初中数学-几何证明经典试题(含答案)

1．如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO． 求证：CD＝GF．（初二）

2．如图，点P在正方形ABCD内，∠PAD＝∠PDA＝150

． 求证：△PBC是正三角形．（初二）

第1题图 第2题图

3．如图，在正方形ABCD和正方形A1B1C1D1中，A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、

CC1、DD1的中点．求证：四边形A2B2C2D2是正方形．（初二）

4．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．求证：∠DEN＝∠F．

第3题图 第4题图

经典题（二）

1．如图，H为△ABC的垂心（各边高线的交点），O为外心且OM⊥BC于M．

（1）求证：AH＝2OM；（2）若∠BAC＝600

，求证：AH＝AO．（初二）

2．如图，分别以△ABC的AC、BC为边在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，点P是EF中点．求证：点P到边AB的距离等于AB的一半．（初二）

第1题图 第2题图

3．设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q．求证：AP＝AQ．（初二） 4．如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：

设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q．求证：AP＝AQ．（初二）

第3题图 第4题图

经典题（三）

1．如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F． 求证：CE＝CF．（初二）

2．如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC且CE＝CA，直线EC交DA延长线于F．求证：AE＝AF．（初二）

第1题图 第2题图

3．设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE． 求证：PA＝PF．（初二）

4．如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D．求证：AB＝DC，BC＝AD．（初三）

第3题图 第4题图

经典题（四）

1．已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．

求∠APB的度数．（初二）

2．设ABCD为圆内接凸四边形，求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD（初三）

第1题图 第2题图

3．设P是平行四边形ABCD内部的一点且∠PBA＝∠PDA．

求证：∠PAB＝∠PCB．（初二）

4．平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且AE＝CF．求证：∠DPA＝∠DPC．（初二）

第3题图 第4题图

经典题（五）

1．设点P是边长为1的正△ABC内任一点，记L＝PA＋PB＋PC。 求证：3≤L＜2．

2．已知P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA＋PB＋PC的最小值． 3．设点P为正方形ABCD内一点，若PA＝1，PB＝2，PC＝3，求正方形的边长．

第1题图 第2题图 第3题图

4．如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝80°，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA＝30°，∠EBA＝20°，求∠BED的度数．

经典题（一）

1．如图，做GH⊥AB，连接EO。∵GOFE四点共圆，∴∠GFH＝∠OEG，

∴△GHF∽△OGE，∴

EOGOCOGFGHCD，又∵CO=EO，∴CD=GF。

2．如图，做△DGC≌△ADP，∴有等边△PDG，∴△DGC≌△APD≌△CGP

∴PC=AD=DC，∵∠DCG=∠PCG＝15°，∴∠DCP=300

，∴有正△PBC

3．如图，连接BC1和AB1，分别找其中点F、E，连接C2F与A2E并延长相交于Q点，连接EB2并延长交C2Q于H点，连接FB2并延长交A2Q于G点，由

A2E=1A1B1=11C1= FB2 ，EB2=122B2AB=

12BC=FC1 ，

又∠GFQ+∠Q=900

和∠GEB0

2+∠Q=90,所以∠GEB2=∠GFQ

又∠B2FC2=∠A2EB2 ，可得△B2FC2≌△A2EB2 ，所以A2B2=B2C2 ，

又∠GFQ+∠HB00

2F=90和∠GFQ=∠EB2A2 ,从而可得∠A2B2 C2=90，

同理可得其他边垂直且相等，从而得出四边形A2B2C2D2是正方形。 4．如图，连接AC并取其中点Q，连接QN和QM，

∴∠QMF=∠F，∠QNM=∠DEN和∠QMN=∠QNM，∴∠DEN＝∠F。

经典题（二）

1．⑴延长AD到F连BF，做OG⊥AF,

又∠F=∠ACB=∠BHD， ∴BH=BF，∴HD=DF ∴AH=GF+HG

=GH+HD+DF+HG =2(GH+HD)=2OM

⑵连接OB，OC,

∴∠BOC=1200，∴∠BOM=600

, ∴OB=2OM=AH=AO 3．作OF⊥CD，OG⊥BE，

连接OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ。 ∵

ADACCD2FDFDAB=AE=BE=2BG=BG， ∴△ADF≌△ABG，∴∠AFC=∠AGE。 又∵PFOA与QGOA四点共圆， ∴∠AFC=∠AOP和∠AGE=∠AOQ， ∴∠AOP=∠AOQ，∴AP=AQ。

4．过E、C、F点分别作AB所在直线的高ER，CT，FS,∴PQ=

ER+FS2。 由△ERA≌△ATC可得ER=AT，由△BFS≌△CBT可得FS=BT。 ∴PQ=

AT+BTAB2= 2。

经典题（三）

1．顺时针旋转△ADE到△ABG，连接CG.

∵∠ABG=∠ADE=900+450=1350

∴B，G，D在一条直线上 ∴△AGB≌△CGB ∴AE=AG=AC=GC

∴△AGC为等边三角形

∠AGB=300，∴∠EAC=300

，

∴∠A EC=750

。

∵∠EFC=∠DFA=450+300=750

∴CE=CF。

2．连接BD作CH⊥DE，可得四边形CGDH是正方形。

由AC=CE=2GC=2CH可得∠CEH=300，所以∠CAE=∠CEA=∠AED=150

，

又∠FAE=900+450+150=1500，从而可知道∠F=150

，从而得出AE=AF。

3．作FG⊥CD，FE⊥BE，可以得出GFEC为正方形。 令AB=Y，BP=X，CE=Z，∴PC=Y－X tan∠BAP=tan∠EPF=

XZY=Y-X+Z， 可得YZ＝XY－X2

＋XZ，即Z(Y-X)=X(Y-X) ∴X=Z，∴△ABP≌△PEF，∴PA＝PF。

经典难题（四）

1．顺时针转△ABP 600

，连接PQ得正△PBQ，∴有Rt△PQC，∴∠APB=1500

2．BD上取E使∠BCE=∠ACD→VBEC∽VADC→

BEBCADAC→AD•BC=BE•AC① 由∠ACB=∠DCE知△ABC∽△DEC→

ABAC=DEDC→AB•CD=DE•AC ② 由①+②可得AB•CD+AD•BC=AC(BE+DE)= AC·BD。

3．作过P点平行于AD的直线，并选一点E，使AE∥DP，BE∥PC. ∴∠ABP=∠ADP=∠AEP，∴AEBP共圆，∴∠BAP=∠BEP=∠BCP。

4．作DQ⊥AE ，DG⊥CF ，由SABCDAEgDQADE=

S2=SDFC得2CFgDG2

由AE=CF可得DQ=DG，∴∠DPA＝∠DPC（角平分线逆定理）。

经典题（五）

1．顺时针旋转△BPC 600

可得等边△PBE， ∴欲使PA+PB+PC=PA+PE+EF最小， 只要AP、PE、EF在一条直线上 如下图可得最小值L=3；

过点P作BC的平行线分别交AB、AC于点D，F。 ∵∠APD>∠AFP=∠ADP，∴AD>AP ①

又∵BD+DP>BP ②，PF+FC>PC ③，DF=AF ④， ∴由①②③④得L< 2 综上所述，3≤L＜2 。

2．顺时针旋转△BPC 600 可得等边△PBE。 如下图，欲使PA+PB+PC=PA+PE+EF最小， 只要PA、PE、EF在一条直线上，

22PAPBPCAF132212342331222

22316223．顺时针旋转△ABP 900

可得如下图：

22正方形边长222252224．在AB上找一点F使∠BCF=600

，

连接EF，DG，∴△BGC为等边三角形，

∴∠DCF=100 , ∠FCE=200

，∴△ABE≌△ACF ， ∴BE=CF，FG=GE，∴△FGE为等边三角形，

∴∠AFE=800，∴∠DFG=400

∵BD=BC=BG ，∴∠BGD=800 ，∴∠DGF=400

，

∴DF=DG，∴△DFE≌△DGE ，∴∠FED=∠BED=300

。

21．如图，在△ABC中，A(2，3)，B(31)，，C(1，2)．

⑴将△ABC向右平移4个单位长度， 画出平移后的△A1B1C1；则A1的 坐标为_____

⑵将△ABC绕原点O旋转180， 画出旋转后的△A2B2C2；则B2 的坐标为______

⑶直接写出△A1B1B2的面积为_______

22．如图，在Rt△ABE中，AB⊥AE于点A。

以AB为直径作⊙O，交BE于点C， 弦CD⊥AB，F为AE上一点，连FC， 则FC = FE

⑴求证CF是⊙O的切线;

⑵若⊙O上一点P满足tan∠APD = 1

2

, 连CP，求sin∠CPD的值.

23．某服装店销售一种进价为50元/件的衬衣，厂家规定售价为60～150元，

当定价为60元/件时，平均每星期可卖出70件；每涨价10元，一星期少买5件。

⑴若销售单价为x元/件（规定x是10的正整数倍），每周销售量为y件，写出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围？

⑵每件衬衣定价为多少时服装店每星期的利润最大？最大利润为多少？ ⑶请分析销售价在哪个范围内每星期的销售利润不低于2700元？

24．如图，在△ABC中，∠ACB=90 o

,BC=k AC，CD⊥AB 于D，点P为AB 边上

一动点，PE⊥AC,PF⊥BC,垂足分别为E、F， ⑴若k=2时，则CE/BF = _________ ；

⑵若k=3时，连EF、DF, 求EF/DF的值； ⑶当k=__________时，EF/DF = 23 /3. (直接写结果，不需证明)

2

25．如图1，抛物线y＝ax－5ax＋4经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，

点A在x轴上，点C在y轴上，且AC＝BC． ⑴求抛物线的解析式；

⑵若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在△PAB是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由； ⑶如图2，将△AOC沿x轴对折得到△AOC1，再将△AOC1绕平面内某点旋转180°后得△A1O1C2(A，O，C1分别与点A1，O1，C2对应)使点A1，C2在抛物线上，求A1，C2的坐标．