新人教A版选修4-4《抛物线的参数方程》习题及答案

高中数学 2.2.3抛物线的参数方程练习 新人教A版选修4-4

►预习梳理

1．抛物线y＝2x的焦点坐标为________，准线方程是________； 抛物线x＝2y的焦点坐标为________，准线方程是________． 2．曲线Cx＝2pt，

的参数方程为(t为参数，t∈R)其中

y＝2pt

2

2

2

p为正的常数．这是焦点在

______________上的抛物线参数方程．

►预习思考

抛物线y＝x的一个参数方程为____________________．, 预习梳理

11111．F0， y＝－ F0， y＝－ 82282．x轴正半轴 预习思考

x＝t，

(t为参数) y＝t

2

2

一层练习

x＝t，1．圆锥曲线(t为参数)的焦点坐标是________．

y＝2t

2

1．(1，0)

x＝t，

2．点P(1，0)到曲线(t为参数，t∈R)上的点的最短距离为( )

y＝2t

2

A．0 B．1 C.2 D．2 2.B

x＝2pt，

3．若曲线2(t为参数)上异于原点的不同两点M1、M2所对应的参数分别是t1、y＝2pt

t2，则弦M1M2所在直线的斜率是( )

A．t1＋t2 B．t1－t2 C.

11

D. t1＋t2t1－t2

3.A

4．在平面直角坐标系中，已知直线l与曲线Cx＝1＋s，

的参数方程分别为l：(s为

y＝1－s

x＝t＋2，

参数)和C：(t为参数)，若l与C相交于A、B两点，则|AB|＝________． 2

y＝t

4.2

5．连接原点O和抛物线x＝2y上的动点M，延长OM到点P，使|OM|＝|MP|，求点P的轨迹方程，并说明它是何种曲线．

5．解析：设抛物线x＝2y的参数方程为∵点M在抛物线上， ∴M的坐标为(2t，2t)．

设P的坐标为(x0，y0)，由|OM|＝|MP|知，M为OP的中点， ∴

x0＝4t，

y0＝4t.

2

2

2

2

x＝2t，y＝2t2

(t为参数)．

消去参数t，得

2

y0＝x20，即点P的轨迹方程是x＝4y，表示的曲线为抛物线．

1

4

二层练习

x＝sin θ＋cos θ，

y＝sin θcos θ6．参数方程(θ为参数)表示的曲线为( )

6．C

x＝2pt，

7．曲线(t为参数)上两点A、B所对应的参数分别为t1、t2，且

y＝2pt

2

t1＋t2＝0，

则|AB|为 ( )

A．|2p(t1－t2)| B．2p(t1－t2) C．2p(t1＋t2) D．2p(t1－t2) 7.A 8．设曲线Cx＝t，

的参数方程为2(t为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x轴的

y＝t

2

2

2

正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________．

8.ρcosθ－sin θ＝0

9．(2015·广东卷Ⅱ，数学文14)在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C2

2

x＝t的参数方程为(t为参数)，则C1与C2交点的直角坐标为________．

y＝22t9．解析：曲线C1的直角坐标方程为x＋y＝－2，曲线C2的普通方程为y＝8x，由

2

2

x＋y＝－2x＝22得：，所以C1与C2交点的直角坐标为(2，－4)． y＝8xy＝－4

答案：(2，－4)

10．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极

x＝t，坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线(t为参数)相交于3

y＝t

2

A，B两点，则|AB|＝

________．

10．16

三层练习

x＝t＋1，

11．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的

y＝2tx＝2tanθ，

参数方程为(θ为参数)，试求直线

y＝2tan θ

2

l与曲线C的普通方程，并求出它们的公

共点的坐标．

x＝t＋1，11．解析：∵直线l的参数方程为

y＝2t.

∴消去参数t后得直线的普通方程为2x－y－2＝0.① 同理得曲线C的普通方程为y＝2x.②

2

1①②联立方程组解得它们公共点的坐标为(2，2)，，－1.

2

12．已知抛物线y＝2px(p＞0)过顶点的两弦OA⊥OB，求分别以OA、OB为直径的两圆的另一交点Q的轨迹．

12．解析：设A(2pt1，2pt1)，B(2pt2，2pt2)，则以OA为直径的圆的方程为x＋y－2pt1

2

x－2pt1y＝0，以OB为直径的圆的方程为x2＋y2－2pt22x－2pt2y＝0，即t1、t2为方程2pxt2

2

2

2

2

2

＋2pty－x－y＝0的两根．

22

x2＋y2

∴t1t2＝－.又OA⊥OB，

2px∴t1t2＝－1，x＋y－2px＝0.

∴另一交点Q的轨迹是以(p，0)为圆心，p为半径的圆．

13．过抛物线y＝2px(p＞0)的顶点作两条互相垂直的弦OA、OB(如下图)．

22

2

(1)设OA的斜率为k，试用k表示点A、B的坐标； (2)求弦AB中点M的轨迹过程．

y＝kx，

13．解析：(1)由题意得2

y＝2px，

2p2p解得xA＝2，yA＝. kk1y＝－x，1k 以－代替上式中的k，可列方程组

ky2＝2px，得xB＝2pk，yB＝－2pk.

2

2p2p2

∴A2，，B(2pk，－2pk)．

kk



1x＝pk＋，k(2)设M(x，y)，则

1y＝p－k，k

2

2

消去参数k，得y＝px－2p，此即为点M轨迹的普通方程． 14．已知方程y－2x－6ysin θ－9cosθ＋8cos θ＋9＝0. (1)证明：不论θ为何值，该抛物线顶点的轨迹方程一定为椭圆；

(2)求抛物线在直线x＝14上截得的弦长的取值范围，并求弦取得最值时相应的θ值． 14．(1)证明：将原方法配方得(y－3sin θ)＝2(x－4cos θ)，曲线为抛物线，顶点

x＝4cos θ，x2

为(4cos θ，3sin θ)，设顶点为Q(x，y)，则(θ为参数)，消去θ得＋

16y＝3sin θ

2

2

2

22

y2

9

＝1，所以该抛物线顶点的轨迹为椭圆．

(2)解析：将x＝14代入已知方程，得y－6ysin θ－9cosθ＋8cos θ－19＝0，得y2

2

＝3sin θ±28－8cos θ.因为－8≤8cos θ≤8，所以20≤28－8cos θ≤36.设抛物线在直线x＝14上截得的弦长为l，则l＝|y1－y2|＝228－8cos θ，所以45≤l≤12.当cos

θ＝1时，即θ＝2kπ(k∈Z)，lmin＝45；当cos θ＝－1，即θ＝(2k＋1)π(k∈Z)时，lmax＝12.

1．已知抛物线的标准方程，可转化为参数方程，也可由参数方程转化为普通方程． 2．在利用参数方程求焦点坐标、准线方程时，应先判断抛物线的对称轴及开口方向，在方程的转化过程中要注意参数的范围限制．

3．抛物线的参数方程是一、二次函数形式，抛物线的图形分布和一、二次函数的值域相对应．

【习题2.2】

1．解析：因为2a＝15565，2b＝15443，所以a＝7782.5，b＝7721.5.所求的椭圆参数

x＝7782.5cos φ，方程为(φ为参数)．

y＝7721.5sin φ

2．证明：设M(acos φ，bsin φ)，P(xP，0)，Q(xQ，0)．因为P，Q分别为B1M，B2M与x轴的交点，所以kB1P＝kB1M，kB2Q＝kB2M.由斜率公式并计算得xP＝

acos φ，xQ＝

1＋sin φacos φ2

，所以|OP|·|OQ|＝|xP|·|xQ|＝|xP·xQ|＝a(定值)．

1－sin φax＝，222

3．证明：设等轴双曲线的普通方程为x－y＝a(a>0)，则它的参数方程为cos φy＝atan φa，atan φ是双曲线上任意一点，则点M到两渐近线y＝x及y＝

(φ为参数)，设M

cos φ

2a－atan φa＋atan φ|acos φcos φcos2 φ－atan φ|2

a

2

－x的距离之积是数)．

1＋1

22·1＋1

22＝2

＝(常2

4．证明：设点A，B的坐标分别为(2pt1，2pt1)，(2pt2，2pt2)，则点C的坐标为(2pt2，－2pt2)．直线AB的方程为y－2pt1＝线AC的方程为y－2pt1＝

12

(x－2pt1)，所以点D的坐标为(－2pt1t2，0)．直t1＋t2

222

12

(x－2pt1)，所以E的坐标为(2pt1t2，0)．因为DE的中点为t1－t2

原点O(0，0)，所以抛物线的顶点O平分线段DE.

y＝kx，1

5．解析：直线OA的方程为y＝kx，直线OB的方程为y＝－x.解方程组2得点

ky＝2px

1y＝－x，2p2p2k，A的坐标是2；解方程组得点B的坐标是(2pk，－2pk)．设点M的坐标为kky2＝2px2p(x，y)，则x＝

k2＋2pk2

2

2

2pkp2

＝2＋pk，y＝k2

－2pkp＝－pk，所以线段AB的中点M的轨迹的参

kpx＝＋pk，k数方程是(k为参数)．

py＝k－pk2