2021-2022学年广东省深圳市光明区高级中学高一下学期期中考试数学试卷含详解

高一数学

一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

4i

1.i是虚数单位，复数1i等于（A.22i

B.22i

）C.22i）D.D.22i



A1,1,B2,22.已知，O是坐标原点，则ABOA（A.1,3B.3,1C.1,12,23.在某段时间内，甲地下雨的概率为0.3，乙地下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨之间没有影响，则这段时间内，甲、乙两地都不下雨的概率为（A.0.12B.0.88）C.0.28D.0.424.在ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2，b6，B

33C.或D.4446a＝5b＝45.已知，，且a·b＝12，则向量a在向量b上的投影向量为（）A.，则A为（3）4B.A.-

3b5B.3

b5C.－3b4D.3b46.先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，观察它落地时朝上的面的点数，则第一次点数大于第二次点数的概率为（A.）．13B.512C.7.设D为△ABC所在平面内一点，且BC2CD，则(13A.ADABAC2231ADABACC.22

4

9)D.1231

B.ADABAC

2231ADABACD.228.如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥BD，△BCD为边长为23的等边三角形，点P为边BD上一动点，则APCP的取值范围为（）A.6,025B.,04,0C.4

27



D.7,0二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）



9.已知a,b,c为非零平面向量，则下列说法正确的有（）A.abab0







B.a∥bR,ba







C若acbc，则ab.

D.(ab)ca(bc)

10.口袋里装有1红、2白、3黄共6个形状相同的小球，从中任取2球，事件A“取出的两球同色”，B“取出的2球中至少有一个黄球”，C“取出的2球中至少有一个白球”，D=“取出的两球不同色”，E“取出的2球中至多有一个白球”，下列判断中正确的是（A.事件A与D为对立事件C.事件C与E为对立事件）B.事件B与C是互斥事件D.事件P(CE)1

)11.△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．下列四个论断正确的是(A.若AB，则sinAsinBC.若B.cosBCcosA

πab

，则BsinAcosB4D.B60，c4，b2此三角形无解12.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n且支出在20,60元的样本，其频率分布直方图如图所示，则下列说法错误的是（）A.估计众数为45B.估计中位数是400

9C.估计平均数为43

D.支出在50,60的频率为0.25

三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）

13.设xR，若复数zx13x2i在复平面上对应的点位于第四象限，则x的取值范围是_________.14.某校为了解学生的学习情况，采用分层抽样的方法从高一1500人､高二1200人､高三1800人中抽取50人进行问卷调查，则高三抽取的人数是___________.15.一组数据按从小到大的顺序排列为1，2，2，x，5，10，其中x5，已知该组数据的中位数是众数的则该组数据的标准差为___________．16.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若2csinB(2ac)tanC，bsinAsinC3sinB，则ac的最小值为________．3

倍，2四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）

，复数z2=3+4i．17.设复数z1=1-ai（a∈R）（1）若z1z2R，求实数a的值；（2）若z1是纯虚数，求|z1|．z218.甲有大小相同的两张卡片，标有数字2、4；乙有大小相同的卡片四张，分别标有1、2、3、4．（1）求乙随机抽取的两张卡片的数字之和为偶数的概率；c(2,n).（2）甲、乙分别取出一张卡，比较数字，数字小者获胜，求乙获胜的概率．19.已知a(2,1)，，b(1,m)

（1）若ab，且(ab)//c，求实数m，n的值；(ca)（2）若n1，且与b的夹角为60，求实数m的值.20.设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosB（1）若ABC的面积为6.,c

6310

，求a；35，求sinA的值.（2）若AC边上的中线BD

21.在ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若sinBsinC1，试判断ABC的形状．22.某滨海城市沙滩风景秀丽，夏日美丽的海景和清凉的海水吸引了不少前来游玩的旅客.某饮品店通过公开竞标的方式获得卖现制饮品的业务.为此先根据前一年沙滩开放的160天的进入沙滩的人数做前期的市场调查，来模拟饮品店开卖之后的利润情况.考虑沙难承受能力有限，超过1.4万人即停止预约，以下表格是160天内进入沙滩的每日人数的频数分布表.人数（万）频数（天）[0,0.2)

8[0.2,0.4)

8[0.4,0.6)

16[0.6,0.8)

24[0.8,1.0)

24[1.0,1.2)

a[1.2,1.4]

32（1）绘制160天内进入沙滩的每日人数的频率分布直方图，并求a和这组数据的65%分位数；（2）据统计，每10个进入沙滩的游客当中平均有1人会购买饮品，X（单位：个）为该沙难的人数（X为10的倍数，如有8006人，则X取8000）.每杯饮品的售价为15元，成本为5元，当日未出售饮品当垃圾处理.若该店每日准备1000杯饮品，记Y为该店每日的利润（单位：元），求Y和X的函数关系式.以频率估计概率，求该店在160天的沙滩开放日中利润不低于7000元的概率.光明区高级中学2021-2022学年第二学期期中考试试题

高一数学

一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

4i

1.i是虚数单位，复数1i等于（A.22iC【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】解：故选：C．4i4i(1i)4i(1i)22i，1i(1i)(1i)2）C.22iD.22i

B.22i

A1,1,B2,22.已知，O是坐标原点，则ABOA（A.D）D.1,3B.3,1C.1,12,2

【分析】根据向量线性运算可得ABOAOB，由坐标可得结果.

【详解】ABOAOAABOB2,2故选：D

【点睛】本题考查平面向量的线性运算，属于基础题.3.在某段时间内，甲地下雨的概率为0.3，乙地下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨之间没有影响，则这段时间内，甲、乙两地都不下雨的概率为（A.0.12D【分析】先分别求出甲地不下雨的概率，和乙地不下雨的概率，再根据事件的概率求解.【详解】因为甲地下雨的概率为0.3，乙地下雨的概率为0.4，所以甲地不下雨的概率为0.7，乙地不下雨的概率为0.6，所以甲、乙两地都不下雨的概率为p0.70.60.42故选：D【点睛】本题主要考查事件的概率，对立事件的概率，属于基础题.4.在ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2，b6，BA.B.0.88）C.0.28D.0.424B.34C.3或44，则A为（3）D.6A【分析】已知两边和其中一边的对角，可用正弦定理求另一边的对角，其中要注意角的取值情况.【详解】在ABC中，a2，b6，B

，由正弦定理得：32sinabasinB，32sinAsinAsinBb26abABA故选：A4a＝5b＝45.已知，，且a·b＝12，则向量a在向量b上的投影向量为（A.-C）D.3

b5B.3

b5C.－3b43b4

【分析】向量a在向量b上的投影向量等于与向量b同向的单位向量和向量a在向量b上的投影(实数)的向量的数

a·bb

乘积2，根据已知条件计算即得.b

a·bb12b3b,【详解】向量a在向量b上的投影向量为2

444b

故选：C6.先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，观察它落地时朝上的面的点数，则第一次点数大于第二次点数的概率为（A.B【分析】列举出所有情况，找出第一次点数大于第二次点数的情况，按照古典概型求解即可.【详解】不妨用x,y表示两次投掷的基本事件，其中x代表第一次投掷的点数，y代表第二次投掷的点数．故所有投掷的结果所包含的基本事件有：）．1

3B.512C.49D.121,1，1,2，1,3，1,4，1,5，1,6，2,1，2,2，2,3，2,4，2,5，2,6，……，6,1，6,2，6,3，6,4，6,5，6,6，共36种，其中满足第一次点数大于第二次点数基本事件2,1，3,1，3,2，4,1，4,2，4,3，5,1，5,2，5,3，5,4，6,1，6,2，6,3，6,4，6,5，共15种．所以第一次点数大于第二次点数的概率P故选：B．155．3612

7.设D为△ABC所在平面内一点，且BC2CD，则(13A.ADABAC2231C.ADABAC22)31

B.ADABAC

2231D.ADABAC

22B【分析】根据平面向量的线性运算求得正确答案.【详解】由于BC2CD，所以D在BC的延长线上，

1131

ADACCDACBCACACABABAC.2222故选：B8.如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥BD，△BCD为边长为23的等边三角形，点P为边BD上一动点，则APCP的取值范围为（）A.6,025B.,0427

,0C.

4

D.7,0C

【分析】根据题意可计算出AB的长，由此建立平面直角坐标系，设点P的坐标，进而表示向量AP,CP的坐标，计算APCP，结合二次函数的知识求得结果.【详解】由题意可知，△BCD为等边三角形，则有DBC60，ABD30，在Rt△ABD中，ADBDtan302332,AB2AD4；3如图以B为原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则有A0,4，C23,0，由于DBC60，故可设P点坐标为x,3x,且0x3，

所以APx,3x4，CPx23,3x，

所以APCPxx23

3x4

3327

3x4x263x4x，44

2

2

2

273327332733因为0x3，当x时，4x取得最小值，当x0时，4x取得444444

最大值为0，27

APCP0，所以4故选：C.二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）



9.已知a,b,c为非零平面向量，则下列说法正确的有（）A.abab0

C.若acbc，则ab

AB

B.a∥bR,baD.(ab)ca(bc)

【分析】A．利用平面向量的数量积运算判断；B.利用平面向量共线定理判断；C.利用平面向量数量积的运算律判断；D.利用平面向量的共线定理判断.a,b90【详解】A.因为ab，所以，则ab0，故正确；B.若a,b为非零平面向量，且a







，由共线向量定理知：bR,ba，故正确；C.若acbc，则cab0，则cab，故错误；

D.(ab)c与c共线，a(bc)与a共线，故错误；故选：AB10.口袋里装有1红、2白、3黄共6个形状相同的小球，从中任取2球，事件A“取出的两球同色”，B“取出的2球中至少有一个黄球”，C“取出的2球中至少有一个白球”，D=“取出的两球不同色”，E“取出的2球中至多有一个白球”，下列判断中正确的是（C.事件C与E为对立事件AD【分析】根据对立事件和互斥事件的概念，逐项验证得出答案.【详解】口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球，事件A“取出的两球同色”，B“取出的2球中至少有一个黄球”，）A.事件A与D为对立事件D.事件P(CE)1

B.事件B与C是互斥事件C“取出的2球至少有一个白球”，D=“取出的两球不同色”，E“取出的2球中至多有一个白球”，由对立事件定义得A与D为对立事件，故选项A正确；B与C有可能同时发生，故B与C不是互斥事件，故选项B错误；C与E有可能同时发生，不是对立事件，故选项C错误；P（C）114863=，P（E），P(CE)，1515515从而P(CE)P(C)P(E)P(CE)1，故选项D正确故选：AD．11.△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．下列四个论断正确的是(A.若AB，则sinAsinBC.若ACD【分析】根据正弦定理和三角形性质可判断ACD，根据三角形内角和及三角函数诱导公式可判断B．【详解】对于A，若AB，则a>b，根据正弦定理得sinAsinB，故A正确；对于B，若cosBCcosπAcosA，故B错误；对于C，若确；B.cosBCcosA

D.B60，c4，b2此三角形无解)πab

，则BsinAcosB4πabsinAsinB

，则根据正弦定理得，即tanB=1，∵B是三角形内角，故B，故C正sinAcosBsinAcosB4对于D，若B60，c4，b2，则根据正弦定理得bcsinCsinBsinC423231，故△ABC无解，故D正确．故选：ACD．12.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n且支出在20,60元的样本，其频率分布直方图如图所示，则下列说法错误的是（）A.估计众数为45

B.估计中位数是4009C.估计平均数为43

D.支出在50,60的频率为0.25CD【分析】利用最高矩形的中点求得众数，判断出A；根据中位数是把频率分布直方图分成面积相等的两部分的平行于y轴的直线横坐标，求得中位数，判断出B；利用矩形的面积和求得支出在50,60的频率，判断出D，利用平均数公式求得平均数，判断出C．【详解】解：最高的矩形为第三矩形，其横坐标中点为45，故估计众数为45，A正确；第一个矩形的面积是0.10，第二个矩形的面积是0.24，第三个矩形的面积是0.36，第四个矩形的面积是10.700.30；前面两个矩形的面积和是0.34，故将第三个矩形分成4:5即可，4400中位数是4010,B正确．99由1100.010.0240.0360.3，则50,60部分的频率为0.3，故D错误；平均数为100.01250.024350.036450.35543.6，故C错误；故选：CD．三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.设xR，若复数zx13x2i在复平面上对应的点位于第四象限，则x的取值范围是_________.x102

-1,【分析】根据复平面各象限的复数的特征，得，解不等式组得概念即可求出结果.33x20

x102【详解】因为复数zx13x2i在复平面上对应的点位于第四象限，所以，解得1x，33x20

故答案为：1,.14.某校为了解学生的学习情况，采用分层抽样的方法从高一1500人､高二1200人､高三1800人中抽取50人进行



23

问卷调查，则高三抽取的人数是___________.2018002

抽取即可.1500120018005180022

，所以抽取5020人.【详解】由题知高三占比15001200180055【分析】分层抽样，高三按比例故答案为：20.15.一组数据按从小到大的顺序排列为1，2，2，x，5，10，其中x5，已知该组数据的中位数是众数的则该组数据的标准差为___________．3【分析】根据条件求出x，然后可算出答案.【详解】由题意，可得该组数据的众数为2，所以故该组数据的平均数为所以该组数据的方差为案为：316.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若2csinB(2ac)tanC，bsinAsinC3sinB，则ac的最小值为________．12【分析】利用正弦定理及和角公式可得B不等式即求.【详解】∵在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，2csinB(2ac)tanC，∴2sinCsinB(2sinAsinC)sinC，cosC12245104．62x323，解得x4，223

倍，21222222(14)(24)(24)(44)(54)(104)9，即标准差为3．故答62，再结合条件及正弦定理可得ac2b，然后利用余弦定理及基本3∴2sinBcosC2sinAsinC2sinBCsinC2sinBcosC2cosBsinCsinC，∴2cosBsinCsinC0，即cosB∴B

2，31

，B0,，2因为bsinAsinC3sinB2∴bac2b2，即ac2b，3sinB2sin2B，2又b2a2c22accosBa2c2ac，ac22∴acac2acac，即ac12，当且仅当ac时取等号，2

∴ac的最小值为为12.故答案为：12.【点睛】关键点点睛：本题的关键时利用边角互化，把bsinAsinC2用余弦定理及基本不等式即求.2

3sinB2sin2B化为ac2b，再利2四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）

，复数z2=3+4i．17.设复数z1=1-ai（a∈R）（1）若z1z2R，求实数a的值；（2）若（1）a=4（2）z1是纯虚数，求|z1|．z2z1,由实部为0且虚部不为0求得a值，再由复数模的计算公式求|z1|.z2【分析】（1）由已知利用复数代数形式的加减化简，再由虚部为0求得a值；（2）利用复数代数形式的乘除运算化简【详解】解：（1）∵z1=1-ai（a∈R），z2=3+4i，∴z1+z2=4+（4-a）i，由z1z2R，得4-a=0，即a=4；z11ai1ai34i34a3a4

i是纯虚数，（2）由=z234i34i34i2525得3a40，即a

34a03

，4∴|z1|=|1

335i|=12()2．444【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是中档题．18.甲有大小相同的两张卡片，标有数字2、4；乙有大小相同的卡片四张，分别标有1、2、3、4．（1）求乙随机抽取的两张卡片的数字之和为偶数的概率；（2）甲、乙分别取出一张卡，比较数字，数字小者获胜，求乙获胜的概率．（1）131

（2）2【分析】（1）利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.（2）利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【小问1详解】乙随机抽取的两张卡片，基本事件为1,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,4，其中和为偶数的事件为：1,3,2,4，所以乙随机抽取的两张卡片的数字之和为偶数的概率为【小问2详解】甲、乙分别取出一张卡，基本事件为2,1,2,2,2,3,2,4,4,1,4,2,4,3,4,4，其中乙的数字小的事件为：2,1,4,1,4,2,4,3，所以乙获胜的概率为41.82216319.已知a(2,1)，b(1,m)，c(2,n).（1）若ab，且(ab)//c，求实数m，n的值；（2）若n1，且(ca)与b的夹角为60，求实数m的值.（1）m2，n6；（2）m3.【分析】（1）根据ab，得211m0，根据(ab)//c，得23(1)n0，即可得答案；

(ca)b

（2）根据向量夹角公式可得cos60，再将向量的坐标代入运算，即可得答案；|ca‖b|

【详解】触：（1）若ab，则211m0，解得m2

.





因此b(1,2)，所以ab(1,3).由(ab)//c，得23(1)n0，解得n6.

（1）若n1，则c(2,1)，得ca(4,0).又因b(1,m)，故(ca)b410m4，

而|ca|4，|b|1m2.(ca)b

由题意得cos60，|ca‖b|

即441m2

1

，解得m3.220.设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosB（1）若ABC的面积为6.,c

6310

，求a；35，求sinA的值.（2）若AC边上的中线BD（1）5（2）7014【分析】（1）由三角形的面积公式可求解；1

（2）由BD为AC边上的中线，则有BD(BABC)，可得a2，再根据余弦定理及正弦定理可求解.2【小问1详解】因为cosB

630，,B(0,)所以sinB661011046，所以acsinB，所以a5.,c3233因为SABC

【小问2详解】因为BD为AC边上的中线，1

所以BD(BABC)，2212122BA2BABCBC则BD(BABC)

4421213282aa2因此|BD|c2cacosBa，即5

4334

化简得3a28a280,(a2)(3a14)0,a0，所以a2，2212ab282213，解得由余弦定理b2a2c22cacosB，解得b2，由，即,b

sinAsinAsinB30336sinA

70.1421.在ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若sinBsinC1，试判断ABC的形状．120o，等腰三角形【详解】试题分析：（1）利用正弦定理，化简得a2b2c2bc，在利用余弦定理，求解cosA

01

，即可求解角2（2）由（1），利用两角差的正弦函数，化简得sinBsinCsin(60B)，即可求解sinBsinC的最A的大小；大值.试题解析：（1）由已知，根据正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c即a2b2c2bc，由余弦定理得a2b2c22bccosA故cosA

1

，A12002（2）由（1）得：sinBsinCsinBsin(600B)

1，此时三角形为等腰三角形.考点：正弦定理；余弦定理.31

cosBsinBsin(600B)故当B300时，sinBsinC取得最大值2222.某滨海城市沙滩风景秀丽，夏日美丽的海景和清凉的海水吸引了不少前来游玩的旅客.某饮品店通过公开竞标的方式获得卖现制饮品的业务.为此先根据前一年沙滩开放的160天的进入沙滩的人数做前期的市场调查，来模拟饮品店开卖之后的利润情况.考虑沙难承受能力有限，超过1.4万人即停止预约，以下表格是160天内进入沙滩的每日人数的频数分布表.人数（万）频数（天）[0,0.2)

8[0.2,0.4)

8[0.4,0.6)

16[0.6,0.8)

24[0.8,1.0)

24[1.0,1.2)

a[1.2,1.4]

32（1）绘制160天内进入沙滩的每日人数的频率分布直方图，并求a和这组数据的65%分位数；（2）据统计，每10个进入沙滩的游客当中平均有1人会购买饮品，X（单位：个）为该沙难的人数（X为10的倍数，如有8006人，则X取8000）.每杯饮品的售价为15元，成本为5元，当日未出售饮品当垃圾处理.若该店每日准备1000杯饮品，记Y为该店每日的利润（单位：元），求Y和X的函数关系式.以频率估计概率，求该店在160天的沙滩开放日中利润不低于7000元的概率.（1）频率分布直方图答案见解析，a48，65%分位数是1.1（2）Y

10000(X10000)

，概率为0.65

1.5X5000(0X10000)

【分析】（1）利用总人数即可求出a的值，利用分位数的计算方法求解65%分位数即可；（2）分两段求解Y与X的关系，然后得到分段函数的解析式，利用古典概型的概率公式求解即可．【小问1详解】解：由总人数为160知a160881624243248.由图表知道人数在1.0以下的是50%，在1.2以下的是80%，我们不妨假设1.0到1.2是均匀分布的，1.00.2画出频率分布直方图如下所示：0.650.51.1，所以65%分位数是1.1.0.80.5【小问2详解】解：由题意知：当X10000时，Y10100010000元.当X10000时，Y

XX

10100051.5X5000，1010

所以Y

10000(X10000)

.1.5X5000(0X10000)

设销售的利润不少于7000元的事件记为A，实际上得到X8000，此时P(A)(244832)1600.65.