初二-第13讲-平行四边形-学案

第13讲 平行四边形

温故知新 我们已经简单的学习了平行四边形以及平行线 （1）平行四边形的面积公式？

（2）直线平行的判定方法有哪些？

智慧乐园 问题1：你能利用手中两张全等的三角形纸板拼出平行四边形吗？

请同学将拼出的六种形状不同的四边形展示在黑板上．

问题2：观察拼出的这个四边形的对边有怎样的位置关系？说说你的理由． 结合拼出的这个特殊四边形，给出平行四边形定义．

定义的几何语言表述

∵ AB∥CD AD∥BC ∴四边形ABCD是平行四边形

问题3：黑板上展示的图形中，哪些是平行四边形 呢？

问题4：根据定义画一个平行四边形．

知

识要点一

平行四边形的性质 （1）平行四边形的概念 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 表示方法：用符号“Y”表示，平行四边形ABCD记作“YABCD”。 （2）平行四边形的边、角性质 边的性质：①平行四边形的对边平行；②平行四边形的对边相等。 角的性质：①平行四边形的对角相等；②平行四边形的邻角互补。 （3）两条平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另外一条直线的 距离，叫做这两条平行线之间的距离。 （4）平行四边形的对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分。、 （5）平行四边形的周长与面积 ①面积公式：平行四边形的面积=底高； ②等底等高的平行四边形的面积相等； ③平行四边形的周长等于两邻边和的2倍。 ➢ 典例分析

例1、如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED=150°，则∠A的大小为（ ）

A．150° C．120°

例2、如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD=8，则△OBC的周长为（ ）

A．13

B．17

BD=12，AC=6，

B．130° D．100°

C．20 D．26

例3、已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交的中点，以下说法错误的是（ ）

A．OE=DC

B．OA=OC

于点O，E是BC

C．∠BOE=∠OBA

D．∠OBE=∠OCE

例4、如图，在▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠1=20°，则∠2的度数为 ．

例5、如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B=52°，∠DAE=20°，则∠FED′的大小为 ．

例6、如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E． （1）求证：BE=CD；

（2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积．

学霸说：

（1）熟练掌握平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质及内角和定理；

（2）熟练掌握全等三角形的性质与判定、等腰三角形的判定、勾股定理与平行四边

行的综合运用；

（3）。

➢ 举一反三

1、如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=8，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F，则AE+AF的值等于（ ）

A．2 B．3 C．4 D．6

2、如图，平行四边形ABCD的周长是26cm，对角线AC与BD

E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，则AE的长度为（ ）

A．3cm B．4cm C．5cm D．8cm

3、如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F． （1）求证：AB=CF；

（2）连接DE，若AD=2AB，求证：DE⊥AF．

交于点O，AC⊥AB，

知

识要点二 平行四边形的判定及中位线 1、判定方法 （1）从边看：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

（2）从角看：①两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （3）从对角线看：①对角线互相平分的四边形是平行四边形。

2、三角形的中位线

（1）定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；

（2）中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的 一半。

➢ 典例分析

例1、在下列条件中，能够判定一个四边形是平行四边形的是（ ）

A．一组对边平行，另一组对边相等 B．一组对边相等，一组对角相等

C．一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线 D．一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线

例2、能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是（ ）

A．AB∥CD，AD=BC C．AB=CD，AD=BC

例3、如图，DE是△ABC的中位线，若BC=8，则DE的长为（ ）

A．2 C．6

例4、如图，已知△ABC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC的中点为M，ME∥AD，交BA的延长线于点E，交AC于点F． （1）求证：AE=AF； （2）求证：BE=（AB+AC）．

B．4

B．∠A=∠B，∠C=∠D D．AB=AD，CB=CD

D．8

➢ 举一反三

1、如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（ ）

A．OA=OC，OB=OD B．∠BAD=∠BCD，AB∥CD C．AD∥BC，AD=BC

2、如图，DE是△ABC的中位线，过点C作CF∥BD交DE的延长线于点F，则下列结论正确的是（ ）

A．EF=CF B．EF=DE C．CF＜BD

3、如图，等边△ABC的边长是4，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF=BC，连接CD和EF． （1）求证：DE=CF； （2）求EF的长；

（3）求四边形DEFC的面积．

D．AB=CD，AO=CO

D．EF＞DE

课堂闯关

➢ 初出茅庐

建议用时：10分钟

1、如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD=16，CD=6，则△ABO的周长是（ ）

A．10 B．14 C．20 D．22

2、如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1=∠2=44°，则∠B为（ ）

A．66° C．114°

3、能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是：∠A：∠B：∠C：∠D的值为（ ）

A．1：2：3：4 B．1：4：2：3 C．1：2：2：1

4、某地需要开辟一条隧道，隧道AB的长度无法直接测量．如图所示，在地面上取一点C，使点C均可直接到达A，B两点，测量找到AC和BC的中点D，E，测得DE的长为AB的长度为（ ）

A．3300m C．1100m

5、如图，四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，点E是边CD上一点，连接BE，并延长与AD的延长线相交于点F，请你只添加一个条件： ，使四边形BDFC为平行四边形．

6、如图，在△ABC中，M、N分别是AB、AC的中点，且∠A+∠B=136°，则∠ANM= °．

B．104° D．124°

D．1：2：1：2

1100m，则隧道

B．2200m D．550m

➢ 优学学霸

建议用时：15分钟

1、如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t（s）当t= s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．

2、如图所示，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∠ABD=20°，∠BDC=70°，求∠PMN的度数．

3、如图，四边形ABCD中，已知AB=CD，点E、F分别为AD、BC的中点，延长BA、CD，分别交射线FE于P、Q两点．求证：∠BPF=∠CQF． 考场直播 1、【2016春•深圳期末】如图，四边形ABCD的对角线交于点O，从下列条件：①AD∥BC，②AB=CD，③AO=CO，④∠ABC=∠ADC中选出两个可使四边形ABCD是平行四边形，则你选的两个条件是 ．（填写一组序号即可）

2、【2015•深圳】如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE，已知：∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF． （1）试说明AC=EF；

（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．

套路揭密：

（1）平行四边形的判定、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、平行线的判定是常考的知识点；

自我挑战 建议用时：30分钟

1、如图，在▱ABCD中，M是BC延长线上的一点，若∠A=135°，则∠MCD的度数是（ ）

A．45° B．55° C．65° D．75°

2、如图，已知平行四边形ABCD中，AB=3，AD=2，∠B=150°，则平行四边形ABCD的面积为（ ）

A．2 C．

3、下列结论中一定成立的是（ ）

A．如果一个四边形任意相邻的两个内角都互补，那么这个四边形是平行四边形 B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形

C．如果四边形ABCD的对角线AC平分BD，那么四边形ABCD是平行四边形 D．三条边相等的四边形是平行四边形

B．3 D．6

4、如图，在△ABC中，AB=BC=10，BD是∠ABC的平分线，E是AB边的中点．则DE的长是（ ）

A．6 C．4

5、如图，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，为10cm，则△DEF的周长是 cm．

6、如图所示，在▱ABCD中，∠C=40°，过点D作AD的垂线，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为 ．

7、如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边△ACD、等边△ABE，EF⊥AB，垂足为F，连接DF，当

8、如图，已知▱ABCD中，DE⊥BC于点E，DH⊥AB于点H，AF平分∠BAD，分别交DC、DE、DH于点F、G、M，且DE=AD．

（1）求证：△ADG≌△FDM．

（2）猜想AB与DG+CE之间有何数量关系，并证明你的猜想．

9、如图，已知点E，C在线段BF上，BE=EC=CF，AB∥DE，∠ACB=∠F． （1）求证：△ABC≌△DEF；

B．5 D．3

若△ABC的周长

交AB于点E，

= 时，四边形ADFE是平行四边形．

（2）试判断：四边形AECD的形状，并证明你的结论．