐸=4， 在𝑅𝑡△𝐶𝐷𝐸中，
𝐷𝐸=√𝐶𝐷2+𝐶𝐸2=√82+42=4√5． 故答案为：4√5．
由于点B与点D关于AC对称，所以如果连接DE，交AC于点P，那𝑃𝐸+𝑃𝐵的值最小．在𝑅𝑡△𝐶𝐷𝐸中，由勾股定理计算出DE的长度，即为𝑃𝐸+𝑃𝐵的最小值．
本题考查了轴对称−最短路线问题和正方形的性质，根据两点之间线段最短，可确定点P的位置．
17.答案：解：∵∠3=∠1+∠2，∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠3=∠4=2∠1，在△𝐴𝐵𝐶中，∠1+∠4+∠𝐵𝐴𝐶=180°， ∴∠1+2∠1+78°=180°， 解得：∠1=34°， ∴∠1=∠2， ∴∠2=34°，
∴∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐵𝐴𝐶−∠2=78°−34°=44°．
解析：本题考查的是三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键． 根据三角形的外角的性质得到∠3=∠1+∠2，根据三角形内角和定理计算即可．
18.答案：证明：∵𝐴𝐹=𝐷𝐵，
∴𝐴𝐹+𝐹𝐵=𝐷𝐵+𝐹𝐵， ∴𝐴𝐵=𝐷𝐹， 在△𝐴𝐶𝐵和△𝐷𝐸𝐹中， 𝐴𝐵=𝐷𝐹{𝐴𝐶=𝐷𝐸， 𝐵𝐶=𝐸𝐹
∴△𝐴𝐶𝐵≌△𝐷𝐸𝐹(𝑆𝑆𝑆)， ∴∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐸𝐹𝐷， ∴𝐶𝐵//𝐸𝐹．
解析：求出𝐴𝐵=𝐷𝐹，根据SSS推出△𝐴𝐶𝐵≌△𝐷𝐸𝐹，推出∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐸𝐹𝐷，根据平行线的判定推出即可．
本题考查了平行线的判定，全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，𝑆𝑆𝑆.全等三角形的对应边相等，对应角相等．
19.答案：解：(1)如图，△𝐴1𝐵1𝐶1即为所求；
(2)∵𝐴1(1,5)，𝐵1(1,0)，𝐶1(4,3)， ∴𝐴2(1,−5)，𝐵2(1,0)，𝐶2(4,−3)；
(3)𝑆△𝐴𝐵𝐶=22×5×3=
11
151522
．
解析：(1)分别作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接即可； (2)根据关于x轴对称的点的坐标特点即可得出结论； (3)直接利用三角形的面积公式即可得出结论．
本题考查的是作图−轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．
20.答案：解：(1)∵在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐴=40°，
∴∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐶=70°
∵𝐴𝐵的垂直平分线MN交AC于点D， ∴𝐴𝐷=𝐵𝐷，
∴∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐴=40°，
∴∠𝐷𝐵𝐶=∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐴𝐵𝐷=30°； (2)∵𝐴𝐸=6，
∴𝐴𝐶=𝐴𝐵=2𝐴𝐸=12
∵△𝐶𝐵𝐷的周长为20，
∴𝐵𝐶=20−(𝐶𝐷+𝐵𝐷)=20−(𝐶𝐷+𝐴𝐷)=20−12=8， ∴𝐵𝐶=8．
解析：本题考查了线段垂直平分线和等腰三角形性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
(1)由在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐴=40°，利用等腰三角形的性质，即可求得∠𝐴𝐵𝐶的度数，然后由AB的垂直平分线MN交AC于点D，根据线段垂直平分线的性质，可求得𝐴𝐷=𝐵𝐷，继而求得∠𝐴𝐵𝐷的度数，则可求得∠𝐷𝐵𝐶的度数；
(2)根据𝐴𝐸=6，𝐴𝐵=𝐴𝐶，得出𝐶𝐷+𝐴𝐷=12，由△𝐶𝐵𝐷的周长为20，代入即可求出答案．
21.答案：(1)证明：∵∠𝐴𝐶𝐸=∠𝐵𝐶𝐹，
∴∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐷𝐶𝐹，
∵∠𝐴𝐶𝐸=∠𝐷𝐵𝐸，∠𝐴𝐸𝐶=∠𝐷𝐸𝐵， ∴∠𝐴=∠𝐷， ∵𝐴𝐶=𝐶𝐷，
∴△𝐴𝐶𝐵≌△𝐷𝐶𝐹(𝐴𝑆𝐴)．
(2)解：∵△𝐴𝐶𝐵≌△𝐷𝐶𝐹， ∴𝐶𝐵=𝐶𝐹，∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐶𝐹𝐷=60° ∴△𝐵𝐶𝐹是等边三角形， ∴∠𝐶𝐵𝐹=∠𝐵𝐶𝐹=60°， ∴∠𝐶𝐵𝑀=∠𝐹𝐵𝑀=30°， ∴𝑁𝐺⊥𝐵𝐺， ∴𝑁𝐺=2𝐵𝑁，
∵∠𝐵𝑁𝐹=2∠𝐵𝐶𝐹=30°，
11
∵∠𝑀𝐵𝐶=∠𝑀𝑁𝐹=30°，𝐶𝑀=𝑀𝐹，∠𝐶𝑀𝐵=∠𝑁𝑀𝐹， ∴△𝐵𝐶𝑀≌△𝑁𝐹𝑀(𝐴𝐴𝑆)， ∴𝑀𝑁=𝐵𝑀=𝐵𝑁，
21
∴𝑁𝐺=𝑀𝑁．
解析：(1)利用ASA证明△𝐴𝐶𝐵≌△𝐷𝐶𝐹即可． (2)想办法证明𝐺𝑁=2𝐵𝑁，𝑀𝑁=2𝐵𝑁即可．
本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
1
1
22.答案：证明：(1)∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形
∴𝐴𝐶=𝐵𝐶=𝐴𝐵，∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐴𝐵𝐶=60° ∵∠𝐴𝐶𝐹=∠𝐸𝐶𝐵，且𝐹𝐶=𝐸𝐶，𝐵𝐶=𝐴𝐶 ∴△𝐵𝐶𝐸≌△𝐴𝐶𝐹(𝑆𝐴𝑆)
∴𝐴𝐹=𝐵𝐸
(2)∵∠𝐸𝐶𝐵=40°=∠𝐴𝐶𝐹，∠𝐴𝐵𝐶=60° ∴∠𝐵𝐸𝐶=80°，∠𝐸𝐶𝐹=∠𝐵𝐶𝐴=60°，且𝐸𝐶=𝐹𝐶
∴∠𝐶𝐹𝐸=∠𝐶𝐸𝐹=∠𝐸𝐹𝐶=60°
∵△𝐵𝐶𝐸≌△𝐴𝐶𝐹
∴∠𝐵𝐸𝐶=∠𝐴𝐹𝐶=80° ∴∠𝐴𝐹𝐸=∠𝐴𝐹𝐶−∠𝐸𝐹𝐶=20°
解析：本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定和性质是本题的关键．
(1)由“SAS”可证△𝐵𝐶𝐸≌△𝐴𝐶𝐹，可得𝐴𝐹=𝐵𝐸；
(2)由三角形的内角和可求∠𝐵𝐸𝐶=80°，由全等三角形的性质可求∠𝐵𝐸𝐶=∠𝐴𝐹𝐶=80°，由等腰三角形的性质可得∠𝐶𝐹𝐸=∠𝐶𝐸𝐹=60°，即可求∠𝐴𝐹𝐸的度数．
23.答案：(1)证明：∵∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐸=90°，
∴∠𝐵𝐴𝐶+∠𝐶𝐴𝐷=90°，∠𝐶𝐴𝐷+∠𝐷𝐴𝐸=90°， ∴∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐷𝐴𝐸， 在△𝐵𝐴𝐶和△𝐷𝐴𝐸中，
𝐴𝐵=𝐴𝐷
{∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐷𝐴𝐸, 𝐴𝐶=𝐴𝐸
∴△𝐵𝐴𝐶≌△𝐷𝐴𝐸(𝑆𝐴𝑆)；
(2)解：∵∠𝐶𝐴𝐸=90°，𝐴𝐶=𝐴𝐸，
∴△𝐶𝐴𝐸是等腰直角三角形，∠𝐸=45°， 由(1)知△𝐵𝐴𝐶≌△𝐷𝐴𝐸， ∴∠𝐵𝐶𝐴=∠𝐸=45°， ∵𝐴𝐹⊥𝐵𝐶， ∴∠𝐶𝐹𝐴=90°， ∴∠𝐶𝐴𝐹=45°，
∴∠𝐹𝐴𝐸=∠𝐹𝐴𝐶+∠𝐶𝐴𝐸=45°+90°=135°； (3)证明：∵𝐴𝐹⊥𝐵𝐺， ∴∠𝐴𝐹𝐺=∠𝐴𝐹𝐵=90°， 在△𝐴𝐹𝐵和△𝐴𝐹𝐺中，
𝐵𝐹=𝐺𝐹
{∠𝐴𝐹𝐵=∠𝐴𝐹𝐺, 𝐴𝐹=𝐴𝐹
∴△𝐴𝐹𝐵≌△𝐴𝐹𝐺(𝑆𝐴𝑆)， ∴𝐴𝐵=𝐴𝐺，∠𝐴𝐵𝐹=∠𝐺， ∵△𝐵𝐴𝐶≌△𝐷𝐴𝐸，
∴𝐴𝐵=𝐴𝐷，∠𝐶𝐵𝐴=∠𝐸𝐷𝐴，𝐶𝐵=𝐸𝐷， ∠𝐵𝐶𝐴=∠𝐷𝐸𝐴=∠𝐷𝐶𝐴=45°， ∴𝐴𝐺=𝐴𝐷，∠𝐴𝐵𝐹=∠𝐶𝐷𝐴， ∴∠𝐺=∠𝐶𝐷𝐴， 在△𝐶𝐺𝐴和△𝐶𝐷𝐴中，
∠𝐺𝐶𝐴=∠𝐷𝐶𝐴{∠𝐶𝐺𝐴=∠𝐶𝐷𝐴, 𝐴𝐺=𝐴𝐷
∴△𝐶𝐺𝐴≌△𝐶𝐷𝐴， ∴𝐶𝐺=𝐶𝐷，
∵𝐶𝐺=𝐶𝐵+𝐵𝐹+𝐹𝐺=𝐶𝐵+2𝐵𝐹=𝐷𝐸+2𝐵𝐹， ∴𝐶𝐷=2𝐵𝐹+𝐷𝐸．
解析：(1)根据题意得到∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐷𝐴𝐸，利用SAS定理证明△𝐵𝐴𝐶≌△𝐷𝐴𝐸； (2)根据△𝐵𝐴𝐶≌△𝐷𝐴𝐸，得到∠𝐵𝐶𝐴=∠𝐸=45°，计算即可；
(3)分别证明△𝐴𝐹𝐵≌△𝐴𝐹𝐺、△𝐶𝐺𝐴≌△𝐶𝐷𝐴，根据全等三角形的性质解答．
本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
24.答案：解：𝐴𝐵⊥𝐵𝐸.理由如下：
如图，过点E作𝐸𝑀⊥𝐵𝐷，交DB延长线于点M．
∵∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐷𝐸⊥𝐴𝐷，
∴∠𝐴𝐷𝐶+∠𝐸𝐷𝑀=90°，∠𝐴𝐷𝐶+∠𝐷𝐴𝐶=90°， ∴∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐸𝐷𝑀．
又𝐷𝐸=𝐴𝐷，∠𝐶=∠𝑀=90°， ∴△𝐸𝑀𝐷≌△𝐷𝐶𝐴(𝐴𝐴𝑆)， ∴𝐸𝑀=𝐶𝐷，𝑀𝐷=𝐶𝐴=𝐵𝐶， ∴𝑀𝐷−𝐵𝐷=𝐵𝐶−𝐵𝐷， ∴𝐵𝑀=𝐶𝐷=𝐸𝑀， ∴∠𝑀𝐸𝐵=∠𝑀𝐵𝐸=45°． ∵∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐴𝐶=𝐵𝐶， ∴∠𝐴𝐵𝐶=45°，
∴∠𝐴𝐵𝐸=180°−∠𝑀𝐵𝐸−∠𝐴𝐵𝐶=90°， ∴𝐴𝐵⊥𝐵𝐸．
解析：过点E作𝐸𝑀⊥𝐵𝐷，交DB延长线于点M，由“AAS”可证△𝐸𝑀𝐷≌△𝐷𝐶𝐴，可得𝐸𝑀=𝐶𝐷，𝑀𝐷=𝐶𝐴=𝐵𝐶，可得𝐸𝑀=𝐵𝑀，由等腰直角三角形的性质可得∠𝐴𝐵𝐶=45°=∠𝑀𝐵𝐸，可得∠𝐴𝐵𝐸=90°，即𝐴𝐵⊥𝐵𝐸．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
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