高考数学压轴专题(易错题)备战高考《复数》技巧及练习题

一、选择题

1．已知复数z＝A．

3i，则|z|＝( )

(13i)2B．

1 41 2C．1 D．2

【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 解：因为z=13i(3i)3i3i|z|，因此＝ 224(13i)223i2i(3i)

2．已知i是虚数单位，则A．1-2i 【答案】D 【解析】

试题分析：根据题意，由于考点：复数的运算

点评：主要是考查了复数的除法运算，属于基础题．

3i=（ ） 1iC．2+i

D．1+2i

B．2-i

3i3i1i24i12i，故可知选D. 1i1i1i2

3．欧拉公式eix＝cos x＋isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中对应的点位于( ) A．第一象限 【答案】B 【解析】 【分析】

由题意得e2icos2isin2，得到复数在复平面内对应的点(cos2,sin2)，即可作出解答. 【详解】

由题意得，e2i＝cos 2＋isin 2，

∴复数在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)．

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

∵2∈，

∴cos 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)，

∴e2i表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限， 故选B. 【点睛】

本题主要考查了复数坐标的表示，属于基础题.

4．若12i是关于x的实系数方程x2bxc0的一个复数根，则（ ） A．b2,c3 【答案】D 【解析】 【分析】

由题意，将根代入实系数方程x2+bx+c＝0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数

B．b2,c1

C．b2,c1

D．b2,c3

1bc0a，b的方程组，解方程得出a，b的值即可选出正确选项

222b0【详解】

由题意12i是关于x的实系数方程x2+bx+c＝0

∴1+22i﹣2+b2bi+c＝0，即1bc222bi0

1bc0∴，解得b＝﹣2，c＝3

222b0故选：D． 【点睛】

本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得到关于实数的方程，本题考查了转化的思想，属于基本计算题

5．已知i是虚数单位，复数z满足1iz2i，则z的虚部是（ ） A．1 【答案】A 【解析】

B．i

C．1

D．i

1iz2iz

2i2i(1i)1i，所以z的虚部是1，选A. 1i26．如图所示，在复平面内，OP对应的复数是1－i，将OP向左平移一个单位后得到

uuuvuuuvuuuuvP()O0P0，则0对应的复数为

A．1－i C．－1－i 【答案】D 【解析】 【分析】

B．1－2i D．－i

uuuvuuuvuuuuvuuuuv要求P0对应的复数，根据题意，只需知道OP，而OP，从而可求P0对应00OO0O0P0的复数 【详解】

uuuuvuuuvuuuuv因为O0P，OO0对应的复数是－1， 0OP所以P0对应的复数，

uuuv即OP对应的复数是11ii，故选D. 0【点睛】

本题考查复数的代数表示法及其几何意义，复平面内复数、向量及点的对应关系，是基础题．

7．复数z满足z(2i)36i（i为虚数单位），则复数z的虚部为（ ） A．3 【答案】D 【解析】 【分析】

首先化简复数z，然后结合复数的定义确定其虚部即可. 【详解】 由题意可得：zB．3i

C．3i

D．3

36i36i2i115i13i， 2i552i2i据此可知，复数z的虚部为3. 本题选择D选项. 【点睛】

复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．

8．已知m为实数，i为虚数单位，若mm4 i0，则A．i 【答案】A

B．1

C．- i

2m2i（ ） 22iD．1

【解析】

m0m2，故因为m(m4)i0，所以m(m4)i是实数，且{2m4022m2i2(1i)i，应选答案A． 22i2(1i)

9．已知z是复数，则“z2为纯虚数”是“z的实部和虚部相等”的（ ） A．充分必要条件 C．必要不充分条件 【答案】D 【解析】 【分析】

设zabi，z2为纯虚数得到ab0，得到答案. 【详解】

设zabi，a,bR，则zab2B．充分不必要条 D．既不充分也不必要条件

222abi，

22ab02ab0，z的实部和虚部相等ab. 为纯虚数z2ab0故选：D. 【点睛】

本题考查了既不充分也不必要条件，意在考查学生的推断能力.

10．设(1i)x1yi，其中x,y是实数，则xyi在复平面内所对应的点位于（ ）

A．第一象限 【答案】D 【解析】

B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

由1ix1yi，其中x,y是实数，得：所对应的点位于第四象限. 本题选择D选项.

x1x1,，所以xyi在复平面内

xyy1

i20203i11．若z，则z在复平面内对应点位于( )

1iA．第一象限 【答案】A 【解析】 【分析】

化简得到z2i，得到答案.

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

【详解】

i20203i13i13i1i42iz2i，对应的点在第一象限.

1i1i21i1i故选：A. 【点睛】

本题考查了复数对应象限，意在考查学生的计算能力.

12．若复数z34sinA．

 6212cosi为纯虚数，0,，则（ ）

 3C．

B．

2 3D．

2或 33【答案】B 【解析】

分析：由题意得到关于sin,cos的方程组，求解方程组结合题意即可求得三角函数值，由三角函数值即可确定角的大小.

详解：若复数z34sin12cosi为纯虚数，则：

232sin34sin04，即：， 112cos0cos223sin2，故. 结合0,，可知：3cos12本题选择B选项.

点睛：本题主要考查纯虚数的概率，三角函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

1的共轭复数是 （ ） 1i1111A．i B．i

2222【答案】A 【解析】 【分析】

13．复数

C．1i

D．1i

利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数结果. 【详解】

1，进而可得1i11i11i， 因为

1i1i1i22111的共轭复数是i，

221i故选：A. 【点睛】

所以

复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.

14．欧拉公式eixcosxisinx（i为虚数单位）是由著名数学家欧拉发明的，他将指数函数定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式，若将e2i表示的复数记为z，则z(12i)的值为（ ） A．2i 【答案】A 【解析】 【分析】

iB．2i C．2i D．2i

根据欧拉公式求出ze2cos【详解】

i2isin2i，再计算z(12i)的值.

∵ze2cos2isin2i，

∴z(12i)i(12i)2i. 故选：A. 【点睛】

此题考查复数的基本运算，关键在于根据题意求出z.

15．设zA．12i 【答案】A 【解析】 【分析】

根据复数的运算法则，求得z12i，再结合共轭复数的概念，即可求解． 【详解】

2i2i，则复数z（ ） 1iB．12i

C．2i

D．2i

由题意，可得复数z所以z12i． 故选：A． 【点睛】

2i1i2i2i2i12i， 1i1i1i本题主要考查了复数的运算，以及复数的共轭复数的概念及应用，其中解答中熟记复数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了运算能力．

16．设复数zabi（i为虚数单位，a,bR），若a,b满足关系式b2at，且z在复平面上的轨迹经过三个象限，则t的取值范围是( ) A．[0,1] 【答案】C 【解析】 【分析】

首先根据复数的几何意义得到z的轨迹方程y2t，再根据指数函数的图象，得到关于

xB．[1,1] C．(0,1)(1,) D．(1,)

t的不等式，求解.

【详解】

由复数的几何意义可知，设复数对应的复平面内的点为x,y，

xa ，即y2xt ， ayb2t因为z在复平面上的轨迹经过三个象限， 则当x0时，1t1 且1t0 ， 解得t0且t1 ，

即t的取值范围是0,1U1,. 故选：C 【点睛】

本题考查复数的几何意义，以及轨迹方程，函数图象，重点考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型.

17．复数zA．1 【答案】A 【解析】 【分析】

运用复数的除法运算法则,先计算出z的表达式,然后再计算出z. 【详解】

1i，则|z|=( ) 1iB．2

C．2 D．22 1i(1i)212ii21i=i,所以z=1. 由题意复数z得1i(1i)(1i)21i故选A 【点睛】

本题考查了运用复数的除法运算求出复数的表达式,并能求出复数的模,需要掌握其计算法则,较为基础.

18．在复平面内，复数z满足z1i12i，则z对应的点位于 （ ） A．第一象限 【答案】B 【解析】

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

12i12i1i1i2i2i213i13i，∵z1i12i，∴z21i1i2221i1i∴z13i，故对应的点在第二象限．故选B． 22

19．若复数z满足z1i2i（i为虚数单位），则z=（ ） A．1 【答案】C 【解析】

试题分析：因为z(1i)2i，所以z考点：复数的模

B．2

C．2 D． 3 2i2i(1i)1i,因此z1i2. 1i2

20．复数满足zz48i，则复数z在复平面内所对应的点在（ ） A．第一象限 【答案】B 【解析】 【分析】

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

aa2b24,即可设zabi(a,bR),则zzabiab48i,可得b822得到z,进而找到对应的点所在象限. 【详解】

设zabi(a,bR),则zzabia2b248i,

aa2b24a6,z68i, ,b8b8所以复数z在复平面内所对应的点为6,8,在第二象限. 故选:B 【点睛】

本题考查复数在复平面内对应的点所在象限,考查复数的模,考查运算能力.