线性代数-矩阵

第二篇 线 性 代 数

第5章 矩 阵

矩阵是从许多实际问题的计算中抽象出来的一个数学概念，是经济研究和商务工作中处理线性模型的重要工具，也是线性代数的主要研究对象之一. 本章将介绍矩阵的概念与运算、特殊矩阵、矩阵的初等行变换、矩阵的秩、逆矩阵的求法.

5.1 矩阵的概念

首先看几个例子：

例1 甲国有三个货运码头A1,A2,A3，乙国有两个货运码头B1,B2，每季度航班次如图5.1所示（如A1到B2一季度有4个班次）.

现将该信息排成三行两列的表格，如表5.1所示.

表5.1 班 次 甲 A1 A2 A3 3 0 2 4 1 0 乙 图5.1 B1 B2 将其数字抽象出来

3401 20·107·

高 等 数 学 例2 A、B、C、D四个超市销售甲、乙、丙、丁四种商品，第一季度销售量、价格如表5.2所示.

表5.2

销 超 售 市 A B C D 单价 商 量 品 甲 300 450 300 200 3 乙 350 300 400 100 100 丙 1000 500 1500 800 0.8 丁 400 700 200 500 5.6 将四个超市四种商品的销售量数字抽象出来，排成四行四列的矩形数表 3501000400300500700 4001500200100800500将四种商品的单价抽象出来，排成一行四列的矩形数表

3004503002003例3 设线性方程组

1000.85.6

x1 x2 x3 x4 x573x2x x x3x212345x22x32x46x5235x14x23x33x4 x512

将这一方程组中未知量的系数及常数项按方程组中顺序排成一个四行六列的

矩形数表

111117 321132 012262333112

此数表决定了方程组是否有解. 如果有解，是唯一解还是无穷多组解，其解具体是什么等问题.

·108·

第5章 矩 阵 x1x2也可以将未知量排成五行一列的矩形数表：x3.

x4x5由此可见，在经济学和数学中经常会碰到这样的矩形数表，通常把它用数学

术语“矩阵”来表示.

定义 由mn个数aij(i1,2,,m；j1,2,,n)排成的m行n列的矩形数表

a11a21am1a12a1na22a2n am2amn

将这一表格称为m行n列矩阵, 简称mn矩阵. 用大写字母来表示，记作A或Am×n或A=（aij）m×n，这里aij表示矩阵A中第i行第j列元素（如例3中a32=1，a25= 3）. 当m=n时称为n阶方阵（如例2中销售量矩阵是4阶方阵），在n阶方阵中从左上到右下的对角线叫主对角线，其上元素a11,a22,,ann称为主对角线上元素（如例2中销售量矩阵的主对角线元素为a11=300，a22=300，a33=1500，a44=500）.

5.2 常用的特殊矩阵

1. 列矩阵

x1x2当n1时，只有一列的矩阵称为列矩阵，如例3中未知量矩阵x3

x4x52. 行矩阵

当m1时，只有一行的矩阵称为行矩阵，如例2中价格矩阵B31000.85.6 3. 零矩阵

所有元素都是0的矩阵称为零矩阵，记作O. 零矩阵可以是方阵也可以不是

·109·

高 等 数 学 000000方阵，如，000等. 0000004. 对角矩阵

对于方阵，除主对角线上元素外，其余元素均为0的矩阵称为对角矩阵，如

200010000001002,010,0040. 00100085. 单位阵

主对角线上元素都为1，其他元素都是0的方阵称为单位阵，记作E或I，这是一个非常重要的特殊矩阵.

1000100010010如二阶单位阵E，三阶单位阵E010，四阶单位阵E0010010010001等.

6. 上三角矩阵、下三角矩阵

主对角线下方的元素都为0的方阵称为上三角矩阵，如

a1100a11a21an1a12a1na22a2n, 0ann0a22an200,

ann345105007,030. 003002主对角线上方的元素都为0的方阵称为下三角矩阵，如

2351000400,070624300060. 012

7. 阶梯型矩阵

定义1 满足下列条件的矩阵称为阶梯型矩阵： （1）如果矩阵有0行（元素全为0的行），0行都在矩阵的最下方.

（2）各个非0行（元素不全为0的行）的第一个非0元素（称为首非0元素）的列标随着行标的递增而严格增大.

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第5章 矩 阵 1304510027，0027，例如：003000834570000不是阶梯型矩阵. 0269240，而050都是阶梯型矩阵，078定义2 若一个阶梯型矩阵满足下列两个条件：

（1）首非零元素均为1.

（2）首非零元素的上方均为0.

10001300，0012，则称这个阶梯型矩阵为标准阶梯型矩阵. 例如0104001200001000131100都是标准的阶梯型矩阵.

300100000020例 指出下列矩阵中，哪些是单位阵、对角矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵、阶梯型矩阵、标准阶梯型矩阵.

324070080024032087，070，070，000，0315，00002007003087007801103037020140，0203，00000100000000230124100，0012，301001000010012012，011001000800. 770553·111·

高 等 数 学 5.3 矩阵的运算

5.3.1 矩阵相等

定义1 两个相同行数，相同列数的矩阵A(aij)mn,B(bij)mn，如果对应位置上元素均相等，即aijbij(i1,2,,m;j1,2,,n),那么称这两个矩阵是相等的，记作AB.

x323例1 已知AB，其中A,Bz1，求x,y,z. 4y解 因为AB，所以x2, y1, z4.

5.3.2 矩阵的加法

例2 某海运公司有三支船队，运输甲、乙两种货物，第一、二季度货运量（单位：吨）如下：

甲乙

100A(第一季度)95200150B（第二季度）80210110一队200二队 90三队90一队300二队100三队问上半年三支船队两种货物各运多少吨？这显然是将矩阵A与矩阵B中对应元素

分别相加得到矩阵C，C即为所求. 甲 乙

100+150110+90 250200175500C95+80200+300200+210 90+100410190一队二队. 三队,m；定义2 设A(aij)mn,B(bij)mn，C(cij)mn，若cijaijbi( ji1,2,j1,2,,n)，则称矩阵C为矩阵A与B之和，记作CAB.

34124 ,B7 求CAB. 2117例3 A11796·112·

第5章 矩 阵 32解 CAB74124 31244727711711917691161159. 136120由定义可知，只有当两个矩阵的行数与列数分别相等时，才能进行加法运算. 由定义也不难验证，矩阵的加法满足交换律、结合律，即ABBA, (AB)CA(BC).

5.3.3 数乘矩阵

例4 设甲、乙、丙三个产地与a、b、c、d四个销售地之间的里程数（单位：

abcd2001708090甲公里）为矩阵A：A1002007550乙，已知货物每吨每公里的运费为3

40030040105丙3200317038039031003200375350. 元，那么产地与销售地之间每吨货物的运费为：340033003403105这显然是将矩阵A中每个元素都乘以3.

定义3 设A(aij)mn,k为任意一个常数，称C(kaij)mn（即矩阵中每个元素都乘以k）为数k与矩阵A的数乘运算. 记作C=kA.

当k1时，（1）A称为A的负矩阵，记作A,显然A(A)0. 那么矩阵的减法运算可以定义为ABA(1)BA(B).

由定义不难验证，矩阵的数乘运算满足结合律、分配律（其中k,为常数）. （1）(k)Ak(A). （2）(k)AkAA. （3）k(AB)kAkB.

4例5 A27013,B551，求3A2B. 6014713111221362261952解3A2B356060151012041215 205·113·

高 等 数 学 5.3.4 矩阵的乘法.

例6 某投资公司在甲、乙、丙三家公司所拥有的股份，在2000年与2001年每万股所分红利如表5.3所示.

表5.3

公司 甲 乙 丙 股 份 数 (万股) 300 500 200 2000年每万股红利 (万元) 0.5 1.4 2.3 2001年每万股红利 (万元) 0.8 1.5 2 问：这一投资公司在2000年和2001年分别得到红利的总额是多少？

解 将上表中股份数和红利分别用矩阵A,B表示，则A=[300500200]，2000年2001年0.8，那么该投资公司在2000年和2001年得到的红利总额分别为：

1.52C=[3000.5+5001.4+2002.33000.8+5001.5+2002]. 从矩阵运算的角度来看，矩阵C是一行两列矩阵，矩阵C的第一行第一列元素是矩阵A的第一行元素与矩阵B的第一列元素对应相乘后相加得到的，矩阵C的第一行第二列的元素是矩阵A的第一行元素与矩阵B的第二列元素对应相乘后相加得到的.

定义4 设A(aij)ms,B(bij)sn，C=(cij)mn， 0.5B=1.42.3若cijai1b1jai2b2jaisbsjaikbkj(i1,2,,m;j1,2,,n)，则称矩阵

k1sC是矩阵A与矩阵B的乘积，记作C=AB.

由定义可知矩阵A的第i行元素与矩阵B的第j列元素分别相乘后再相加就得到了矩阵C的第i行第j列元素cij，如图5.2所示.

第j列第i行ai1ai2ais  sb2j cijaikbkj k1bsjb1j图5.2

·114·

第5章 矩 阵 1111例7 设A,B11，求AB，BA. 11111111(1)(1)11(1)(1)22解 AB11111(1)22 11111(1)1(1)11001111111(1)BA1111(1)(1)1(1)(1)100 11从上面可以看出，矩阵乘法不满足交换律，一般ABBA. 例8 试用矩阵表示四元一次方程组

x12x2x33x432xx3xx41234 3x4x3xx1123412x43x13x2

13x1312x42131,Z2，,B解 令A通常称A为方程组的系数x311343131302x4矩阵，B为常数项矩阵，Z为未知量矩阵，依据矩阵乘法和矩阵相等的定义，于是方程组可以表示为

1213x132131x42，即AZB 3431x3111302x4321,B611，求AB，BA. 40例9 设A07312160解 AB40316(1)021121146004117311173610(1)712 4407241840·115·

高 等 数 学

21611 无法相乘，这是因为第一个矩阵B的列数2不等BA400731于第二个矩阵A的行数3.

.. 上例说明，只有当第一个矩阵A的列数与第二个矩阵B的行数相等时才能进行

相乘，并且积矩阵C的行数等于第一个矩阵A的行数，积矩阵C的列数等于第二个矩阵B的列数.

AmsBsnCmn

可以验证矩阵的乘法满足结合律和分配律，但不满足交换律，即 (AB)CA(BC),A(BC)ABAC，但一般ABBA.

5.3.5 矩阵的转置

定义5 设A(ail)mn，将矩阵A的行换成同序数的列，这样得到的nm阶矩阵，称为矩阵A的转置矩阵，记作AT，

a11a12a1na11a21am1aaa22a2na22am22112T. 即A，Aam1am2amnmna1na2namnnmx135x327T,2[x1例如A24,A878xn由定义知，转置矩阵具有如下性质： （1）(AT)TA.

Tx2xn].

（2）(AB)TATBT.

（3）(kA)TkAT. （k为任意实数） （4）(AB)TBTAT.

31231,B11，求(AB)T,BTAT. 012例12 设A11110·116·

第5章 矩 阵 31231解 AB012111113441111,AB(T)313023 2101,BT311 AT211110321101311413 BTAT211312110321从而验证了性质(AB)TBTAT.

习 题 5.3

1. 写出下列方程组的系数矩阵、常数项列矩阵.

x12x2x32x12x23x34x455 （1）x12x2x32x41 （2）2x13x2xx2x2x11x37231172xyw52. 已知u411，求x,y,z,w,u. 34z111123,B124，TTT1113. A求. 1)(2A3B6(2 A)5；3AB511110254. 已知A，求2A24AT5E. 13

31421234,B1032，12125. 设A若矩阵Z满足关系式2(AZ)

786963753BZ0，求矩阵Z.

6. 求下列矩阵的乘积

·117·

高 等 数 学 12121 （2）2101 （1）315310213011231231234123 （3）[12] （4）24667369123516（5）2[123] （6）[1 2 3 4]

7387. 指出下列矩阵哪些是单位阵、对角矩阵、上三角矩阵、阶梯型矩阵.

123045,00635670007,0402780000,04020000300, 0040000200003001234100,,0567

0100040000800100051230,B0134，8. 设A计算（1）ATB；（2）2ABT；42256256（3）AB；（4）BA；（5）ATBT.

9. 某货运公司有三个班组，今年第一季度运送甲、乙两种货物的数量（单位：吨）用矩阵A表示，运送甲、乙两种货物的单位运费（元/吨）及单位耗费（元/吨）用矩阵B表示. 问第一季度这三个班组的总运费及总耗费各为多少？

甲货物乙货物 运费 耗费100030001000一班二班，　B10030甲货物 A=2500110012040乙货物20001000三班10. 有甲、乙、丙三种品牌的化肥各100 kg、150 kg、80 kg，这三种品牌的化肥成分如表5.4所示.

·118·

第5章 矩 阵 表5.4

成分 品牌 甲 乙 丙 钾/% 20 18 22 氨/% 50 52 40 磷/% 30 30 38 将这三种化肥混合在一起. 问它含钾、氨、磷各多少kg？（用矩阵计算）

5.4 矩阵的初等行变换与矩阵的秩

5.4.1 矩阵的初等行变换

如果对线性方程组实施下列变换：

（1）将方程组中某两个方程的位置互换. （2）用一个非零的数乘以某个方程的两边.

（3）用一个常数k乘以方程组中某一个方程，然后加到另一个方程上去.

这样所得到的新方程组显然与原方程组是同解方程组，即不改变原方程组解的情况.

如果从矩阵的角度来看，线性方程组的以上变换，就相当于对线性方程组中系数与常数项组成的矩阵（称为增广矩阵）实施初等行变换.

定义1 矩阵的初等行变换是指对矩阵进行如下三种变换： （1）互换矩阵某两行的位置：rirj. （2）用非零的常数遍乘矩阵中某一行：kriri.(k0) （3）将矩阵中某一行遍乘某个常数k再加到另一行：krirjrj. 称（1）为对换变换. 例如，将第一行与第二行互换位置，可记为

0165rr127127120165 22称（2）为倍乘变换，例如，将第三行遍乘

12127r31r31201652016213

，可记为 75 2·119·

高 等 数 学

称（3）为倍加变换，例如，将第一行遍乘（1）加到第三行，可记为

127r(1)rr12733016510165（注意：此时第一行不变） 159032由矩阵A经过初等行变换后得到矩阵B，则称矩阵A与矩阵B是等价的，一

般记为A～B.

例1 将矩阵A，B通过初等行变换变成阶梯型矩阵

32103001 A30211611,B11322420 11210解

321rr113r12r2r2113 A21113211035 113321r13rr33058113113r2153r2r2r3r015353013

05800130300111210112611r1r430611rB301(3)r2r20302242022420r1(2)r3r300112100300100301121011210r21r4r403041r3r4r40304100040000400004000000 5.4.2 矩阵的秩

矩阵的秩是矩阵本质属性的重要概念.

·120·

10414001

第5章 矩 阵 定义2 矩阵Amn经过有限次初等行变换后，变成阶梯型矩阵，其非零行数称为矩阵A的秩，记作R（A）.

显然0≤R(A)≤m，若A是n阶方阵且R(A)n，则称矩阵A是满秩的矩阵.

例2 求下列矩阵的秩.

10312012A1142,B310231140112101,C053

0402351

解

20131rr11231A1142310202

114 21r2r3r320414604 0411B31100000201045001000051r1(1)r2r21r1(3)r3r3r1(1)r4r41040101100r3r4101000054000004r2(3)r212031r21003.1424 214631

RA()22r3r31rr2(2)r4r4r21r22202101450

11R(B)3.401121r22r3r31215 R(C)3是满秩的. C0530539023005·121·

高 等 数 学 5.5 逆 矩 阵

5.5.1 逆矩阵的概念

前面已经定义过矩阵的加法、减法、乘法运算，矩阵没有除法运算，但有类似的运算. 当矩阵A是满秩时，使矩阵方程AZB能像求一元一次方程axb的解xa1b那样求出它的解ZA1B.

定义 对于矩阵A,B，如果有ABBAE，则称A,B为可逆矩阵，其逆矩阵分别记为A,B，且AB,BA

若A,B是方阵，只要AB=E,则A,B可逆.

113113， 例1 验证下列两个矩阵是否互为逆矩阵，A和B212133231432和D153. C1-10211-111113310解 AB2E 2110133所以A与B互为逆矩阵，即A-1=B，B-1=A.

223143100153010E 1-10又CD12110011111所以C与D是互为可逆矩阵，即C1D，D1C.

此例说明A，C都是可逆矩阵.

223110110223043C110 121121011110110　　　 所以R(C)3是满秩的，容易看出011011043001·122·

第5章 矩 阵 R(A)2也是满秩的，而且它们都是可逆的.

的确，满秩矩阵与可逆矩阵之间有着紧密的联系，即n阶矩阵A可逆的充要条件是A为满秩矩阵，即R(A)n.

101101101011011而112312011000R23不满秩，故没有逆矩

阵.

逆矩阵有以下性质(证明从略)：

（1）若矩阵A可逆, 则A-1也可逆, 且(A1)1A.. （2）若矩阵A,B可逆，则(AB)1B1A1.

（3）若矩阵A可逆, 则AT也可逆, 且有 (AT)1(A1)T

13121T1T11(AB),(AB),(AB)例2 已知A1，求,B. 3024121335解 (AB)1B1A12439 30111B(AT) (ATB)111TB(A)311T20132453T6 6T (AB)T1(AB)1T35331213(BA)243959. 305.5.2 用初等行变换求逆矩阵

下面将矩阵方程AZB(A是满秩的方阵)写成：

AZBAZEB A1AZA1EB即 EZA1B

·123·

高 等 数 学 这一过程用初等行变换来进行，即左边方程中的A通过初等行变换变成单位矩阵E时，右边方程中的单位阵E用同样的初等行变换也就变成矩阵A的逆矩阵A-1. 这样，可以将上述过程用矩阵的形式表示出来：

初等行变换(AE)(EA1)

021的逆矩阵A-1. 例3 用初等行变换求矩阵A=112111021100rr11201012解 (AE)=112010021100 111001111001112r1r3r3021001r3(2)r1r11r3r2r22211010r21r220111002011001010100 2011135110012100222r2(1)r1r1101011111 0102222220010110110013512221111. 所以A222110424011例4 A12144710 3，问A1存在吗？若存在求出A1. 4 4 ·124·

第5章 矩 阵 102440113 解 A1214 4744 1214 0113 244104744 1214 0113 00218101201000r3r10100 00100001

0010r1(2)r3r30100 1000r1(4)r4r400010010r2(1)r4r4010010200041

1214 0113 002180019 0101r3r4r401002 1020r13r320141000 10001121401130101010019210000132此时由于R(A)34不满秩，故A1不存在.

对于任意的方阵A，都可以将(AE)进行初等行变换. 当矩阵A中出现0行时，说明A不满秩，这时A是不可逆的，即A1不存在. 当矩阵A能变成单位阵E时，那么右侧部分的单位阵E就变为矩阵A的逆矩阵A1了.

111，当a为何值时，矩阵A不可逆，当a2时，121例5 对于矩阵Aa11·125·

高 等 数 学 A可逆吗？若可逆求出A1.

100111　101110解 (AE)0100101 1211000a1aa0a111011当a1时，R(A)23不满秩，A不可逆；

1110011110010 当a2时，(AE)12101010110211001011201100101101111100010110010110，此时A1110.

001311001311311习 题 5.5

1. 求下列矩阵的秩. 123（1） 12312 34 12 45（2）110120111202220 （3）0111111001123231（5）11110242 16121242（4）210333320132（6）2041240266 233417 04  51 1112. 适当选取k的值，使下列矩阵的秩分别为（1）R(A)1；（2）R(A)2；

·126·

第5章 矩 阵 （3）R(A)3.

1232A24 4812k3. 求下列矩阵的逆矩阵. 2232161）A110（2）B

405

12161111111213）C11111111 （4）D351111121241210x4. 设A，试确定x,y，使BA134，B3. 10y1212105. 已知A1013，B1121，

124231求（1）(AB)1；（2）(ATB)1；（3）1(AB)T.

6. 已知三阶矩阵A的逆矩阵为 112A1233，求矩阵A. 44701062237. 设A133，B110，求B1AB. 21081218. 将下列矩阵化成阶梯型矩阵，并求其秩.

127·（ （·

高 等 数 学 1720 （1）14532038

130214（2）13020457 65

本 章 小 结

矩阵是由mn个数aij(i1,2,,m;j1,2,n)排成的矩形数表. 当mn时是n阶方阵，m1时是行矩阵，n1时是列矩阵.

一、矩阵的运算

1. 数与矩阵的乘法：kA(kaij).

2. 矩阵的加法：A(aij)mn,B(bij)mn，则CAB(aijbij)mn. 3. 矩阵的乘法：A(aij)ms,B(bij)tn，当st时才可以做乘法sC(cij)mnaikbkj.

k1mn4. 矩阵的加法满足交换律与结合律，但矩阵的乘法一般只满足结合律，而不满足交换律.

5. 矩阵的秩：用初等行变换将矩阵A化成阶梯型矩阵，则该阶梯型矩阵中非零行的行数即为矩阵A的秩

. 二、逆矩阵

1. 若A,B是方阵，只要ABE（E为单位阵），则称B是A的逆矩阵，记

为A1B（同样也可以说A是B的逆矩阵，记作B1A）. 逆矩阵仅对方阵而言。

2. 方阵A可逆的充要条件是：矩阵A是满秩的，即矩阵Ann可逆R(A)n. 3. 用初等行变换来求矩阵A的逆矩阵A：(AE)1

初等行变换(EA1).

注意：在变换过程中，若矩阵A不能变成单位阵E，则A是不可逆的，不存在逆矩阵.

·128·

第5章 矩 阵 三、初等行变换 初等行变换是指：

1. 对换变换(ri)(rj)：互换矩阵某两行的位置.

2. 倍乘变换k(ri)：用一个非零的常数k去乘矩阵的某一行中所有的元素. 3. 倍加变换(rj)kriri：把矩阵中某一行的每个元素都乘以常数k再加到另一行的对应元素上.

矩阵的初等行变换有着广泛的应用，它不仅是求矩阵的秩和求逆矩阵的工具，而且还是下一章解线性方程组的有力工具.

·129·

第6章 线性方程组

解线性方程组是实际工作中常遇到的问题，也是线性代数研究的重要内容，矩阵理论为线性方程组的研究建立了必要的工具. 本章将系统地讨论一般线性方程组解存在的条件及求解的方法.

6.1 n元线性方程组

在中学里已学过方程个数与未知量个数相等的二元或三元一次方程组的解法，但在实际问题中，经常要解未知量的个数超过三个或方程个数与未知量个数不等的线性方程组. 一般地，由n个未知量m个线性方程组成的方程组

a11x1a12x2a1nxnb1axaxaxb2112222nn2 am1x1am2x2amnxnbm （6.1）

称为n元非齐次线性方程组，其中系数aij，常数项bj都是已知数，xj为未知a11a12a1naaa21222n，未知量也组量. 而把系数组成的矩阵称为系数矩阵A，Aaaam2mnm1x1b1xb2成一个矩阵Z，常数项组成的矩阵为B2.

xnbm根据矩阵的乘法和矩阵相等，可以用矩阵形式来表示线性方程组，

即 AZB. （6.1）

a11a12a1nb1aaab记作2n2A称为增广矩阵. 它是由系数和常数项来确定的，而将2122aaabmnmm1m2·130·

第6章 线性方程组 因而能完全清楚地表示一个线性方程组.

当b1b2bm0时，即

a11x1a12x2a1nxnaxaxax2112222nnam1x1am2x2amnxn000 （6.2）

称为n元齐次线性方程组，它的矩阵形式为:

AZ0. (6.2) 显然它的增广矩阵与系数矩阵的秩是相等的. 例1 写出下列线性方程组的增广矩阵、系数矩阵、未知量矩阵、常数项矩阵，并写出其矩阵形式.

x1x2x3x4x575x1x2x3703x2xxx3x22345（1）1 （2）2x17x2x330

x22x32x46x523xxx110231x505x14x23x31111132113， 解 （1）系数矩阵A0122630111111773221132 ，常数项矩阵B， 增广矩阵A01226232330100x1x1111117x32x222113x3. 未知量矩阵Zx3，矩阵形式：0122623xx443010xx555115117（2）系数矩阵A271，增广矩阵A2713，常数项矩阵

11111111x1511x177B3，未知量矩阵Zx2，矩阵形式：271x23. 1111111x3x3·131·

高 等 数 学 6.2 线性方程组的一般解法——消元法

6.2.1 同解线性方程组

先看一个例子，用消元法解线性方程组与相应的增广矩阵作初等行变换进行对照，如表6.1所示.

2x1x23x33　　①例1 x1x2x32　　②　

3x2xx8　　③231表6.1

线性方程组 增广矩阵 2x1x23x33①①②x1x2x32② 3x2xx8③231 (2)②x1x2x32①①①(3)③ 2x1x23x33②消去②③中的x13x2xx8③231 x1x2x32①③(1) 3x2x37②②③x4x2③23 x1x2x32①②(3)③x24x32② 3xx7③23 1x1x2x32①③13x24x32② 13x313③ x1x2x32①③(4)②x24x32② ③(1)①x31③ ·132·

213 123 100 100 100 100 133r1r2112 2182r1(2)r2r2 133r1(3)r3r32182r3(1)r3 317r2r31422r23r3r3142 3172r31r313 142013132r3(4)r2r2 142r3(1)r1r10111111111111第6章 线性方程组

线性方程组 增广矩阵 续表

3①x1x2x22②x31③ 1①x12② x2x31③②(1)① 1103r(1)rr0102211 0011 10010102 0011（此时是标准的阶梯型矩阵） x11所以 x22 为原线性方程组的解.

x13从以上对照中不难看出： （1）交换线性方程组中任意两个方程，意味着交换增广矩阵中相应的两行（即初等行变换中的对换变换）.

（2）线性方程组中任意一个方程乘以一个非零的数k，意味着增广矩阵中某一行乘以一个非零的数（倍乘变换）.

（3）线性方程组中任意一个方程乘以一个常数k加到另一个方程中，意味着增广矩阵的相应一行的k倍加到另一行中（倍加变换）.

这就说明对增广矩阵作初等行变换相当于对线性方程组作同解变换.

推广到一般情况，求解非齐次线性方程组AZB，可以对增广矩阵A作初等行变换，化成标准的阶梯型矩阵，这时可以判断解的情况，若有解可以求出其解.

6.2.2 非齐次线性方程组的解法

例2 解方程组

2x15x23x32x433xx2xx41234 2x3x4x7x131234x12x24x3x44

·133·

高 等 数 学 253231241431214r1r431214 解 A234713234713124142532310r1(2)r4r400r13r2r2r12r3r341r2r4051448074551545024141545 7455514482411r2(7)r3r30r2(5)r4r400r4(23)r3r3r44r2r2r4(1)r1r141r3(1)r4r4015450039233003924330111r3r339150700039039001302402241241545 039233000134041100011507 010100131200510001r35r2r20r2(2)r1r1010021002 r3(4)r1r100010101010001300013（已是标准的阶梯型矩阵）

1x11x1x2x22相应的同解方程组为，即原线性方程组有唯一解：2.

x1x133x43x43本题中，增广矩阵的秩、系数矩阵的秩与未知数的个数都相等，即R(A)R(A)4. 此时线性方程组AZB有唯一解.

例3 解方程组

x1x2x3x442x13x2x3x49 3x2x8x8x42341

·134·

第6章 线性方程组 解

11114r(2)rr11114r(5)rr111141220111123301111 A23119r13r3r3328840555800003x1x2x3x44相应的同解方程组为x2x3x41，此方程组中第三个方程是矛盾的，

03故原线性方程组无解.

本题中增广矩阵的秩R(A)3，而系数矩阵的秩R(A)2，两者并不相等，导致了线性方程组无解.

例4 解方程组

x1x2x32x432xx3x8x81234 3x2xx9x52341x22x33x44

11123111r1(2)r2r221388r13r3r3031解 A3219505201234012211123111r2(5)r3r3r23r4r40123r2r401234052340012120314200551112311r3r3r3(1)r4r40120123410112r4r4005001120103571r32r2r2r2(1)r1r101234r3(3)r1r10001120000000342 343434 2410231234 0112000000211010 01120000所得的阶梯型矩阵第四行是零行，它表示同解线性方程组中第四个方程是恒等式，它对解线性方程组不起作用， 只有三个方程是有效的，三个方程不能约束

·135·

112高 等 数 学 四个未知量，其中一个未知量可以取任意数值，是自由变量. 此题中不妨设x4为

自由变量，将其移到等式右边，这样得到同解线性方程组为： x112x4， 其中x4可以取任何实数，方程组的解也可以表示为 x2x4x2x43x112kxk2，其中k为任意的实数. x2k3x4k因此该线性方程组有无穷多组解.

本题中增广矩阵的秩与系数矩阵的秩相等，即R(A)R(A)3，但小于未知量的个数4，线性方程组AZB有无穷多组解.

2x41x1此例中，也可以设x3为自由变量，原方程组变为 x2x40x42x3x132kx2k这样线性方程组的解也可以表示为2，其中k为任意的实数.

xk3x42k当然还可以取x1或x2为自由变量，但自由变量的个数只能为1，即

4（未知量个数）3（增广矩阵秩）＝1

以上三个典型的例子具有普遍的意义：对于线性非齐次方程（6.1）AZB的增广矩阵的秩R(A)，系数矩阵的秩R(A)及未知量的个数n之间的关系决定了线性方程组是否有解，如果有解，是唯一解还是无穷多组解.由此得到以下重要结论： 线性非齐次方程组（6.1）AZB，

当R(A)R(A)时无解；

当R(A)R(A)时有解：

（1）R(A)R(A)n时有唯一解.

（2）R(A)R(A)rn时有无穷多组解，变量有r个，自由

变量有(nr)个.

对于这一重要的数学结论，这里没有给出严格的数学证明，有兴趣的读者可以参阅本书参考文献的有关章节.

·136·

第6章 线性方程组 例5 解线性方程组

x1x13x1x15x2x3x412x2x33x438x2x3x419x23x37x47

1511115111r1(1)r2r212133r1(3)r3r307244 解 A38111r1(1)r4r4072441937701448815111151111r2(1)r3r3r2r2244r2(2)r4r407724401 777

000000000000000000003131310777r2(5)r1r1244 017770000000000此时R(A)R(A)24，因此自由变量有422个. 不妨设x3,x4为自由13313xxx431777变量，原方程组变为，方程组有无穷多组解

424xxx23477713313xkk211777x42k4k12，其中k1,k2为任意实数. 2777x3k1xk421x1x23x2x33有解，试求出的值，并解方程组. 例6 已知线性方程组x2xx231·137·

高 等 数 学 1101110r1r1101)rr2(1)r3r31(133解 A0313031 3031321311100004由已知方程组有解，则R(A)R(A)，而R(A)2所,以只有当4时

111101R(A)R(A)2，故求得4，此时A0313 01000000110231xx32113011，方程组为 . 不妨设x3为自由变量， 3x1x123300000111 3001x2k131方程组有无穷多组解： x21k3x3k,其中k为任意实数

当线性方程组有无穷多组解时，自由变量的选择并不是唯一的，但自由变量的个数只能是(nr)个.

6.2.3 齐次线性方程组的解法

由前面已经知道，对于非齐次线性方程组（6.1）AZB，当R(A)R(A)r时方程组有解，且当rn时有唯一解；当rn时有无穷多组解. 齐次线性方程组（6.2）AZ0可以看作B0时的非齐次线性方程组（6.1）的特例. 由于齐次线性方程组（6.2）中增广矩阵A的秩与系数矩阵A的秩总是相等的，即R(A)R(A)，因此总是有解的. 也容易看出齐次方程组（6.2）总有零解. 那么齐次线性方程组什么时候有非零解呢？显然，当R(A)rn时，齐次线性方程组有无穷多解，此时就有非零解了. 综上所述得到：

齐次线性方程组（6.2）AZ0总有零解；且当R(A)rn时有无穷多组解，即有非零解.

·138·

第6章 线性方程组

例7 解方程组

x13x1x12x113解 A12102x23x22x4x507x40

x2x33x42x502x2x37x43x50r2r3

1r1(3)r2r(1)r133070r1(2)r41132217302r41000102001 011013131511r3(1)r4r400 0000111r2(2)r4r400130111r2r300026001111 01300002110077x50x1x24r3(2)r1r10010，x34x50， 相应的同解方程组为 r3(1)r2r200013x43x5000000因为R(A)35，自由变量有532个，若取x2与x5为自由变量，原线性x1k17k2xk21齐次方程组的解为x34k2，其中k1,k2为任意实数.

x3k24x5k2例8 齐次线性方程组

x1x2x30x1x2x30 xxx0231问当为何值时，方程组仅有零解？当为何值时，方程组有非零解? 111rr11r(1)rr113122011 解 A1111r1()r3r321111011·139·

高 等 数 学 r2r3r311 0112002当220时，即1或2时，R(A)3，方程组有无穷多组解，

当然就有非零解.

当1且2时，R(A)3，方程组仅有零解.

6.2.4 矩阵方程的解法

本节介绍当未知量组成的矩阵Z不一定是列矩阵，系数矩阵A是可逆方阵的情况下求解矩阵方程AZB.

由于系数矩阵A存在逆矩阵A1，

AZ=B　　A1AZ=A1B　EZ=C (A  B) 　　　　　　　即: 　　　　(初等行变换) (E  C)

(C=A1B为方程的解)

说明在同样的初等行变化下，系数矩阵A变为单位阵时，常数项矩阵B就变为了方程组的解.

21051例9 解矩阵方程AZB，其中A121，B23.

0121421051rr121231221051 12123解 AB012140121412123r3rr12123r12r2r2232 0321501214 r2r301214004417·140·

第6章 线性方程组 2912011212341r3r301214r32r2r24180101 417r3(1)r1r1001117400114710034r22r1r19 0101

2170011473412791 所以Z1418244171714412122，B212. 例10 解矩阵方程AZBZ，其中A321532123解 :AZBZ等价于(AE)ZB

12122r1rrr32113AEB3112125311232211152211r3rr15 122301421 11212r15r3r353112302899325 2211r32r1r115 04111r22r3r3r35r2r20142101409310 1110000 1110·141·

高 等 数 学 1r2r2141504 0109140011 111 1所以Z9 3 14141411191001 1 141414r25r1r13193101014141414141 0 1 1 0 001910

习 题 6.2

1. 解下列线性方程组.

x1x2x343x2xx223（1）1

xxx223162x13x2x12x2x30（3）2x1x23x30

3xxx02312x13x2x35x46（2）3x1x22x34x45

x2x3xx22341x1x23x30xx2x023（4）1

3xxx0231x13x28x30x1x2x3x4x57x13x22x3x463x2xxx3x23x8xx5x012345234（5） （6）1

5x4x3x3xx122xx4xx12234512341x22x32x46x523x14x2x33x422. 已知该方程组有非零解，试确定m值并求其解.

x1x2mx30x1x2x30（1）2x1x2x30 （2）mx12x2x30

2xmxxx300121x12x3. 当k，m取何值时，方程组 1x13x1·142·

2x23x363x2x31x2kx375x24x3m

第6章 线性方程组 （1）无解; （2）唯一解; （3）无穷多组解. 4. 试就p，q讨论线性方程组解的情况，若有解求出其解.

x1x2x33x2xx1235x14x23x3x22x3x4x51x43x5p3x4x5q2x46x53

2x1x2x3x45. 确定m的值，使方程组x12x2x34x4x17x24x311x46. 求解矩阵方程.

210511（1）121Z23 （2）Z10121412 有解，并求出其解. m546Z21 2本 章 小 结

一、基本概念

1. 要掌握齐次线性方程组AZ0，非齐次线性方程组AZB的概念. 以及

什么是线性方程组的解，系数矩阵，常数项矩阵，增广矩阵.

2. 理解对增广矩阵施行初等行变换和对线性方程组施行同解变换的关系. 二、线性方程组解的判定方法

1. 对于非齐次线性方程组AZB，若R(A)P,R(A)S，未知数个数为n （1）PS(R(A)R(A)) 时线性方程组无解. （2）PS(R(A)R(A)) 时线性方程组有解.

此时若 Pn(R(A)R(A)n)，线性方程组有唯一解；

若Pn，线性方程组有无穷多组解.

2. 对于齐次线性方程组AZ0，由于此时系数矩阵和增广矩阵的秩肯定是相等的，所以它总有解（至少有零解）.

当R(A)n 时，它有唯一解即零解；

当R(A)n 时，它有无穷多组解,即有非零解.

三、线性方程组AZB求解的方法

可以直接对增广矩阵施行初等行变换，变成标准的阶梯型矩阵，观察系数矩阵与增广矩阵秩及未知数个数的情况，从而判断方程组是否有解,若有解可以写出其解.

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高 等 数 学 第5章和第6章 复习题

一、填空题

1. 设A(aij)mn,B(bij)st，当且仅当 时，有AB. 2. 设A(aij)mn,B(bij)st,C(cij)kl，若ABC，则m,n,s,t,k,l之间的关系为 .

3. 若矩阵A可逆，则(AT)1 .

4. 设A,B均为方阵，且ABBAE，则A1= ，B1= . 5. 矩阵A的秩是其阶梯型矩阵中 .

a11x1a12x2a1nxnb1axaxaxb2nn26. 线性方程组211222 的系数矩阵A ，增

am1x1am2x2amnxnbm广矩阵A .其解只有下列三种情况（1） ；

（2） .

（3） . 将增广矩阵A进行初等行变换化成阶梯型矩阵时，若出现 “0,0,,0,d”行(d0)，线性方程组 ；否则，若非零行数等于 ，有唯一解；若非零行数 未知量个数，有无穷多个解.

7. 对线性方程组AZB的增广矩阵进行初等行变换，化成阶梯型矩阵1231101120时，则（1）当s0,t0时，方程组 ， 00112000st（2）当s0,t0时，方程组 ， （3）当s0,t0时，方程组 .

xx3x418. 某个线性方程组的一般解为1（其中x3,x4是自由变量），若

x2xx2342用x1,x2作自由变量，则方程组一般解也可以表示为 . 二、选择题

1. 下列结论正确的是（ ）.

（a）A、B均为方阵，则(AB)2A2B2

（b）A为方阵且A20，则A0 （c）A、B均为方阵(AB)TATBT

·144·

第6章 线性方程组 （d）若ATA，BTB，则(AB)TBA

2. 下列结论正确的是（ ）.

（a）矩阵施行初等行变换后都可化成单位矩阵

（b）满秩矩阵施行初等行变换后一定可以化成单位矩阵 （c）经初等行变换后，非零行的行数是矩阵的秩 （d）可逆矩阵一定是满秩矩阵

3. 设A、B均可逆，则矩阵方程AZB1CBC的解为（ ）. （a）ZA1C(BE)B （b）ZA1(BE)CB （c）ZA1C(BE)CB （d）Z4. 下列矩阵是阶梯型矩阵的为 （ ）.

301230000000 （a）（b）001000000100A(CBC)B1

1212 1101301230120120 （c）（d）0100 0020000100013012（e）0012

01005. 线性方程组AmnZB有解的充分必要条件是（ ）.

（a）B0 （b）mn （c）mn （d）R(A)R(A) 6. 线性方程组AZB的增广矩阵A化成阶梯型矩阵

1121110143A（其0113201132，则方程组的一般解为（ ）

0000000000中x3,x4是自由变量）.

xx34x43（a）1

xx3x2342xx34x43（c）1

xx3x2342x2x3x41（b）1

xx3x2342xx3x43 （d）1

xx3x2342三、计算题

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高 等 数 学 51401620. 1. 计算1253473712131121072242062. 设A,B，求秩. 3061142142117123015240，已知3A2ZBT，求Z. 3. 设A2147,B0531306138四、解矩阵方程

12010211Z05 11113五、解下列线性方程组

x12x2x34x425x19x23x381. 2x15x2x3x41 2. 2x15x2x31 xx4x11x5x3xx023423113x12x22x31x13x2x30xxx13xx2x0123233.  4. 1

3xx42x5xx0231232x31x13x110x2x30x13x2x32x403x9x3x6x02345. 1

2x6x2x4x023415x115x25x310x40六、当c、d为何值时，下列方程组有解，并求其解

x3x1xxx123x22x35x13x2x3x42x4c2x43x4d

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