2021年湘教版七年级下学期期中考试数学试卷及答案

满分：150分 考试用时：120分钟

范围：第一章《二元一次方程组》～第三章《因式分解》

班级 姓名 得分

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）

1. 甲、乙二人同时同地出发，都以不变的速度在环形路上奔跑．若反向而行，每隔

3min相遇一次，若同向而行，则每隔6min相遇一次，已知甲比乙跑得快，设甲每分钟跑x圈，乙每分钟跑y圈，则可列方程为( )

A. {𝑥+𝑦=6

𝑥−𝑦=3

B. {𝑥−𝑦=6

𝑥+𝑦=3

C. {6𝑥−6𝑦=1

3𝑥+3𝑦=1

D. {6𝑥+6𝑦=1

3𝑥−3𝑦=1

2. 下列计算正确的是( )

A. 𝑏3⋅𝑏3=2𝑏3 C. (𝑎5)2=𝑎10

B. (𝑎+𝑏)2=𝑎2+𝑏2 D. 𝑎−(𝑏+𝑐)=𝑎−𝑏+𝑐

3. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( )

A. 𝑥2+2𝑥−1=(𝑥−1)2 C. 𝑥2+4𝑥+4=(𝑥+2)2

B. (𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)=𝑎2−𝑏2 D. 𝑎𝑥−𝑎+1=𝑎(𝑥−1)+1

2𝑥+𝑦=3

4. 已知方程组{，则2𝑥+6𝑦的值是( )

𝑥−2𝑦=5

A. −2 B. 2 C. −4 D. 4

5. 计算𝑎3⋅(𝑎3)2的结果是( )

A. 𝑎8 B. 𝑎9 C. 𝑎11 D. 𝑎18

6. 分别表示出如图阴影部分的面积，可以验证公式( )

A. (𝑎+𝑏)2=𝑎2+2𝑎𝑏+𝑏2 C. 𝑎2−𝑏2=(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)

B. (𝑎−𝑏)2=𝑎2−2𝑎𝑏+𝑏2 D. (𝑎+2𝑏)(𝑎−𝑏)=𝑎2+𝑎𝑏−2𝑏2

1

2𝑥+𝑦=1𝑥+𝑦=−23𝑥−𝑦=4

7. 下列方程组：①{，②{，③{，其中是二元一次

𝑦+𝑧=3𝑦=4−𝑥𝑥−3𝑦=0

方程组的是( )

A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ③

8. 已知𝑎=255，𝑏=344，𝑐=433，𝑑=522，则这四个数从小到大排列顺序是( )

A. a9. 把代数式3𝑥3−12𝑥2+12𝑥因式分解，结果正确的是 ( )

A. 3𝑥(𝑥2−4𝑥+4) C. 3𝑥(𝑥+2)(𝑥−2)

B. 3𝑥(𝑥−4)2 D. 3𝑥(𝑥−2)2

𝑏=2018𝑥+2019，𝑐=2018𝑥+2020，10. 已知𝑎=2018𝑥+2018，则𝑎2+𝑏2+𝑐2−

𝑎𝑏−𝑎𝑐−𝑏𝑐的值是( ) A. 0

B. 1 C. 2 D. 3

第Ⅱ卷

二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）

11. 中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两

(我国古代货币单位)；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为______．

12. 下面的图表是我国数学家发明的“杨辉三角”，此图揭示了(𝑎+𝑏)𝑛(𝑛为非负整数

)的展开式的项数及各项系数的有关规律．请你观察，并根据此规律写出：(𝑎+𝑏)5=______．

13. 因式分解：𝑎2𝑏−10𝑎𝑏+25𝑏= ______ ．

𝑥−2𝑦=𝑘

14. 若方程𝑥−𝑦=−1的一个解与方程组{的解相同，则k的值为______．

2𝑥−𝑦=115. 已知a，b，c为三角形的三边，若有(𝑎+𝑐)2=𝑏2+2𝑎𝑐，则这个三角形的形状是

______三角形．

16. 在实数范围内因式分解：2𝑥2−4𝑥𝑦−3𝑦2=______．

17. 若长方形的长为a，宽为b，周长为16，面积为15，则𝑎2𝑏+𝑎𝑏2的值为______ ． 18. 已知𝑥2−2(𝑚+1)𝑥𝑦+16𝑦2是一个完全平方式，则m的值是____． 三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）

2𝑥−𝑦=−2

19. （10分）解下列二元一次方程组(1) {

𝑥=5−𝑦

𝑥−3𝑦=6(2) {

2𝑥+5𝑦=1

20. （10分）计算该式，并用幂的形式表示结果：

(1)[2(𝑎−𝑏)2]3

(2)−(𝑥3)4+3×(𝑥2)4⋅𝑥4

21. （10分）已知：用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A

型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨，某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运转，且恰好每辆车都装满货物． 根据以上信息，解答下列问题：

(1)1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计，有几种租车方案？

B型车每辆需租金120元/次，(3)若A型车每辆需租金100元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．

22. （10分）用因式分解的方法进行简便运算：

(1)1772+232+46×177； (2)20012−4002×2000+20002．

23. （12分）若𝑎𝑚=𝑎𝑛(𝑎>0且𝑎≠1，m、n是正整数)，则𝑚=𝑛.利用上面结论解决

下面的问题：

(1)若3𝑥×9𝑥×27𝑥=312，求x的值．

(2)若𝑥=5𝑚−3，𝑦=4−25𝑚，用含x的代数式表示y．

24. （12分）已知𝑎2+𝑎+1=0，求𝑎4+2𝑎3+5𝑎2+4𝑎的值．

25. （14分）如图，将一张矩形纸板按照图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都

为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且𝑚>𝑛，(以上长度单位：𝑐𝑚)

(1)观察图形，可以发现代数式2𝑚2+5𝑚𝑛+2𝑛2可以因式分解为___________________；

(2)若每块小矩形的面积为10𝑐𝑚2，四个正方形的面积和为58𝑐𝑚2，试求图中所有裁剪线(虚线部分)长之和．

答案

1.C 2.C 3.C 4.C 5.B 6.C 7.D 8.B 9.D 10.D

11.{3𝑥+5𝑦=38

12.𝑎5+5𝑎4𝑏+10𝑎3𝑏2+10𝑎2𝑏3+5𝑎𝑏4+𝑏5 13.𝑏(𝑎−5)2 14.−4 15.直角

2−√10√1016.2(𝑥−2+2𝑦)(𝑥−2𝑦)

4𝑥+6𝑦=48

17.120 18.−5或3 19.解：{

2𝑥−𝑦=−2①

,

𝑥=5−𝑦②

把②代入①，得2(5−𝑦)−𝑦=−2， 解得𝑦=4，

将𝑦=4代入②式得𝑥=1， 𝑥=1

； 故方程组的解是{

𝑦=4𝑥−3𝑦=6①(2){,

2𝑥+5𝑦=1②

①×2−②，得−11𝑦=11，𝑦=−1， 则把𝑦=−1代入①得𝑥=3， 𝑥=3

． 故方程组的解是{

𝑦=−1

20.解：(1)[2(𝑎−𝑏)2]3=8(𝑎−𝑏)6

(2)−(𝑥3)4+3×(𝑥2)4⋅𝑥4 =−𝑥12+3𝑥8·𝑥4 =2𝑥12．

21.解：(1)设1辆A型车和1辆B型车一次分别可以运货x吨，y吨，

2𝑥+𝑦=10

根据题意得：{，

𝑥+2𝑦=11𝑥=3

解得：{，

𝑦=4

则1辆A型车和1辆B型车一次分别可以运货3吨，4吨；

(2)∵某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆， ∴3𝑎+4𝑏=31， 𝑎≥0

则有{𝑏=31−3𝑎≥0，

4

解得：0≤𝑎≤103， ∵𝑎为整数，

∴𝑎=0，1，2，…，10， ∵𝑏=

31−3𝑎4

1

=7−𝑎+

3+𝑎4

为整数，

∴𝑎=1，5，9，

∴𝑎=1，𝑏=7；𝑎=5，𝑏=4；𝑎=9，𝑏=1，

∴满足条件的租车方案一共有3种，𝑎=1，𝑏=7；𝑎=5，𝑏=4；𝑎=9，𝑏=1；

(3)∵𝐴型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次，

当𝑎=1，𝑏=7，租车费用为：𝑊=100×1+7×120=940元；当𝑎=5，𝑏=4，租车费用为：𝑊=100×5+4×120=980元；

当𝑎=9，𝑏=1，租车费用为：𝑊=100×9+1×120=1020元， ∴当租用A型车1辆，B型车7辆时，租车费最少为940元．

22.解：(1)1772+232+46×177

=1772+2×23×177+232 =(177+23)2 =2002 =40000．

(2)20012−4002×2000+20002 =20012−2×2001×2000+20002 =(2001−2000)2 =12=1．

23.解：(1)3𝑥×9𝑥×27𝑥=3𝑥×(32)𝑥×(33)𝑥=3𝑥×32𝑥×33𝑥=36𝑥．

∵36𝑥=312， ∴6𝑥=12， ∴𝑥=2．

(2)∵𝑥=5𝑚−3， ∴5𝑚=𝑥+3，

∵𝑦=4−25𝑚=4−(52)𝑚=4−(5𝑚)2=4−(𝑥+3)2， ∴𝑦=−𝑥2−6𝑥−5．

24.解：∵𝑎2+𝑎+1=0，

∴𝑎2+𝑎=−1， ∴𝑎4+2𝑎3+5𝑎2+4𝑎

=𝑎2(𝑎2+𝑎)+𝑎(𝑎2+𝑎)+4(𝑎2+𝑎) =𝑎2×(−1)+𝑎×(−1)+4×(−1) =−𝑎2−𝑎−4 =−(𝑎2+𝑎+4) =−(−1+4) =−3．

25.解：(1)(𝑚+2𝑛)(2𝑚+𝑛)；

(2)依题意得，2𝑚2+2𝑛2=58，𝑚𝑛=10， ∴𝑚2+𝑛2=29，

∵(𝑚+𝑛)2=𝑚2+2𝑚𝑛+𝑛2， ∴(𝑚+𝑛)2=29+20=49， ∵𝑚+𝑛>0， ∴𝑚+𝑛=7，

∴图中所有裁剪线(虚线部分)长之和为6×7=42𝑐𝑚．