小学数学常用逻辑用语.板块一.命题与四种命题.学生版

板块一.命题与四种命题

典例分析

题型一：判断命题的真假

【例1】 判断下列语句是否是命题：

⑴张三是四川人；⑵1010是个很大的数；⑶x22x0；⑷x260；⑸112；

【例2】 判断下列语句是不是命题，若是，判断出其真假，若不是，说明理由.

（1）矩形难道不是平行四边形吗？

（2）垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？ （3）求证：xR，方程x2x10无实根. （4）x5

（5）人类在2020年登上火星.

ππ【例3】 设语句p(x)：cos(x)sinx，写出p()，并判断它是不是真命题；

23

【例4】 判断下列命题的真假．

⑴空间中两条不平行的直线一定相交；

⑵垂直于同一个平面的两个平面互相垂直； ⑶每一个周期函数都有最小正周期； ⑷两个无理数的乘积一定是无理数； ⑸若AÚB，则ABB；

⑹若m1，则方程x22xm0无实数根． ⑺已知a，b，c，dR，若ac或bd，则abcd； ⑻已知a，b，c，dR，abcd，则ac或bd．

【例5】 下面有四个命题：①若a不属于N，则a属于N；②若aN，则ab的bN，

1．其中真命题的个数为（ ） 最小值为2；③x212x的解可表示为1，A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【例6】 命题p：奇函数一定有f(0)0；

1的单调递减区间是[1，0)x则下列四个判断中正确的是（ ）

命题q：函数yx(0，1]．

A．p真q真 B． p真q假 C． p假q真 D． p假q假

【例7】 给出下列三个命题：

ab①若a≥b1，则； ≥1a1bn②若正整数m和n满足m≤n，则m(nm)≤；

2③设P(x1，y1)为圆O1:x2y29上任一点，圆O2以Q(a，b)为圆心且半径为1．当(ax1)2(by1)21时，圆O1与圆O2相切；

其中假命题的个数为（ ） A．0 B．1

C．2 D．3

cd【例8】 已知三个不等式：ab0，．用b，c，d均为实数）bcad0，0（其中a，ab其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成真命题的个数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【例9】 已知m，，是三个不同平面，下列命题中正确的是n是两条不同直线，，（ ）

A．若m∥，n∥，则m∥n C．若m∥，m∥，则∥

B．若，，则∥ D．若m，n，则m∥n

【例10】 已知直线m、n与平面、，给出下列三个命题：

①若m∥，则m∥n；②若m∥，则nm；③若m，m∥，n，n∥，则．

其中真命题的个数是（ ） A．0 B．1 C．2

【例11】 已知三个不等式：ab0,bcad0, D．3

cd0（其中a,b,c,d均为实数）.用ab其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成真命题的个数是 （）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【例12】 下面有五个命题：

①函数ysin4xcos4x的最小正周期是π． ②终边在y轴上的角的集合是a|akπ，kZ． 2③在同一坐标系中，函数ysinx的图象和函数yx的图象有三个公共点．

ππ④把函数y3sin2x的图象向右平移得到y3sin2x的图象．

36⑤函数ysinx在0，π上是减函数． 2π其中真命题的序号是 ．

【例13】 对于四面体ABCD，下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编

号）．

①相对棱AB与CD所在的直线是异面直线；

②由顶点A作四面体的高，其垂足是BCD的三条高线的交点；

③若分别作ABC和ABD的边AB上的高，则这两条高所在的直线异面； ④分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点；

⑤最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱．

【例14】 设和为不重合的两个平面，给出下列命题：

①若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于； ②若外一条直线l与内的一条直线平行，则l和平行；

③设和相交于直线l，若内有一条直线垂直于l，则和垂直； ④直线l与垂直的充分必要条件是l与内的两条直线垂直． 上面命题中，真命题的序号是 ____ ．（写出所有真命题的序号）

【例15】 若x2,5和xx|x1或x4都是假命题，则x的范围是___________.



【例16】 设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射f:VV，aV，记a的象为

f(a)．若映射f:VV满足：对所有a，bV及任意实数，都有f(ab)f(a)f(，则b)f称为平面M上的线性变换．现有下列命题：

①设f是平面M上的线性变换，则f(0)0；

()2a②对aV，设fa，则f是平面M上的线性变换；w．w．w．k．s．5．u．c．o．m

③若e是平面M上的单位向量，对aV设f(a)ae，则f是平面M上的线

性变换；

bV，若a，b共线，则f(a)，f(b)也共线．④设f是平面M上的线性变换，a，

其中真命题是 （写出所有真命题的序号）

【例17】 设有两个命题：p:不等式|x||x1|a的解集为R，命题

q:f(x)(73a)x在R上为减函数.如果两个命题中有且只有一个是真命

题，那么实数a的取值范围是 .

【例18】 关于x的方程x21x21k0，给出下列四个命题：

2①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；

②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根； 其中假命题的个数是（ ） ．A．0 B．1

【例19】 对于直角坐标平面内的任意两点A(x1，定义它们之间的一种“距y1)、B(x2，y2)，

C．2 D．3

离”：

ABx1x2y1y2．给出下列三个命题：

①若点C在线段AB上，则ACCBAB； ②在ABC中，若C90，则ACCBAB； ③在ABC中，ACCBAB． 其中真命题的个数为（ ）

A．1个 B．2个 C．3个

D．4个

222【例20】 设直线系M:xcos(y2)sin1(0≤≤2π)，对于下列四个命题：

A．M中所有直线均经过一个定点

B．存在定点P不在M中的任一条直线上

C．对于任意整数n(n≥3)，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上 D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等

其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．

题型二：四种命题之间的关系

【例21】 命题“若xy，则|x||y|”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它

们的真假

【例22】 写出命题“若a,b都是偶数，则ab是偶数”的逆命题，否命题，逆否命题，并

判断它们的真假.

【例23】 写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假．

⑴“负数的平方是正数”；

⑵“若a和b都是偶数，则ab是偶数”； ⑶“当c0时，若ab，则acbc”； ⑷“若xy5，则x3且y2”；

【例24】 写出下列命题的否命题，并判断否命题的真假．

⑴命题p：“若ac0,则二次方程ax2bxc0没有实根”； ⑵命题q：“若xa且xb，则x2(ab)xab0”； ⑶命题r：“若(x1)(x2)0，则x1或x2”．

⑷命题l：“ABC中，若C90，则A、B都是锐角”；

⑸命题s：“若abc0，则a，b，c中至少有一个为零”．

【例25】 如果两个三角形全等，那么它们的面积相等； ① 如果两个三角形的面积相等，那么它们全等； ②

如果两个三角形不全等，那么它们的面积不相等； ③ 如果两个三角形的面积不相等，那么它们不全等； ④ 命题②、③、④与命题①有何关系？

【例26】 下列命题中正确的是（ ）

①“若x2y20，则x，y不全为零”的否命题 ②“正多边形都相似”的逆命题

③“若m0，则x2xm0有实根”的逆否命题

④“若x3是有理数，则x是无理数”的逆否命题

A．①②③④ B．①③④ C．②③④ D．①④

bR)，则“ab0”的逆否命题是（ ） 【例27】 命题：“若a2b20(a，A．若ab0(a，bR)，则a2b20 B．若a0且b0(a，bR)，则a2b20 C．若ab0(a，bR)，则a2b20 D．若a0或b0(a，bR)，则a2b20

【例28】 命题：“若x21，则1x1”的逆否命题是（ ）

A．若x2≥1，则x≥1或x≤1 B．若1x1，则x21 C．若x1或x1，则x21 D．若x≥1或x≤1，则x2≥1

【例29】 已知命题“如果a≤1，那么关于x的不等式(a24)x2(a2)x1≥0的解集为

”．它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有（ ）

A．0个 B．2个 C．3个 D．4个

【例30】 有下列四个命题：

①“若xy0，则x,y互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；

③“若q≤1，则x22xq0有实根”的逆否命题； ④“等边三角形的三个内角相等”逆命题；

其中真命题的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4

【例31】 下面有四个命题：①集合N中最小的数是1；②若a不属于N，则a属于N；

1,1.其③若aN,bN,则ab的最小值为2；④x212x的解可表示为中真命题的个数为（）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【例32】 有下列四个命题：①“若xy0 , 则x,y互为相反数”的逆命题；②“全等三

角形的面积相等”的否命题； ③“若q1 ,则x22xq0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题. 其中真命题为 （ ） A．①② B．②③ C．①③

D．③④

【例33】 原命题：“设a，b，cR，若ab，则ac2bc2”以及它的逆命题、否命题、逆

否命题中，真命题共有（ ）个．

A．0 B．1 C．2 D．4

【例34】 给出以下四个命题：

①“若xy0，则x，y互为相反数”的逆命题；

②“全等三角形的面积相等”的否命题；

③“若q≤1，则x2xq0有实根”的逆否命题； ④“不等边三角形的三内角相等”的逆否命题． 其中真命题是（ ）

A．①② B．②③ C．①③ D．③④

【例35】 命题：“若x21，则1x1”的逆否命题是（ ）

A．若x2≥1，则x≥1或x≤1 B．若1x1，则x21 C．若x1或x1，则x21 D．若x≥1或x≤1，则x2≥1

【例36】 有下列四个命题：①“若xy0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角

形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x22xq0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题．其中真命题为（ ）

A．①② B．②③ C．①③ D．③④

【例37】 命题“若ABC不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题

是 ．

【例38】 下列命题中_________为真命题．

①“ABA”成立的必要条件是“AÜB”； ②“若x2y20，则x，y全为0”的否命题； ③“全等三角形是相似三角形”的逆命题；

④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题．

【例39】 “在ABC中，若C90，则A、B都是锐角”的否命题为

；

【例40】 有下列四个命题：①命题“若xy1，则x，y互为倒数”的逆命题；②命题“面

积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若m≤1，则x22xm0有实根”的逆否命题；④命题“若ABB，则AB”的逆否命题．

其中是真命题的是 （填上你认为正确的命题的序号）．

【例41】 命题“若x,y是奇数，则xy是偶数”的逆否命题是 ;它是 命题.

【例42】 写出命题“若m0，则方程xxm0有实数根”的逆否命题，判断其真假，

2并加以证明.

【例43】 已知等比数列{an}的前n项和为Sn．

⑴若Sm，Sm2，Sm1成等差数列，证明am，am2，am1成等差数列； ⑵写出⑴的逆命题，判断它的真伪，并给出证明．

【例44】 在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2x相交于A、B两点．

2（1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么OAOB＝3”是真命题； （2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．

古今中外有学问的人，有成就的人，总是十分注意积累的。知识就是机积累起来的，经验也是积累起来的。我们对什么事情都不应该像“过眼云烟”。

学习知识要善于思考，思考，再思考。——爱因斯坦

镜破不改光，兰死不改香。——孟郊

生活的全部意义在于无穷地探索尚未知道的东西，在于不断地增加更多的知识。—

做学问的功夫，是细嚼慢咽的功夫。好比吃饭一样，要嚼得烂，方好消化，才会对人体有益。——陶铸

研卷知古今；藏书教子孙。——《对联集锦》

凡事豫（预）则立，不豫（预）则废。——《礼记》

知识是珍贵宝石的结晶，文化是宝石放出来的光泽。——泰戈尔

你是一个积极向上，有自信心的孩子。学习上有计划、有目标，能够合理安排自己的时间，学习状态挺好；心态平和，关心、帮助同学，关心班集体，积极参加班级、学校组织的各项活动，具有较强的劳动观念，积极参加体育活动，尊敬师长。希望你再接再厉，不满足于现状，争取做的更好。