2021年山东省烟台市中考数学真题 (原卷版)

2021年山东省烟台市中考数学试卷

一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，满分36分）每小题都给出标号为A,B,C,D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的

1．若x的相反数是3，则x的值是（ ） A．﹣3

B．﹣

C．3

D．±3

2．下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

3．下列计算正确的是（ ） A．a2•a3＝a6

B．a2+a3＝a5

C．（a2）3＝a6

D．a2÷a3＝a

4．一个正方体沿四条棱的中点切割掉一部分后，如图所示，则该几何体的左视图是（ ）

A． B． C． D．

5．2021年5月15日，天问一号探测器成功着陆火星，迈出了我国星际探测征程的重要一步．已知火星与地球的近距离约为5500万公里，5500万用科学记数法表示为（ ）

A．0.55×108

B．5.5×107

C．55×106

D．5.5×103

6．一副三角板如图放置，两三角板的斜边互相平行，每个三角板的直角顶点都在另一个三角板的斜边上，图中∠α的度数为（ ）

A．45°

B．60°

C．75°

D．85°

7．如图，在直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点B的坐标为（﹣1，0），∠BCD＝120°，则点D的坐标为（ ）

A．（2，2）

B．（

，2）

C．（3，

）

D．（2，

）

8．如图所示，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序及结果如下：

按键的结果为m；

按键的结果为n；

按键的结果为k．

下列判断正确的是（ ）

A．m＝n

B．n＝k

C．m＝k

D．m＝n＝k

9．已知关于x的一元二次方程x2﹣mnx+m+n＝0，其中m，n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（ ）

A．有两个不相等的实数根 C．没有实数根

B．有两个相等的实数根 D．无法确定

10．连接正六边形不相邻的两个顶点，并将中间的六边形涂成黑色，制成如图所示的镖盘，将一枚飞镖任意投掷到

镖盘上，飞镖落在黑色区域的概率为（ ）

A．

B．

C．

D．

11．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．下列结论： ①ac＞0；

②当x＞0时，y随x的增大而增大； ③3a+c＝0； ④a+b≥am2+bm．

其中正确的个数有（ ）

A．1个

B．2个

C．3个 D．4个

12．由12个有公共顶点O的直角三角形拼成的图形如图所示，∠AOB＝∠BOC＝…＝∠LOM＝30°．若OA＝16，则OG的长为（ ）

A．

B．

C．

D．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 13．若代数式

在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ．

14．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB＝1米，AC＝1.6

米，AE＝0.4米，那么CD为 米．

15．幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．将数字1～9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行，每一竖行以及两条对角线上的数字之和都是15，则a的值为 ．

16．数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度，已知无人机的飞行高度为40米，当无人机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗杆顶部的俯角为30°，则旗杆的高度约为 米． （结果精确到1米，参考数据：

≈1.41，

≈1.73）

17．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则sin∠ACB的值是 ．

18．综合实践活动课上，小亮将一张面积为24cm2，其中一边BC为8cm的锐角三角形纸片（如图1），经过两刀裁剪，拼成了一个无缝隙、无重叠的矩形BCDE（如图2），则矩形的周长为 cm．

三、解答题（本大题共7个小题，满分66分 19．（6分）先化简，再求值：

，从﹣2＜x≤2中选出合适的x的整数值代入求值．

20．（8分）2021年是中国党成立100周年．为普及党史知识，培养爱国主义精神，今年五月份，某市党校举行党史知识竞赛，每个班级各选派15名学员参加了网上测试，现对甲、乙两班学员的分数进行整理分析如下： 甲班15名学员测试成绩（满分100分）统计如下：

87，84，88，76，93，87，73，98，86，87，79，85，84，85，98． 乙班15名学员测试成绩（满分100分）统计如下：

77，88，92，85，76，90，76，91，88，81，85，88，98，86， （1）按如表分数段整理两班测试成绩 班级

70.5～75.5

甲 乙

1 0

75.5～80.5 2 3

80.5～85.5 a 3

85.5～90.5 5 6

90.5～95.5 1 2

95.5～100.5 2 1

表中a＝ ；

（2）补全甲班15名学员测试成绩的频数分布直方图；

（3）两班测试成绩的平均数、众数、中位数、方差如表所示： 班级 甲

平均数 86

众数 x

中位数 86

方差 44.8

乙 86 88 y 36.7

表中x＝ ，y＝ ．

（4）以上两个班级学员掌握党史相关知识的整体水平较好的是 班；

（5）本次测试两班的最高分都是98分，其中甲班2人，乙班1人．现从以上三人中随机抽取两人代表党校参加全市党史知识竞赛，利用树状图或表格求出恰好抽取甲、乙两班各一人参加全市党史知识竞赛的概率．

21．（8分）如图，正比例函数y＝x与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，过点A作AB⊥y轴于点B，OB＝4，点C在线段AB上，且AC＝OC． （1）求k的值及线段BC的长；

（2）点P为B点上方y轴上一点，当△POC与△PAC的面积相等时，请求出点P的坐标．

22．（9分）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件． （1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？

（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？ 23．（10分）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°．

（1）请按如下要求完成尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）． ①作∠BAC的角平分线AD，交BC于点D； ②作线段AD的垂直平分线EF与AB相交于点O； ③以点O为圆心，以OD长为半径画圆，交边AB于点M． （2）在（1）的条件下，求证：BC是⊙O的切线； （3）若AM＝4BM，AC＝10，求⊙O的半径．

24．（11分）有公共顶点A的正方形ABCD与正方形AEGF按如图1所示放置，点E，F分别在边AB和AD上，连接BF，DE，M是BF的中点，连接AM交DE于点N． 【观察猜想】

（1）线段DE与AM之间的数量关系是 ，位置关系是 ； 【探究证明】

（2）将图1中的正方形AEGF绕点A顺时针旋转45°，点G恰好落在边AB上，如图2，其他条件不变，线段DE与AM之间的关系是否仍然成立？并说明理由．

25．（14分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴正半轴交于点C，且OC＝2OA，抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E．直线y＝mx+n经过B，C两点． （1）求抛物线及直线BC的函数表达式；

（2）点F是抛物线对称轴上一点，当FA+FC的值最小时，求出点F的坐标及FA+FC的最小值；

（3）连接AC，若点P是抛物线上对称轴右侧一点，点Q是直线BC上一点，试探究是否存在以点E为直角顶点的Rt△PEQ，且满足tan∠EQP＝tan∠OCA．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．