专题10圆锥曲线的常用结论

专题十：圆锥曲线的常用性质及结论

一、椭圆中焦点三角形的性质

定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形.

x2y2性质一：已知椭圆方程为221(ab0),两焦点分别为F1,F2,设焦点三角形

abPF1F2中F1PF2,则SF1PF2b2tan2.

(2c)2F1F22PF1PF22PF1PF2cos22(PF1PF2)22PF1PF2(1cos) PF1PF2(PF1PF2)24c22(1cos)4a24c22b2 2(1cos)1cosSF1PF21b2PF1PF2sinb2tan 21cos2x2y2性质二：已知椭圆方程为221(ab0),左右两焦点分别为F1,F2,设焦点三角形

abPF1F2，若F1PF2最大，则点P为椭圆短轴的端点.

证明：设P(xo,yo),由焦半径公式可知：PF1aexo，PF1aexo 在F1PF2中，cosPF1PF1F1F22PF1PF2222(PF1PF2)22PF1PF24c22PF1PF2

4a24c24b22b2 11=21 222PF1PF22(aexo)(aexo)aexo2a2 ax0a xob2性质三：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为2

ax2y2性质四：已知椭圆方程为221(ab0),两焦点分别为F1,F2,设焦点三角形

abPF1F2中F1PF2,则cos12e2.

证明：设PF1r1,PF2r2,则在F1PF2中，由余弦定理得：

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r12r22F1F2(r1r2)22r1r24c22a22c2 cos1

2r1r22r1r22r1r22a22c22a22c221112e. 命题得证. 2r1r222a2()2x2y2性质四：已知椭圆方程为221(ab0),两焦点分别为F1,F2,设焦点三角形

abPF1F2，PF1F2,PF2F1,则椭圆的离心率e2sin().

sinsinPF1F2,PF2F1, 由正弦定理得：

F1F2sin(180)oPF2sin

PF1sin

由等比定理得：

F1F2sin()PF1PF2sinsinPF1PF22c2a而， sin()sin()sinsinsinsin∴eF1F2csin(). asinsin二、焦点弦长公式

关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线ykxb代入曲线方程，化为关于x的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式(1k)[(x1x2)4x1x2]求出弦长，这种整体代换，设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐，利用圆锥曲线定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷. （一） 椭圆的焦点弦长

22x2y2 1）若椭圆方程为221(ab0)，半焦距为c0，焦点F1(c,0)、F2(c,0)，

ab设过F1的直线l的倾斜角为，l交椭圆于A、B两点，求弦长|AB|.

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|F1B|y，解：连结F2A、F2B，设|F1A|x，由椭圆定义得|F2A|2ax，|F2B|2ayb2，由余弦定理得x(2c)2x2ccos(2ax)，整理可得x，同理

accos222b2可求得y，则弦长

accosb2b22ab2|AB|xy22. 2accosaccosaccos2ab2同理可求得焦点在y轴上的过焦点弦长为|AB|2（a为长半轴，b为短半轴22acsin，c为半焦距）

2ab2(焦点在x轴上)a2c2cos2结论：椭圆过焦点弦长公式：|AB|

22ab(焦点在y轴上)222acsinx2y2 2）以焦点在x轴上的标准方程221(ab0)为例.设弦AB所在直线的斜率

ab0)（如右图） 为k，且过右焦点F2(c，（i）当k存在时，设直线AB为yk(xc)，联立

b2x2a2y2a2b2yk(xc)得(a2k2b2)x22a2ck2xa2(c2k2b2)02a2ck2设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x222. 2akba2a2于是|AB||AF2||BF2|xex12eccc2ab2(1k2)2a(x1x2)22aakb2a22b2（ii）当k不存在时，弦AB与x轴垂直，|AB|2ccea.当弦AB过左焦点F1时，其结论与过右焦点F2是相同的.

x2y2对于焦点在y轴上的标准方程221(ab0)，同理可得弦长公式为：当k存在时

ba- 3 -

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2ab2(1k2)|AB|22；当k不存在时|AB|2a（长轴）. 2bka3）当焦点在x轴上时，弦AB的长|AB|2ep； 22|1ecos|2ep. 22|1esin| 当焦点在y轴上时，弦AB的长|AB|b2注：①焦点到准线的距离p，②e为圆锥曲线的离心率

c.

x2y2证明：设直线l过椭圆221(ab0)的右焦点F(c,0)且与椭圆交于A、B两

aba2b2cc，点（如图1），椭圆的离心率为e，则焦点F(c,0)到相应准线的距离pccab2cb22ep22ep当直线lx轴时，易得|AB|2，lx轴时焦22aac|1ecos90|点弦长公式成立；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的倾斜角为，斜率为k，则ktanyk(xc),122lyk(xc)，1k，直线的方程为，联立消去y得xy22cos221,ba(b2a2k2)x22a2k2cxa2(c2k2b2)0,4a2b2(1k2).

1k22ab2(1k2)2ab2根据一般的弦长公式得|AB| 2222222222bakbakcos(batan)b2cb2222ab22ab22epaaa2bcos2a2sin2a2c2cos21(c)2cos21(c)2cos21e2cos2aa

二. 双曲线的焦点弦长

x2y2 1）设双曲线2-21(a0，b0)，其中两焦点坐标为F1(c,0)、F2(c,0)，过F1ab的直线l的倾斜角为，l交双曲线于A、B两点，求弦长|AB|.

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解：（1）当arctanbb（如图2）直线l与双曲线的两个交点A、B在arctan时，

aa|F1B|y，由双曲线定同一交点上，连结F2A、F2B，设|F1A|x，义得|F2A|2ax，|F2B|2ay，由余弦定理得

b2x(2c)2x2ccos(2ax)，整理可得x，

accos222b2同理可求得y，则弦长

accosb2b22ab2|AB|xy22. 2accosaccosaccos（2）当0arctanbb或arctan时（如图3），直线直线l与双曲线的两个aa|F1B|y，由双曲线定义得交点A、B在同一交点上，连结F2A、F2B，设|F1A|x，|F2A|2ax，|F2B|2ay，由余弦定理得x2(2c)22x2ccos(2ax)2，整

b2b2理可得x，同理可求得y，则弦长

accosccosab2b22ab2|AB|xy.

accosccosac2cos2a2因此焦点在x轴的焦点弦长为

2ab2bb(arctanarctan)a2c2cos2aa|AB|2ab2bb(0arctan或arctan)aac2cos2a2同理可得焦点在y轴上的焦点弦长公式

2ab2bb(0arctan或arctan)a2c2sin2aa |AB|22abbb(arctanarctan)222csinaaa其中a为实半轴，b为虚半轴，c为半焦距，为直线AB的倾斜角.

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x2y2 2）以焦点在在x轴上的标准方程2-21(a0，b0)为例.设弦AB所在直线的

ab0). 斜率为k，且过右焦点F2(c，（i）当k存在时，设直线AB为yk(xc)，联立

b2x2a2y2a2b2yk(xc)得(b2a2k2)x22a2ck2xa2(c2k2b2)02a2ck2设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则x1x22ba2k2

b当k时，弦AB的两端点同在右支曲线上（如右上图），于是aa2a2|AB||AF2||BF2|x1cex2cec2ab2(1k2)(x1x2)2a22aakb2b当0k时，弦AB的两个端点在左右两支曲线上（如右下图）aa2a2于是|AB||BF2||AF2|xex12ecc

c2ab(1k)2a(x1x2)2aba2k22ab2(1k2)总之，|AB|2|ba2k2|22a22b2（ii）当k不存在时，弦AB与x轴垂直，|AB|2ccea.当弦AB过左焦点F1时，其结论与过右焦点F2是相同的.

y2x2对于焦点在y轴上的标准方程221(a0,b0)，同理可得弦长公式为：当k存在

ab2ab2(1k2)时|AB|；当k不存在时|AB|2a（实轴上）.

|b2k2a2|三. 抛物线的焦点弦长

2若抛物线y2px(p0)与过焦点F(p,0)的直线l相交于A、B两点，若l的倾斜角为2，求弦长|AB|的值（如图4）

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|F1B|y，解：过A、B两点分别向x轴作垂线AA1、BB1，A1、B1为垂足，设|F1A|x，则点A的横坐标为

ppxcos，点B横坐标为ycos，由抛物线定义可得22ppppxcosx；ycosy 2222即xpp ，y1cos1cospp2p 21cos1cossin2p

sin22p 2cos则xy2即抛物线y2px(p0)的焦点弦|AB|2同理抛物线x2py(p0)的焦点弦|AB|2p(焦点在x轴上)sin2|AB|

2p(焦点在y轴上)2cos由以上三种情况可知利用直线倾斜角求过焦点的弦长，非常简单明确，应予以掌握. 1）以焦点在x轴正半轴的标准方程y2px(p0)为例.设弦AB所在直线的斜率为k，且过焦点F(2p，0)（如右图）. 2（i）当k(k0)存在时，设直线AB为yk(xp)，联立 2y22px22222p，得4kx4p(k2)xkp0. ykx2p(k22)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2k2于是|AB||AF||BF|

pp1x1x2x1x2p2p12

22k- 7 -

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（ii）当k不存在时，弦AB与x轴垂直，则|AB|2p（通径长）.

对于焦点在x轴的负半轴上的标准方程y2px(p0)，同理可得上面相同的结论. 2）以焦点在x轴正半轴的标准方程x2py(p0)为例.设弦AB所在直线的斜率为k，且过焦点F(0，)（如右图）.设直线AB的方程为ykx22p2p，联立 2x22py22p，得x2pkxp0.ykx2设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x22pk.pp于是|AB||AF||BF|y1y2

22p(y1y2)2pk(x1x2)2p(1k2)对于焦点在y轴负半轴上的标准方程x2py(p0)，同理可得与上面相同的结论. 例1．(2011年四川理)椭圆有两顶点A(-1，0)、B(1，0)，过其焦点F(0，1)的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BD交于点Q． (I)当|CD | =

232时，求直线l的方程； 2 (II)当点P异于A、B两点时，求证：OPOQ 为定值. 解析： 解法一：

y2x21，设l的方程为y1k(x0),k为l的斜率. 由已知可得椭圆方程为22kykx1xx1222k222(2k)x2kx10则y2x1xx12122k2224yy212k2 2yy2k2122k28k288k48k29(x1x2)(y1y2)k22k2 2222(2k)(2k)2l的方程为y2x1

解法二：

y2x21，设直线l的倾斜角为，有题意可得(，)，且由已知可得椭圆方程为22- 8 -

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c2b21，离心率e焦点在y轴上，焦点到准线的距离p，由焦点弦公式可得

a2c|CD|2ep22362，sin，tan2

1e2sin22sin223直线l的方程为y2x1

例2.双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线为l1，l2，经过右焦点F垂直l1的直线分别交l1，l2于A、B两点.已知|OA|、|OB|、|OC|成等差数列，BF与FA同向. （1）求双曲线的离心率；

（2）设AB被双曲线所截得线段的长为4，求双曲线的方程. 解析：

（1）如图，设OAmd，ABm，OBmd，双曲线方

x2y2程为221，则双曲线的两条渐近线l1，l2的方程分别为

abybbx和yx. aa因ABOA，由勾股定理得(md)m(md)，d2221bm，tanAOF 4aAB OA又AOB2AOF，tanAOB2tanAOF，又tanAOBtanAOB

mm42tanAOF，由tanAOB2tanAOFmdm1m31tan2AOF4bb1b5a4，. ，又由e21，得eb23a2a21()a2（2）设过双曲线右焦点F的直线AB的倾斜角为，直线l1的倾斜角为（如图），则

ba，tan，tantan，tan，由焦点在x轴上的圆锥曲线焦点弦2ab2ep，

|1e2cos2|公式得412c5tan2cose5b2a2其中p ，由cb1c5a，b1a，p1a2225a2- 9 -

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51aa62254

51b3|1()2|252x2y2例3（2007全国高考1文）已知椭圆+=1的左、右焦点分别在

32F1、F2，过F1的直线交椭圆与B、D两点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且ACBD，垂足为P.

22x0y01； （Ⅰ）设P点的坐标为（x0，y0），证明：32（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值.

解析：（1）椭圆的半焦距c321．由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，

2222x0y0x0y011 故xy1，所以，322222020（2）（ⅰ）当BD的斜率k存在且k≠0时，BD的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程

x2y21，并化简得 32(3k22)x26k2x3k260．设B(x1,y1),D(x2,y2)，则

6k23k26x1x22,x1x22，

3k23k2BD1k2x1x2(1k2)x1x24x1x2因为AC与BD相交于点P，且AC的斜率为四边形ABCD的面积

243k213k22

1； k124(k21)224(k21)296SBDAC， 2222223k22k33k22k3252当k2=1时，上式取等号.

(ⅱ) 当BD的斜率k=0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积S=4. 综上.四边形ABCD的面积的最小值为

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