湖北省2020_2021学年高二数学下学期7月统一调研测试试题202107130344

本试卷共4页，22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。

★祝考试顺利★

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一．单项选择题：本题包括8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题要求的．

1．22i=（ ） A．22

B．2

C．2

D．8

2．命题“xR，sinxcosxA．x0R，sinx0cosx02 C．x0R，sinx0cosx02

322”的否定为（ ）

B．xR，sinxcosxD．xR，sinxcosx2 2 3．曲线yx2x在点1,1处的切线方程是（ ） A．yx

B．yx1

22C．yx2 D．y2x3

4．若点P1,1在圆C:xyxyk0的外部，则实数k的取值范围是（ ） A．2,

B．2,1 2C．2,

12D．2,2

5．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．在如图所示的“堑堵” 中，ACCBCC1，则二面角C1ABC的正切值为（ ）

1

A．1 B．2 C．2 2D．2

6．已知随机变量~N1,2，正数a，b满足PaPb，则A．2

B．

14

的最小值为（ ） ab

9 2C．4 D．9

7．某校为了了解学生性别与对篮球运动的态度（喜欢或不喜欢），随机抽取部分同学进行了一次调查，其中被调查的男生和女生人数相同，得到如图所示的等高条形统计图，若有超过99%的把握认为性别与对篮球运动的态度有关，则被调查的总人数可能为（ ）

A．100

B．120

2C．145 D．160

nadbc2附：K，其中nabcd．

abcdacbdPK2k 0.010 6.635 0.001 10.828 k 8．已知a，b为正数，lnA．a2b

2a13b9a，则下列不等式一定成立的是（ ） b2 C．ab2

D．ba2

B．b2a

二．多项选择题：本题包括4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分． 9．下列函数是奇函数的是（ ） A．fxxcosx

x2xB．fx

x19C．fxlgx D．fxee

xx110．关于二项式2x的展开式，下列结论正确的是（ ）

xA．各项二项式系数之和为2 C．只有第5项的二项式系数最大

10B．各项系数之和为1 D．常数项为672

11．已知函数fxsinx0,02满足：①fx的图象关于点,0对称；②fx82

的图象关于直线xA．2

8对称；③方程fx0在0,B．8

C．10

上至多有2个实数根，则的值可以是（ ） 6D．18

x2y212．已知双曲线E:221a0,b0的离心率为2，点A，B是E上关于原点对称的两点，点P是Eab的右支上位于第一象限的动点（不与点A、B重合），记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则下列结论正确的是（ ）

A．以线段AB为直径的圆与E可能有两条公切线 B．k1k23

C．存在点P，使得k1k23

D．当a2时，点P到E的两条渐近线的距离之积为3 三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，P是线段CA1的中点，若APxAByADzAA1，则

xyz______．

14．已知抛物线C:y4x的焦点为F，过点F的直线l与C交于M，N两点，若O为坐标原点，△OMN的重心为点G2,24，则MN______． 315．为了缓解早高峰期的交通压力，社区安排5名志愿者到3个路口协助交警维持交通秩序，每人只到1个路口，每个路口至少安排1人，则不同的安排方法总数是______．（用数字作答）

c，16．在△ABC中，内角A，已知b213，且4sinA3sinC，C所对的边分别为a，AC2B，b，B，

则△ABC的面积S______；若BC6BM2MN，则tanMAN的值为______．（第一空2分，第二空3分）

四．解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）

已知数列an的前n项和为Sn，且满足Sn22an． （1）求an；

（2）设bnlog2an，求数列18．（本小题满分12分）

1的前n项和Tn．

bnbn13

已知函数fxsinxax，其中x0,． （1）当a1时，求fx的极值； 2（2）当a1时，求fx的零点个数． 19．（本小题满分12分）

最近，新冠疫苗接种迎来高峰，市民在当地医院即可免费接种，根据国家卫生健康委员会的数据，我国总接种量排名世界第一，有望早日建立起全民免疫屏障．某医院抽取部分已接种疫苗的市民进行统计调查，将年龄按

20,30，30,40，40,50，50,60分组，得到如图所示的频率分布直方图．

（1）求图中市民年龄的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）以频率估计概率，若从当地所有的已接种市民中随机抽取3人进行电话回访，记其中年龄在30,50的人数为X，求X的分布列和数学期望． 20．（本小题满分12分）

中国是风筝的故乡，南方称“鹞”，北方称“鸢”，如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥PABCD，其中

ACBD于O，OAOBOD4，OC8，PO平面ABCD．

（1）求证：PDAC； （2）试验表明，当PO1OA时，风筝表现最好，求此时直线PD与平面PBC所成角的正弦值． 221．（本小题满分12分）

x2y2已知椭圆C:221ab0的左、右焦点分别为F1，F2，点A，B分别为C的上顶点与右顶点，

ab4

△AF1F2的周长为6，且AB7．

（1）求C的标准方程；

（2）若直线l:ykx4k0与C交于M，N两点，记点M关于x轴的对称点为Q，求证：直线NQ过定点．

22．（本小题满分12分）

已知函数fxx3lnxkx．

1（1）若fx在e,1上单调递增，求实数k的取值范围；

12（2）若kZ，xe,e，fxx，求k的最大值．

2021年7月湖北省高二统一调研测试

数学参

1．【答案】A

【解析】由题意得，22i2．【答案】C

【解析】全称命题的否定是特称命题，先改变量词，再否定结论，故选C． 3．【答案】A

32【解析】对yx2x求导，得y3x4x，所以yx11，所以曲线在点1,1处的切线方程是

222222，故选A．

2y1x1，即yx．故选A．

4．【答案】C

1111k01【解析】由题意得，解得2k，故选C．

2114k05．【答案】D

【解析】由ACCB知，ACCB，取AB中点M，连接C1M，CM，则C1MC即为二面角C1ABC的平面角，设ACCBCC1a，则CM6．【答案】B

【解答】由~N1,2，可得正态曲线的对称轴为x1，又PaPb，∴ab2．∴

2CC1a，∴tanC1MC2．故选D． 2CM141b4a924141ab5（当且仅当，时，等号成立）．故选B． abab2ab233ab27．【答案】D

5

【解析】设被调查的总人数为x，由等高条形统计图作出22列联表：

喜欢 不喜欢 总计 男生 女生 总计 2x 5x 10x 23x 10x 5x 27x 103x 10x 22xxx3xx551010x6.635，2因为有超过99%的把握认为性别与对篮球运动的态度有关，所以K∴

xx7x3x21221010x139.335，又C中1458．【答案】B

【解析】因为ln114.5，不符合题意，故选D． 102a11，即ln2a32alnb3b，所以ln2alnb3b32ab22ln2a32alnb3b，令fxlnx3x，因为函数ylnx，y3x在0,上单调递增，所以fx在0,上单调递增，因为f2afb，所以2ab．故选B． 9．【答案】AD

【解析】对于A，定义域为R，fxfx，fx是奇函数；对于B，定义域为,11,，不关于原点对称，fx是非奇非偶函数；对于C，定义域为,00,，fxfx，fx是偶函数；对于D，定义域为R，fxfx，fx是奇函数．故选AD． 10．【答案】BD

【解析】各项二项式系数之和为2，故A错误；令x1，得各项系数之和为1，故B正确；展开式共有10

39r19rrr9rr2项，故二项式系数最大项是第5项和第6项，故C错误；通项为Tr1C92x，12C9xx36故常数项为T72C9672，故D正确．综上，选BD．

9r11．【答案】AC

k1kk28k1，k2Z，【解析】由题意得，两式相加得1又0，∴，，

4224k2286

代入

8k2中，得8k22k2Z，当x0,时，记tx,，令

442633sint0，t,至多有2个实数，∴3，解得0，观察可知，选AC．

424612．【答案】ABD

【解析】当点A，B分别是E的左、右顶点时，圆与E恰有两条公切线，故A正确；设Am,n，Bm,n，

m2n21m2s2a2ntntn2t2b2a2b22e13，故B，则222，所以k1k2Ps,t，则22222ntbmsmsmsast1a2b2正确；k1k22k1k2233，故C错误；当a2时，b23，渐近线方程为y3x，即

3xy0，点P到两条渐近线的距离之积为13．【答案】

3st23st23s2t24 3，故D正确．综上，选ABD．

3 2111111AA1ACAA1ABADABADAA1，故xyz，222222【解析】如图，APxyz3． 2

14．【答案】8

【解析】设Mx1,y1，Nx2,y2，由题意得15．【答案】150

113122C5C4C3C5C4C23【解析】先将5人按（1，1，3），（1，2，2）分为三组，再安排给3个路口，共有A315022 A A22x1x202，∴x1x26，∴MNx1x2p8． 3种不同的安排方法 16．【答案】123 3 47

【解析】由AC2B，得B解得a6，c8，∴S3，由4sinA3sinC得4a3c，由余弦定理得b2a2c2ac52，

1acsinB123；由BC6BM2MN得BN4，MN3，在△ABN中，2由余弦定理得AN4282248cos43，∴AN2BN2AB2，∴ANBC，则

3tanMANMNAN34． 17．解：（1）∵Sn22an， ∴Sn122an1n2，（1分） ∴an2an2an1n2，（2分） ∴an2an1n2，（3分）

又当n1时，S122a1，得a12，（4分） ∴数列an是以2为首项、2为公比的等比数列，

∴ann2．（5分）

（2）由（1）得，bnlog2ann， ∴

11b11， nbn1nn1nn1∴T11n1212131n1n1

11n1 nn1．（10分） 18．解：（1）当a12时，fxsinx12x，x0,， 求导得fxcosx12，x0,，（2分）

令fx0，得x3，（3分）

当x0,3时，fx0；当x3,时，fx0．

8

∴fx在区间0,

上单调递增，在区间（5分） ,上单调递减，33故当x

3

时，fx取得极大值f3（6分） ；无极小值．326（2）fxcosxa，x0,，（7分） 当a1时，∵1cosx1，∴fx0， ∴fx在区间0,上单调递增，（9分） ∴fxf00，（11分） 故fx只有一个零点0．（12分）

19．解：（1）由题意得，250.3350.4450.2550.136， 即图中市民年龄的平均数为36岁．（4分） （2）由题意得，年龄在30,50的频率为0.6，

则估计从所有已接种疫苗市民中任取一人，年龄在30,50的概率为0.6．（5分）

83632132故X~B3,，则PX0，PX1C3， 551255512527323，PX3，（9分） PX2C55125512523213312∴X的分布列为

X P （10分）

0 1 2 3 8 12536 125 12527 12583627939．（12分） 123（或EX3）

12512512512555520．（1）证明：∵PO平面ABCD，AC平面ABCD，

∴EX0∴POAC，（1分）又ACBD，（2分）

POBDO，PO平面POD，BD平面POD，

∴AC平面POD，（3分） 又PD平面POD． ∴PDAC．（4分）

（2）解：法一：如图，以O为坐标原点，分别以OB，OC，OP为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐

9

标系Oxyz，则B4,0,0，C0,8,0，D4,0,0，P0,0,2， ∴PB4,0,2，PC0,8,2，PD4,0,2，（7分） 设ma,b,c为平面PBC的法向量，

则mPB0，即mPC04a2c0，

8b2c0令c4，则m2,1,4，（10分） 设直线PD与平面PBC所成角为，

则sinPDm20124105PDm416441168105．（12分）

法二：在Rt△POB中，由PB2PO2OB2得PB25， 在Rt△POC中，由PC2PO2OC2得PC217， 在Rt△POD中，由PD2PO2OD2得PD25． 在Rt△BOC中，由BC2BO2OC2得BC45，（6分）

PBC中，由cosPBCPB2BC2PC2在△2PBBC

22524521722254525，（7分） 得sinPBC1cos2PBC215，（8分） S△PBC12PBBCsinPBC122545215421，（9分）设点D到平面PBC的距离为h，

10

由V三棱锥P-BCDV三棱锥D-PBC，（10分） 得11BDOCOP1323S△PBCh， 即hBDOCOP88216212S21，（11分） △PBC2421设直线PD与平面PBC所成的角为，

1621则sinhPD21258105105．（12分）

21．（1）解：根据题意有2a2c6a2b27，（2分）

a2b2c2a2解得b3，（3分）

c1∴椭圆C的标准方程为x24y231．（4分） x2y2（2）证明：由431，可得34k2x232k2xk2120，（5分）ykx4设Mx1,y1，Nx2,y2，则Qx1,y1，

∴x32k2k2121x234k2，x1x234k2，（7分）

∵直线NQ的方程为yy1y1y2xxx1，

2x1

11

即yy1y2xxy1y2x1xyyyxx1y2x2y1112，（9分）

2x12x1x2x1y1y2∵

x1y2x2y12kx1x24kyx1x2x1， 1y2k1x28k∴直线NQ的方程为yy1y2xxx1，

（11分） 21∴直线NQ过定点（1，0）．（12分） 22．解：（1）fxlnxx3xk，

（1分） ∵fx在e1,1上单调递增，∴fx0在e1,1上恒成立，

即klnx3x1在e1,1上恒成立．（2分） 记uxlnx3x1，则ux13xx20，

∴ux在e1,1上单调递增，

（3分） ∴ux1minue3e，（4分）

∴k3e，即k的取值范围为,3e．（5分）

（2）由题意得，x3lnxkxx对任意x1,e2e恒成立，

即k1x3lnx12x对于任意xe,e恒成立．

令gxx3lnx，则gx3lnxx3xx2．（6分）

设hx3lnxx3，易知hx在12e,e上单调递增，

且h23ln210，h32331ln220，（8分） ∴x032,2，使得hx3lnx3x000x030，即lnx03，（9分）易知gx在1,xe0上单调递减，在x20,e上单调递增，（10分）

12

∴gxmingx0x03lnx0x0x033x0321x9

0x03x0∵x011913（11分） ,2，∴2x0，

23x062又kZ，∴k1的最大整数为1， ∴k的最大整数为2．（12分）

（以上答案仅供参考，其他解法请参考以上评分标准酌情赋分）

附：什么样的考试心态最好

大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。想要不出现太强的考试焦虑，那么最好的办法是，形成自己的掌控感。

1、首先，认真研究考试办法。

这一点对知识水平比较高的考生非常重要。随着重复学习的次数增加，我们对知识的兴奋度会逐渐下降。最后时刻，再去重复学习，对于很多学生已经意义不大，远不如多花些力气，来思考考试。

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很多老师也会讲解考试的办法。但是，老师给你的办法，不能很好地提高你对考试的掌控感，你要找到自己的一套明确的考试办法，才能最有效地提高你的掌控感。有了这种掌控感，你不会再觉得，在如此关键性的考试面前，你是一只被检验、被考察甚至被宰割的绵羊。

2、其次，试着从考官的角度思考问题。

考官，是掌控考试的;考生，是被考试考验的。如果你只把自己当成一个考生，你难免会惶惶不安，因为你觉得自己完全是个被摆布者。如果从考官的角度去看考试，你就成了一名主动的参与者。具体的做法就是，面对那些知识点，你想像你是一名考官，并考虑，你该用什么形式来考这个知识点。

高考前两个半月，我用这个办法梳理了一下所有课程，最后起到了匪夷所思的效果，令我在短短两个半月，从全班第19名升到了全班第一名。当然，这有一个前提——考试范围内的知识点，我基本已完全掌握。

3、再次，适当思考一下考试后的事。

如觉得未来不可预测，我们必会焦虑。那么，对未来做好预测，这种焦虑就会锐减。这时要明白一点：考试是很重要，但只是人生的一个重要瞬间，所谓胜败也只是这一瞬间的胜败，它的确会带给我们很多，但它远不能决定我们一生的成败。

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