2019-2020学年北京市石景山初三期末数学试卷(答含案)

数 学

学校

考 生 须 知 姓名

准考证号

1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题．满分100分，考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号． 3．试卷答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题共16分，每小题2分） 下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．．．

1．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cosBAC的值为

A．

34BB．

25CAC．

35D．

45ODB100m50mAC第1题 第2题 第3题

2．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若CDB=32°，则CBA的度数为

A．68°

B．58°

C．°

D．32°

3．如图，某斜坡的长为100m，坡顶离水平地面的距离为50m，则这个斜坡的坡度为

A．30°

B．60°

C．3 3D．

124．已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：

x y 下列结论：

… … −2 −1 001 2 03… … −4 2 2 −4 ①抛物线开口向下；③抛物线的对称轴是直线x= 其中所有正确的结论为

②当x1时，y随x的增大而减小；

1； 2④函数y=ax2+bx+c(a0)的最大值为2.

1 / 9

A．①②③ B．①③ C．①③④ D．①②③④

5．为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单 位：cm），则该铁球的直径为

yA．12cmC．8cmOABCB．10cmD．6cmDEAFOCBA(1, 3)43211234xB(3, 1)28–4–3–2–1O–1–2–3–4第5题 第6题 第7题 6．如图，AB是⊙O的直径，C是线段OB上的一点（不与点B重合），D，E是半圆上的点且CD与BE交于

»=DE»，②DC⊥AB，③FB=FD中的两个作为题设，余下的一个作为结论组成一个命题，则组点F．用①DB成真命题的个数为

C．2 D．3

k 7．一次函数y1=ax+b(a0)与反比例函数y2=(k0)在同一平面直角坐标系xOy中的图象如图所示，当

xy1y2时，x的取值范围是

A．0 A．−1x3 C．x−1或x3

B．x−1或0x3 D．−1x0或x3

B．1

8．某市为了解旅游人数的变化情况，收集并整理了2017年1月至2019年12月期间的月接待旅游量（单位：万人次）的数据并绘制了统计图如下：

月接待旅游量/万人次50040030020010001 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 121 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 121 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12月份2017年2018年2019年根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是．．．

A．2017年至2019年，年接待旅游量逐年增加

B．2017年至2019年，各年的月接待旅游量高峰期大致在7,8月份 C．2019年的月接待旅游量的平均值超过300万人次

D．2017年至2019年，各年下半年（7月至12月）的月接待旅游量相对于 上半年（1月至6月）波动性更小，变化比较平稳 二、填空题（本题共16分，每小题2分）

2 / 9

9．若抛物线y=x2+6x+m与x轴只有一个交点，则m的值为 . 10．如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，ADE=C，若DE=1，四边形DBCE的面积是

△ADE的面积的3倍，则BC的长为 . AADBECBOCAFEDBC 第10题 第11题 第12题 11．如图，等边△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为3，则阴影部分的面积为 .

12．如图，在矩形ABCD中，点E是边AD上一点，EF⊥AC于点F．若tanBAC=2，EF=1，则AE的长为 .

13．请写出一个开口向上，并且与y轴交于点(0,−2)的抛物线的表达式： 14．将抛物线y=2x2向左平移1个单位长度，所得抛物线的表达式为 . .

15．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷九中记载了一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“如右图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为

A15步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径是多少步？”根据题意，该内切

圆的直径为 步.．．

16．如图，曲线AB是抛物线y=−4x2+8x+1的一部分（其中A是抛物线与y轴的交点，B是顶点），曲线BC是双曲线y=DOBEFCk(k0)的一部分．曲线AB与BC组成图形xW．由点C开始不断重复图形W形成一组“波浪线”．若点P(2020,m)，

Q(x,n)在该“波浪线”上，则m的值为 yB...AOC5 ，n的最大值为 ．

...x三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．计算：27−tan45°−4sin60°+(2−2020)0．

3 / 9

18．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x−2x−3的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为P.

（1）直接写出点A，C，P的坐标； （2）画出这个函数的图象.

219．下面是小石设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图的过程. 已知：如图1，⊙O及⊙O上一点P． 求作：直线PQ，使得PQ与⊙O相切． 作法：如图2，

①连接PO并延长交⊙O于点A；

PO图1②在⊙O上任取一点B（点P，A除外），以点B为圆心，BP长为半径作⊙B，与射线PO的另一个交点为C；

P③连接CB并延长交⊙B于点Q；

BOA④作直线PQ．

所以直线PQ就是所求作的直线．

图2 根据小石设计的尺规作图的过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明．

证明：∵CQ是⊙B的直径，

∴CPQ= ∴OP⊥PQ.

又∵OP是⊙O的半径， ∴PQ是⊙O的切线（

）（填推理的依据）.

°（

）（填推理的依据）.

4 / 9

20．为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练．在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一

8米，当铅球运行的水平距55离为3米时，达到最大高度米的B处．小丁此次投掷的成绩是多少

2米？

部分．已知铅球出手处A距离地面的高度是

BA21.在直角三角形中，除直角外的5个元素中，已知2个元素（其中至少有1个是边），就可以求出其余的3个未

知元素．对于任意三角形，我们需要知道几个元素就可以求出其余的未知元素呢? 思考并解答下列问题：

（1）观察图①～图④，根据图中三角形的已知元素，可以求出其余未知元素的序号是

737°83°37°60°10．

37°60°1237°60°① ② ③

（2）如图⑤，在△ABC中，已知A=37°，AB=12，AC=10，能否求出BC的长度？如果能，请求出

BC的长度；如果不能，请说明理由.（参考数据：sin37°0.60，cos37°0.80，tan37°0.75）

CAB⑤

22．在平面直角坐标系xOy中，函数y=于点B，与图象G交于点C． （1）求m的值；

m(x0)的图象G经过点A(3,2)，直线l:y=kx−1(k0)与y轴交x （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A，C之间的部分与线段BA，BC围成的区域（不含

边界）为W．

①当直线l过点(2,0)时，直接写出区域W内的整点个数；

②若区域W内的整点不少于．．．4个，结合函数图象，求k的取值范围．

5 / 9

23.如图，B是⊙O的半径OA上的一点（不与端点重合），过点B作OA的垂线交⊙O于点C，D，连接OD.

»=CA»，过点C作⊙O的切线l，连 接OE并延长交直线l于点F. E是⊙O上一点，CE （1）①依题意补全图形；

②求证：OFC=ODC；

（2）连接FB，若B是OA的中点，⊙O的半径是4，求FB的长.

ECDOBAl24．某地质量监管部门对辖区内的甲、乙两家企业生产的某同类产品进行检查，分别随机抽取了50件产品并对某

一项关键质量指标做检测，获得了它们的质量指标值s,并对样本数据（质量指标值s）进行了整理、描述和分析.下面给出了部分信息.

a.该质量指标值对应的产品等级如下：

质量指标值 20≤s25 25≤s30 30≤s35等级 次品 二等品 一等品 35≤s4040≤s≤45 二等品 次品 说明：等级是一等品,二等品为质量合格(其中等级是一等品为质量优秀);

等级是次品为质量不合格.

b. 甲企业样本数据的频数分布统计表如下（不完整）： c. 乙企业样本数据的频数分布直方图如下：

甲企业样本数据的频数分布表

频数分组 20≤s25 25≤s30 频数 2 频率 0.04 3530252015乙企业样本数据的频数分布直方图35m 32 30≤s3535≤s40 40≤s≤45 n 0.12 105051720 50 0.00 1.00 20 25 30 35 40 45质量指标值合计 6 / 9

d.两企业样本数据的平均数、中位数、众数、极差、方差如下：

平均数 甲企业 乙企业 中位数 众数 极差 方差 31.92 31.92 32.531.534 31 15 2011.8715.34 根据以上信息，回答下列问题： （1）m的值为

，n的值为

；

；若乙企业生产的某批产品

（2）若从甲企业生产的产品中任取一件，估计该产品质量合格的概率为 共5万件，估计质量优秀的有 万件；

（3）根据图表数据，你认为 某个角度说明推断的合理性）

企业生产的产品质量较好，理由为 .（从

AmB上的一定点，D是弦AB上的一定点，P是弦CB上的一动点，连接DP，将线段PD绕点25．如图，C是¼P顺时针旋转90°得到线段PD，射线PD与¼AmB交于点Q．已知BC=6cm，设P，C两点间的距离为xcm，P，D两点间的距离为y1cm，P，Q两点间的距离为y2cm．

CmPQD'ADB 小石根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究，下面是小石的探究过程，请补充完整：

（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：

x/cm0 4.29 0.88 1 3.33 2.84 2 3 1.65 4 1.22 4.17 5 1.50 3.20 6 2.24 0.98 y1/cm y2/cm 3.57 4.04 （2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数据所对应的点(x,y1)，(x,y2)，并画出函数y1，y2的图象；

7 / 9

y/cm321O1 2 3 4 5 6x/cmy2 （3）结合函数图象，解决问题：连接DQ，当△DPQ为等腰三角形时，PC的长度约为 果保留一位小数）

cm．（结

26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2−4ax+c(a0)与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，

3得到点B.直线y=x−3与x轴，y轴分别交于点C，D.

5 （1）求抛物线的对称轴；

（2）若点A与点D关于x轴对称，

①求点B的坐标；

②若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围.

27．如图，在正方形ABCD中，P是边BC上的一动点（不与点B，C重合），点B关于直线AP的对称点为

E，连接AE．连接DE并延长交射线AP于点F，连接BF．

（1）若BAP=，直接写出ADF的大小（用含的式子表示）； （2）求证：BF⊥DF；

（3）连接CF，用等式表示线段AF，BF，CF之间的数量关系，并证明．

ADECFBP 8 / 9

28．在△ABC中，D是边BC上一点，以点A为圆心，AD长为半径作弧，如果与边BC有交点E（不与点D重̂为△ABC的A−外截弧． 合），那么称𝐷𝐸

̂是△ABC的一条A−外截弧．在平面直角坐标系xOy中，已知例如，右图中𝐷𝐸

△ABC存在A−外截弧，其中点A的坐标为(5,0)，点B与坐标原点O重合．

（1）在点C1(0,2)，C2(5,−3)，C3(6,4)，C4(4,2)中，满足条件的点C是

；

BADEC （2）若点C在直线y=x−2上，

①求点C的纵坐标的取值范围；

②直接写出△ABC的A−外截弧所在圆的半径r的取值范围．

9 / 9

石景山区2019—2020学年第一学期初三期末数学试卷答案及评分参考

阅卷须知：1．为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时，只要考生将主要过程正确写出即可．2．若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分.3．评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数．一、选择题（本题共16分，每小题2分）题号答案1C2B3C4A5B6D7B8D二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．910．2211．314．y2(x1)2

12．513．答案不唯一，如：yx215．616．1；5三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．解：原式3314312……4分……5分3．18．解：（1）A(1,0)，C(0,3)，P(1,4)（2）如右图所示．……3分……5分19．解：（1）补全的图形如右图所示；……2分（2）90，直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．……5分第1页（共8页）初三数学试卷答案及评分参考20．解法一：建立平面直角坐标系xOy，如图1所示．85则点A的坐标为(0,)，顶点为B(3,)．525设抛物线的表达式为ya(x3)2，28∵点A(0,)在抛物线上，558∴a(03)2．251解得a．1015∴抛物线的表达式为y(x3)2．102令y0，则…………………………2分图1…………………………4分15(x3)20，102解得x18，x22（不合实际，舍去）．即OC8．答：小丁此次投掷的成绩是8米．…………………………5分解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图2所示．95则点A的坐标为(3,)，yE，CD3．102设抛物线的表达式为yax2，9∵点A(3,)在抛物线上，109∴a(3)2．101解得a．101∴抛物线的表达式为yx2．10令y…………………………2分图2…………………………4分515，则x2，2102解得x15，x25（不合实际，舍去）．∴CE358答：小丁此次投掷的成绩是8米．…………………………5分初三数学试卷答案及评分参考第2页（共8页）21．解：（1）③，④；（2）过点C作CDAB于点D，如图．在Rt△ADC中，A37°，∴CDACsinA100.606，…………………………2分…………………………3分ADACcosA100.808．∴BDABAD1284．∴在Rt△CDB中，BCCD2BD23616213．即BC的长度为213．…………………………5分22．解：（1）∵函数y∴m6．（2）①1；m(x0)的图象G经过点A(3,2)，x…………………………1分…………………………2分②∵直线l:ykx1(k0)与y轴交于点B，∴点B的坐标为(0,1)，如图．（ⅰ）当直线l1在BA下方时，若点(5,1)在直线l1上，2则5k11，解得k．52结合图象，可得0k．5（ⅱ）当直线l2在BA上方时，若点(1,3)在直线l2上，则k13，解得k4．结合图象，可得k4．综上所述，k的取值范围是0k2或k4．5…………………5分初三数学试卷答案及评分参考第3页（共8页）23．（1）①依题意补全图形．②证明：连接OC，如图1．∵半径OACD，……………1分∴OBD90°，ADAC．∵ECAC，∴ECAD．∴12．∵CF是⊙O的切线，OC是半径，∴OCF90°．∴OFCODC．（2）解法一：过点B作BGOD于点G，如图2．∵B是OA的中点，OA4，∴OB2．∴在Rt△BOD中，DOB60°．∵ECACAD，∴EOCAOCDOA60°．∴EOD180°．即点D，O，E在同一条直线上．在Rt△OCF中，OC4，可得OF8．在Rt△OGB中，OB2，可得OG1，BG∴FGOFOG9．在Rt△BGF中，由勾股定理可得FB221．……………6分图2…………………………3分图13．解法二：过点F作FMBO交BO的延长线于点M，如图3（略）．解法三：过点B作BGFC于点G，如图4（略）．解法四：过点F作FMBC交BC的延长线于点M，如图5（略）．图3初三数学试卷答案及评分参考图4第4页（共8页）图524．解：（1）10，0.；（2）0.96，3.5；（3）答案不唯一，理由须支撑推断结论.…………………………2分…………………………4分…………………………6分如：甲；甲企业的抽样产品的质量合格率为96%，高于乙企业的94%.如：甲；甲企业抽样产品的极差与方差都小于乙企业，产品的稳定性更好.如：乙；乙企业的抽样产品的质量优秀率为70%，高于甲企业的%.25．解：本题答案不唯一，如：（1）2.44；（2）…………………………1分…………………………4分（3）1.3或5.7．…………………………6分26．解：（1）∵yax4axc2

a(x2)24ac，∴抛物线的对称轴是直线x2．（2）①∵直线y…………………………2分3x3与x轴，y轴分别交于点C，D，5∴点C的坐标为(5,0)，点D的坐标为(0,3)．初三数学试卷答案及评分参考第5页（共8页）∵抛物线与y轴的交点A与点D关于x轴对称，∴点A的坐标为(0,3)．∵将点A向右平移2个单位长度，得到点B，∴点B的坐标为(2,3)．…………………………3分②抛物线为yax24ax3(a0)，顶点为P(2,34a)．（ⅰ）当a0时，如图1.令x5，得y25a20a35a30，即点C(5,0)总在抛物线上的点E(5,5a3)的下方．∵yPyB

∴点B(2,3)总在抛物线顶点P的上方，结合函数图象，可知当a0时，抛物线与线段BC恰有一个公共点．图1（ⅱ）当a0时，如图2.当抛物线过点C(5,0)时，图2325a20a30，解得a.53结合函数图象，可得a≤.53综上所述，a的取值范围是a≤或a0.5初三数学试卷答案及评分参考……………………6分第6页（共8页）；27．（1）45°（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，如图1．∴BAD90°，ABAD．∵点E与点B关于直线AP对称，∴3ABF，AEAB．∴AEAD．∴12．∵23180°，…………………………2分∴在四边形ABFD中，1ABF180°．∴BFDBAD180°．∴BFD90°．∴BFDF．图1…………………………4分（3）线段AF，BF，CF之间的数量关系为：AF2BFCF．…………………………5分证明：过点B作BMBF交AF于点M，如图2．∵四边形ABCD是正方形，∴ABCB，ABC90°．∴4CBF．∵点E与点B关于直线AP对称，BFD90°，∴MFB45°．∴BMBF，FM2BF．∴△AMB≌△CFB．∴AMCF．∵AFFMAM，∴AF2BFCF．…………………………7分图2初三数学试卷答案及评分参考第7页（共8页）28．解：（1）C2，C3；（2）①∵点C在直线yx2上，设点C的坐标为(m,m2)．…………………………2分当BCA90°时，过点C作CDx轴于点D，如图．∴△CDB∽△ADC．∴CD2BDAD．∴(m2)2m(5m)．1．213∴C(4,2)或C'(,)．22解得m14，m2又∵直线yx2与y轴交于点(0,2)，结合图形，可得点C的纵坐标的取值范围是2yC3或yC2．2…………………………5分②5r≤5．…………………………7分初三数学试卷答案及评分参考第8页（共8页）