2020年高考数学(文)一轮复习讲练测专题2.6 指数与指数函数(练) 含解析

专题2.6 指数与指数函数

－

1.（2019·陕西西安一中月考）下列函数中，与函数y＝2x－2x的定义域、单调性与奇偶性均一致的是( ) A．y＝sin x 1C．y＝2 【答案】B

【解析】y＝2x－2x是定义域为R的单调递增函数，且是奇函数．而y＝sin x不是单调递增函数，不符合题意；

－

B．y＝x3 D．y＝log2x

x

1y＝2是非奇非偶函数，不符合题意； y＝log2x的定义域是(0，＋∞)，不符合题意；

y＝x3是定义域为R的单调递增函数，且是奇函数符合题意．

2．（2019·河北承德一中期中）设2x＝8y1，9y＝3x9，则x＋y的值为( )

＋

－

x

A．18 B．21 C．24 D．27 【答案】D

【解析】因为2x＝8y1＝23(y

＋

－

＋1)

，所以x＝3y＋3，

因为9y＝3x9＝32y，所以x－9＝2y， 解得x＝21，y＝6，所以x＋y＝27.

13．（2019·广西北海一中月考）函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象可能是( )

a

【答案】D

1

【解析】当a>1时，y＝ax－是增函数．

a1

当x＝0时，y＝1－∈(0，1)，A，B不满足．

a1

当0a1

当x＝0时，y＝1－<0，C错，D项满足．

a

4．（2019·广东韶关一中期末）设x>0，且1B．0C．1D．1【解析】因为x>0时，11. a因为x>0时，bx0时，b>1. a

所以>1，所以a>b，所以1b

1－

5．（2019·山东济宁二中期末）若函数f(x)＝a|2x4|(a＞0，且a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是( )

9A．(－∞，2] C．[－2，＋∞) 【答案】B

11111

【解析】由f(1)＝，得a2＝，解得a＝或a＝－(舍去)，即f(x)＝39933在[2，＋∞)上递增，所以f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．

96．（2019·福建三明一中期末）已知函数f(x)＝x－4＋，x∈(0,4)，当x＝a时，f(x)取得最小值b，则函数

x＋1g(x)＝a|xb|的图象为( )

＋

x

B．[2，＋∞) D．(－∞，－2]

|2x－4|

.由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，

【答案】A

【解析】因为x∈(0,4)，所以x＋1＞1， 99

所以f(x)＝x－4＋＝x＋1＋－5≥2

x＋1x＋1

9

·(x＋1)－5＝1， x＋1

当且仅当x＝2时取等号，此时函数有最小值1， 所以a＝2，b＝1，

2，x≥－1，＋

此时g(x)＝2|x1|＝1x＋1

，x＜－1，2

2，x≥0，

此函数图象可以看作由函数y＝1x的图象向左平移1个单位得到．

，x＜02

x

x＋1

结合指数函数的图象及选项可知A正确．故选A.

1

7．（2019·安徽阜阳一中期末）已知函数f(x)＝2，a为常数，且函数的图象过点(－1，2)． (1)求a的值；

(2)若g(x)＝4x－2，且g(x)＝f(x)，求满足条件的x的值．

－

ax

1【解析】(1)由已知得2＝2，解得a＝1. 1(2)由(1)知f(x)＝2，

1－

又g(x)＝f(x)，则4x－2＝2，

1111所以－－2＝0，即－2－2＝0. 42212令2＝t，则t＞0，t－t－2＝0，即(t－2)(t＋1)＝0， 1又t＞0，故t＝2，即2＝2，解得x＝－1， 故满足条件的x的值为－1.

3x＋a8．（2019·浙江绍兴一中期末）已知函数f(x)＝x为奇函数．

3＋1(1)求a的值；

(2)判断函数f(x)的单调性，并加以证明．

1＋a

【解析】(1)因为函数f(x)是奇函数，且f(x)的定义域为R，所以f(0)＝＝0，所以a＝－1.

1＋13x－12

(2)f(x)＝x＝1－x，函数f(x)在定义域R上单调递增．

3＋13＋1理由：设任意的x1，x2，且x1则f(x1)－f(x2)＝ x. （3 1＋1）（3 x 2＋1）因为x11x2+ax12x+a-29．（2019·计算宿迁一中期中）不等式＜2恒成立，则a的取值范围是________． 2【答案】(－2,2)

1x【解析】由指数函数的性质知y＝2是减函数， 1x2+ax12x+a-2因为＜2恒成立， 2所以x2＋ax＞2x＋a－2恒成立，

x

x

x

x

x2

x

x

x

－a

所以x＋(a－2)x－a＋2＞0恒成立， 所以Δ＝(a－2)2－4(－a＋2)＜0， 即(a－2)(a－2＋4)＜0， 即(a－2)(a＋2)＜0，

故有－2＜a＜2，即a的取值范围是(－2,2)．

11

10．（2019·广东云浮一中期中）已知函数f(x)＝ax－1＋2x3(a＞0，且a≠1)．

2



(1)讨论f(x)的奇偶性；

(2)求a的取值范围，使f(x)＞0在定义域上恒成立． 【解析】(1)由于ax－1≠0，则ax≠1，得x≠0， ∴函数f(x)的定义域为{x|x≠0}． 对于定义域内任意x，有 11

f(－x)＝a－x－1＋2(－x)3



a1

＝1－ax＋2(－x)3 11

＝－1－ax－1＋2(－x)3

x



11

＝ax－1＋2x3＝f(x)， ∴函数f(x)是偶函数． (2)由(1)知f(x)为偶函数，

∴只需讨论x＞0时的情况，当x＞0时，要使f(x)＞0， 11

则ax－1＋2x3＞0， 即

11

＋＞0， ax－12

ax＋1即x＞0，则ax＞1. 2(a－1)又∵x＞0，∴a＞1.

∴当a∈(1，＋∞)时，f(x)＞0.

11．（2019·湖南衡阳八中模拟）在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%，专家预测经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为( )

【答案】D

z

【解析】设原有荒漠化土地面积为b，经过x年后荒漠化面积为z，所以z＝b(1＋10.4%)x，故y＝＝(1＋

b10.4%)x(x≥0)，是底数大于1的指数函数．因此y＝f(x)的图象为选项D.

12．（2019·河北正定中学模拟）已知定义在R上的函数f(x)＝2|x

＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为( )

A．a＜b＜c C．a＜c＜b 【答案】B

【解析】由函数f(x)＝2|x

－m|

－m|

－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b

B．c＜a＜b D．c＜b＜a

－1为偶函数，得m＝0，所以f(x)＝2|x|－1，当x＞0时，f(x)为增函数，

log0.53＝－log23，所以log25＞|－log23|＞0， 所以b＝f(log25)＞a＝f(log0.53)＞c＝f(2m)＝f(0)， 故b＞a＞c.

13．（2019·浙江余姚中学模拟）设y＝f(x)在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K，定义fK(x)＝

f（x），f（x）≤K，＋

给出函数f(x)＝2x1－4x，若对于任意x∈(－∞，1]，恒有fK(x)＝f(x)，则( ) K，f（x）>K.

A．K的最大值为0 B．K的最小值为0 C．K的最大值为1 D．K的最小值为1 【答案】D

【解析】根据题意可知，对于任意x∈(－∞，1]，若恒有fK(x)＝f(x)，则f(x)≤K在x≤1上恒成立，即f(x)的最大值小于或等于K即可．令2x＝t，则t∈(0，2]，f(t)＝－t2＋2t＝－(t－1)2＋1，可得f(t)的最大值为1，所以K≥1，故选D.

14．（2019·福建泉州五中模拟）设a>0，且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－1在[－1，1]上的最大值是14，则实数a的值为________．

1

【答案】或3

3

【解析】令t＝ax(a>0，且a≠1)， 则原函数化为y＝f(t)＝(t＋1)2－2(t>0)． 1a，， ①当0a，上为增函数． 此时f(t)在a11

所以f(t)max＝fa＝a＋1－2＝14.

111

＋1＝16，解得a＝－(舍去)或a＝. 所以a53

2

2

1

②当a>1时，x∈[－1，1]，t＝ax∈a，a，

11

，a上是增函数．所以f(t)max＝f(a)＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3或a＝－5(舍去)．综上得a＝或此时f(t)在a33.

4

15．（2019·山东烟台二中模拟）已知函数f(x)＝1－x(a>0，a≠1)且f(0)＝0.

2a＋a(1)求a的值；

(2)若函数g(x)＝(2x＋1)·f(x)＋k有零点，求实数k的取值范围； (3)当x∈(0，1)时，f(x)>m·2x－2恒成立，求实数m的取值范围． 4

【解析】(1)对于函数f(x)＝1－x(a>0，a≠1)，

2a＋a4

由f(0)＝1－＝0，得a＝2.

2＋a42

(2)由(1)知f(x)＝1－x＝1－x.

2·2＋22＋1

因为g(x)＝(2x＋1)·f(x)＋k＝2x＋1－2＋k＝2x－1＋k有零点， 所以函数y＝2x的图象和直线y＝1－k有交点，所以1－k>0，即k<1. 故实数k的取值范围是(－∞，1)．

(3)因为当x∈(0，1)时，f(x)>m·2x－2恒成立，即1－

232

>m·2x－2恒成立，亦即m22（2x＋1）2＋1

x3t＋13212

令t＝2x，则t∈(1，2)，且m<－＝＝＋.

tt（t＋1）t（t＋1）tt＋112

由于y＝＋在t∈(1，2)上单调递减，

tt＋1121277所以＋>＋＝，所以m≤.

tt＋122＋1667

－∞，. 故实数m的取值范围是6

1．【2019年高考天津文数】已知A．cba C．bca 【答案】A 【解析】∵c0.30.2alog27,blog38,c0.30.2B．abc D．cab

，则a，b，c的大小关系为（ ）

0.301，

， ，

alog27log2421blog38log392∴cba. 故选A.

612x

p，、Qq，－.若2p＋q＝36pq，则a＝2．(2018·上海卷)已知常数a>0，函数f(x)＝x的图象经过点P552＋ax________．

【答案】6

61

【解析】依题设知f(p)＝，且f(q)＝－，

55

2p6

＝， ①2p＋ap5所以

2q1

＝－， ②

52q＋aq





2p（2q＋aq）＋2q（2p＋ap）

①＋②得＝1，

（2p＋ap）（2q＋aq）整理得2pq＝a2pq.

＋

又2pq＝36pq，所以a2pq＝36pq.

＋

由于pq≠0，得a2＝36(a>0)，则a＝6.

13.(2017·北京卷)已知函数f(x)＝3x－3，则f(x)( ) A.是偶函数，且在R上是增函数 B.是奇函数，且在R上是增函数 C.是偶函数，且在R上是减函数 D.是奇函数，且在R上是减函数 【答案】B

【解析】函数f(x)的定义域为R， 1－1－3x＝－f(x)， f(－x)＝3x－＝33∴函数f(x)是奇函数.

1又y＝3x在R上是增函数，函数y＝3在R上是减函数，

xx1∴函数f(x)＝3－3在R上是增函数.

x

－x

x

x