新课标卷解析几何高考题含解答题答案

学号 姓名 2021新课标1卷

x2y21表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距〔5〕方程2mn3m2n离为4，那么n的取值范围是

〔A〕(–1,3) 〔B〕(–1,3) 〔C〕(0,3) 〔D〕(0,3) (10)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点.|AB|=42，|DE|=25，那么C的焦点到准线的距离为

(A)2 (B)4 (C)6 (D)8 20. 〔本小题总分值12分〕

设圆x2y22x150的圆心为A，直线l过点B〔1,0〕且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E. 〔I〕证明EAEB为定值，并写出点E的轨迹方程；

〔II〕设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.

2021新课标2卷

〔4〕圆x2y22x8y130的圆心到直线axy10 的距离为1，那么

a=

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〔A〕3 〔B〕4 〔C〕433 〔D〕2

x2y2〔11〕F1，F2是双曲线E：221的左，右焦点，点Mab1xMFF与轴垂直，sin ,那么E的离心率为 213在E上，MF1〔A〕2 〔B〕

32 〔C〕3 〔D〕2

〔20〕〔本小题总分值12分〕 椭圆

x2y2E:t31的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k0)的

直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA. 〔I〕当t4，〔II〕当2AMAMAN时，求△AMN的面积；

AN时，求k的取值范围.

2021 新课标1卷

(5)M(x0，y0)是双曲线C：

x2y21 上的一点，F1、F2是2C上的两

个焦点，假设MF1MF2＜0，那么y0的取值范围是

(A)(－

33，) 33(B)(－

33，) 66(C)(23232222，) (D)(，)

3333(14)一个圆经过椭圆么该圆的标准方程为 . (20)(本小题总分值12分) 在直角坐标系xoy的三个顶点，且圆心在x轴上，那

x2中，曲线C：y＝与直线l:y＝kx＋a(a>0)交于

4M，N两点，

(Ⅰ)当k＝0时，分别求C在点M与N处的切线方程；

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(Ⅱ)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由.

2021 新课标2卷

7．过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1,7)的圆交y轴于M，N两点，那么

|MN|( )

A．26 B．8 C．46 D．10

11．A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，那么E的离心率为〔 〕 A．5 B．2 C．3 D．2 20．〔此题总分值12分〕

椭圆C:9x2y2m2(m0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．

(Ⅰ)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；

〔Ⅱ〕假设l过点(,m)，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？假设能，求此时l的斜率，假设不能，说明理由． 2021新课标1卷

那么点F到C的一条渐F是双曲线C：x2my23m(m0)的一个焦点，

近线的距离为A.3 B.3 C.3m

D.3m

m3C：y28x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的

一个焦点，假设FP4FQ，那么|QF|=

A.

75 B. C.3 22第 3 页

D.2

x2y220. (本小题总分值12分) 点A〔0，-2〕，椭圆E：221(ab0)ab的离心率为标原点.

323，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐23〔I〕求E的方程；

〔Ⅱ〕设过点A的直线l与E相交于P,Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程.

2021新课标2卷

10.设F为抛物线C:y23x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，那么△OAB的面积为〔 〕 A. 33 B. 93 C. 63 D. 9

4832416.设点M〔x0,1〕，假设在圆O:x2y21上存在点N，使得zxxk∠OMN=45°，那么x0的取值范围是________. 20. 〔本小题总分值12分〕

2y2x设F1,F2分别是椭圆C:221ab0的左,右焦点，M是C上一点

ab且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N. 〔Ⅰ〕假设直线MN的斜率为3，求C的离心率；

4〔Ⅱ〕假设直线MN在y轴上的截距为2，且MN5F1N，求a,b. 2021新课标1卷

x2y24．(2021课标全国Ⅰ，理4)双曲线C：22=1(a＞0，b＞0)的离

ab第 4 页

5，那么C的渐近线方程为( )． 211A．y＝x B．y＝x

431C．y＝x D．y＝±x

2x2y210．(2021课标全国Ⅰ，理10)椭圆E：22=1(a＞b＞0)的右焦

ab心率为

点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．假设AB的中点坐

标为(1，－1)，那么E的方程为( )．

x2y2x2y2A．=1 B．=1

45363627x2y2x2y2C．=1 D．=1

271818920．(2021课标全国Ⅰ，理20)(本小题总分值12分)圆M：(x＋1)2

＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.

(1)求C的方程；

(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|. 2021新课标2卷

11．(2021课标全国Ⅱ，理11)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，假设以MF为直径的圆过点(0,2)，那么C的方程为( )．

A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x

12．(2021课标全国Ⅱ，理12)点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a＞0)将△ABC分割为面积相等的两局部，那么b的取值范围是( )．

21211,1,2223A．(0,1) B． C．

D．

20．(2021课标全国Ⅱ，理20)(本小题总分值12分)平面直角坐标

x2y2系xOy中，过椭圆M：22=1(a＞b＞0)右焦点的直线xy30ab第 5 页

交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.

(1)求M的方程；

(2)C，D为M上两点，假设四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值． 解答题参考答案 2021年1卷

20.〔本小题总分值12分〕

解：〔Ⅰ〕因为|AD||AC|，EB//AC，故EBDACDADC， 所以|EB||ED|，故|EA||EB||EA||ED||AD|.

又圆A的标准方程为(x1)2y216，从而|AD|4，所以|EA||EB|4. 由题设得A(1,0)，B(1,0)，|AB|2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：

〔Ⅱ〕当l与x轴不垂直时，设l的方程为yk(x1)(k0)，M(x1,y1)，

N(x2,y2).

yk(x1)由得(4k23)x28k2x4k2120. x2y21348k24k212那么x1x22，x1x22.

4k34k312(k21)所以|MN|1k|x1x2|.

4k23212过点B(1,0)且与l垂直的直线m：y(x1)，A到m的距离为所以

4k23|PQ|24()4.故四边形MPNQ的面积 22k1k121k2k12，

22第 6 页

可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为[12,83). 当l与x轴垂直时，其方程为x1，|MN|3，|PQ|8，四边形MPNQ的面积为12.

综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12,83). 2021年2卷

【解析】 ⑴当t4时，椭圆Ex2y2的方程为1，A43 点坐标为2，0，

那么直线AM的方程为ykx2．

x2y2143联立并整理得，34k2x216k2x16k2120 ykx2解

2得

x2或

8k26x34k2，那么

8k2612AM1k21k2 234k34k2因为AMAN，所以因为所以AMAN1AN1k2121341k21k2123k4 k，k0，

，整理得k14k2k40，

1k2121221k434k23kk4k2k40无实根，所以k1． 1所以△AMN的面积为2AM211214411234492．

⑵直线AM的方程为ykxx2y21t3联立ykxtt，

tk2xt2k23t0

并整理得，3tk2x22t第 7 页

ttk23t解得xt或x3tk2，

所以所以

ttk23t6tAM1kt1k2 23tk3tk22AN1k26t3kt k因为2AM所以

AN

21k26t6t21kt3tk23kk6k23k，整理得，t3k2．

因为椭圆E的焦点在x6k23k3，整理得轴，所以t3，即3k2k21k2k230

解得32k2．

2021 年1卷 〔20〕解：

（-2a,a）.又〔I〕有题设可得M(2a,a),N(2a,a),或Mxx2y=，故y在x2a 24处的导数值为ayaa(x2a),即axya0

，C在点(2a,a)出的切线方程为

x2y在x2a，即axya0.

4股所求切线方程为axya0和axya0

（I） 存在符合题意的点，证明如下：

设P(0，b)为符合题意的点，M(x,y),N(x,y)直线PM，PN的斜率分别为k1,k2

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故x1x24k,x1x24a.

从而kxa代入C的方程得x24kx4a0. 当b=-a时，有 2021 年2卷

20. 试题解析：(Ⅰ)设直线l:ykxb(k0,b0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

M(xM,yM)．

将ykxb代入9x2y2m2得(k29)x22kbxb2m20，故

xMx1x2kb， 22k9yM99bk．于是直线的斜率，即OMOMxMkk29yMkxMbkOMk9．所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．

〔Ⅱ〕四边形OAPB能为平行四边形．

因为直线l过点(,m)，所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k0，k3．

9yx,9由(Ⅰ)得OM的方程为yx．设点P的横坐标为xP．由kk9x2y2m2,m3得xP2k2m2kmm2，即xP．将点(,m)的坐标代入直线l的方程9k8133k29mk(k3)m(3k)，因此xM．四边形OAPB为平行四边形当且仅23(k9)3km3k92得b当线段AB与线段OP互相平分，即xP2xM．于是2

mk(k3)．解得k147，k247．因为ki0,ki3，i1，2，23(k9)所以当l的斜率为

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47或47时，四边形OAPB为平行四边形．

2021年1卷

20．【解析】(Ⅰ) 设Fc,0又ca3， 2，由条件知

223，得c3c3

所以a=2分

x2，bac1 ,故E的方程y21. ……….6

4222〔Ⅱ〕依题意当lx轴不合题意，故设直线l：ykx2，设

Px1,y1,Qx2,y2

x2 将ykx2代入y21，得14k2x216kx120，

48k24k233当16(4k3)0，即k时，x1,2 214k4224k214k23从而PQk1x1x214k22

2

又点O到直线PQ的距离d144k23dPQ ， 214k2k12，所以OPQ的面积

SOPQ设4k23t，那么t0，SOPQ4t41， t24t4t当且仅当t2，k7时等号成立，且满足0，所以当OPQ的2面积最大时，l的方程为：

y7x22 或

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y7x2. …………………………12分 22021年2卷 〔20〕

b2解：〔I〕根据cab及题设知M(c,),2b23ac

a22 将b2a2c2代入2b23ac，解得,2〔舍去〕 故C的离心率为.

〔Ⅱ〕由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与

b2y轴的交点D(0,2) 是线段MF1的中点，故4，即

aca1c2a12由MN5F1N得DF12F1N。 设N(x1,y1)，由题意知y10，那么

32(cx1)cx1c,，即2 2y21y119c21代入C的方程，得221。

4ab9(a24a)11 将①及cab代入②得24a4a22解得a7,b24a28， 故a7,b27.

2021年1卷

解：由得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为

N(1,0)，半径r2＝3.

设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.

(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，

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所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.

由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴

x2y2长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为=1(x≠

43－2)．

(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，

所以R≤2，当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R＝2. 所以当圆P的半径最长时，其方程为(x－2)2＋y2＝4.

假设l的倾斜角为90°，那么l与y轴重合，可得|AB|＝23. 假设l的倾斜角不为90°，由r1≠R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，那么

|QP|R，可求得Q(－4,0)，所以可设l：|QM|r1=1，

y＝k(x＋4)．

由l与圆M相切得解得k＝2. 4|3k|1k222x2y2x2代入=1， 当k＝时，将y4443并整理得7x2＋8x－8＝0， 解得x1,2＝

462. 7所以|AB|＝1k2|x2x1|当k18. 7218时，由图形的对称性可知|AB|＝. 4718综上，|AB|＝23或|AB|＝.

72021年2卷

20．

解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，

x12y12x22y22yy那么22=1，22=1，21=1，

x2x1ababb2x2x1yy由此可得221=1.

ay2y1x2x1第 12 页

因为x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，

y01， x02所以a2＝2b2.

又由题意知，M的右焦点为(3，0)，故a2－b2＝3. 因此a2＝6，b2＝3.

x2y2所以M的方程为=1.

63xy30,(2)由x2y2

1,3643,xx0,3解得或

y3.y3,3因此|AB|＝

46. 3由题意可设直线CD的方程为

y＝xn53n3，

3设C(x3，y3)，D(x4，y4)．

yxn,由得3x2＋4nx＋2n2－6＝0. x2y21362n29n2于是x3,4＝.

3因为直线CD的斜率为1，

49n2. 31869n2. 由，四边形ACBD的面积S|CD||AB|2986当n＝0时，S取得最大值，最大值为.

386所以四边形ACBD面积的最大值为.

3所以|CD|＝2|x4x3|第 13 页