实际问题与二次函数—知识讲解(提高)

实际问题与二次函数—知识讲解（提高）

【学习目标】

1.能运用二次函数分析和解决简单的实际问题，培养分析问题、解决问题的能力和应用数学的意识． 2.经历探索实际问题与二次函数的关系的过程，深刻理解二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型．

【要点梳理】

要点一、列二次函数解应用题

列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：

(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)．

(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．

(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．

(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。 (5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案． (6)写出答案． 要点诠释：

常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.

要点二、建立二次函数模型求解实际问题

一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题． 要点诠释：

(1)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.

(2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题： ①首先必须了解二次函数的基本性质； ②学会从实际问题中建立二次函数的模型； ③借助二次函数的性质来解决实际问题.

【典型例题】

类型一、利用二次函数求实际问题中的最大（小）值

1. 某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖

情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价y1(元)与销售月份x (月)满足关系式

3y1x36，而其每千克成本y2(元)与销售月份x(月)满足的函数关系如图所示．

8

(1)试确定b，c的值；

(2)求出这种水产品每千克的利润y(元)与销售月份x(月)之间的函数关系式；(不要求指出x的取

值范围)

(3)“五一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大?最大利润是多少? 【答案与解析】

（1）把(3，25)，(4，24)代入y212xbxc中，得 815193bc25,b,88 解方程组得 1164bc24.c59.28(2)根据题意，得yy1y2155931x36x2x

8288311559 x36x2x88821313x2x．

82212313所以y与x的函数关系式为yxx．

822112(3)由(2)得，y(x6)11，因为a0，所以当x＜6时，y随x的增大而增大，所

88以“五一”之前，四月份出售这种水产品每千克的利润最大，最大利润为10.5元．

【点评】在用二次函数知识解决实际问题时，有的同学易忽略自变量的取值范围，有的题目结果中的值

看上去有意义，但不一定符合题意，有的题目本身就隐含着对自变量的，常常考虑不周而造成错解． 举一反三：

【变式】某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不

高于每件70元，试销中销售量y（件）与销售单价x（元）的关系可以近似的看作一次函数（如

图）．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）设公司获得的总利润为P元，求P与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；根据题意判断：当x取何值时，P的值最大？最大值是多少？（总利润总销售额总成本）

（k≠0）【答案】（1）设y与x的函数关系式为：ykxb，

∵函数图象经过点（60，400）和（70，300）

k1040060kb∴ 解得

b100030070kb∴y10x1000

（2）P(x50)(10x1000)

P10x21500x50000（50≤x≤70）

b1500∵75，a10＜0

2a20∴函数P10x21500x50000图象开口向下， 对称轴是直线x=75

∵50≤x≤70，此时y随x的增大而增大, ∴当x=70时，P最大值6000.

类型二、利用二次函数解决抛物线形建筑问题

2.某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门地面宽为4m，顶部距离地面的高度为4.4m，现有一辆满载货物的汽车欲通大门，其装货宽度为2.4m，该车要想过此门，装货后 的最大高度应是多少m？

【思路点拨】

因为校门是抛物线形，不妨将这一问题转化为二次函数进行研究，建立适当的直角坐标系，将

已知数据转化为点的坐标，从而确定函数关系式，再根据关系式求高．

【答案与解析】

解：建立如图平面直角坐标系： 设抛物线的解析式为y=ax2，

由题意得：点A的坐标为（2，﹣4.4），

∴﹣4.4=4a， 解得：a=﹣1.1，

∴抛物线的解析式为y=﹣1.1x2， 当x=1.2时，

y=﹣1.1×1.44=﹣1.584，

∴线段OB的长为1.584米， ∴BC=4.4﹣1.584=2.816米，

∴装货后的最大高度为2.816米， 故答案为：2.816米．

【点评】利用二次函数解决抛物线形建筑问题一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转

化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．

类型三、利用二次函数求跳水、投篮等实际问题

3. 如图所示，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5 m时，达到最大高度3.5 m，然后准确落入篮筐，已知篮筐中心到地面的距离为3.05 m，若该运动员身高1.8 m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25 m处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少?

【答案与解析】

如图所示，在直角坐标系中，点A(1.5，3.05)表示篮筐，点B(0，3.5)表示球运行的最大高度，点C表示球员篮球出手处，其横坐标为-2.5，

2设C点的纵坐标为n，过点C、B、A所在的抛物线的解析式为ya(xh)k，由于抛物线开口向下，则点B(0，3.5)为顶点坐标，∴ yax3.5． ∵ 抛物线yax3.5经过点A(1.5，3.05)， ∴ 3.05＝a·1.5+3.5， ∴ a2

221． 512x3.5． 5 ∴ 抛物线解析式为y ∴ n(2.5)3.5，

∴ n＝2.25．

∴ 球出手时，球员跳离地面的高度为2.25-(1.8+0.25)＝0.20(米)．

【点评】首先要建立适当的平面直角坐标系，构造函数模型，将已知数据转化为点的坐标，然后利用待

定系数法求出函数解析式，再利用解析式求出抛物线上已知横坐标的点的纵坐标，结合已知条件，得到实际问题的解．

152类型四、利用二次函数求图形的边长、面积等问题

4. 一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个以AD为直径的半圆O，下部是一个矩形ABCD．

(1)当AD＝4米时，求隧道截面上部半圆O的面积；

(2)已知矩形ABCD相邻两边之和为8米，半圆O的半径为r米．

2

①求隧道截面的面积S(m)关于半径r(m)的函数关系式(不要求写出r的取值范围)；

②若2米≤CD≤3米，利用函数图象求隧道截面的面积S的最大值．(π取3.14，结果精确到0.1米) 【思路点拨】

①根据几何图形的面积公式可求关于面积的函数解析式；

②利用二次函数的有关性质，在自变量的取值范围内确定面积的最大值． 【答案与解析】

(1)S半圆2(米2)；

(2)①∵ AD＝2r，AD+CD＝8，∴ CD＝8-AD＝8-2r， ∴ S1211rADCDr22r(82r)4r216r． 222②由①知，CD＝8-2r，又∵ 1.2米≤CD≤3米，

∴ 2≤8-2r≤3，∴ 2.5≤r≤3．

812由①知，S4r16r≈2.43r216r2.434． 2.432.432∵ -2.43＜0，∴ 函数图象为开口向下的抛物线，函数图象对称轴r28≈3.3， 2.43又2.5≤r≤3，由函数图象知，在对称轴左侧S随r的增大而增大，故当r＝3时，S有最大值．

11S最大432163≈3.144948≈26.1(米2)．

22【点评】解此类问题，一般先应用几何图形的面积公式，写出图形的面积与边长之间的关系，再用配方法或公式法求顶点坐标，结合二次函数性质与自变量的取值范围确定最大面积．

举一反三：

【变式】如图，矩形纸片ABCD，AD=8，AB=10，点F在AB上，分别以AF、FB为边裁出的两个小正方形纸片面积和S的取值范围是 ．

【答案】50≤S≤68．

【解析】解：设AF=x，则BF=10﹣x，由题意，得

S=x2+（10﹣x）2， S=2x2﹣20x+100， S=2（x﹣5）2+50． ∴a=2＞0，

∴x=5时，S最小=50． ∵2≤x≤8，

当x=2时，S=68， 当x=8时，S=68． ∴50≤S≤68．

故答案为：50≤S≤68．