回顾8 算法与推理证明
[必记知识]
三种基本逻辑结构的对比分析 顺序结构 条件结构 算法的流程根据条件是定义 由若干个依次执行的步骤组成的结构 否成立会有不同的流向，条件结构就是处理这种过程的结构 循环结构 从算法某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤，反复执行的步骤称为循环体 程序框图 [提醒]) （1）循环结构不能是永无终止的“死循环”，一定要在某个条件下终止循环，这就需要用条件结构来作出判断，因此循环结构中一定要包含条件结构.
（2）一般地，循环结构中都有一个计数变量和累加（乘）变量，计数变量用于记录循环次数，同时它的取值还用于判断循环是否终止；累加（乘）变量用于表示每一步的计算结果.计数变量和累加（乘）变量一般同步执行，累加（乘）一次，计数一次.
归纳推理与类比推理的区别与联系 归纳推理 由某类事物的部分对象具有某些特征，定义 推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理 特点 由部分到整体，由个别到一般的推理 类比推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理 由特殊到特殊的推理
(1)通过观察个别对象发现某些相同性一般步骤 质； (2)从已知的相同性质中推出一个明确的一般性命题(猜想) 证明方法 (1)找出两类对象之间的相似性或一致性 (2)用一类对象的性质去推测另一类对象的类似性质，得出一个明确的命题(猜想) (1)分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知． 推理模式： 框图表示
Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→
得到一个明显
成立的条件
(2)综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知． 推理模式
框图表示：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q
(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证明的结论)． (3)反证法
一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．
数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；
(2)假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．
[提醒]) （1）数学归纳法主要用于研究与正整数有关的数学问题，但并不是所有与正整数有关的问题都能用数学归纳法证明.（2）初始值n0不一定是1.（3）证明当n＝k＋1时
命题成立，要搞清从n＝k到n＝k＋1，增加了哪些项或减少了哪些项. [必会结论] 归纳推理的思维过程
实验、观察―→概括、推广―→猜测一般性结论 类比推理的思维过程
实验、观察―→联想、类推―→猜测新的结论
[必练习题]
1．执行如图所示的程序框图，如果输入a＝－1，b＝－2，那么输出的a的值为( )
A．16 C．4
B．8 D．2
解析：选B.初始值：a＝－1，b＝－2.第一次循环：a＝(－1)×(－2)＝2，b＝－2；第二次循环：a＝2×(－2)＝－4，b＝－2；第三次循环：a＝(－4)×(－2)＝8＞6，此时循环结束，输出a＝8.故选B.
2．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为( )
A．－C.3 2
3 2
B．0 D.3 333，n＝2；第二次循环：S＝＋222
3
，n＝5；第五次循环：S＝0，2
解析：选B.初始值：S＝0，n＝1.第一次循环：S＝
＝3，n＝3；第三次循环：S＝3，n＝4；第四次循环：S＝n＝6，此时不满足n＜6，循环结束，输出S＝0.故选B.
3．某程序框图如图所示，若输出的S＝29，则判断框内应填( )
A．k＞5? C．k＞7?
B．k＞4? D．k＞6?
解析：选B.程序在运行过程中各变量的值的变化如下表：
初始状态 第一次循环 第二次循环 第三次循环 第四次循环 k 1 2 3 4 5 S 1 5 11 19 29 是否继续循环 是 是 是 否 由表可知，退出循环的条件应为k＞4？.故选B.
111
4．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋n＜n(n∈N*，n＞1)时，由n＝k(k＞1)时不等
232－1式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是( )
A．2k1
－
B．2k－1 D．2k＋1
C．2k
111
解析：选C.由题意得，当n＝k时，左边＝1＋＋＋…＋k；当n＝k＋1时，左边
232－111111
＝1＋＋＋…＋k＋k＋…＋k1.因为2k＋1－1－(2k－1)＝2k，所以左边增加了2k
232－122＋－1项．故选C.
5．如果函数f(x)在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，都f（x1）＋f（x2）＋…＋f（xn）x1＋x2＋…＋xn有≤f
nn.若y＝sin x在区间(0，π)上是凸函数，
那么在△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值是( )
33A.
21C. 3
B.3 3
2D. 3
f（x1）＋f（x2）＋…＋f（xn）x1＋x2＋…＋xn
解析：选A.由题意知，凸函数满足≤f.nn又因为y＝sin x在区间(0，π)上是凸函数，在△ABC中，所以sin A＋sin B＋sin C≤A＋B＋Cπ333sin＝3sin＝.故选A.
332
6．某次夏令营中途休息期间，3位同学根据胡老师的口音对她是哪个地方的人进行了判断：甲说胡老师不是上海人，是福州人；乙说胡老师不是福州人，是南昌人；丙说胡老师不是福州人，也不是广州人．听完以上3个人的判断后，胡老师笑着说，你们3人中有1人说的全对，有1人说对了一半，有1人说的全不对，由此可推测胡老师( )
A．一定是南昌人 C．一定是福州人
B．一定是广州人 D．可能是上海人
解析：选D.由题意可知，若胡老师是南昌人，则甲说的对一半，乙说的全对，丙说的全对；若胡老师是广州人，则甲、乙、丙说的都对了一半；若胡老师是福州人，则甲说的全对，乙说的全错，丙说的对一半；若胡老师是上海人，则甲说的全错，乙说的对一半，丙说的全对．综上所述，胡老师可能是福州人，也可能是上海人．故选D.
7．如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点，算第1层，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，以此类推．如果一个六边形的点阵共有169个点，那么它的层数为( )
A．6 C．8
B．7 D．9
解析：选C.第一层点数为1，第二层点数为6，第三层点数为6＋6＝2×6，第四层点数为6＋6＋6＝3×6，第五层点数为6＋6＋6＋6＝4×6，…，第n层点数为6(n－1)，设一个
（n－1）n
图形共有n层时，共有的点数为1＋6×(1＋2＋3＋…＋n－1)＝1＋6×＝3n2－3n
2＋1.由3n2－3n＋1＝169，解得n＝8.故选C.
8．我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍以此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度(单位：尺)，则①②③处可分别填入的是( )
1
A．i≤7？，S＝S－，i＝i＋1
i1
B．i≤128？，S＝S－，i＝2i
i1
C．i≤7？，S＝S－，i＝i＋1
2i1
D．i≤128？，S＝S－，i＝2i
2i
11
解析：选B.初始值：S＝1，i＝2.第一次循环：S＝1－，i＝4；第二次循环：S＝1－－
221111111
，i＝8；第三次循环：S＝1－－－，i＝16；以此类推，第七次循环：S＝1－－－－…4248248－
1
，i＝256，此时不满足条件，退出循环．则①处应填入的条件是i≤128？，②处应填128
1
入的是S＝S－，③处应填入的是i＝2i.故选B.
i
9．如图所示的程序框图的输出结果是________．
111
解析：初始值：S＝0，n＝2.第一次循环：S＝，n＝4；第二次循环：S＝＋，n＝6；
22411111111
第三次循环：S＝＋＋，n＝8，此时n＝8＜8不成立，循环结束，故输出S＝＋＋＝.
24624612
11
答案： 12
10．对于数25，规定第1次操作为23＋53＝133，第2次操作为13＋33＋33＝55，如此反复操作，则第2 016次操作后得到的数是________．
解析：由题意知，第3次操作为53＋53＝250，第4次操作为23＋53＋03＝133，第5次操作为13＋33＋33＝55…因此每次操作后的得数呈周期排列，且周期为3.又2 016＝672×3，故第2 016次操作后得到的数是250.
答案：250
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