2010国赛一等奖

承 诺 书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： B甲1049 所属学校（请填写完整的全名）： 山东大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 邵健雄 2. 杜华睿 3. 董慧妍 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 数模组

日期： 2009 年 09 月 14 日

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛

编 号 专 用 页

评 阅 人 评 分 备 注 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

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全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

眼科病房中病床分配方案的设计与评价

摘要

本文的实际情景为眼科病房中病患确诊后的就医排队现象。为改善原有的FCFS病床分配方案，我们建立并且评价了一套“优先级床位分配方案”，此方案兼顾了医疗资源利用效率和病人在系统中的逗留时间的最优化。

针对问题一，我们设计了一种通用的评价指标体系，来衡量病床分配方案的优劣。一段时间内，病人的平均住院时间、病床的周转率、等待入院队列的平均长度和病人间的相对不公平度作为评价体系中的4个指标。

问题二要求根据已知的第二天拟出院病人数来安排第二天病人的住院方案。从模型角度，我们建立了以第二天入院病人的加权总等待时间为目标函数的0-1整数规划模型，目标函数中的权重矩阵体现了一周各天不同病人的相对优先级，故称此方案为优先级分配方案。从计算机实现角度，我们设计了基于优化模型的数值计算方法，能够对一段时期内病床进行连续的安排。应用此法，我们补充完整了题目附表二、三（结果请见附录）。最后，根据问题一的评价体系，评价了原有的FCFS分配方案和新建的优先级分配方案。结果如下： 平均住院时间（天） 平均等候队列长度（人） 平均病床周转率 相对不外伤延误比例 公平度 非急症等待差异度 FCFS方案 8.92 94.357 10.76% 0 0.0818 优先权方案 8.39 92.5 11.75% 0 0.36 注：表中数据为8月8日—8月21日的两种方案下的指标值

问题三，应用统计的方法确定之前同类同天入院病人的等候时间分布，由此预测相应病人的入院区间。同时，采用问题二模拟计算的方法，检验了预测区间准确性。

问题四要求建立双休日不做手术情况下的病床分配方案，是问题二中优化模型的一个延拓，关键是对优化模型中的系数权重矩阵重新赋值。进而，以所有可能的手术时间方案为0-1变量，建立优化模型，求解得白内障手术安排在周二、周四最为合理。

问题五的目标是确定最优的病床分配比例，以使得3个近似M/M/c/排队系统内的病人的加权平均逗留时间最小。我们采用了一个非线性优化模型，最优解床位配给比例为外伤8个、白内障24个、其他疾病47个。

关键词：0-1整数规划 优先级 M/M/C/排队模型

1

§1 问题提出

1.1 问题重述

我们考虑某医院眼科病床的合理安排的数学建模问题。眼科情况如下： 1、手术类型

该医院眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。情况如表1所示：

表1 白内障 外伤 急症？ 手术时间 否 是 周一、周三 周内均可 术前准备 备注 1--2天 1天 分单、双眼 病床一旦有空立即入院 术后的观察时间较长 视网膜与青光眼 否

2、医疗条件

除周一、三外 2--3天 （1）眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。 （2）无手术条件的，但考虑到手术医生的安排问题。 3、待解决的问题

当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS（First come, First serve）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，我们的任务是通过数学建模来解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用。

已知2008年7月13日至2008年9月11日这段时间里各类病人的情况，我们要解决下列问题：

（一）评价方法：设计一个评价病床安排模型优劣的指标体系。

（二）模型建立：建立合理的病床安排模型，即根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。并对你们的模型利用问题一中的指标体系做出评价。 （三）合理预测：根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。

（四）模型改进：若该住院部周六、周日不安排手术，重新回答问题二，医院的手术时间安排是否应做出相应调整?

（五）实际操作：从便于管理的角度，在一般情形下，医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案。就此方案，建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。

2

1.2 问题分析

医院现有的住院流程如图1：所有病人先到门诊就医，门诊部确定病情种类，之后病人依据FCFS（first come, first serve）原则，等候入院。

图1 住院流程图

病人的到达是一个Poisson质点流【2】，病情确诊后“排队”进入住院部，术前准备期的长短受医院“周一、三”规定和病情本身的，术后观察期可依据统计情况处理为离散的随机变量。

自病情确诊至手术出院的过程是一个“排队”过程。问题的核心是设计一种合理的病床分配方案，以提高医疗资源的有效利用，并尽量减少所有患者的总逗留时间。建模中，为解决“医院等候队伍越来越长”及“病床周转率低”的现状，我们按实际情况划定各种病情的优先级，使用最优化方法设计一种按优先级分配病床方案，并根据设计的指标体系评价原有FCFS方案和新设计的病床分配方案。

问题一，要求设计一种通用的评价标准，来衡量各种病床分配方案的优劣。病患的平均等候时间、病床的周转效率、等候队列的长度和病人间的相对不公平程度均要纳入指标体系进行考虑。

问题二，结合住院部当前的入住情况及第二天的拟出院情况，建立下一天的病床安排模型。对各种病情划定优先级，建立一个最优化模型得到一个相对合理的安排计划。

问题三，应用统计的方法分析之前同类同天入院病人的等候时间分布，根据表三中已知入院时间，预测相应病人的入院区间。同时，采用问题二的方法进行模拟计算，检验预测区间准确性。

问题四是问题二的延拓，需要在优化模型的条件中做出相应改变。

问题五近似于3个M/M/c/排队系统的安排，目标是确定最优的病床分配比例。

§2 假设与说明

2.1 假设与约定

1、病人的到达为一个Poisson过程，满足Poisson过程的叠加及分解。视单眼白内障

3

手术与双眼白内障手术为两种病情，模型中总共有5种病情。编号如表2所示：

表2 病人类型分类编号 1

2、白内障（双眼）必须在同一周内完成手术。

3、白内障手术准备期为1—2天，意味着1或2天均可，由允许实施手术的时间决定1或2。青光眼、视网膜疾病的术前准备期类同考虑。 4、前一病人出院后，等待病人马上入住，无时间间隔。 5、为了便于根据病情安排床位，我们选取7天为一个周期。

6、病人之间没有交流，如有先到后治的情况发生，病人并不知情，且无异议。 7、术后观察期的长度只受病情本身影响，与病人个人意愿无关。 8、等候队列无容量，即病人一旦到诊，不会中途离开。

2 3 4 5 外伤 视网膜 白内障（双眼） 白内障（单眼） 青光眼 2.2 概念说明

1、术前准备期：从病人入院之日记起，直至动手术的前一天截止。如7月25日住院，7月26日动手术，则术前准备期为1天。

2、术后观察期：从最后一次手术之日结束记起，直至病人出院前一天截止。如8月19日手术，8月24日出院，则术后观察期为5天。 3、等候期：自确诊之日记起，直至入院的前一天截止。

4、住院时间 = 术前准备期 + 术后观察期 + 两次手术间隔（如有）

当天出院人数5、床位周转率 =

病床总数6、病人等候限度：确诊后病人所能容忍的最大等待天数。

§3 符号的使用

T--住院时间 t--术前准备期长度

--术后观察期长度

len--等候队长

preT--单个病人等待入院时间

a—当天到达人数

4

b—当天入院人数

b1--当天未能按时入院的外伤病人数

c—当天出院人数

d—入院优先级权重系数

r-- 病床周转效率

wr-- 外伤延误比例

wt-- 单个病人在队列中已经等待的天数

MAXwt--队列中病人所能容忍的最大等待天数

W--M/M/C/系统中所有病人的平均逗留时间

-- 到达病人的Poisson强度

§4 模型准备

4.1数据信息挖掘

1、病人到达情况

将所给的7月13日--9月11日的每天病人到达人数加以统计，绘图结果如图2所示。

图2 病人日到达情况统计结果

（1）到达强度

根据假设，到达病人服从Poisson质点流。由Poisson过程的分解定理，5种病人的到达分别也为Poisson过程。以每天平均到达人数作为Poisson过程的强度，则5种病人的到达强度如表3所示：

5

表3 各类病人到达强度统计结果 1 1.07

2 1.05 3 2.22 4 1.67 5 2.83 总的病人到达强度为8.83，即平均每天到达8.83个病人。 （2）分布拟合检验

理论上，Poisson过程中质点到达时间间隔不为0，且服从负指数分布；而本题中，同一天到达的病人间的时间间隔并未给出，因而无法用负指数分布做出严格的分布拟合检验。作为替代，我们检验“各天到达病人数目相差不大”这一事实，藉此说明到达病人为一Poisson质点流。

使用卡方拟合优度法进行检验。原假设H0为每天到达的病人数是均匀的，即检验

1H0:pi,i1,2,,61。以ni代表每天到达病人数，取检验统计量为

61(ninpi)2 npi1i261带入数据得266.1887<78.15600.052(60) ，通过检验。 （3）周期性

数据线大致以七天为一周期。一周内，在周二周三和周五周六呈现出两个高峰值。 2、等候队列

根据所给数据，在7月25日至9月11日期间的等候队列的构成可全部知晓，在原有FCFS方案下，自7月25日起的等候队列长度如图3所示：

图3 等待队列长度统计

6

如图所示，队列的长度维持在96上下浮动，与题目所述的“等候队伍越来越长“稍有差异。而且，大部分病人（外伤除外）的等候入院时间在12天上下浮动。

3、床位状况

（1）编写MATLAB程序，对附表中所列出的61天数据进行实时监控，发现自8月7日至8月28日，所有住在医院中的病人的信息可被全面知晓，包括门诊日期、入住日期、手术日期、出院日期。自此之后的情况可以依据所建模型和附表二、三做出数值模拟。 （2）8月7日至8月28日期间，所有病床全部满员。其余时间则因数据不全，无法统计。

（3）床位的比例大体保持一致。（详细讨论请见8.1病床比例模型的建立）

4、外伤入住统计

61天中，共有63例外伤病人到达医院，没有病人因为确诊后第二天无空床位而延误治疗。

5、术前准备期长度统计 统计结果见表4。

表4 术前准备长度统计结果 外伤 视网膜 等待时间区间 平均等候天数 存在超期准备 1 2—3 1 2.34 3.35 2.29 2.375 否 否 是 是 否 白内障（双眼） 1—7 白内障（单眼） 1—5 青光眼 2—3天

4.2 术后观察期长度的随机分布

根据已经出院病人的术后观察期的长度，用经验分布函数法（频数统计法）来初步确定5种病的术后观察期的长度所服从的分布。

设随机变量ii1,…，5表示第i种病情术后观察期的长度（编号含义见2.1假设与约定部分）。1号病（外伤）的术后观察期长度的频率统计如下图所示。

7

关于外伤观察期长度的频数统计14121082012345天数6710人数系列1

图4

则根据经验分布函数法，离散型随机变量1的分布为 表5 1 3 4 5 6 7 8 9 10 p 0.036 0.218 0.182 0.1 0.2 0.091 0.055 0.055

其余四种病情可类似处理，即可得随机变量ii1,…，如表6-9所示： 5的经验分布，

表6 2 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 p 0.03 0.02 0.07 0.16 0.11 0.18 0.15 0.11 0.09 0.05 0.04

表7 3 p 2 0.20 3 0.65 4 0.15

表8 4 p 2 0.29 3 0.51 4 0.20 表9 5 p 6 0.08 7 0.26 8 0.31 8

9 0.21 10 0.05 11 0.03 12 0.05

§5 模型建立与求解

5.1 综述

图5 医院现有的住院流程图

医院现有的住院流程如图5所示。自病情确诊至出院的过程是一个“排队”过程。问题的核心是设计一种合理的病床分配方案，以提高医疗资源的有效利用，并尽量减少所有患者的总等候时间。按“先提出评价体系，后检验分配方案”的思路，模型建立分为以下几个部分：

 评价体系设计：5.2中建立了通用的评价体系，来衡量各种病床分配方案的优劣。  模型建立：5.3中建立一个带有优先级的优化模型，从而根据到诊人数和第二天拟

出院人数确定第二天的入院方案。

 数值模拟【4】：5.4根据5.3模型的思想编写算法和程序，利用数值计算方法，对一段

时期内的出、入院情况做出规划。

 方案比较：5.5中利用评价体系对两种方法做出优劣评价。

需要特别说明的是，无论是优化模型还是数值计算，都是将周内各天到达的各种病人赋给了一个权重，共同的建模思路是通过系数加权矩阵来表示各种病人的优先级。不同点在于优化模型需逐天多次运用，而数值计算可以利用计算机的实现这个循环过程。在实际应用中，采用数值计算方法更加实用。

5.2 第一问中评价体系的设计

本问中，题目要求设计一种通用的评价标准，来衡量各种病床分配方案的优劣。评价的对象是一个按既定规则运行的系统。评价所用的数据是在已完成一段时间内系统中病人的全部信息，包括每天等候队列的长度、出入院的病人数、每个病人的住院天数等。此处，因为病人到达、手术时间具有周期性，不妨取为一个到达周期，即一星期。若要做一段时期内的指标分析，则应取整数个周期。

9

5.2.1 指标选择

影响病床分配方案优劣的因素有许多，如等候队列的长度、在队列中的平均等候时间、平均术前准备时间、平均术后观察时间、处理急症病人的能力等，考虑各因素之间相关性，选取以下几个量作为度量指标。  指标1：平均住院时间

病人依据入住时间和病情不同，术前准备的时间也不同，合理的安排可以缩短不必要的术前准备期；而病人的术后观察期是一个随机变量，依病情不同而定，也应纳入考虑。

设所考察的一星期内总共有n个病人出院，Tkk1,…,n代表第k个病人的住院时间，kk1,…,n代表第k个病人的术后观察时间，tki,jk1,…,n代表第k个病人

的术前准备时间，i代表该病人的患病类型，j代表该病人在星期j入院。则一周期内所有病人的平均住院时间为TTk，具体表示为

k1n1nT[ktki,j2i]

nk1i31其中，i 标识了双眼白内障病人两次手术中间的间隔。

0otherwise 指标二：平均等候队列长度

平稳系统中，在不同分配方案下，等候队列的长度围绕着不同的常数上下波动，队列越短，说明等候时间越短，故平均等候队列长度合理反映分配方案的优劣。

7，aj表示星期j时到达门诊部的人设星期j时等候队列的长度为len(j)j1,…，数，bj表示星期j时入住人数，有等候队列长度递推公式

len(j1)len(j)bj1aj1j1,…,6

据此求解或统计得到每天的队列长度，则一周内平均的队列长度len为

17lenlen(j)

7j1 指标3：病床的周转效率

单位时间内出院的人数越多，说明病床的周转越频繁，进而说明系统在一周期内的处理能力（收治能力）越强，故病床的周转效率也是一个合理指标。

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设cj表示星期j时的出院人数，C为总共的病床数，则病床的周转效率r为

r 指标4：相对不公平度

7cjj1C

因为外伤病人的本身的特殊性，需尽可能减少等待入院的时间，不宜与其他病人一起考虑相对不公平度，所以我们分开，用两个二级指标一起衡量。  非急症等待差异度

非急症等待差异度是指各个病人（非急症）等待天数的标准差与总平均等待天数的比值，非急症等待差异度越大，说明公平度越差。其表达式为

f(preTpreT)ii1n2preT

其中，preT为单个病人等待入院时间。  急症病例延误比例

外伤病例属于急症，必须尽快手术。如出现病例到达后第二天无热出院、新病人无法入住的情况，则说明系统的应急能力较差。选取外伤病例延误比例作为应急能力的评价指标。

1设a1j为星期j到达的外伤病人数，b1为星期j入院的外伤病人数，bjj为理应星期j

入院但未能按时入住的外伤病人数，则一周期内的外伤延误比例wr为

bwr71jaj1j17

1j

5.2.2 方案评价

利用上述指标体系对医院原有FCFS方案进行评价，由§4模型准备中的讨论知，仅8月7日—8月28日时期内，病人的各项信息全面。因此取8月8日—8月21日这两周内的统计数据来计算评价指标。四项指标值如表10所示：

11

表10 FCFS方案评价结果 平均住院时间（天） 平均等候队列长度（人） 平均病床周转率 相对不外伤延误比例 公平度 非急症等待差异度

FCFS方案 8.92 94.357 10.76% 0 0.0818 5.3 第二问优化模型建立

废除严格的FCFS方案，根据已知当天的住院部情况和第二天拟出院病人数，来确定第二天病人住院的合理方案。一个“合理”的分配方案应当使得等待时间较长并且符合优先级条件的病人先住院，以减少队列中病人的平均等待时间，进而使得病床周转率提高。

图6

如图6所示，当第二天入院病人的等候时间达到最大时，未入院病人的等候时间达到最小。从动态角度考虑，在足够长的时间内，这可以缩短所有病人的平均入院等待时间。此过程中，我们把术前准备时间这一条件纳入权重矩阵中进行考虑，使用优化模型来建模最为合适。

1、 决策变量

选择决策变量就是选择等候队伍中哪些病人参与重新安排住院顺序。该模型中选择全部病人进入重新排序范畴，设此时等候队列有L个病人，L个0-1决策变量如下：

1第i号病人第二天入院xi0第i号病人第二天不入院

12

i1,…,L

2、 目标函数

在一周内的第j天的时候，我们从L名等候病人中选取第(j+1)天的入院人员，使得被选择病人在等候队列中的总等待时间最大，表达式如下：

7Lmax其中，

i：L个病人的编号；

j1i1jdk(i),jwtixi

j：一周中的第j天；

j1当天为一周中的第j天 ：用来标示星期几的系数变量；

0otherwise12第i个病人外伤 第i个病人视网膜疾病k(i)3 第i个病人白内障(双眼) ：标示第i个病人的病情分类； 4 第i个病人白内障(单眼)5 第i个病人青光眼Ddk(i),j是一个加权系数矩阵，反映了每一天内各种疾病入选的相对优先级；

57wti 为第i个病人到该天已经等待的天数；

3、 约束条件

（1） 第二天入院的人数不能超过第二天拟出院的人数N，否则病床不足，即

Lxi1iN

其中，N表示第二天拟出院人数，是一个已知常量。

（2） 若病人（非外伤类）已经等待的天数超过容忍MAXwt，则提高该病人的优

先级，使其优先入院。具体方法如下：

在下文可以知道我们把大小定为100，与d1,j为周j这天外伤类病人的优先级系数，

其取均值可以大大提高该病人的优先级系数，使该病人成为除去外伤病人外优先级最高的病人）表达式为：

dk(i),j1(dk(i),jd1,j)2ifwtiMAXwt,k(i)2,3,4,5

其中，MAXwt标示病人最大可以容忍的等待天数，由模型准备部分知，原有模型

13

中，病人平均等候12天，新体系下若有调整，应根据手术时间的要求而定，故放宽一个周期，取MAXwt19是合理的。

综上所述，约束条件可写为

LxiNi11d(dk(i),jd1,j)ifwtiMAXwt,k(i)2,3,4,5k(i),j 2x0,1i1,2,...,Li

4、 相对优先级矩阵D的确立

系数矩阵D的设计是问题的核心。 （1）当天入住的重要性分析

因为每周各天的差异性和各种病手术准备时间的假设，我们对每种病人（除去外伤病人）进行一周内各天的重要性分析。为刻画某种病人在某天入住的重要性，不妨考虑错过此次入住的损失程度，即考虑在医院规定下，某种病人在当天错过入住所要等待的最短天数。以此作为衡量指标，得到表11：

表11 最短等待天数 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 视网膜疾病 白内障双眼 白内障单眼 青光眼 1 -1 1 1 1 -1 4 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 6 1 1 其中，-1表示病人当天入住会浪费资源，不应当允许其入住。

对上述矩阵按行进行归一化处理，可初步得具体权值矩阵D的第二行到第五行，详见表12：

表12 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 1/7 -1/2 1 1/7 1/7 -1/2 -1/4 1/7 1/7 -1/2 -1/4 1/7 1/7 -1/2 -1/4 1/7 1/7 1/2 1/4 1/7 1/7 3 1/4 1/7 视网膜疾病 1/7 白内障双眼 -1/2 白内障单眼 1/4 青光眼 1/7 14

（2）单双眼白内障病人比例对优先级矩阵D的影响

白内障双眼病人和白内障单眼病人所占比例分别为60%、40%，由于按照规则，白内障双眼病人只有周六、周日两天时间适合入院，白内障双眼病人只有周一、周二、周六、周日四天时间适合入院。

1x，周日的实际优先权值213x，白内障单眼病人周一、周二、周六、周日的优先值分别为d4,1y，d4,2y，

411y，d4,7y，则我们得到方程 44设白内障双眼病人在周六的实际优先级权值d3,6d3,7d4,61x3x2111yyyy60%44440%，

解得x3。因白内障双眼病人与白内障单眼病人的优先级为66%与33%，基本符合

y460%与40%的比例，所以可以不做调整。

（3）外伤病人的绝对优先级

我们要保证外伤病人在一周的每天都有绝对优先级，所以可将d1,j (j=1,2,…,7)都设置为100。

综上，所得到加权系数矩阵为

1001/7D121/41/71001001001001001001/71/71/71/71/71/7111113 22222111111444441/71/71/71/71/71/7观察系数矩阵的每一列，我们可以得到一个初步的优先级原则，此原则可以为后述的数值计算提供排列依据。

 周一：外伤病人>白内障单眼病人>普通病人（视网膜、青光眼）>白内障双眼病人

 周二：外伤病人>白内障单眼病人>普通病人（视网膜、青光眼）>白内障双眼病人，若有队列中的白内障单眼病人周一没入院，则尽可能周二开始入院  周三：外伤病人>普通病人（视网膜、青光眼）>白内障病人  周四：外伤病人>普通病人（视网膜、青光眼）>白内障病人

15

 周五：外伤病人>普通病人（视网膜、青光眼）>白内障病人

 周六：外伤病人>白内障双眼病人>白内障单眼病人>普通病人（视网膜、青光眼）

 周日：外伤病人>白内障双眼病人>白内障单眼病人>普通病人（视网膜、青光眼）,若队列中的白内障双眼病人周六未入院，则尽可能周日入院，其次若还有队列中的白内障单眼病人周一没入院，则尽可能周二开始入院。

5.4 数值模拟计算 5.4.1 算法设计

1、变量说明 （1）输入变量

算法的输入变量包括病房监控矩阵BF7961,队列矩阵queue,以及当前日期data。  病房监控矩阵BF7961是一个0-1矩阵，元素bfij表示第i个病房在第j天是否有人入

住。

 队列矩阵queue按行表示病人的信息。 （2）内置参数

内置参数包括拟出院病人数count、最大等待容忍天数Thred和优先级权重矩阵

W57。

 中间变量拟出院病人数count表示第二天即将空出的床位数。

 最大等待容忍天数Thred是指病人从门诊时间开始计数，能在队列中容忍的最大天

数，由于在FCFS模型中等待天数一般为12天，新体系下若有调整，应根据手术时间的要求而定，故放宽一个周期，取19天是合理的。

 优先级权重矩阵W57为内设参数，其中元素wkl表示当病人患第k种疾病且当前日期

data为星期l时，该病人入住病房的优先程度。病人在排队时按照这一优先度排列，

优先度高者前移。这里给出一个较优的预设的W57取值：

73153777777355513111133

511155355513W5716

2、子程序流程说明：

主程序包括两个子程序Num_queue和Select_queue。 （1）Num_queue：

利用循环算法扫描BF7961的第data1列，统计为0元素个数count，流程图如图7：

图7 Num_Quene子程序流程图

（2）Select_queue：

依据病人患病种类和当前日期依次按行设定队列矩阵queue中病人的权重，其次计算队列中病人已经等待的天数d，如果大于或等于最大等待容忍天数Thred，则将该病人的优先级置为最高。设置完优先级后按照优先级对队列queue中的病人进行排序，选择前count个作为住院病人。流程图如图8所示：

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图8 Select_Quene子程序

3、主程序计算步骤

第一步

利用子程序Num_queue，输入病房监控矩阵BF7961和当前日期data，确定第二天的拟出院病人数count作为输出变量。

第二步

利用子程序Select_queue，将第二天的拟出院病人数count和队列矩阵queue作为输入

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变量，确定第二天的入院病人序号。

4、 模型输出结果

通过上述数值计算算法，编写程序。对任意给定的初始状态，我们可以模拟出后续时间段内的病人入院情况。而若以题目附表中的数据作为初始状态，我们可以比对数值计算结果与逐天应用优化模型的结果。

5.4.2 基于数值计算法的优先级分配方案

在选择入院病人时，我们现在有两种病床分配方案：原有的FCFS方案、基于数值计算方法的优先级方案。本部分中，我们将使用上述数值计算方法给出优先级病床安排方案（8月7日之后的），进而根据术后观察期的分布函数模拟出8月7日后的出、入院情况； 1、初始状态的确立

根据模型准备部分，自8月7日起，病床中病人的情况可以全部知晓，不妨以8月7日当天的状态为初始状态，8月7日至9月11日人到达情况题目附表中已经给出， 可直接应用。

图9 主程序流程图

根据假设，5种病情的术后观察天数为离散的随机变量。此问中，首先产生符合上述5个随机变量的足够长的随机数；在病人入院时，依据病情分配给其一个随机数，作为其术后观察天数，则出院的时间可以确定。

附注：先产生0,1均匀分布随机数，后根据逆函数法，得到离散随机过程的随机数。

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2、结果输出

由题知，自8月7日起，可以利用上述数值模拟方法安排等候队列中的病人入住。记录每一次安排所产生的中间数据，包括当天等候队列长度、当天出院人数、当天入院人数、急症延误情况发生次数，由此补充完整附表二、三（详见附录）。

而后，根据已建立的指标评价体系，求出8月8日—8月21日的各个指标值。如表13所示：

表13 指标 平均住院时间（天） 平均等候队列长度（人） 平局病床周转率 相对不外伤延误比例 公平度 非急症等待差异度

优先权方案 8.39 92.5 11.75% 0 0.36 需要再次说明的是，无论是优化模型还是数值计算，都是将不同时期到达的各种病人赋给了一个权重，不同点在于对于一段时期而言，优化模型需逐天多次运用，而数值计算可以利用计算机的实现这个循环过程。在实际应用中，采用数值计算方法更加实用。

5.5 两种分配方案在指标体系下的比较

采用所设计的评价指标系统，来评价两种方案（原有的FCFS方案、基于数值计算方法的优先级方案）的优劣，评价结果见表14，及图10所示。

表14 指标 平均住院时间（天） 平均等候队列长度（人） 平局病床周转率 相对不外伤延误比例 公平度 非急症等待差异度 FCFS方案 8.92 94.357 10.76% 0 0.0818 优先权方案 8.39 92.5 11.75% 0 0.36 20

两种方案的队长对比1201008060402007月25日7月31日8月6日8月12日8月18日8月24日8月30日9月5日9月11日FCFS优先级

图10

5.6 结果分析与评价：

①优先级方案的前三个指标都优于原有方案，但程度有所差异。对于“相对不公平程度”，这一指标，优先级方案的结果劣于FCFS方案的结果。这是因为该指标仅从相对公平的角度衡量非外伤病人的等待入院时间的差异，并没有从整个住院系统的总效率考虑。因此，尽管在这一指标方面，优先级方案劣于FCFS方案，也不能说明总优先级方案未能提高系统的工作效率。

②总体上，优先级方案对排队队长的缩短效用不大，仅将平均住院时间节省了0.53天。究其原因，是因为病床始终处于满载状态，在一段足够长时间内，住院时间和排队队长是一个常数，由系统服务能力所决定，难以优化。

③通过优先级模型的优化选择，病床周转率提高了一个百分点，效果良好！

§6 第三问入住时间的预测模型与求解

在病人确诊后，根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，告知病致入住时间区间，即告知等候时间。此问中，我们以历史数据为依据，利用统计方法得出各类各天入院病人的等候时间区间，并且通过第二问的数值计算方法检验预测的准确性。

6.1 预测方法

通过数据分析可知病人的等候时间有周期性，周期为7天，并且不同病情的病人的等候时间也服从不同分布。因而，在进行统计分析的过程中，我们按照周一到周日对五

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类病人进行分类，共得35类样本。然后分别对35类的病人的等候时间样本进行统计分析，获得其置信区间。

首先，35种病人各自的等待时间i服从某个随机分布。由于模型假设的，分布函数未知，我们只能由样本的频数得到一个经验分布函数：

n1,tt1nn1n2,ttt12Pt nn1n2nl,ttln其中，n1n2nln，ni为住院时间在ti1,ti区间内的某类病人数，一般来说，

取此时间区间长度为1。

考虑到样本众数具有不受异常点干扰的特性，取其众数y为预计的等待天数。利用所求的经验分布函数，以95%的置信度预测置信区间，即

Pysup2.5% Pysdown2.5%因而得到预计等待时间y和所在置信区间ysdown,ysup。

图11

以每周一确诊的青光眼病人为例，说明上述方法。根据题目给出的的表一、表二整

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理样本数据，可知每周一确诊的青光眼病人的等待天数的众数为y11天。又由经验分布函数知，ysdown(116)天，ysup(116)天，故等待天数的置信区间为。 6116,11使用类同的方法，由样本数据可以算出35种病人的等候时间（天数）的95%置信区间估计。预测结果见表15所示。

分析数据发现白内障单眼和双眼患者的置信区间比较大，难以给出准确的住院时间估计。这是因为在加入优先级规则调整后，白内障患者入院安排调整比较大，所以不容易给出入院时间估计。

表15 外伤 视网膜疾病 白内障(双眼) 白内障 青光眼 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 10,10 143,143 137,137 10,10 164,164 127,127 10,112 43,49 116,116 123,123 10,10 144,144 117,117 10,10 144,144 107,107 10,10 143,143 167,167 10,10 134,134 157,157 32,311 21,214 10,114 10,113 124,124 144,144 143,143 134,134 10,10 125,125 147,147 1312,1312 126,126

6.2 数值方法检验区间置信度

1、算法描述

第一步，该算法采用数值模拟生成病人序列方法。利用Matlab随机数发生器函数rand(1)生成0,1随机数，然后采用逆函数法生成第i列足够长的参数为i指数分布随机数（表示质点间的到达时间间隔），累加即为各个质点的到达时间，在同一时间轴上叠加所有到达时间，得到一列随机生成的病人到达的序列。

第二步，将模拟发生器生成的病人抵达随机序列作为初始条件依次导入队列矩阵

queue中，利用5.4 的算法进行循环处理，可以得到一个拟入院时间样本。

23

2、计算结果

利用题目附表一至三所给出的数据，输入问题二的数值计算程序，可以补充完整附表二、三，附表三即为对入院日期的预测。

受篇幅，仅列出题目附表三的前30位病人的预计入院时间、手术时间、出院时间，已完成的附表二、三请见附录。

表16 到达 日期 预计入院日期 第一次 手术 第二次 手术 出院 日期 置信 区间 落入 置信 区间？ 是 是 是 是 是 是 是 是 是 是 是 是 是 是 是 是 是 是 是 是 是 是 是 是 是 病情 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 白内障(双眼) 视网膜疾病 青光眼 视网膜疾病 视网膜疾病 白内障(双眼) 白内障 青光眼 白内障(双眼) 视网膜疾病 视网膜疾病 视网膜疾病 青光眼 白内障 视网膜疾病 视网膜疾病 青光眼 白内障(双眼) 白内障(双眼) 白内障(双眼) 视网膜疾病 白内障 视网膜疾病 视网膜疾病 白内障 8月30日 9月12日 9月15日 9月17日 9月20日 11--13 8月30日 9月12日 9月14日 8月30日 9月12日 9月14日 8月30日 9月12日 9月14日 8月30日 9月12日 9月14日 \\ \\ \\ \\ 9月23日 11--13 9月21日 11--13 9月22日 11--13 9月26日 11--13 8月30日 9月12日 9月15日 9月17日 9月20日 11--13 8月31日 9月12日 9月15日 8月31日 9月12日 9月14日 \\ \\ 9月17日 11--13 9月26日 11--13 8月31日 9月13日 9月15日 9月17日 9月20日 12--14 8月31日 9月13日 9月16日 8月31日 9月13日 9月16日 8月31日 9月13日 9月16日 8月31日 9月13日 9月16日 8月31日 9月13日 9月15日 9月1日 9月13日 9月16日 9月1日 9月13日 9月16日 9月1日 9月13日 9月16日 \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ 9月27日 12--14 9月23日 12--14 9月23日 12--14 9月25日 12--14 9月18日 12--14 9月29日 12--14 9月23日 12--14 9月24日 12--14 9月1日 9月13日 9月15日 9月17日 9月20日 12--14 9月1日 9月13日 9月15日 9月17日 9月21日 12--14 9月1日 9月13日 9月15日 9月17日 9月19日 12--14 9月1日 9月13日 9月16日 9月1日 9月13日 9月15日 9月1日 9月13日 9月16日 9月1日 9月13日 9月16日 9月2日 9月13日 9月15日 24

\\ \\ \\ \\ \\ 9月25日 12--14 9月18日 12--14 9月25日 12--14 9月27日 12--14 9月18日 12--14 26 27 28 29 30 白内障 白内障(双眼) 白内障 视网膜疾病 视网膜疾病 9月2日 9月14日 9月15日 \\ 9月19日 13--15 是 是 是 是 是 9月2日 9月14日 9月15日 9月17日 9月20日 13--15 9月2日 9月14日 9月15日 9月2日 9月14日 9月16日 9月3日 9月14日 9月16日 \\ \\ \\ 9月18日 13--15 9月27日 13--15 9月27日 13--15

§7 第四问的模型与求解

7.1 模型建立

针对题目要求，双休日不作手术，相应模型的目标函数同问题二的模型。只需修正约束条件即可。

模型的建立过程同问题二： 1、 决策变量

选择决策变量就是选择等候队伍中哪些病人参与重新安排住院顺序。该模型中选择全部病人进入重新排序范畴，设此时等候队列有L个病人，L个0-1决策变量如下：

xi1第i号病人第二天入院0第i号病人第二天不入院

i1,…,L

2、 模型建立

在一周内的第j天的时候，类似于问题2的求解，我们仍从L名等候病人中选取 第(j+1)天的入院人员，使得被选择病人在等候队列中的总等待时间最大，模型如下：

7Lmaxjdk(i),jwtixij1i1s..tLxNii1 1d(dd1,j)wtiMAXwt,k(i)2,3,4,5k(i),j2k(i),ji1,2,...,Lxi0,1其中，各个标识的含义同第二问中的优化模型。

25

3、 相对优先级矩阵D的确立

系数矩阵D的设计是问题的核心。 （1）当天入住的重要性分析

因为添加了周六、周日不能手术的，优先级矩阵D不再与问题二的D相同，仍以某种病人在当天错过入住所要等待的最短天数作为衡量指标，得到表17：

表17 最短等待天数 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 视网膜疾病 白内障双眼 白内障单眼 青光眼 1 -1 1 1 1 -1 4 1 3 -1 -1 3 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 6 1 1 其中-1表示病人当天入住会浪费资源。

对上述矩阵按行进行归一化处理，可初步得具体权值矩阵D的第二行到第五行，如表18所示。

表18 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 1/5 -1/2 1 1/5 3/5 -1/2 -1/4 3/5 -1/5 -1/2 -1/4 -1/5 -1/5 -1/2 -1/4 -1/5 1/5 1/2 1/4 1/5 1/5 3 1/4 1/5 视网膜疾病 1/5 白内障双眼 -1/2 白内障单眼 1/4 青光眼

1/5 （2）单双眼白内障病人比例对优先级矩阵D的影响 同原有优化模型一致，不做赘述。请参见5.3。 （3）外伤病人的绝对优先级

我们还要保证外伤病人在一周的每天都有绝对优先级，所以可仍将d1,j (j=1,2,…,7)都设置为100。

综上，所得到加权系数矩阵为

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1001/5D121/41/510010010010010010011/51/51/53/5155111113 222221111114444411/51/51/53/5155

7.2 手术时间的调整方案设计

1、“周一、周三手术方案”的缺陷

观察系数矩阵D的每一列，我们可以看到在周一、周二、周三、周六、周日仍符合与原有优化模型一致的优先级原则。但是，周四、周五对除去外伤病人外的各种病人都不适合入院（优先级矩阵D对应系数均为负值，而在上文和求目标函数值最大的情况下，都不会被选入院），这反映了在周六周日不能手术的下手术安排时间亟待调整。

2、 手术时间安排方案的调整

考虑到的白内障（双眼）手术的特殊性，我们仍保留选择两天作为白内障手术专用时间的规则。除去周六、周日不能安排手术，有C52种可能的手术时间安排方案，通过统计除外伤病人其他各种病人在一周内可选择入院的加权平均天数作为衡量指标，平均天数越大，手术时间安排方案越具有优越性。

至于权值的确定，不妨认为平均到达率越高权值越大，用各种病人的平均到达率的归一化值作为权值。

以周二、周四做白内障手术为例，考察一周各天的入院优先级表（即优化模型中的权重矩阵D），周二、周四这一组合的加权平均可选天数为4.43天，如下表所列：

表19 每周可选 最短等待天数 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 入院天数 权数 加权平均可选天数 视网膜疾病 白内障双眼 白内障单眼 青光眼 1 6 1 1 1 -1 1 1 2 -1 4 2 -1 -1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 1 1 1 6 2 4 6 0.1351 0.2857 0.2149 0.32 4.43 其中，-1表示该天不能入院，入院会浪费资源，正值表示可以入院。

27

通过枚举法列出所有情况，如表20所示：

表20 周一 周二 周三 白内障手术时间 周三 周四 周五 加权平均可选天数 3.93 4.43 3.93

3 结论：

选周二、周四为白内障手术时间，是最合理的手术时间安排方案，除外伤病人其他各种病人在一周内可选择手术的天数和为4.43天。

§8 第五问病床比例模型

8.1模型建立

1、模型选择

我们采用排队论模型来解决常病床比例的优化问题。由于现在病床分开使用，每类病床都成相互，可以成为一个排队系统的服务台组，符合排队论的假设和要求。而在问题1到问题4，每类病床被混用而不能做到分类使用，顾不宜采用排队论模型来解决问题1到问题4。然而，在常病床比例模型，将队伍按病床分类后，每个子队伍内的成员的无优先级的划分。

经过统计历史数据，我们发现如果将这五种病人分为三类，各类的住院人数比较平稳（对比如图12-13）。平稳的比例值可作为规划问题求解时的初始值使用。

病床种类分布情况70605040302010010日13日16日19日22日25日8月8月8月8月8月8月8月8月28日7日外伤白内障（合）视网膜+青光眼

图12

28

病床种类分布情况40353025201510508月7日8月10日8月13日8月16日8月19日8月22日8月25日8月28日外伤视网膜双眼单眼青光眼

图13

2、目标函数

我们若将79个病床分为三组，分别为外伤病人、白内障病人、普通病人（视网膜疾病与青光眼病人），第i组病人占用Ci个服务台，即建立三个平行的排队论系统：

M/M/C1/【1】

、M/M/C2/、M/M/C3/系统。随后可分别计算每个系统内病

3人的平均逗留时间W1、W2、W3，最后以所有病人在系统的平均逗留时间WiWi为

i1规划目标函数，通过解非线性规划来确定变量C1、C2、C3，使得W最小。目标函数表达式为：

mini1其中：WiLqi, i1,2,3.

iiLqiW

iii13iipi0ici!1ici2ci, i1,2,3.

cici1nii，i1,2,3. pi0ncin0in!ci!i1i1i为第i大类病人所占比例，i1,2,3 作为权值来计算系统内平均逗留时间。

 下面详细叙述Wi的表达式。以为白内障为例，考虑M/M/C2/系统。

白内障病人到达时C2个病床（服务台）若有空闲的病床便立刻接受服务，若没有

29

空闲的病床，则排队等待，等到有空闲的病床时再接受服务。假设病人以简单流到达，参数为，病床相互，服务时间都服从参数为的负指数分布，当系统中病人（在该系统只有白内障病人）人数nC2时，这些病人都在接受服务服务时间都服从参数为

的负指数分布，此时病人输出是参数为n的最简单流；若nC2，则只有C2个病人正在接受服务，其余在排队，病人输出服从参数为C2的最简单流。

用N(t)表示时刻t排队系统内病人的数量，可证明{N(T);t0}是一个生灭过程，

n参数为nnC2n0,1,2,...n1,2,...,C2 。

nC21,...又由正灭过程定义，得

pnn1n2n1n21n()p0n0,1,2,,C210n! p0nC2,C21,01n()p0CnC2C!22令,c，我们称c为该M/M/C2/系统的负载强度，若c1，可得 C2p0[n0C21nC2C2]1 n!C2!(C2)故平均逗留的顾客人数为 Lnpnn0cpc 2(1c)2平均逗留时间为

WLpc2C2(1c)21

综上所述，目标函数中Wi的表达式为

Wii1Lqiii, 其中：Lqiiipi0ici!1ici2ci,

30

cici1nii，i1,2,3. pi0ncin0in!ci!i1i13、约束条件

（1）病床个数为整数和总病床数相加为79。

（2）根据M/M/C/系统的平稳性要求，服务台（病床）数目应受到达病人强度和单位时间内被服务病人数的，即Ci综上，约束条件可写为：

i。 i3Ci79i1Ci为正整数，i1,2,3 Ci,i1,2,3ii8.2 模型求解

首先由表一统计得出外伤病人、白内障病人、其他病人每天的平均到达率和单位时间内被服务的个数1、、、、2312、3

由于模型数据量较小，只需由枚举法，枚举有限次即可得到床位最优分配值：分别为外伤病人、白内障病人、其他病人三类病人占用病床的比例为8：24：47，总系统的平均最短逗留时间113.7948天。

表21 I 1外伤 2白内障 3其他眼科疾病 i i 人数比例 床位数  结果分析

1.07 3. 3.88 0.0835 0.4011 47 0.1421 0.1683 0.17 0.4441 8 24 31

①平均逗留天数值为113.7948天很大，这是因为79张病床资源太紧张，三个系统的服务负载强度都趋于1，在服务负载强度c1时会导致服务队长越来越长，病人在医院的平均逗留时间继续变大，而由公式计算得到的平均逗留时间是依据相当长的一段时间来取的平均值，所以求得结果值比较大。这意味着，在现有状况下，如此经过一段时间，队伍势必会增长。

②在满足系统平稳条件要求的情况下，我们通过计算得到C18,C224,C347,在这种情况下只有C18,C224,C347这一组解满足C1C2C379。

8.3 其他方案

我们再考虑到若将所有病人分为4类、5类的情况，得到方案二、方案三、方案四：

表22 平稳条件下要求 方案 分类总数 方案一 方案二 方案三 方案四 3 4 4 5 具体种类 的病床数底线 外伤、白内障、其他 外伤、白内障、视网膜疾病、青光眼 外伤、白内障（单）、白内障（双）、其他 外伤、白内障（单）、白内障（双）、视网膜疾病、青光眼 79 80 84 81 若使用M/M/C/排队模型求解，则在病床数目为79时采用方案一，床位数为80时采用方案二„„以此类推，在床位数增多时，我们可以选用不同方案使得系统的等待时间最短。 各方案在79到90个床位系统内病人最短平均逗留时间350天300天250天200天150天100天50天0天79808182838485868780方案一方案二方案三方案四

图14

32

各方案在90到150个床位系统内病人最短平均逗留时间15天14天13天12天11天10天9天8天方案一方案二方案三方案四909498102106110114118122126130134138142146150

图15

通过上图，当看到病床数介于79到96张时，选择方案一可以保证医院内所有病人的最短平均逗留时间相对其他方案较优；当病床数超过96张时，我们选择方案四可以保证医院内所有病人的最短平均逗留时间相对其他方案较优。

79-150张病床下系统内病人最短平均逗留时间、应选择的最优方案和相应病床分配比例请见附录三，下面只截取附录三部分表格：

表23 病床数 79 80 81 82 83 96 97 98 99 100 系统内病人最短平均逗留时间/天 选择方案 方案一 方案二 方案三 方案四 113.7948 34.9792 26.7309 20.22 14.333 8.9361 8.8 8.8677 8.8429 8.8215 最优比例 外伤:白内障:其他 8:24:47 8:24:48 8:25:48 8:25:49 9:25:49 11:30:55 方案一 方案一 方案一 方案一 方案一 方案一 方案四 503.5939 237.0843 292.8174 35.1326 47.9167 28.678 33.5009 9.4324 10.4343 8.9761 9.3502 9.2708 9.2 9.1483 10.2012 10.08 9.9344 9.8242 8.8508 8.7496 8.6629 8.59 外伤:白内障单:双:视网膜:青光眼 10:12:23:17:35 10:12:24:17:35 方案四 10:12:24:17:36 方案四 11:12:24:17:36 方案四

8.4 模型检验

以保证“医院内各排队系统的负载强度趋于均衡”为目标，我们可以对病床分配比例模型进行检验。借此说明病床在79至100张病床见，只要采取相应方案，都可以使分配最优并提高资源利用率。使用负载强度的标准差来体现负载强度的均衡程度。

下面以90张病床和第97张病床为例进行验算，结果见表24-25：

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表24 90张病床 分得床数 外伤 10 1.07 白内障 其他 27 3. 53 3.88 标准差 / / / i i 0.1421 0.1683 0.0835 负载强度c 0.7530 0.8561 0.8767 0.0663 表25 97病床 分得床数 外伤 10 1.07 0.14384 白内障单眼 白内障双眼 视网膜疾病 青光眼 标准差 12 1.67 0.19268 0.7223 23 2.22 0.11626 0.8302 17 1.05 35 2.83 / / / i i 0.078813 0.095023 0.7837 负载强度c 0.7439

0.8509 0.08 上例标准差较小（在0.1内），附录3列出了从79到150张病床我们的最优分配方案的各系统负载强度标准差，值均小于0.1，可见在我们的分配比例下各排队系统的负载能力比较均衡，证明了该分配方法比较公平合理。

§9 模型稳定性分析

9.1 病床总数目改变对每天等候队长的影响

改变现有模型中病床数目这一参数，分别取病床数目为71—，使用第二问中的数值计算方法，分别计算自8月7日至9月11日的每天的等候队列长度，以病床数为X轴，日期为Y轴，每天的等候队列长度为Z轴，绘图如图16-17所示：

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图16

图17

从图中，我们不难得出下列信息：

1、 随着病床数量的增多，队列的长度成递减趋势。在病床数小于75时，队列长度有随时间增长的趋势。

2、 随着病床数的增多，平均等候队长呈递减趋势。如图18所示：

35

平均队长随病床数的变化140人120人100人80人60人40人20人0人717273747576777879808182838485868788

图18

9.2病床总数的变化对各种病人病床比例分配的影响

在床位位总数从79向上浮动时，每种病人单位天数平均到达人数和每种病人的平均服务时间是统计上不会发生变化的，所以有必要讨论一下病床总数的变化对各种病人病床比例分配的影响。

分别取病床数目为79—139，计算各种病人病床比例分配，以病床数为X轴，各种病人病床比例分配为Y轴，绘图结果见图19。

方案一下各种病人分得的床位数与床位总数的关系8070605040302010079849499104109114119124129134139外伤白内障其他

图19

从图中，我们不难得出下列信息：在一定的范围内，随着病床数量的增多，外伤

病人、白内障病人、其他病人的床位数随着病床数的增多而平稳逐步增加，稳定性显著。

36

9.3病床总数的变化对总系统内病人的最短平均逗留时间的影响

分别取病床数目为79—139，计算总系统内病人的最短平均逗留时间，以病床数为X轴，最优病床安排方案对应的最优值即最短平均逗留时间为Y轴，绘图如下：

方案一下系统内病人最短平均逗留时间随病床数增加的变化120天110天100天90天80天70天60天50天40天30天20天10天0天798387919599103107111115119123127131135139

图20

从图中，我们可以看到：在总病床数为79张时，资源紧张，病人最短平均逗留时间最短也需113.8天，在较小范围内随着病床数的增加系统最短平均逗留时间剧减，可见这是由于资源造成的不合理。在病床数增加到88张时，系统最短平均逗留时间可以控制在10天内（9.9天），而随着病床数的增加，总系统内病人的最短平均逗留时间不随病床总数的增加而小幅度减小（增加到108张时几乎不再变化，最短平均逗留时间维持在8.7天），最优病床比例分配方案的微调可以保证该指标意义下的稳定性。

§10 模型评价

10.1 模型的优点

1、数据信息的挖掘较为到位。从原始数据表整理出了给定数据对应日期下的当天到达人数、当天入院人数、当天出院人数、当天等候队长、每个人的术前准备时间、术后恢复时间和出院时间等有较大价值的数据。

2、在进行病房安排时，给出了算法与程序，使用数值计算方法进行了模拟验算，具有较强的应用前景。且计算机模拟方法较好的给出了预测值，并可以给出了计算机仿真模拟结果。

37

10.2 模型的改进方向

1、综合指标体系

在问题一的解决过程中，我们提出了包括平均住院时间T、平均等候队列长度len、平均病床周转率r、外伤延误比例wr四个指标在内的住院安排方案评价体系。未来在对问题做进一步研究时可以选择一个综合指标，对方案进行评价。例如构造一个效用函数UU(T,len,r,wr)，综合各个指标，或使用层次分析法为各个指标确定权重。 2、医生手术量

在模型建立和求解过程中，我们假设医院一天所做的手术量没有。这一假设是基于用病床床位来单位时间手术量的思想。考虑到医院医生数目、工作量、经验等因素的，未来在对问题做进一步研究时可以考虑加上医院一天最大手术量的条件。

3、排队论模型改进

在第五问的模型求解过程中，我们假设出院人数服从负指数分布并利用排队论中

M/M/C/模型进行了求解。但由于种种条件的，我们无法对这一假设做出检验。

在未来的问题分析中，我们可以考虑将出院人数假设去除，认为其服从一般分布，并利用M/G/C/模型【3】进行模型分析求解。

参考文献

[1] 在筠，运筹学，北京：高等教育出版社，2007。 [2] 李裕奇，随机过程，北京：国防工业出版社，2008。 [3]钱颂迪，运筹学，北京：清华大学出版社，1990。

[4] 赵静，但 琦 数学建模与数学实验（第2版）北京：高等教育出版社，2008。

38

附录

1、题目附表二：

编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 患病种类 视网膜疾病 视网膜疾病 白内障(双眼) 青光眼 视网膜疾病 视网膜疾病 白内障(双眼) 视网膜疾病 视网膜疾病 白内障(双眼) 白内障(双眼) 视网膜疾病 白内障 视网膜疾病 视网膜疾病 视网膜疾病 视网膜疾病 视网膜疾病 白内障(双眼) 视网膜疾病 白内障(双眼) 白内障(双眼) 视网膜疾病 青光眼 青光眼 白内障(双眼) 视网膜疾病 白内障(双眼) 白内障(双眼) 青光眼 视网膜疾病 白内障(双眼) 视网膜疾病 视网膜疾病 白内障(双眼) 到达入院第一次手第二次手出院日期 日期 术时间 术时间 时间 815 829 831 0 913 816 829 831 0 913 819 91 98 910 913 819 91 94 0 912 819 91 94 0 914 819 91 94 0 912 819 91 98 910 913 819 92 94 0 915 819 93 95 0 917 819 93 98 910 913 819 93 98 910 912 819 93 95 0 917 819 94 98 0 912 819 94 96 0 916 820 94 96 0 913 820 94 96 0 913 820 94 96 0 916 820 94 96 0 914 820 94 98 910 913 821 95 97 0 915 822 95 98 910 912 822 95 98 910 913 822 95 97 0 914 823 95 97 0 919 823 95 97 0 915 823 95 98 910 912 823 96 99 0 920 823 96 98 910 913 823 96 98 910 914 824 96 99 0 916 824 96 99 0 920 824 96 98 910 914 824 96 99 0 917 824 96 99 0 918 824 96 98 910 913 39

36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 55 56 57 58 59 60 61 62 63 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 青光眼 视网膜疾病 视网膜疾病 青光眼 白内障(双眼) 白内障(双眼) 视网膜疾病 白内障 白内障(双眼) 视网膜疾病 视网膜疾病 视网膜疾病 白内障 视网膜疾病 白内障(双眼) 视网膜疾病 白内障 白内障(双眼) 视网膜疾病 视网膜疾病 视网膜疾病 白内障(双眼) 白内障(双眼) 青光眼 青光眼 视网膜疾病 青光眼 白内障(双眼) 视网膜疾病 白内障 白内障(双眼) 白内障 白内障(双眼) 视网膜疾病 白内障 视网膜疾病 外伤 外伤 外伤 外伤 外伤 外伤 外伤 824 825 825 825 825 825 826 826 826 826 827 827 827 827 827 828 828 828 828 828 828 828 828 828 829 829 829 829 829 829 829 829 829 830 830 830 94 95 95 95 96 98 99 96 96 96 96 96 97 97 97 97 97 98 98 98 98 99 99 99 910 910 910 910 910 910 99 910 910 910 910 910 911 911 911 911 911 911 911 95 96 96 96 97 99 910 40

99 99 99 99 98 98 99 98 98 99 911 911 910 911 915 911 910 915 912 912 912 915 915 911 912 912 912 915 912 915 915 915 915 913 915 913 96 97 97 97 98 910 911 0 0 0 0 910 910 0 0 910 0 0 0 0 0 917 0 0 917 0 0 0 917 917 0 0 0 0 917 0 0 917 0 917 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 916 916 918 916 913 913 917 912 913 919 920 921 913 921 920 926 913 921 921 926 923 920 919 918 921 922 921 919 919 917 920 918 920 920 917 928 912 917 914 915 913 914 915 79 外伤 99 910 911 0 916 图注释：“入院日期”这栏的0表示未能获得入院的床位，“第二次手术时间”这栏的0表示未进行第二次手术；在“到达日期”、“入院日期”、“第一次手术时间”、“第二次手术时间”、“出院时间”中的二位数或三位数表示2008年的（月日）日期。

2、题目附表三：

编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 患病种类 白内障(双眼) 视网膜疾病 青光眼 视网膜疾病 视网膜疾病 白内障(双眼) 白内障 青光眼 白内障(双眼) 视网膜疾病 视网膜疾病 视网膜疾病 青光眼 白内障 视网膜疾病 视网膜疾病 青光眼 白内障(双眼) 白内障(双眼) 白内障(双眼) 视网膜疾病 白内障 视网膜疾病 视网膜疾病 白内障 白内障 白内障(双眼) 白内障 视网膜疾病 视网膜疾病 视网膜疾病 白内障(双眼) 到达入院第一次手第二次手出院日期 日期 术时间 术时间 时间 830 912 915 917 920 830 912 914 0 923 830 912 914 0 921 830 912 914 0 922 830 912 914 0 926 830 912 915 917 920 831 912 915 0 917 831 912 914 0 926 831 913 915 917 920 831 913 916 0 927 831 913 916 0 923 831 913 916 0 923 831 913 916 0 925 831 913 915 0 918 91 913 916 0 929 91 913 916 0 923 91 913 916 0 924 91 913 915 917 920 91 913 915 917 921 91 913 915 917 919 91 913 916 0 925 91 913 915 0 918 91 913 916 0 925 91 913 916 0 927 92 913 915 0 918 92 914 915 0 919 92 914 915 917 920 92 914 915 0 918 92 914 916 0 927 93 914 916 0 927 93 914 916 0 929 93 914 915 917 920 41

33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 55 56 57 58 59 60 61 62 63 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 白内障 视网膜疾病 白内障 视网膜疾病 视网膜疾病 白内障(双眼) 白内障 青光眼 视网膜疾病 视网膜疾病 视网膜疾病 青光眼 白内障(双眼) 白内障(双眼) 青光眼 青光眼 视网膜疾病 视网膜疾病 白内障(双眼) 白内障(双眼) 白内障(双眼) 视网膜疾病 白内障(双眼) 青光眼 白内障(双眼) 白内障 白内障(双眼) 白内障(双眼) 白内障(双眼) 视网膜疾病 青光眼 白内障(双眼) 视网膜疾病 白内障(双眼) 视网膜疾病 白内障 视网膜疾病 视网膜疾病 白内障 白内障(双眼) 白内障 视网膜疾病 白内障 93 93 93 93 93 94 94 94 94 94 94 94 94 94 94 94 94 94 95 95 95 95 95 95 95 95 95 95 96 96 96 96 97 97 97 98 98 98 98 98 98 98 98 915 915 915 915 915 916 916 916 916 916 916 916 917 917 917 917 917 917 917 918 918 918 918 918 919 919 919 919 919 919 919 919 919 920 920 920 920 920 920 920 920 920 920 42

917 918 917 918 918 922 917 918 918 918 918 918 922 922 919 919 919 919 922 922 922 920 922 920 922 922 922 922 922 921 921 922 921 922 923 922 923 923 922 922 922 923 922 0 0 0 0 0 924 0 0 0 0 0 0 924 924 0 0 0 0 924 924 924 0 924 0 924 0 924 924 924 0 0 924 0 924 0 0 0 0 0 924 0 0 0 920 101 920 927 923 927 920 925 103 928 927 926 928 926 927 925 925 929 928 927 927 928 926 927 927 925 927 927 927 103 928 927 930 927 108 925 101 101 926 927 924 102 924 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 青光眼 青光眼 视网膜疾病 白内障 白内障 视网膜疾病 白内障 白内障(双眼) 白内障 白内障 白内障(双眼) 白内障 青光眼 白内障(双眼) 视网膜疾病 视网膜疾病 青光眼 白内障(双眼) 白内障(双眼) 青光眼 白内障(双眼) 外伤 白内障(双眼) 视网膜疾病 白内障 视网膜疾病 视网膜疾病 99 99 99 99 99 910 910 910 910 910 910 910 910 910 911 911 911 911 911 911 911 911 911 911 911 911 911 921 921 921 921 921 921 921 921 921 921 921 921 921 921 921 922 922 922 923 923 924 0 924 924 924 924 925 923 923 923 922 922 923 922 922 922 922 922 922 923 922 923 925 925 929 929 925 929 0 929 926 929 926 927 0 0 0 0 0 0 0 924 0 0 924 0 0 924 0 0 0 101 101 0 101 0 101 0 0 0 0 101 927 930 924 925 105 925 926 925 925 927 925 930 926 106 1010 106 13 14 107 14 0 14 108 101 106 108 图注释：“入院日期”这栏的0表示未能获得入院的床位，“第二次手术时间”这栏的0表示未进行第二次手术；在“到达日期”、“入院日期”、“第一次手术时间”、“第二次手术时间”、“出院时间”中的二位数或三位数表示2008年的（月日）日期。

3、第五问应用排队论时各方案下的系统内病人最短平均逗留时间、应选择的最优方案、相应病床分配比例和各系统负载强度标准差： 病床数 79 80 81 82 系统内病人最短平均逗留时间 方案一 113.7948 方案二 方案三 选择方案 方案四 方案一 方案一 最优比例 外伤:白内障:其他 8:24:47 8:24:48 8:25:48 8:25:49 各系统负载强度标准差 0.0237 0.0143 0.022 0.0122 34.9792 503.5939 26.7309 237.0843 20.22 35.1326 292.8174 方案一 47.9167 方案一 43

83 84 85 86 87 88 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 14.333 12.6175 11.3794 10.7103 10.3228 9.9428 9.6248 9.45 9.2987 9.2002 9.1097 9.0352 8.9751 8.9361 8.8 8.8677 8.8429 8.8215 8.8051 8.7928 8.7811 8.7701 8.7628 8.7557 8.7507 8.7459 8.7418 8.7384 8.736 8.7337 8.7317 8.7302 8.72 8.7279 8.727 8.7262 8.7256 8.7251 8.7247 8.7244 8.7241 28.678 22.9665 18.0422 14.1303 12.925 11.8731 11.1799 10.7581 10.3888 10.09 9.8766 9.69 9.5267 9.4324 9.3502 9.2708 9.2 9.1483 9.1035 9.0724 9.0425 9.01 8.97 8.9719 8.9567 8.9419 8.931 8.9205 8.9113 8.904 8.73 8.18 8.8874 8.8833 8.8796 8.8763 8.8737 8.8717 8.8698 8.8681 8.8665 59.763 42.587 26.92 21.0933 17.1814 14.0501 13.0022 12.1166 11.4879 11.0295 10.7056 10.4343 10.2012 10.08 9.9344 9.8242 9.7448 9.667 9.6152 9.5667 9.5216 9.4904 9.4633 9.4368 9.4163 9.3986 9.3843 9.3707 9.3601 9.3509 9.3431 9.3356 9.3294 9.3251 9.3207 9.3165 9.3133 9.3104 9.308 33.5009 方案一 27.5697 方案一 22.2346 方案一 16.9861 方案一 13.3914 方案一 12.2838 方案一 11.47 方案一 10.8331 方案一 10.2553 方案一 9.8677 9.57 9.3206 9.1477 8.9761 8.8508 8.7496 8.6629 8.59 8.5249 8.4773 8.4297 8.3883 8.3597 8.3323 8.3074 8.2831 8.2667 8.2503 8.2367 8.2237 8.2137 8.204 8.1968 8.19 8.1832 8.177 8.173 8.1691 8.1653 8.1619 8.15 44

9:25:49 9:25:50 9:26:50 9:26:51 10:26:51 10:27:51 10:27:52 10:27:53 10:28:53 10:28: 11:28: 11:29: 11:29:55 11:30:55 0.0588 0.0522 0.0465 0.0382 0.0856 0.0803 0.0728 0.0663 0.0622 0.08 0.0931 0.01 0.0823 0.0802 0.08 0.0498 0.0418 0.0608 0.0599 0.0556 0.0478 0.0586 0.0596 0.0526 0.0677 0.0627 0.05 0.066 0.0661 0.0615 0.09 0.0685 0.0652 0.0733 0.0727 0.0665 0.0635 0.075 0.0694 0.0693 0.0759 方案一 方案一 方案一 方案一 方案一 外伤:白单:双:视网膜:青光方案四 眼 10:12:23:17:35 方案四 方案四 方案四 方案四 方案四 方案四 方案四 方案四 方案四 方案四 方案四 方案四 方案四 方案四 方案四 方案四 方案四 方案四 方案四 方案四 方案四 方案四 方案四 方案四 方案四 方案四 10:12:24:17:35 10:12:24:17:36 11:12:24:17:36 11:12:24:18:36 11:12:25:18:36 11:12:25:18:37 11:13:25:18:37 11:13:25:19:37 11:13:25:19:38 12:13:25:19:38 12:13:26:19:38 12:13:26:19:39 12:14:26:19:39 12:14:26:20:39 12:14:27:20:39 12:14:27:20:40 13:14:27:20:40 13:14:28:20:40 13:15:28:20:40 13:15:28:21:40 13:15:28:21:41 13:15:29:21:41 14:15:29:21:41 14:15:29:21:42 14:15:29:22:42 14:16:29:22:42 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 8.7239 8.7237 8.7235 8.7234 8.7233 8.7232 8.7232 8.7231 8.7231 8.723 8.723 8.723 8.723 8.723 8.7229 8.7229 8.7229 8.7229 8.7229 8.7229 8.7229 8.7229 8.7229 8.7229 8.7229 8.7229 8.7229 8.8653 8.83 8.8634 8.8627 8.862 8.8614 8.861 8.8605 8.8602 8.8599 8.8597 8.8594 8.8592 8.8591 8.859 8.85 8.8588 8.8587 8.8586 8.8586 8.8586 8.8585 8.8585 8.8585 8.8584 8.8584 8.8584 9.3061 9.3043 9.3029 9.3016 9.3003 9.2995 9.2988 9.298 9.2974 9.2969 9.2965 9.2961 9.2958 9.2956 9.29 9.2952 9.295 9.2949 9.2948 9.2947 9.2946 9.2945 9.2945 9.2944 9.2944 9.2944 9.2943 8.1565 8.13 8.1526 8.151 8.1496 8.1483 8.147 8.1462 8.1453 8.1447 8.144 8.1435 8.1429 8.1425 8.1422 8.1419 8.1416 8.1414 8.1412 8.141 8.1408 8.1407 8.1406 8.1405 8.1404 8.1403 8.1403 方案四 方案四 方案四 方案四 方案四 方案四 方案四 方案四 方案四 方案四 方案四 方案四 方案四 方案四 方案四 方案四 方案四 方案四 方案四 方案四 方案四 方案四 方案四 方案四 方案四 方案四 方案四 14:16:29:22:43 14:16:30:22:43 14:16:30:23:43 15:16:30:23:43 15:16:30:23:44 15:17:30:23:44 15:17:31:23:44 15:17:31:23:45 15:17:31:24:45 16:17:31:24:45 16:17:32:24:45 16:18:32:24:45 16:18:32:24:46 16:18:32:25:46 16:18:33:25:46 16:18:33:25:47 17:18:33:25:47 17:19:33:25:47 17:19:33:26:47 17:19:34:26:47 17:19:34:26:48 17:19:34:26:49 18:19:34:26:49 18:19:35:26:49 18:20:35:26:49 18:20:35:27:49 18:20:35:27:50 0.0706 0.0672 0.0678 0.0774 0.0723 0.0784 0.0751 0.0702 0.0704 0.0792 0.0763 0.0816 0.0769 0.0771 0.0744 0.0696 0.0774 0.0823 0.0825 0.08 0.07 0.0711 0.0782 0.0759 0.0803 0.0801 0.0761

45