江西省四校(横峰中学、弋阳中学、铅山中学、德兴中学)2014-2015学年高二数学上学期9月月考试卷(含解析)

江西省四校（横峰中学、弋阳中学、铅山中学、德兴中学）联考2014-2015

学年高二上学期9月月考数学试卷

一、选择题（50分） 1．（3分）对于实数a，b，c，下列命题正确的是（）

2222

A． 若a＞b，则ac＞bc B． 若a＜b＜0，则a＞ab＞b C． 若a＜b＜0，则

D． 若a＜b＜0，则

2．（3分）某班有学生52人，现用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知座位号为6号，32号，45号的同学都在样本中，那么样本中还有一位同学的座位号是（） A． 19 B． 16 C． 24 D． 36 3．（3分）已知x与y之间的一组数据如下表，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为

，那么b的值为（）

x 3 4 5 6 y 2. 5 3 4 4.5 A． 0.5 B． 0.6 4．（3分）下列结论正确的是（） A． 当 C．

5．（3分）函数 A． ﹣3

B． 3 的最小值为2

C． 0.7 D． 0.8

B． 当

D． 当x＞0时，

无最大值

，（x＞1）的最小值为（）

C． 4

D． ﹣4

，

，中

6．（3分）甲乙两组统计数据用茎叶图表示，设甲乙两组数据的平均数分别为位数分别为m甲，m乙，则（）

A．

＜

，m甲＞m乙

B．

＜

，m甲＜m乙

- 1 -

文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站www.jszybase.com C．

＞

，m甲＞m乙

D．

＞

，m甲＜m乙

7．（3分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为4，则输出S的值为（）

A． 5 C． 7 D． 8 8．（3分）如图a是某市参加2012年2015届高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1、A2、„、Am[如A2表示身高（单位：cm）在[150，155]内的学生人数]．图b是统计图a中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm（含160cm，不含180cm）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（）

B． 6

A． i＜9 B． i＜8 C． i＜7 D． i＜6

9．（3分）已知点A（a，b）与点B（1，0）在直线3x﹣4y+10=0的两侧，给出下列说法： ①3a﹣4b+10＞0； ②

＞2；

③当a＞0时，a+b有最小值，无最大值；

- 2 -

文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站www.jszybase.com ④当a＞0且a≠1，b＞0时，其中正确的个数是（） A． 1 B． 2

的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．

C． 3 D． 4

10．（3分）设实数x，y满足 ，则的取值范围是（）

A． B． C． D．

二、填空题（25分）

ab

11．（3分）若实数a、b满足a+b=2，则3+3的最小值是 ．

12．（3分）设m＞1，在约束条件 下，目标函数z=x+5y的最大值为4，则m的值为．

13．（3分）读图中的程序，输出i=．

14．（3分）利用如图中的算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点既在直线2x﹣y+7=0右下方，又在直线x﹣2y+8=0左上方的有个．

- 3 -

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15．（3分）已知函数f（x）与g（x）的图象关于直线x=2对称，若f（x）=4x﹣15，则不等式

≥0的解集是．

三、解答题（75分） 16．（12分）已知函数

．

（1）当a=4时，求函数f（x）的最小值； （2）解关于x的不等式f（x）＞a+3； （3）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围． 17．（12分）某高校在2011年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如图所示．

（Ⅰ）请先求出频率分布表中①、②位置相应的数据，完成频率分布直方图；

（Ⅱ）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？ 组号 分组 频数 频率 第1组 [160，165） 5 0.050 第2组 [165，170） ① 0.350 第3组 [170，175） 30 ② 第4组 [175，180） 20 0.200 第5组 [180，185] 10 0.100 合计 100 1.00

- 4 -

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18．（12分）解关于x的不等式 （x+1）（mx﹣1）＞0，（m∈R）． 19．（12分）某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示），如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单

2

价为248元/米，池底建造单价为80元/米，水池所有墙的厚度忽略不计． （1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；

（2）若由于地形，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．

20．（13分）根据如图所示的程序框图，将输出的x，y值依次分别记为x1，x2，„，xk，„； y1，y2，„，yk，„．

（Ⅰ）分别求数列{xk}和{yk}的通项公式；

（Ⅱ）令zk=xkyk，求数列{zk}的前k项和Tk，其中k∈N+，k≤2007．

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21．（14分）已知函数f（x）=（ax+x）•e，其中e是自然数的底数，a∈R，

x

（1）当a＞0时，解不等式f（x）＞（a﹣1）e；

x

（2）若当x∈[﹣1，1]时，不等式f（x）+（2ax+1）•e≥0恒成立，求a的取值范围；

x

（3）当a=0时，试判断：是否存在整数k，使得方程f（x）=（x+1）•e+x﹣2在[k，k+1]上有解？若存在，请写出所有可能的k的值；若不存在，说明理由．

江西省四校（横峰中学、弋阳中学、铅山中学、德兴中学）联考2014-2015学年高二上学期9月月考数学试卷

参与试题解析

一、选择题（50分） 1．（3分）对于实数a，b，c，下列命题正确的是（）

2222

A． 若a＞b，则ac＞bc B． 若a＜b＜0，则a＞ab＞b C． 若a＜b＜0，则

D． 若a＜b＜0，则

2

x

考点： 命题的真假判断与应用． 专题： 阅读型．

分析： 选项是不等式，可以利用不等式性质，结合特例逐项判断，得出正确结果．

2=

解答： 解：A，当c=0时，有acbc2 故错．

2﹣2222

B 若a＜b＜0，则aab=a（a﹣b）＞0，a＞ab； ab﹣b=b（a﹣b）＞0，ab＞b，∴a＞ab2

＞b 故对

C 若a＜b＜0，取a=﹣2，b=﹣1，可知D 若a＜b＜0，取a=﹣2，b=﹣1，可知

，故错． ，故错

故选B．

点评： 本题考查命题真假，用到了不等式性质，特值的思想方法． 2．（3分）某班有学生52人，现用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知座位号为6号，32号，45号的同学都在样本中，那么样本中还有一位同学的座位号是（） A． 19 B． 16 C． 24 D． 36

考点： 系统抽样方法． 专题： 计算题．

分析： 根据系统抽样的特征可知抽样是等距抽样的原则，构造一个等差数列，将四个学生的号码从小到大成等差数列，建立等式关系，解之即可求得样本中还有一位同学的座位号． 解答： 解：用系统抽样抽出的四个学生的号码从小到大成等差数列， 设样本中还有一位同学的座位号是x，

将号码从小到大排列：6，x，32，45，它们构成公差为13的等差数列， 因此，另一学生编号为6+13=19． 故选A．

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点评： 本题考查系统抽样，解题的关键是熟练掌握系统抽样的定义及规则．系统抽样过程中，每个个体被抽取的可能性是相等的，系统抽样的原则是等距，抓住这一原则构造等差数列，是我们常用的方法． 3．（3分）已知x与y之间的一组数据如下表，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为

，那么b的值为（）

x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 A． 0.5 B． 0.6 C． 0.7 D． 0.8

考点： 线性回归方程． 专题： 概率与统计．

分析： 先计算平均数，然后根据线性回归方程恒过样本中心点，即可得到结论． 解答： 解：由题意，=代入线性回归方程

=4.5，=

=3.5

，可得3.5=b×4.5+0.35，解得b=0.7

故选C．

点评： 本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，利用线性回归方程恒过样本中心点是解题的关键，属于基础题． 4．（3分）下列结论正确的是（） A． 当 C．

的最小值为2

B． 当

D． 当x＞0时，

无最大值

考点： 基本不等式． 专题： 规律型．

分析： 对于A，当0＜x＜1时，lgx＜0，以x=2时，值为

取得最大值；对于C，

；对于B，

在（0，2]上单调增，所

的最小

在[2，+∞）上单调增，所以x=2时，

；对于D，当x＞0时，，当且仅当x=1时，等号成立，故可判断．

，结论不成立；

取得最大值，故B不成立； 的最小值为

，故C错误；

解答： 解：对于A，当0＜x＜1时，lgx＜0，对于B，对于C，

在（0，2]上单调增，所以x=2时，在[2，+∞）上单调增，所以x=2时，

- 7 -

文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站www.jszybase.com 对于D，当x＞0时，

，当且仅当x=1时，等号成立，故D成立

故选D．

点评： 本题考查的重点是基本不等式的运用，解题的关键是明确基本不等式的使用条件，属于基础题．

5．（3分）函数

A． ﹣3 B． 3

考点： 对数函数的值域与最值． 专题： 计算题． 分析： 先将式子数的单调性求出最小值． 解答： 解：函数=∴函数

≥log2（2+6）=3，

，（x＞1）的最小值为3

，（x＞1）的最小值为（）

C． 4

D． ﹣4

进行配凑，再利用基本不等式求出它的范围，最后利用对数函

故选B．

点评： 本题考查利用基本不等式求代数式的范围、考查利用函数单调性求函数的最值．关键是对式子的配凑后方便利用基本不等式．

6．（3分）甲乙两组统计数据用茎叶图表示，设甲乙两组数据的平均数分别为位数分别为m甲，m乙，则（）

，

，中

A． C．

＜＞

，m甲＞m乙 ，m甲＞m乙

B． D．

＜＞

，m甲＜m乙 ，m甲＜m乙

考点： 茎叶图． 专题： 概率与统计．

分析： 直接求出甲与乙的平均数，以及甲与乙的中位数，即可得到选项． 解答： 解：甲的平均数

甲

=（5+6+8+10+10+14+18+18+22+25+27+30+30+38+41+43）=，

- 8 -

文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站www.jszybase.com 乙的平均数

=

（10+12+18+20+22+23+23+27+31+32+34+34+38+42+43+48）=

，

乙

所以甲＜乙．

甲的中位数为20，乙的中位数为29，所以m甲＜m乙 故选：B．

点评： 本题考查茎叶图，众数、中位数、平均数的应用，考查计算能力． 7．（3分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为4，则输出S的值为（）

A． 5 C． 7 D． 8

考点： 程序框图．

专题： 计算题；算法和程序框图． 分析： 算法的功能是求S=1+1+2+„+（i﹣1）的值，根据输入n的值为4，判断满足条件i≤4的最大i值，由此计算输出S的值．

解答： 解：由程序框图知：算法的功能是求S=1+1+2+„+（i﹣1）的值 ∵输入n的值为4，∴满足条件i≤4的最大i=4， ∴输出S=1+1+2+3=7． 故选：C．

点评： 本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键． 8．（3分）如图a是某市参加2012年2015届高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1、A2、„、Am[如A2表示身高（单位：cm）在[150，155]内的学生人数]．图b是统计图a中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm（含160cm，不含180cm）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（）

B． 6

- 9 -

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A． i＜9 B． i＜8 C． i＜7 D． i＜6

考点： 程序框图；频率分布直方图． 专题： 算法和程序框图．

分析： 由题目要求可知：该程序的作用是统计身高在160～180cm（含160cm，不含180cm））的学生人数，由图1可知应该从第四组数据累加到第七组数据，故i值应小于8．

解答： 解：现要统计的是身高在160﹣180cm之间的学生的人数，即是要计算A4、A5、A6、A7的和，

当i＜8时就会返回进行叠加运算， 当i≥8将数据直接输出，

不再进行任何的返回叠加运算，故i＜8． 故选：B

点评： 把统计与框图两部分内容进行交汇考查，体现了考题设计上的新颖，突出了新课标2015届高考中对创新能力的考查要求． 9．（3分）已知点A（a，b）与点B（1，0）在直线3x﹣4y+10=0的两侧，给出下列说法： ①3a﹣4b+10＞0； ②

＞2；

③当a＞0时，a+b有最小值，无最大值； ④当a＞0且a≠1，b＞0时，

的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．

其中正确的个数是（）

A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

考点： 命题的真假判断与应用；直线的斜率． 专题： 简易逻辑．

分析： 画出图象，利用点与直线的位置关系判断①的正误；两点之间的距离判断②的正误；利用图象判断③的正误；利用直线的斜率判断④的正误；

解答： 解：点A（a，b）与点B（1，0）在直线3x﹣4y+10=0的两侧，

- 10 -

文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站www.jszybase.com 3×1﹣4×0+10＞0，3a﹣4b+10＜0，所以①不正确； 原点到直线的距离为：

，

∴＞2；所以②正确．

对于③，可知，A的可行域，不含边界，所以③不正确． 对于④，当a＞0且a≠1，b＞0时，

表示可行域内的点与（1，0）连线的斜率，它的取

值范围为（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．正确， 正确的命题两个． 故选：B．

点评： 本题考查命题的真假的判断，线性规划的应用，考查计算能力．

10．（3分）设实数x，y满足 ，则的取值范围是（） - 11 -

文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站www.jszybase.com A．

B．

C．

D．

考点： 简单线性规划． 专题： 数形结合．

分析： 先根据约束条件画出可行域，设

，再利用z的几何意义求最值，

表示的是区域内的点与点O连线的斜率．故 z的最值问题即为直线的斜率的最值问题．只需求出直线OQ过可行域内的点A时，从而得到z的最大值即可． 解答： 解：作出可行域如图阴影部分所示： 目标函数

═

≥2

当且仅当 =1时，z最小，最小值为：2．

又其中 可以认为是原点（0，0）与可行域内一点（x，y）连线OQ的斜率． 其最大值为：2，最小值为：，

因此 的最大值为 ，

则目标函数 则故选C．

的取值范围是

点评： 巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础，纵观目标函数包括线性的与非线性，非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得规划问题得以深化．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．

二、填空题（25分）

- 12 -

文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站www.jszybase.com 11．（3分）若实数a、b满足a+b=2，则3+3的最小值是 6．

考点： 基本不等式． 专题： 计算题．

分析： 根据基本不等式和指数运算可直接得到答案． 解答： 解：∵a+b=2 ∴3+3≥2

a

b

a

b

=2=6

当且仅当a=b=1时等号成立 故答案为：6

点评： 本题主要考查基本不等式的应用，应用基本不等式时要注意“一正、二定、三相等”，为要满足的条件．

12．（3分）设m＞1，在约束条件 下，目标函数z=x+5y的最大值为4，则m的值为

3．

考点： 简单线性规划的应用．

专题： 计算题；压轴题；数形结合．

分析： 根据m＞1，我们可以判断直线y=mx的倾斜角位于区间（

，

）上，由此我们不

难判断出满足约束条件的平面区域的形状，再根据目标函数z=x+5y在直线y=mx与

直线x+y=1交点处取得最大值，由此构造出关于m的方程，解方程即可求出m 的取值范围．

解答： 解：满足约束条件 的平面区域如下图所示：

目标函数z=x+5y可看做斜率为﹣的动直线，其纵截距越大z越大， 由当x=

可得A点（，y=

时，

；

，

）

目标函数z=x+5y取最大值为4，即解得m=3． 故答案为：3．

- 13 -

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点评： 本题考查的知识点是简单线性规划的应用，其中判断出目标函数z=x+my在

点取得最大值，并由此构造出关于m的方程是解答本题的关键．

13．（3分）读图中的程序，输出i=4．

考点： 程序框图．

专题： 算法和程序框图．

分析： 由已知中的程序算法可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 解答： 解：第一次执行循环体后，i=1，S=1，不满足退出循环的条件， 再次执行循环体后，i=2，S=2，不满足退出循环的条件， 再次执行循环体后，i=3，S=6，不满足退出循环的条件， 再次执行循环体后，i=4，S=24，满足退出循环的条件， 故输出的i值为4， 故答案为：4

点评： 本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题． 14．（3分）利用如图中的算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点既在直线2x﹣y+7=0右下方，又在直线x﹣2y+8=0左上方的有0个．

- 14 -

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考点： 程序框图． 专题： 图表型．

分析： 根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是打印满足条件的点，执行程序不难得到所有打印的点的坐标，再判断直线2x﹣y+7=0及与直线x﹣2y+8=0的关系，即可得到答案．

解答： 解：根据流程图所示的顺序，该程序的作用是打印如下点： （﹣3，6）、（﹣2，5）、（﹣1，4）、（0，3）、（1，2） 其中 （0，3）、（1，2）在直线左上方满足x﹣2y+8＞0 （﹣3，6）、（﹣2，5）在直线右下方满足2x﹣y+7＜0

即没有点既在直线x﹣2y+8＞0左上方，又在直线2x﹣y+7=0右下方． 故答案为：0．

点评： 本题主要考察程序框图和算法，属于基础题． 15．（3分）已知函数f（x）与g（x）的图象关于直线x=2对称，若f（x）=4x﹣15，则不等式

≥0的解集是（﹣∞，﹣1）∪[，1）．

考点： 其他不等式的解法． 专题： 不等式的解法及应用． 分析： 先求出g（x），再解不等式即可．

解答： 解：∵函数f（x）与g（x）的图象关于直线x=2对称，f（x）=4x﹣15， ∴g（x）=f（4﹣x）=4（4﹣x）﹣15=1﹣4x， ∵

≥0，

∴≥0，

- 15 -

文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站www.jszybase.com 即（x﹣1）（x+1）（4x﹣1）≤0，（x≠±1）， 解得x＜﹣1，或≤x＜1，

故答案为；（﹣∞，﹣1）∪[，1）．

点评： 本小题主要考查其他不等式的解法，主要是抽象不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于基础题．

三、解答题（75分） 16．（12分）已知函数

．

（1）当a=4时，求函数f（x）的最小值； （2）解关于x的不等式f（x）＞a+3； （3）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围．

考点： 函数恒成立问题；函数的最值及其几何意义． 专题： 函数的性质及应用．

分析： （1）当a=4时，利用基本不等式即可求函数f（x）的最小值； （2）根据一元二次不等式的解法即可解关于x的不等式f（x）＞a+3； （3）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，利用参数分离，然后求函数的最值，即可求实数a的取值范围． 解答： 解：（1）∵a=4， ∴

当x=2时，取得等号， ∴当x=2时，f（x）min=6． （2）由题意得

2

，

，

∴x+2x+a＞（a+3）x， 2

∴x﹣（a+1）x+a＞0， ∴（x﹣1）（x﹣a）＞0，

当a≤1，不等式的解为x＞1，即不等式的解集为（1，+∞）， 当a＞1，不等式的解为x＞a，即不等式的解集为（a，+∞）． （3）

2

，

等价于a＞﹣x﹣2x，当x∈[1，+∞）时恒成立，

2

令g（x）=﹣x﹣2x，

则当x∈[1，+∞）时，g（x）的最大值为g（1）=﹣1﹣2=﹣3， ∴a＞﹣3．

点评： 本题主要考查不等式恒成立问题，利用参数分离法是解决此类问题的基本方法． 17．（12分）某高校在2011年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如图所示．

（Ⅰ）请先求出频率分布表中①、②位置相应的数据，完成频率分布直方图；

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（Ⅱ）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？ 组号 分组 频数 频率 第1组 [160，165） 5 0.050 第2组 [165，170） ① 0.350 第3组 [170，175） 30 ② 第4组 [175，180） 20 0.200 第5组 [180，185] 10 0.100 合计 100 1.00

考点： 频率分布直方图；分层抽样方法． 专题： 概率与统计．

分析： （Ⅰ）根据频率分布表计算相应的人数和频率即可完成频率分布直方图； （Ⅱ）根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）由题可知，第2组的频数为0.35×100=35人，第3组的频率为

，

频率分布直方图如图所示：

（Ⅱ）因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为： 第3组：第4组第5组：

×6=3人， ×6=2人， ×6=1人，

所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人．

- 17 -

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点评： 本题主要考查分层抽样和频率分布直方图的应用，根据条件建立比例关系是解决此类问题的基本方法，比较基础． 18．（12分）解关于x的不等式 （x+1）（mx﹣1）＞0，（m∈R）．

考点： 一元二次不等式的解法． 专题： 不等式的解法及应用．

分析： 对m分类讨论，利用一元二次不等式的解法即可得出． 解答： 解：①当m=0时，不等式化为x+1＜0，解得x＜﹣1． ②当m＞0时，不等式化为（x+1）（x﹣）＞0，解得＜x或x＜﹣1． ③当﹣1＜m＜0时，不等式化为（x+1）（x﹣）＜0，解得＜x＜﹣1． ④当m=﹣1时，不等式化为（x+1）＜0，不等式的解集为∅． ⑤当m＜﹣1时，不等式化为（x+1）（x﹣）＜0，解得﹣1＜x＜． 综上可得：当m=0时，不等式的解集为{x|x＜﹣1}． ②当m＞0时，不等式的解集为{x|＜x或x＜﹣1}． ③当﹣1＜m＜0时，不等式的解集为{x|＜x＜﹣1}． ④当m=﹣1时，不等式的解集为∅．

⑤当m＜﹣1时，不等式的解集为{x|﹣1＜x＜}．

点评： 本题考查了一元二次不等式的解法和分类讨论的思想方法，属于基础题． 19．（12分）某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示），如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单

2

价为248元/米，池底建造单价为80元/米，水池所有墙的厚度忽略不计． （1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；

（2）若由于地形，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．

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2

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考点： 函数模型的选择与应用． 专题： 应用题．

分析： （1）污水处理池的底面积一定，设宽为x米，可表示出长，从而得出总造价f（x），利用基本不等式求出最小值；

（2）由长和宽的条件，得自变量x的范围，判断总造价函数f（x）在x的取值范围内的函数值变化情况，求得最小值．

解答： 解：（1）设污水处理池的宽为x米，则长为则总造价f（x）=400×（2x+=1296（x+当且仅当x=

）+12960≥1296×2×

米．

+12960

）+248×2x+80×162=1296x+

+12960=38880（元），

（x＞0），即x=10时，取等号．

∴当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38880元． （2）由条件知

，∴10≤x≤16．

设g（x）=x+（10≤x≤16），

由函数性质易知g（x）在[10，16]上是增函数， ∴当x=10时（此时1296×（10+

=16），g（x）有最小值，即f（x）有最小值

）+12960=38882（元）．

∴当长为16米，宽为10米时，总造价最低，为38882元．

点评： 本题考查了建立函数解析式，利用基本不等式求函数最值的能力，还考查了函数的单调性和运算能力． 20．（13分）根据如图所示的程序框图，将输出的x，y值依次分别记为x1，x2，„，xk，„； y1，y2，„，yk，„．

（Ⅰ）分别求数列{xk}和{yk}的通项公式；

（Ⅱ）令zk=xkyk，求数列{zk}的前k项和Tk，其中k∈N+，k≤2007．

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考点： 程序框图；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和． 专题： 等差数列与等比数列．

分析： （I）根据框图可知数列{xk}为等差数列，首项为1，公差为2，进而根据等差数列的通项公式求得数列{xk}的通项公式，对于{yk}易得yk+1=3yk+2变形得yk+1+1=3（yk+1），利用等比

kk

数列的通项公式求得yk+1=3进一步求出yk=3﹣1．

k

（II）根据（I）中求得的{xk}和{yk}的通项公式，求得zk=（2k﹣1）3﹣（2k﹣1），进而利用错位相减法求得答案． 解答： 解：（I）依框图得数列{xk}为等差数列，首项为1，公差为2 所以xk=1+2×（k﹣1）=2k﹣1

而对于{yk}易得yk+1=3yk+2变形得yk+1+1=3（yk+1）

所以{yk+1}是以y1+1=3为首项，以3为公比的等比数列，

k

所以yk+1=3

k

所以yk=3﹣1

kk

（II）由题意知，zk=（2k﹣1）（3﹣1）=（2k﹣1）3﹣（2k﹣1）

23k

设Sk=1×3+3×3+5×3+„+（2k﹣1）•3

23kk+1

3Sk=1×3+3×3+„+（2k﹣3）•3+（2k﹣1）3 两式相减得

k+1

﹣2Sk=2（1﹣k）•3﹣6

k+1

所以Dk=3﹣（1﹣k）•3．

k+12

∴Tk=3﹣（1﹣k）•3﹣k．

点评： 本题主要考查了等差数列和等比数列的通项公式，及数列求和问题．由等差数列和等比数列构成的数列常可用错位相减法求和．

2x

21．（14分）已知函数f（x）=（ax+x）•e，其中e是自然数的底数，a∈R，

x

（1）当a＞0时，解不等式f（x）＞（a﹣1）e；

x

（2）若当x∈[﹣1，1]时，不等式f（x）+（2ax+1）•e≥0恒成立，求a的取值范围；

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（3）当a=0时，试判断：是否存在整数k，使得方程f（x）=（x+1）•e+x﹣2在[k，k+1]上有解？若存在，请写出所有可能的k的值；若不存在，说明理由．

考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值． 专题： 导数的综合应用．

分析： （1）由已知得ax+x﹣a+1＞0，由此能求出当0＜a＜时，原不等式的解集为（﹣1），当a=时，原不等式的解集为∅，当a＞时，原不等式的解集为（﹣1，

2

2

x

，

）．

（2）当x∈[﹣1，1]时，不等式ax+（2a+1）x+1≥0恒成立，由此分类讨论，能求出a的取值范围．

xxx

（3）方程即为e+x﹣2=0，设h（x）=e+x﹣2，由此利用函数的单调性能求出e+x﹣2=0有且仅有一个根，且在（0，1）内，所以存在唯一的整数k=0． 解答： （本小题满分16分）

2xx

解：（1）∵f（x）=（ax+x）•e，f（x）＞（a﹣1）e，

2xx2

∴（ax+x）e﹣（a﹣1）e＞0，∴ax+x﹣a+1＞0， ∵a＞0，∴x1=﹣1，x2=

，

，﹣1），

∴当0＜a＜时，原不等式的解集为（当a=时，原不等式的解集为∅， 当a＞时，原不等式的解集为（﹣1，

2

）．

（2）当x∈[﹣1，1]时，不等式ax+（2a+1）x+1≥0恒成立，

①若a=0，则x+1≥0，该不等式满足在x∈[﹣1，1]时恒成立；

22

②∵△=（2a+1）﹣4a=4a+1＞0，

2

∴g（x）=ax+（2a+1）x+1有两个零点，

若a＞0，则需满足，此时a无解；

③若a＜0，则需满足，

即，所以

综上所述，a的取值范围是．

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（3）方程即为e+x﹣2=0，设h（x）=e+x﹣2，

x

由于y=e和y=x﹣2均为增函数，则h（x）也是增函数，

01

又因为h（0）=e+0﹣2=﹣1＜0，h（1）=e+1﹣2=e﹣1＞0， 所以该函数的零点在区间（0，1）上，

又由于函数为增函数，所以该函数有且仅有一个零点，

x

所以方程e+x﹣2=0有且仅有一个根，

且在（0，1）内，所以存在唯一的整数k=0．

点评： 本题考查方程的解法，考查a的取值范围的求法，考查满足条件的整数是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意导数的性质的合理运用．

x

x

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