2021年新高考数学一轮专题复习第08讲-指数与指数函数(讲义版)

第08讲-指数与指数函数

一、考情分析

1.通过对有理数指数幂an(a>0，且a≠1；m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1；x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质；2.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念；

3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.

m二、知识梳理

1.根式

(1)概念：式子a叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.

(2)性质：(a)＝a(a使a有意义)；当n为奇数时，a＝a，当n为偶数时，a＝|a|＝nnnnnn

nna，a≥0，－a，a<0.

2.分数指数幂

(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是an＝am(a>0，m，n∈N+，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是an＝n有意义.(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.3.指数函数及其性质

(1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.

(2)指数函数的图象与性质

a>1

图象

0－

mnm1am(a>0，m，n∈N+，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没定义域值域

R(0，＋∞)

过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1

性质

当x>0时，y>1；当x<0时，01；当x>0时，01.画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，2.在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象越高，底数越大.

－1，三、经典例题

考点一

指数幂的运算

【例1-1】化简下列各式：30122(1)5＋2－2·4－1

2－(0.01)0.5；(2)abab211

4

－

332

（a4b2）a3b3

11(a>0，b>0).【解析】4111(1)原式＝1＋×92－1004121211116＝1＋×－＝1＋－＝.43106101512

1

（a3b2a3b3）231111

a＋－1＋1＋－2－

(2)原式＝＝ab＝.1126333b2－

aba3b3【例1-2】化简下列各式：1

2

－2.5

(1)[(0.05)]3－3

33－π0；815－5－－－－

(2)a3·b2·(－3a2b1)÷(4a3·b3)2.61

121

解(1)原式＝315－×1000×5222713－83－1524＝1023

3－2313－153＝－－1＝0.225－－－

(2)原式＝－a6b3÷(4a3·b3)2

21

21

5－1－33－35－－

＝－a6b÷(ab)＝－a2·b3

44515ab＝－·＝－.4ab34ab2

1212

规律方法1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序.2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.

3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.考点二

指数函数的图象及应用

【例2-1】若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________.12x－a1(1)y＝(a－1)2－＝a2－2x，令2x－＝0，得x＝－1，22x

解析1－1，－a故函数y＝(a－1)2x－恒过定点2.2(2)在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示.∴当0)A.a>1，b<0B.a>1，b>0C.00D.0－

－

函数f(x)＝axb的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b<0.(2)画出曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示.由图象得|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1，1].考点三指数函数的性质及应用

)B.0.61>0.62

－

【例3－1】(1)下列各式比较大小正确的是(A.1.72.5>1.73C.0.8－0.1

>1.250.2D.1.70.3<0.93.1

1x(2)设函数f(x)＝2－7，x<0，若f(a)<1，则实数a的取值范围是________.x，x≥0，【解析】(1)A中，∵函数y＝1.7x在R上是增函数，2.5<3，∴1.72.5<1.73，错误；B中，∵y＝0.6x在R上是减函数，－1<2，∴0.61>0.62，正确；－

C中，∵(0.8)1＝1.25，－

∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小.∵y＝1.25x在R上是增函数，0.1<0.2，∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1

<1.250.2，错误；D中，∵1.70.3>1,0<0.93.1<1，∴1.70.3>0.93.1，错误.1a(2)当a<0时，原不等式化为2－7<1，则2a<8，解之得a>－3，所以－3当a≥0时，则a<1，0≤a<1.综上知，实数a的取值范围是(－3，1).答案(1)B(2)(－3，1)－m|

【例3－2】(1)已知函数f(x)＝2|2x1(2)若函数f(x)＝3【解析】ax2＋2x＋3

(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增加的，则m的取值范围是______.10，的值域是9，则f(x)的单调递增区间是________.mm，＋∞－∞，(1)令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间2上是增加的，在区间2上是减少的.而y＝－m|

2t在R上是增加的，所以要使函数f(x)＝2|2x范围是(－∞，4].(2)令g(x)＝ax2＋2x＋3，由于f(x)的值域是0，19，m在[2，＋∞)上是增加的，则有≤2，即m≤4，所以m的取值2所以g(x)的值域是[2，＋∞).a>0，因此有12a－4解得a＝1，＝2，4a1这时g(x)＝x2＋2x＋3，f(x)＝3x2＋2x＋3

.由于g(x)的单调递减区间是(－∞，－1]，所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－1].【例3－3】如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a的值为________.【解析】令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.当a>1时，因为x∈11，a，a2

[－1，1]，所以t∈a，又函数y＝(t＋1)－2在a上单调递增，所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝11a，a，3(负值舍去).当02.求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.

易错警示在研究指数型函数的单调性时，当底数a与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论.[方法技巧]

1.根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算.

2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较.

3.指数函数的单调性取决于底数a的大小，当底数a与1的大小关系不确定时应分01两种情况分类讨论.

4.对与复合函数有关的问题，要弄清楚复合函数由哪些基本初等函数复合而成，并且一定要注意函数的定义域.

5.对可化为a2x＋b·ax＋c＝0或a2x＋b·ax＋c≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解题，但应注意换元后“新元”的范围.

四、课时作业

（2020·榆林市第二中学高三零模（文））设a0.60.3，b0.30.6，c0.30.3，则a,b,c的大小关系为（1．A．b＜a＜c

B．a＜c＜b

C．bca

D．c＜b＜a

）（2020·四川省成都七中高一月考）设a0且a1,则函数yaxb与ybax在同一坐标系中的图象2．可能是（）A．B．C．D．（2020·九台市第四中学高一期末）若a3．A．1

B．533C．1

3，b

424，则ab的值为（）D．25

4．（2020·天水市第一中学高二月考（文））已知函数f(x)是定义在R的周期为2的函数，当0x1时，5f(x)4x，则f（2

A．1B．4）C．2x2D．32（2020·广西壮族自治区平桂高中高一期末）函数fxa5．A．0,1B．2,1C．2,33恒过定点P（D．2,4）（2020·陕西省西安一中高二期中（文））若指数函数fxa在区间0,2上的最大值和最小值之和为10，6．x则a的值为（A．）B．3C．3D．

1313（2020·甘肃省甘谷第一中学高二开学考试（理））下列函数中，值域为R且在区间(0,)上单调递增的是7．()B．y2x1D．y(x1)|x|

A．yx22xC．yx31

（2020·湖南省高三一模（理））已知函数yfx在区间,0内单调递增，且fxfx，若8．

aflog13，bf21.2，c

2

A．acb

B．bca

1

f，则a、b、c的大小关系为（2

C．bac

D．abc）x21,x󰀭2

（2019·河南省高一月考）设函数fx，若互不相等的实数a,b,c满足9．x5,x2

fafbfc，则2a2b2c的取值范围是（）D．6,7A．16,32B．18,34C．17,35ax

（2020·江西省上高二中高一期末）设函数f(x)x，(a0且a1)，m表示不超过实数m的最10．a1大正数，则函数f(x)A．0,1,2

11f(x)的值域是（22

C．1,0,1）D．0,1，0B．1

12x

（2020·四川省高三二模（理））函数fxx111．1，若ft1.2，则ft__________.22（2020·全国高三月考（理））定义在D上的函数f(x)，如果满足对xD,常数M0，都有f(x)M12．2tt成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M成为函数f(x)的上界.若已知函数Steme2在,0上是以M4为上界的有界函数，则实数m的取值范围为_________.15x

（2020·福建省高一期末）已知函数fx．13．x15

（1）写出fx的定义域；（2）判断fx的奇偶性；（3）已知fx在定义域内为单调减函数，若对任意的tR，不等式ft2tf2tk0恒成立，22求实数k的取值范围．3上的值域为0,4。（2020·内蒙古自治区集宁一中高二月考（文））已知gxx2ax1在区间1，14．2(1)求实数a的值；(2)若不等式g2

k4

xx0当x1,上恒成立，求实数k的取值范围。x

2

（2020·全国高三一模（理））已知函数f(x)2,g(x)x2ax.15．（1）当a1时，求函数yf(g(x))(2󰀭x󰀭3)的值域.（2）设函数h(x)

f(x),x󰀮b2，若ab0，且h(x)的最小值为，求实数a的取值范围.g(x),xb2

2xb

（2020·广东省中山纪念中学高三月考（文））已知定义域为R的函数fxx1是奇函数.16．22

（1）求b的值；（2）判断并证明函数fx的单调性；（3）若对任意的tR，不等式ft2tf2tk0恒成立，求k的取值范围.2

2

