2010 数列及等差数列高考题及详细答案
1. （ 2010·安徽高考文科·Ｔ
5）设数列 {
an
} 的前
n
项和 S
n
n2 ，则
a8
的值为
(
)
（A） 15 (B) 16
(C) 49
（D）64
【命题立意】 本题主要考查数列中前 【思路点拨】 直接根据 an
n 项和 Sn 与通项 an 的关系，考查考生的分析推理能力。
Sn Sn 1 (n 2) 即可得出结论。
64
49 15 . ，故 A正确。
【规范解答】 选 A， a8 S8 S7
2. （2010·福建高考理科·Ｔ 3）设等差数列
取最小值时， n 等于（ A.6
an 的前 n 项和为 S n 。若 a1
11 ， a4 a6
6 ，则当 S n
）
B.7 C.8 D.9
【命题立意】 本题考查学生对等差数列公式、求和公式的掌握程度，以及一元二次方程最值问题的求解。 【思路点拨】
an
a1 (n 1)d , Sn na1 n(n
1)
2
d 。
【规范解答】 选 A，由 a4 a6 a1 a9 11 a9 6 ，得到 a9 5 ，从而 d 2 ，所以
Sn
11n n(n
1) n2 12n ，因此当 Sn 取得最小值时， n 6 .=
3 3
3 ，又 a b ，故 A 2
B ，从
而 B
(00 ,60 0) , cos B
6 . 3
3. （ 2010·广东高考理科· Ｔ 4）已知 { an } 为等比数列， Sn 是它的前 n 项和。若 a2 a3 的等差中项为
2a1 ， 且 a4 与 2 a7
5
4
，则 S5=( )
A． 35 B.33 C.31 D.29
【命题立意】 本题考察等比数列的性质、等差数列的性质以及等比数列的前 【思路点拨】 由等比数列的性质及已知条件
n 项和公式
a2 a3 2a1 得出
a4 ，由等差数列的性质及已知条件得出
a7 ，
从而求出 及
q
a1
。
【规范解答】 选 C 由 a2 a3 2a1
a1 a4 2a1
a4 2 ，又 a4 2a7
2
5
得 a7
4
1 4
所以， q
37
aa4
1
4 1
，
2 8
q
1
， a1 2
a4 q3
2
16 ， S5 1
16[1 ()]
2
1
15
1 2
31
8
4. （ 2010·辽宁高考文科·Ｔ 14）设 Sn 为等差数列｛ an｝的前 n 项和，若 S3=3， S6 =24，则 a9=. 【命题立意】 本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前 【思路点拨】 根据等差数列前 n 项和公式，列出关于首项
1
n 项和公式
a 和公差 d 的方程组，求出
a 和 d，再求出 a9
1
【规范解答】 记首项 a
1
公差 d, 则有
3a1 3 2 d 3
2
a1
1,d 2 。
6a1 6 5 d 24
2
18215。
a9 a1 (9 1)d
【答案】 15
5. （ 2010·浙江高考理科· Ｔ 15）设 a1 , d 为实数， 首项为 a1 ，公差为 d 的等差数列 满足 S5S6 15
an 的前 n 项和为 Sn ，
0 ，则 d 的取值范围是 __________________ .
【命题立意】 本题考查数列的相关知识，考查等差数列的通项，前
n 项和公式。
【思路点拨】 利用等差数列的前
n 项和公式，列出 a1, d 的关系式，再利用一元二次方程的判别式
求 d 的范围。
【规范解答】 d≤ 即 6a1 所以
2 2 或 d≥ 2
2 。 S5S6 (5a1 10d )(6a1 15d) 15 0 ，
2
27 da1 30d 2
3 0 ，把它看成是关于 a1 的一元二次方程，因为有根，
0 ，解得 d≤ 2 2 或 d≥ 2 2 。
(27 d )2 24(30d 2 3) 0 ，即 d 2 8
2 或 d≥ 2 2
【答案】 d≤ 2
6. （ 2010·辽宁高考理科·Ｔ 16）已知数列
an 满足 a1 33,an 1 an
2n, 则 ann
的最小值为 ________.
【命题立意】 考查了数列的通项公式，考查数列数列与函数的关系 【思路点拨】 先求出 an再求出
an
n
，然后利用单调性求最小值。
【规范解答】
an
( an an 1) (an 1 an 2 ) 2n 2(n 1) n(n
1) 33 1 33
n
⋯⋯ ( a2 a1) a1
⋯⋯ 2 1 33
an n
n
函数
f ( x) x
33x
n 33 1
n
在 0,5 上单调减少，在
a
， 上单调增加。 6
n 在
n
n
当n=5时
a5
或
5 n
时最小， 6
当n=6时 6
a6
6
5 5
＝
33 ＝ 21 5 1 2
＝
所以
an
的最小值是
33 ＝ 21 6 1 2 21
。
n 2
【方法技巧】
1、形如 an an 1 2、函数 f ( x)
pn ，求 an 常用迭加法。 x
a
x
(a 0)在 ( 0， a ) 上单调减少，在（
a，
）上单调增加。
7. （ 2010·浙江高考文科·Ｔ 14）在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么，位于下表 中的第 n 行第 n+1 列的数是
。
⋯⋯
第1列
第2列 第3列
第 1 行 第 2 行 第 3 行
1 2 3 ⋯
2 4 6 ⋯
3 6 9 ⋯
⋯ ⋯ ⋯ ⋯
属中档题。
【命题立意】 本题主要考察了等差数列的概念和通项公式，
以及运用等差关系解决问题的能力，
【思路点拨】 解决本题要先观察表格，找出表中各等差数列的特点。
【规范解答】
第 n 行第一列的数为
an
n0
n 1 n0 ，又因为为第
n ，观察得，第
n 行的公差为
n ，所以第 n0 行的通项公式为
n+1 列，故可得答案为
n2
n 。
【答案】
n 2
n
8. （ 2010·湖南高考理科·Ｔ
4）若数列
an 满足：对任意的
n
N ，只有有限个正整数 m 使得 am＜ n
成立，记这样的
m 的个数为 (an ) ，则得到一个新数列
( an )
．例如，若数列
an 是 1,2,3⋯ ， n,⋯ ，
则数列 (a ) 是 0,1,2, ⋯ ， n 1,⋯ ．已知对任意的 n
n
N ， an n2 ，则 (a5 )
，
((an ) )
．
【命题立意】 以数列为依托，产生新定义考查学生的接受能力，信息迁移能力，归纳能力 【思路点拨】 罗列数列，归纳总结 . 【规范解答】 由 an
.
n2
am＜ n
得到数列是： 1,4,9,16,25, ⋯，则满足 的 m是 1 和 2，因此是 2 个 .
设
(an)*bn
=
，则
bn
是：0,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,
⋯，∴目标数列是： 1,4,9,
⋯，∴ (( a) )n 2n
.
【方法技巧】 对于新定义题，常常利用特殊代替一般对定义进行充分理解，只有在完全理解问题的基础 上才能解题 .
9. （ 2010·浙江高考文科·Ｔ 19）设 a1， d 为实数，首项为 满足 S5S6 +15=0。
a1，公差为 d 的等差数列 {a n} 的前 n 项和为 Sn，
（Ⅰ）若 S5 =5，求 S6 及 a1； （Ⅱ）求
d 的取值范围。
【命题立意】 本题主要考查等差数列概念、求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力及分析问题解决
问题的能力。
【思路点拨】 本题直接利用等差数列的通项公式和前 【规范解答】 ( Ⅰ ) 由题意知 S6=
n 项和求解即可。
-15
=-3,
S5
5a1 10d 5,
a6 =S - S =-8 。所以 a 1 5d 8.
6
5
解得 a1=7，所以 S = -3, a1=7
6
2 1
2
( Ⅱ ) 方法一：因为
S S +15=0,
5 6
所以 (5 a +10d)(6 a +15d)+15=0, 即 2a
1
1
+9da +10d
1
+1=0.
1 2 2
2
故 (4 a +9d) =d -8. 所以 d ≥8.[
方法二：因为 S S +15=0,
故 d 的取值范围为
d≤-2 2 或 d≥ 2
2 1
+9da +10d +1=0.
2 .
2
5
6
所以 (5 a +10d)(6 a +15d)+15=0, 即 2a
1
1
1
看成关于 a1 的一元二次方程，因为有根，所以
81d 2 8(10d 2 1) d2 8 0 ，
解得 d
2 2 或 d 2 2 。
一
辈子时光在匆忙中流逝，谁都无法挽留。多少人前半生忙忙碌碌，奔波追逐，后半生回望过去，难免感叹一生的碌碌无为，恨时光短暂，荒废了最好的光阴。
人过中年，不停跟时间妥协，之所以不争抢，处世淡然，完全是经过世故的淬炼，达到心智的成熟。
有朋友问我，怎样写出滋润心灵的文字？是要查字典，引用名言，还是有什么规律？我笑着回，随心随意，不为难自己。你为难自己，就要刻意去效仿，你不随心随意就要被名利世俗困扰，自然心态会有偏差，文字
也染上了俗气。
现实生活中，不乏完美主义者，终日在不食人间烟火的意境中活着，虚拟不切合实际。如此，唯有活在当下，才是真正的人生笺言。常常想，不想活在过去的人，是经历了太多的大起大落，不想被束缚在心灵蜗居里
的人，是失去的太多，一番大彻大悟后，对视的眼神定会愈发清澈，坦然笑对人生的雨雪冰霜。
对于随波逐流的人们，难免要被世俗困扰，不问过去，不畏将来又将是怎么样的一种纠葛，无从知晓。
不得不说，人是活在矛盾中的。既要简单，又难淡然，挣扎在名利世俗中，一切身不由己，又有那样的生活是我们自己想要的呢？
人前，你笑脸相迎，带着伪装的面具，不敢轻易得罪人；人后，黯然伤怀，总感叹命运的不公平，人生的不如意；常常仰望别人的幸福，而忽视了自己，却不知你与他所想要的幸福，都只得一二，十之八九只有在希
冀中追求，不是吗？
人活一辈子，心怀梦想，苍凉追梦，难能可贵的是执着向前，义无反顾，最惧怕瞻前顾后，退缩不前。一生短暂如光影交错，有几个人能放下牵绊，有几个人能不难为自己，活的精彩呢！
我们的一生，是匆忙的行走，谁的人生，不是时刻在被命运捉弄中前行。我想，我是无法和命运抗衡的，却又时刻想做真实的自己。眼下的生活是一面镜子，对照着卑微的自己，心有万千光芒，无法放弃的却总是太
多太多。
中年，人生的分水岭，不再有小女孩的浪漫情怀，撒娇卖萌，穿着也越发简单，舒适即可。年轻时可以穿紧身裙，牛仔裤，甚至小一码的高跟鞋，不惜磨破了脚板，夹痛了脚趾，依旧笑魇如花，人前卖弄。年少时，
青春做砝码，别人的一句赞美能心头飘飘然，走在马路上，陌生男子的回头率，成了青春的资本，忘乎所以。
年龄越大，对身边的一切似乎没了热情，争吵，攀比，打扮，都没了兴趣。有人说，女人要爱自己，打扮的漂漂亮亮的才行，而我却恰恰相反，正如有一天涂了口红出门，儿子吓了一跳，一句太庸俗，再昂贵品牌的
口红你都不适合，让我哑然失笑。原来，他宁愿喜欢素面朝天的妈妈，也不想要矫揉造作的中年妇女，我必须保持最初的简洁，亦或简单。
居家女人虽平庸，却总想活出真我。不喜欢的东西，学会舍弃，生活趋于安静。每天打理家务，照顾子女，空闲的时间看看书，散散步，陪婆婆去买菜，少一些功利心，多一些平常心，生活便达到了想要的简单。人过中年天过午，流逝的时间不会等我的。不想为难自己了，几十年光阴里，不停做着事与愿违的选择，极力说服自己，多替别人想想，多顾及别人的感受，却忽视了委屈的自己。
我承认，给自己负担，就是难为自己。不愿意放下，就是心态使然。其实，你大可不必为了别人改变自己，为自己活着，才是真理。从今天起，不愿意迎合的人，选择放手；卑鄙下流，虚情假意的损友，拒绝交往，
只要随心随意，什么都不是难题。要明白，他们走近你的世界，只想利用你，却从不顾及你的感受，既保持若即若离，又想无偿索求，时刻为难着你，美其名曰这是一份难得的缘
一辈子时光在匆忙中流逝，谁都无法挽留。多少人前半生忙忙碌碌，奔波追逐，后半生回望过去，难免感叹一生的碌碌无为，恨时光短暂，荒废了最好的光阴。
人过中年，不停跟时间妥协，之所以不争抢，处世淡然，完全是经过世故的淬炼，达到心智的成熟。
有朋友问我，怎样写出滋润心灵的文字？是要查字典，引用名言，还是有什么规律？我笑着回，随心随意，不为难自己。你为难自己，就要刻意去效仿，你不随心随意就要被名利世俗困扰，自然心态会有偏差，文字
也染上了俗气。
现实生活中，不乏完美主义者，终日在不食人间烟火的意境中活着，虚拟不切合实际。如此，唯有活在当下，才是真正的人生笺言。常常想，不想活在过去的人，是经历了太多的大起大落，不想被束缚在心灵蜗居里
的人，是失去的太多，一番大彻大悟后，对视的眼神定会愈发清澈，坦然笑对人生的雨雪冰霜。
对于随波逐流的人们，难免要被世俗困扰，不问过去，不畏将来又将是怎么样的一种纠葛，无从知晓。
不得不说，人是活在矛盾中的。既要简单，又难淡然，挣扎在名利世俗中，一切身不由己，又有那样的生活是我们自己想要的呢？
人前，你笑脸相迎，带着伪装的面具，不敢轻易得罪人；人后，黯然伤怀，总感叹命运的不公平，人生的不如意；常常仰望别人的幸福，而忽视了自己，却不知你与他所想要的幸福，都只得一二，十之八九只有在希
冀中追求，不是吗？
人活一辈子，心怀梦想，苍凉追梦，难能可贵的是执着向前，义无反顾，最惧怕瞻前顾后，退缩不前。一生短暂如光影交错，有几个人能放下牵绊，有几个人能不难为自己，活的精彩呢！
我们的一生，是匆忙的行走，谁的人生，不是时刻在被命运捉弄中前行。我想，我是无法和命运抗衡的，却又时刻想做真实的自己。眼下的生活是一面镜子，对照着卑微的自己，心有万千光芒，无法放弃的却总是太
多太多。
中年，人生的分水岭，不再有小女孩的浪漫情怀，撒娇卖萌，穿着也越发简单，舒适即可。年轻时可以穿紧身裙，牛仔裤，甚至小一码的高跟鞋，不惜磨破了脚板，夹痛了脚趾，依旧笑魇如花，人前卖弄。年少时，
青春做砝码，别人的一句赞美能心头飘飘然，走在马路上，陌生男子的回头率，成了青春的资本，忘乎所以。
年龄越大，对身边的一切似乎没了热情，争吵，攀比，打扮，都没了兴趣。有人说，女人要爱自己，打扮的漂漂亮亮的才行，而我却恰恰相反，正如有一天涂了口红出门，儿子吓了一跳，一句太庸俗，再昂贵品牌的
口红你都不适合，让我哑然失笑。原来，他宁愿喜欢素面朝天的妈妈，也不想要矫揉造作的中年妇女，我必须保持最初的简洁，亦或简单。
居家女人虽平庸，却总想活出真我。不喜欢的东西，学会舍弃，生活趋于安静。每天打理家务，照顾子女，空闲的时间看看书，散散步，陪婆婆去买菜，少一些功利心，多一些平常心，生活便达到了想要的简单。人过中年天过午，流逝的时间不会等我的。不想为难自己了，几十年光阴里，不停做着事与愿违的选择，极力说服自己，多替别人想想，多顾及别人的感受，却忽视了委屈的自己。
我承认，给自己负担，就是难为自己。不愿意放下，就是心态使然。其实，你大可不必为了别人改变自己，为自己活着，才是真理。从今天起，不愿意迎合的人，选择放手；卑鄙下流，虚情假意的损友，拒绝交往，
只要随心随意，什么都不是难题。要明白，他们走近你的世界，只想利用你，却从不顾及你的感受，既保持若即若离，又想无偿索求，时刻为难着你，美其名曰这是一份难得的缘
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