正态总体参数区间估计的MATLAB实现

陈少云

【摘 要】本文介绍了MATLAB软件的normfit()函数在求解正态总体参数的区间估计中的长处和短处,结合实例编写了MATLAB程序求解标准差σ已知时均值μ的置信区间和均值μ已知时标准差σ的置信区间,弥补了normfit()函数在该方面的不足.

【期刊名称】《吉林师范大学学报（自然科学版）》 【年(卷),期】2010(031)001 【总页数】3页(P76-78)

【关键词】正态总体;均值;标准差;置信区间 【作 者】陈少云

【作者单位】四川建筑职业技术学院,计算机系,四川,德阳,618000 【正文语种】中 文 【中图分类】O212.2

总体参数的点估计作为待估参数的近似值给出了明确的数量描述,在统计分析中有多方面的应用.但点估计没有给出这种近似的精确程度和可信程度,使其在实际应用中受到很大的限制,区间估计却可以弥补这一不足.

在工程技术中广泛使用的数学软件MAT LAB提供了现成的函数normfit()可以很方便地求出正态总体标准差σ未知时均值μ的置信区间和均值μ未知时标准差σ的置信区间,与数理统计公式和查相关的临界值表计算的结果完全吻合.

其函数调用格式为:[muhat,sigmahat,muci,sigmaci]=normfit(x,alpha).其中muhat,sigmahat分别为正态分布的参数μ和σ的估计值,muci,sigmaci分别为它们的置信区间,置信度为(1-alpha)×100%,alpha为显著性水平.

例1 商店用机器包装某种商品,每包重量X服从正态分布,为检查包装的质量,对机器包装的商品抽测8包,其重量为

试估计机器包装的商品重量的均值μ和标准差σ的置信度为0.95的置信区间 解 在MAT LAB的命令窗口输入如下语句 结果显示为

结果表明均值μ的估计值为5.0100,其置信度为95%的置信区间为(4.950 0,5.070 0),这与标准差σ未知时运用数理统计公式和查T分布临界值表计算的结果一致;标准差σ的估计值为0.071 7,其置信度为95%的置信区间为(0.047 4,0.146 0),这与均值μ未知时运用数理统计公式和查卡方分布临界值表计算的结果一致. 但在计算标准差σ已知时均值μ的置信区间和均值μ已知时标准差σ的置信区间方面有较大的误差.下面是结合数理统计知识设计的MAT LAB程序求解标准差σ已知时均值μ的置信区间和均值μ已知时标准差σ的置信区间的两个例子. 由数理统计知识,标准差σ已知时正态总体均值的区间估计应采用U统计量,置信度为1-α的μ置信区间为.其中.

例2 某课程命题初衷,其成绩ζ～N(μ,13.52),考毕抽查其中10份试卷的成绩为: 试求该课程平均成绩μ的置信区间.(置信度1-α=0.95)

解 在MAT LAB的编辑窗口建立如下的M-文件(并保存为myfun1.m),以便以后套用.

运行后显示结果为

即置信度为0.95时均值μ的置信区间为(62.832 8,79.567 2).这与运用数理统计公式和查标准正态分布函数数值表计算的结果完全一致.

运用normfit()函数计算该问题的结果为

在相同置信度0.95时均值μ的置信区间为(59.991 2,82.408 8),误差较大. 根据数理统计知识,均值μ已知时正态总体标准差σ的区间估计采用自由度为n的卡方统计量,置信度为1-α的σ置信区间为 其中λ1=χ2(1-α/2;n),λ2=χ2(α/2;n).

例3 设总体ζ～N(μ,σ2),σ为待估参数.样本的一组观察值为

(14.6,15.1,14.9,14.8,15.2,15.1),置信度为95%,求μ=14.5时σ的置信区间. 解 建立如下M-文件(并保存为myfun2.m) 运行后结果显示为

即置信度为95%时所求的置信区间为(0.319 0,1.090 0),这与运用数理统计公式和查卡方分布临界值表计算的结果完全一致. 运用normfit()函数计算该问题的结果为

在相同置信度95%下的置信区间为(0.141 0,0.553 9),误差极大.

综上所述,在计算标准差σ已知时均值μ的置信区间和均值μ已知时标准差σ的置信区间不能再套用MAT LAB所提供的现成函数normfit(),而必须重新编写程序.笔者在本文中写出的程序较好地解决了这两个问题的MAT LAB实现并且有较强的实用性,有兴趣的读者只需调整显著性水平和更改样本数据便可求出实际问题在给定置信度下的相应置信区间.

【相关文献】

[1]金炳陶.概率论与数理统计[M].北京:高等教育出版社,2002.

[2]薛定宇,陈阳泉.高等应用数学问题的MAT LAB求解[M].北京:清华大学出版社,2004.