2022版新高考数学总复习专题训练--3.4 指数与指数函数

2022版新高考数学总复习专题训练--§3.4 指数与指

数函数

专题检测

1.(2018海南华侨中学期中,8)已知a=0.4,b=0.3,c=0.3

0.3

0.4

-0.2

,则 ( )

A.b答案 A ∵1>a=0.4>0.3>b=0.3,c=0.3>1,∴b0.3

0.3

0.4

-0.2

3-2-𝑥,𝑥≥0,

2.(2018浙江镇海中学阶段性测试,6)函数f(x)={𝑥则该函数为 ( )

2-3,𝑥<0,A.单调递增函数,奇函数 B.单调递增函数,偶函数 C.单调递减函数,奇函数 D.单调递减函数,偶函数

答案 A 显然函数f(x)在区间(-∞,0)和[0,+∞)上都是增函数,又x=0时,代入函数的两段解析式中,其值均为零,说明函数图象是连续不断的,故函数f(x)是单调递增函数.

3-2𝑥,-𝑥≥0,-(2𝑥-3),𝑥≤0,-(3-2-𝑥),𝑥>0,-(3-2-𝑥),𝑥≥0,

又f(-x)={-𝑥={={={=-f(x),所以函数f(x)是奇函数,故选A.

2-3,-𝑥<0-(3-2-𝑥),𝑥>0-(2𝑥-3),𝑥≤0-(2𝑥-3),𝑥<03.(2018北京丰台二模,6)设下列函数的定义域为(0,+∞),则值域为(0,+∞)的函数是 ( ) A.y=e-x B.y=e+ln x C.y=x-√𝑥 D.y=ln(x+1)

答案 D A项,函数y=e-x,y'=e-1,令e-1>0可知函数在(0,+∞)上单调递增,所以值域为(1,+∞),故排除A.

xxxxxB项,函数y=e+ln x,当x→0时,ln x→-∞,而e→1,所以y→-∞,可排除B;

C项,函数y=x-√𝑥可看作关于√𝑥的二次函数,即y=(√𝑥)-√𝑥,易得值域为[-,+∞),可排除C,故选D. 解题关键 熟练掌握指数函数与对数函数的图象和性质是解本题的关键.

|2𝑥-1|,𝑥≤2,abc4.(2018广东第一次模拟,12)函数f(x)={若互不相等的实数a,b,c满足f(a)=f(b)=f(c),则2+2+2的取值范围是

-𝑥+5,𝑥>2.

( )

2

xx14A.(16,32) B.(18,34) C.(17,35) D.(6,7) 答案 B 画出函数f(x)的图象如图所示.

不妨令aabab结合图象可得4c∴18<2+2+2<34.故选B.

解题关键 利用函数图象进行求解,使得解题过程变得直观形象.解题中有两个关键:一是结合图象得到2+2=2;二是根据图象

ababc判断出c的取值范围,进而得到16<2<32,然后根据不等式的性质可得所求的范围.

c 第1页共5页

5.(2017广东茂名二模,9)已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b)的图象如图所示,则函数g(x)=a+b的图象是

x( )

答案 C 由函数f(x)的图象可知,-11,则g(x)=a+b为增函数,当x=0时,g(0)=1+b>0,故选C.

x6.(2018重庆万州二模,11)设平行于x轴的直线l分别与函数y=2和y=2的图象相交于点A,B,若函数y=2的图象上存在点C,

xx+1

x使得△ABC为等边三角形,则这样的直线l ( ) A.不存在 B.有且只有一条 C.至少有两条 D.有无数条

答案 B 根据题意,设直线l的方程为y=m,则A(log2m,m),B(log2m-1,m),AB=1,设C(x,2),∵△ABC是等边三角形,∴点C到直线ABx的距离为

√32,∴m-2=

x√32,

1212∴x=log2(𝑚-∴log2(𝑚-解得m=

√32),又x=(log2m+log2m-1)=log2m-,

12√3𝑚𝑚,∴m-=, 2√2√2√32)=log2m-=log22√3+√6,故符合条件的直线l只有1条.故选B. 2

思路分析 设AB方程为y=m,根据△ABC是等边三角形计算m的值,得出结论.

7.(2018湖南郴州第二次教学质量检测,11)已知函数f(x)=e-𝑥,其中e是自然对数的底数,则关于x的不等式f(2x-1)+f(-x-1)>0

x1e的解集为 ( )

A.(-∞,-)∪(2,+∞) B.(2,+∞) C.(-∞,)∪(2,+∞) D.(-∞,2) 答案 B 函数f(x)=e-𝑥的定义域为R,

x43431e∵f(-x)=e-

-x11x=-e=-f(x),∴f(x)是奇函数,那么不等式f(2x-1)+f(-x-1)>0等价于f(2x-1)>-f(-x-1)=f(1+x),易证f(x)是R上的e-𝑥e𝑥递增函数,∴2x-1>x+1,解得x>2,∴不等式f(2x-1)+f(-x-1)>0的解集为(2,+∞),故选B.

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8.若函数f(x)=loga(ax-3)(a>0且a≠1)在[1,3]上单调递增,则a的取值范围是 ( ) A.(1,+∞) B.(0,1) C.(0,) D.(3,+∞)

答案 D 令u=ax-3,∵a>0且a≠1,∴u=ax-3为增函数,∴若函数f(x)为增函数,则f(x)=logau必为增函数,因此a>1.又u=ax-3在[1,3]上恒为正,∴a-3>0,即a>3,故选D.

易错警示 本题既要考虑复合函数单调性法则,还要考虑不等式ax-3>0在x∈[1,3]上恒成立. 9.(2017浙江金华十校调研,13)已知函数f(x)=

2e𝑥3

,在F(x)=f(x)+1和G(x)=f(x)-1中, 为奇函数;若f(b)=,则𝑥e+121

3f(-b)= .

答案 G(x); 解析 由题可知,G(x)=f(x)-1=所以f(-b)=2-f(b)=.

21

10.(2018湖南益阳4月调研,13)已知函数f(x)=𝑥(a∈R)的图象关于点(0,)对称,则a= . 21+𝑎·2

𝑥

1

2e𝑥-1e-𝑥-11-e𝑥

,显然G(-x)===-G(x),因此函数G(x)为奇函数,所以G(b)+G(-b)=0,即f(b)-1+f(-b)-1=0,e𝑥+1e-𝑥+1e𝑥+11

2答案 1

解析 由已知,得f(x)+f(-x)=1,即

2x22

𝑥+-𝑥=1, 1+𝑎·21+𝑎·2

𝑥-𝑥

整理得(a-1)[2+(a-1)·2+1]=0,所以当a-1=0,即a=1时,等式成立.

x11.(2019届江苏锡山高级中学检测)若偶函数f(x)满足f(x)=2-4(x≥0),则不等式f(x-2)>0的解集为 . 答案 {x|x>4或x<0}

2𝑥-4,𝑥≥0,-x解析 因为f(x)为偶函数,当x<0时, f(x)=f(-x)=2-4,所以f(x)={-𝑥

2-4,𝑥<0.𝑥-2<0,𝑥-2≥0,

当f(x-2)>0时,有{𝑥-2或{-𝑥+2

-4>0,2-4>02解得x>4或x<0.所以不等式的解集为{x|x>4或x<0}. 12.(2018浙江高考模拟训练冲刺卷一,17)已知函数f(x)={①若a>0,b>0,则f(a+b)≤f(a)f(b); ②若a>b>0,则f(a-b)≥

𝑓(𝑎)

; 𝑓(𝑏)bxe,0<𝑥<1,

现有四个命题:

e𝑥,𝑥≥1.

③若a>0,b>0,则f(ab)≥[f(a)]; ④若a>b>0,则f()≤[𝑓(𝑎)]𝑏.

其中真命题为 .(写出所有真命题的序号) 答案 ①②④

解析 对于①,当a≥1,b≥1时, f(a+b)=e, f(a)=e,f(b)=e,此时f(a+b)≤f(a)f(b)成立;

a+bab𝑎𝑏1

当a≥1,0e=f(a+b),此时f(a+b)≤f(a)f(b)成立;

a+baa+1

a+be,0<𝑎+𝑏<1,

当0e,1≤𝑎+𝑏<2,

当0e=f(a+b),此时f(a+b)≤f(a)f(b)成立.

a+bbb+1

a+b综上可知①正确.

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𝑓(𝑎)e𝑎a-1𝑓(𝑎)

==eb>0时,若0a-b>a-1,此时f(a-b)=ea-b,

𝑓(𝑎)e𝑎a-1a-b𝑓(𝑎)

==e=𝑏=eb≥1时,若0𝑓(𝑎)

成立. 𝑓(𝑏)当0𝑓(𝑎)

成立. 𝑓(𝑏)𝑓(𝑎)e

==1对于③,当a=,b=2时, f(ab)=e,[f(a)]=e,

b2

13此时f(ab)<[f(a)],故③是错误的.

b1𝑎1𝑎𝑎a𝑏𝑏对于④,当a>b≥1时, f()=e,[f(a)]=(e)𝑏=e𝑏,

𝑏1

𝑎

∴f()≤[f(a)]𝑏成立;

𝑏当a≥1>b>0时, f()=e𝑏,[f(a)]𝑏=(e)𝑏=e𝑏,

a𝑎𝑏𝑎11𝑎

∴f()≤[𝑓(𝑎)]𝑏成立;

11𝑎𝑎𝑎

𝑏当0e𝑏, 𝑏𝑎𝑏1

∴f()≤[𝑓(𝑎)]𝑏成立. 综上可知④正确.故填①②④.

13.(2018江苏如东中学期中,16)已知函数f(x)=ax-2ax+2+b(a≠0)在区间[2,3]上有最大值5,最小值2. (1)求a,b的值;

(2)若b<1,g(x)=f(x)-2x在[2,4]上是单调函数,求实数m的取值范围.

m2

𝑎𝑏1

解析 (1)f(x)=a(x-1)+2+b-a.

2

①当a>0时, f(x)在[2,3]上为增函数,

𝑓(3)=5,9𝑎-6𝑎+2+𝑏=5,𝑎=1,故{所以{解得{

4𝑎-4𝑎+2+𝑏=2,𝑏=0.𝑓(2)=2,②当a<0时, f(x)在[2,3]上为减函数,

𝑓(3)=2,9𝑎-6𝑎+2+𝑏=2,𝑎=-1,

故{所以{解得{

4𝑎-4𝑎+2+𝑏=5,𝑏=3.𝑓(2)=5,故{

𝑎=1,𝑎=-1,

或{ 𝑏=0𝑏=3.

(2)因为b<1,所以a=1,b=0,

即f(x)=x-2x+2,g(x)=x-2x+2-2x=x-(2+2)x+2.

2

2

m2m若g(x)在[2,4]上单调,

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𝑚

𝑚

则

2+22+2

≤2或≥4. 22mm所以2≤2或2≥6, 即m≤1或m≥log26.

故实数m的取值范围是(-∞,1]∪[log26,+∞). 14.(2019苏州期中,18)已知f(x)=e-𝑥是奇函数.

x𝑎

e(1)求实数a的值;

(2)求函数y=e+e-2λf(x)在x∈[0,+∞)上的值域;

2x-2x(3)令g(x)=f(x)-2x,求不等式g(x+1)+g(1-3x)<0的解集.

3

2

解析 (1)函数的定义域为R,因为f(x)为奇函数, 所以f(0)=0,所以1-a=0,所以a=1. 当a=1时, f(-x)=e--x(3分)

1x1

=-e+𝑥=-f(x), -𝑥ee此时f(x)为奇函数. (4分) (2)令e-𝑥=t(t≥0),所以e+

x2x2

1

e12

=t+2, e2𝑥所以h(t)=t-2λt+2,对称轴为直线t=λ. (5分) ①当λ≤0时,h(t)∈[h(0),+∞),所求值域为[2,+∞);

2

(7分)

(9分)

②当λ>0时,h(t)∈[h(λ),+∞),所求值域为[2-λ,+∞). (3)g(x)的定义域为R.因为f(x)=e-𝑥为奇函数,

x1e所以g(-x)=f(-x)-2(-x)=-f(x)+2x=-g(x), 所以g(x)=f(x)-2x为奇函数,

所以g(x+1)+g(1-3x)<0等价于g(x+1)3

2

3

2

又g'(x)=f '(x)-2=e+𝑥-2≥2-2=0,当且仅当x=0时,等号成立,

x1

e所以g(x)=f(x)-2x在R上单调递增, 所以x+1<3x-1,即x-3x+2<0, (13分)

3

2

3

2

即(x-1)(x-2x-2)<0,

2

所以x<1-√3或1所以不等式的解集是(-∞,1-√3)∪(1,1+√3).

(15分)

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