高一代数·“对数函数”教案
教学目标
1、使学生掌握对数函数的定义，会画对数函数的图象，掌握对数函数的性质。
2、通过对数函数与指数函数互为反函数的教学，学生进一步加深对反函数概念及函数和反
函数图象间的关系的认识与理解。
3、通过比较、对照的方法，学生更好地掌握两个函数的定义、图象及性质，认识两个函数的内在联系，提高学生对函数思想方法的认识和应用意识。
教学重点与难点
教学重点是对数函数的定义、图象及性质。难点是由对数函数与指数函数互为反函数这一关系，利用指数函数图象及性质得到对数函数的图象及性质。
教学过程设计
师：在新课开始前，我们先复习一些有关概念。什么叫对数？
生：若ab=N，则数b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b。其中a为底数，N是真数。 师：各个字母的取值范围呢？ 生：a＞0巳a≠1；N＞0；b∈R。
师：这个定义也为我们提供了指数式化对数式，对数式化指数式的方法。请将bp=M化成对数式。
生：bp=M化为对数式是logbM=p。 师：请将logca=q化为指数式。 生：logca=q化为指数式是cq=a。 师：什么是指数函数？它有哪些性质？ （生回答指数函数定义及性质。） 师：请大家回忆如何求一个函数的反函数？
生：（1）先求原来函数的定义域和值域；（2）把函数式y=f（x）x与y对换，此反函数可
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记作x=f1（y）；（3）把x=f1（y）改写成y=f 1（x），并写出反函数的定义域。
师：好。为什么求一个函数的反函数时，要先求出这个函数的定义域和值域呢？ 生：求原来函数的定义域是为了求原来函数的值域，而原来函数的值域就是其反函数的定义域。
师：很好。原来函数的定义域和值域，就是其反函数的值域和定义域。根据前面复习的求反函数的方法，请同学们求函数y=ax（a＞0，a≠1）的反函数。
生：函数y=ax（a＞0，a≠1）的定义域x∈R，值域y∈（0，+∞）。将指数式y=ax化为对数式x=logay，所以函数y=ax（a＞0，a≠1）的反函数为y=logax（x＞0）。
师：今天这节课我们介绍一下新的函数——对数函数，它是指数函数的反函数。 定义 函数y=logax（a＞0，a≠1）叫做对数函数。
因为对数函数y=logax是指数函数y=ax的反函数，所以要说明以下两点： （1）对于底数a，同样必须满足a＞0且a≠1的条件。
（2）指数函数的定义域为R，值域为R+。根据反函数性质可知：对数函数的定义域为R+，值域为R。
同指数函数一样，在学习了函数定义之后，我们要画函数的图象。应该如何画对数函数的图象呢？
生：用描点法画图。
师：对。我们每学习一种新的函数都可以根据函数的解析式，列表、描点画图。再考虑一下，我们还可以用什么方法画出对数函数的图象呢？
生：因为对数函数是指数函数的反函数，所以它们的图象关于直线y=x对称。因此，只要画出指数函数的图象，就可利用图象的对称性画出对数函数的图象。
师：非常好。我们画对数函数图象，即可用描点法，也可用图象变换法。
师：由于对数函数是指数函数的反函数，指数函数图象分a＞1和0＜a＜1两类，因此对数函数图象也分a＞1和0＜a＜1两类。现在我们观察对数函数图象，并对照指数函数性质来分析对数函数的性质。
生：对数函数的图象都在y轴右侧，说明x＞0。 生：函数图象都过（1，0）点，说明x=1时，y=0。
师：对。这从直观上体现了对数式的真数大于0且1的对数是0的事实。请继续分析。 生：当底数是2和10时，若x＞1，则y＞0，若x＜1，则y＜0。
师：对。由此可归纳得到：当底数a＞1时，若x＞1，则y＞0；若0＜x＜1，则y＜0，反之亦然。当底数0＜a＜1时，看x＞1，则y＜0；若0＜x＜1，则y＞0，反之亦然。这体现了真数的取值范围与对数的正负性之间的紧密联系。再继续分析。
生：当底数a＞1时，对数函数在（0，+∞）上递增；当底数0＜a＜1时，对数函数在（0，+∞）上递减。
师：好。下边我们看一下指数函数与对数函数性质对照表。 名 称 指 数 函 数 解析式 y=ax（a＞0，a≠1） 定义域 （－∞，+∞） 值 域 （0，+∞） 单调性 当a＞1时，ax是增函数； 对 数 函 数 y=logax（a＞0，a≠1） （0，+∞） （－∞，+∞） 当a＞1时，logax是增函数；
当0＜a＜1时，ax是减函数 图象 当0＜a＜1时，logax是减函数。 y=ax的图象与y=logax的图象关于直线y=x对称 师：今天我们所要讲的有关概念就讲完了，现在我们通过例题进一步巩固理解这些概念。 例1 求下列函数的定义域：
生：（1）因为x2＞0，所以x≠0，即y=logax2的定义域是（－∞，0）∪（0，+∞）。 生：（2）因为4－x＞0，所以x＜4，即y=loga（4－x）的定义域是（－∞，4）。
师：在这个函数的解析式中，不仅有对数式，还有二次根式，因此要求定义域，既要真数
大于0，还要被开方数大于或等于0，从而得到不等式组，这个不等式组如何解，问题出在log0.5（3x－1）≥0上，怎么办？
生：把0看作log0.51，即log0.5（3x－1）≥log0.51，因为0＜0.5＜1，所以此函数是减函数，所以
3x－1≤1。
师：对。他是利用了对数函数的单调性。还有别的说法吗？ 生：因为底数0＜0.5＜1，而log0.5（3x－1）≥0，所以 3x－1≤1。
师：对。他是利用了对数函数的第三条性质，根据函数值的范围，判断了真数的范围，因此只要解0＜3x－1≤1，即可得出函数定义域。
例2 比较下列各组中两个数的大小：
（1）log23和log23.5；（2）log0.71.6和log0.71.8。
师：请同学们观察这两组数中两个数的特征，想一想应如何比较这两个数的大小。 生：这两组数都是对数。每组中的对数式的底数相同，而真数不同，因此可根据函数y=log2x是增函数的性质来比较它们的大小。
师：对。针对（1）中两个数的底数都是2，我们构造函数y=log2x，利用这个函数在（0，+∞）是单调递增的，通过比较真数的大小来决定对数的大小。请一名同学写出解题过程。
生：（板书）
解：因为函数y=log2x在（0，+∞）上是增函数，又因0＜3＜3.5，所以 log23＜log23.5。
师：好。请同学简答（2）中两个数的比较过程。并说明理由。
生：因为函数y=log0.7x在（0，+∞）上是减函数，又因0＜1.6＜1.8，所以log0.71.6＞log0.71.8。 师：对。上述方法仍是采用“函数法”比较两个数的大小。当两个对数式的底数相同时，我们构造对数函数。对于a＞1的对数函数在定义域内是增函数；对于0＜a＜1的对数函数在定义域内是减函数。只要比较真数的大小，即可得到函数值的大小。
例3 比较下列各组中两个数的大小：
（1）log0.34和log0.20.7；（2）log23和log32。
师：这两组数都是对数，但它们的底数与真数都不相同，不便于利用对数函数的单调性比较它们的大小。请大家仔细观察各组中两个数的特点，判断出它们的大小。
生：在log0.34中，因为底数0＜0.3＜1，且4＞1，所以log0.34＜0；在log0.20.7中，因为0＜0.2＜1，且0.7＜1，所以log0.20.7＞0，故log0.34＜log0.20.7。
师：很好。根据对数函数性质，当底数0＜a＜1时，若x＞1，则y＜0；若0＜x＜1，则y＞0。由此可以判定这两个数中，一个比零大，另一个比零小，从而比较出两个数的大小，这是采用了“中间量法”。请比较第（2）组两个数的大小。
生：在log23中，底数2＞1，真数3＞1，所以log23＞0；在log32中，底数3＞1，真数2＞1，所以log32＞0，„
师：根据对数性质可判断：log23和log32都比零大。怎么办？ 生：因为log23＞1，log32＜1，所以log23＞log32。
师：很好。这是根据对数函数的单调性得到的，事实上，log23＞log22=1，log32＜log33=1，这里利用了底数的对数为1，即log22=log33=1，从而判断出一个数大于1，而另一个数小于1，由此比较出两个数的大小。
请同学们口答下列问题：
练习1 求下列函数的反函数： （1）y=3x（x∈R）； （3）y=log5x（x＞0）；
（2）y=0.7x（x∈R）； （4）y=log0.6x（x＞0）。
生：y=3x（x∈R）的反函数是y=log3x（x＞0）。 生：y=0.7x（x∈R）的反函数是y=log0.7x（x＞0）。 生：y=log5x（x＞0）的反函数是y=5x（x∈R）。 生：y=log0.6x（x＞0）的反函数是y=0.6x（x∈R）。
练习2 指出下列各对数中，哪个大于零？哪个小于零？哪个等于零？并简述理由。 生：在log50.1中，因为5＞1，0.1＜1，所以log50.1＜0。 生：在log27中，因为2＞1，7＞1，所以log27＞0。 生：在log0.60.1中，因为0.6＜1，0.1＜1，所以log0.60.1＞0。 生：在log0.43中，因为0.4＜1，3＞1，所以log0.43＜0。 练习3 用“＜”号连接下列各数： 0.32，log20.3，20.3。
生：由指数函数性质可知0＜0.32＜1，20.3＞1，由对数函数性质可知log20.3＜0，所以log20.3＜0.32＜20.3。
师：现在我们将这节课的内容小结一下，本节课我们介绍了对数函数的定义、图象及性质，请同学回答对数函数的定义及性质。
生：（复述）„„
师：对数函数的定义，我们是通过求指数函数的反函数而得到的，从而揭示了指数函数与对数函数之间的内在联系，对于对数函数的图象及性质，都可以利用指数函数的图象及性质得到。对于对数函数的性质，可以利用对数函数图象记忆，也可以对照指数函数的性质记忆。 对于函数的定义域，除了原来要求的分母不能为0及偶次根式中被开方式大于或等于0以外，还应要求对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1。如果函数中同时出现几种情况，就要全部考虑进去，求它们共同作用的结果。
例3、例4都是利用对数函数的性质，通过“函数法”和“中间量法”比较两个数大小的典型例子。
补充题：比较下列各题中两个数值的大小： （1）log30.7和log0.20.5； （3）log0.50.6和log0.60.5； 比较下列各题中两个数值的大小： （1）log30.7和log0.20.5； （3）log0.50.6和log0.60.5；
（2）log0.64和log7.11.2； （4）log25和log34。 （2）log0.64和log7.11.2； （4）log25和log34。
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