初一相交线与平行线知识点
1.两条直线相交所成的四个角中，相邻的两个角叫做邻补角，特点是两个角共用一条边，另一条边互为反向延长线，性质是邻补角互补；相对的两个角叫做对顶角，特点是它们的两条边互为反向延长线，性质是对顶角相等。
2.三线八角：对顶角（相等）；邻补角（互补）；同位角，内错角，同旁内角。
3.两条直线被第三条直线所截：
同位角F（在两条直线的同一旁，第三条直线的同一侧）； 内错角Z（在两条直线内部，位于第三条直线两侧）； 同旁内角U（在两条直线内部，位于第三条直线同侧）。
4.两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角为90度，则称这两条直线互相垂直，其 中一条直线叫做另外一条直线的垂线，他们的交点称为垂足。
5.垂直三要素：垂直关系、垂直记号、垂足。
6.垂直公理：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
7.垂线段最短。
8.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。
9.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 如果b//a,c//a,那么b//c。
10.平行线的判定：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行； ③同旁内角互补，两直线平行。
11.在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。 12.平行线的性质： ①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补。
13.平面上不相重合的两条直线之间的位置关系为相交或平行。
14.平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移变 换，简称平移。
对应点：平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。
平移后前：①两个图形形状大小不变，位置改变；②对应点的连线相等且平行（或在一条 直线上）。
15.命题：判断一件事情的语句叫命题。
命题分为题设和结论两部分；题设是“如果”后面的，结论是“那么”后面的。 命题分为真命题和假命题两种。 定理是经过推理证实的真命题。 16.用尺规作线段和角
尺规作图：尺规作图是指只用圆规和没有刻度的直尺来作图。 直尺的功能是：在两点间连接一条线段；将线段向两方向延长。
圆规的功能是：以任意一点为圆心，任意长度为半径作一个圆；以任意一点为圆心，任意 长度为半径画一段弧。
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相交线与平行线综合练习题
一．选择题（共14小题）
1．下列图形中∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A．B． C. ．D.
2．如图，下列条件中，不能判断直线l1∥l2的是（ ） A．∠1=∠3 B．∠2=∠3 C．∠4=∠5 D．∠2+∠4=180°
3．如图，直线l1∥l2，则∠α为（ ） A．150° B．140° C．130° D．120°
4．如图，下列能判定AB∥CD的条件有（ ）个． （1）∠B+∠BCD=180°；（2）∠1=∠2；（3）∠3=∠4；（4）∠B=∠5． A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，已知∠1=70°，如果CD∥BE，那么∠B的度数为（ ） A．70° B．100° C．110° D．120°
6．如图，能判定EB∥AC的条件是（ ）
A．∠C=∠ABE B．∠A=∠EBD C．∠C=∠ABC D．∠A=∠ABE 7．将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：（1）∠1=∠2；（2）∠3=∠4；（3）∠2+∠4=90°；（4）∠4+∠5=180°，其中正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，∠A0B的两边OA，OB均为平面反光镜，∠A0B=40°．在射线OB上有 一点P，从P点射出一束光线经OA上的Q点反射后，反射光线QR恰好与OB平行，则∠QPB的度数是（ ） A．60° B．80° C．100° D．120°
9．如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3等于（ ） A．90° B．180° C．210° D．270°
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9．如图，AB∥CD，∠1=58°，FG平分∠EFD，则∠FGB的度数等于（ ） A．122° B．151° C．116° D．97°
11．如图，直线l1∥l2，∠A=125°，∠B=85°，则∠1+∠2=（ ） A．30° B．35° C．36° D．40° 12．下列说法中正确的是（ ）
A．两直线被第三条直线所截得的同位角相等; B．两直线被第三条直线所截得的同旁内角互补;
C．两平行线被第三条直线所截得的同位角的平分线互相垂直; D．两平行线被第三条直线所截得的同旁内角的平分线互相垂直.
13．如图，将矩形纸带ABCD，沿EF折叠后，C、D两点分别落在C′、D′的位置， 经测量得∠EFB=65°，则∠AED′的度数是（ ） A．65° B．55° C．50° D．25°
14．如图，把矩形ABCD沿直线EF折叠，若∠1=20°，则∠2=（ ） A．80° B．70° C．40° D．20° 二．填空题（共9小题）
15．如图，计划把河水引到水池A中，先作AB⊥CD，垂足为B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是 ．
16．把命题“对顶角相等”写成“如果…，那么…”的形式为：如果 ， 那么 ．
17．已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题： ①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c； ②如果b∥a，c∥a，那么b∥c； ③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c． 其中真命题的是 ．（填写所有真命题的序号）
18．如图，AB∥CD，∠CDE=119°，GF交∠DEB的平分线EF于点F，∠AGF=130°，则∠F= ．
19．用等腰直角三角板画∠AOB=45°，并将三角板沿OB方向平移到如图所示的虚线处后绕点M逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边与射线OA的夹角α为 度．
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20．如图，∠1=70°，∠2=70°，∠3=88°，则∠4= ．
21．如图，直线AE∥BD，点C在BD上，若AE=4，BD=8，△ABD的面积为16，则△ACE的面积为 ．
22．如图所示，OP∥QR∥ST，若∠2=110°，∠3=120°，则∠1= 度． 23．如图，已知AB∥CD，∠1=100°，∠2=120°，则∠α= 度．
三．解答题（共17小题）
24．如上图，EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70°．将求∠AGD的过程填写完整． 解：∵EF∥AD，（ ）
∴∠2= ．（两直线平行，同位角相等；） 又∵∠1=∠2，（ ） ∴∠1=∠3．（ ） ∴AB∥DG．（ ） ∴∠BAC+ =180°（ ） 又∵∠BAC=70°，（ ） ∴∠AGD= ．
25．已知：如上图，AD∥BE，∠1=∠2，求证：∠A=∠E．
26．如图所示，直线AB、CD相交于O，OE平分∠AOD，∠FOC=90°，∠1=40°，求∠2和∠3的度数．
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27．如图，已知，l1∥l2，C1在l1上，并且C1A⊥l2，A为垂足，C2，C3是l1上任意两点，点B在l2上．设△ABC1的面积为S1，△ABC2的面积为S2，△ABC3的面积为S3，小颖认为S1=S2=S3，请帮小颖说明理由．
28．如图，直线AB与CD相交于点O，OP是∠BOC的平分线，OE⊥AB，OF⊥CD． （1）图中除直角外，还有相等的角吗？请写出两对： ① ；② ． （2）如果∠AOD=40°．
①那么根据 ，可得∠BOC= 度． ②因为OP是∠BOC的平分线，所以∠COP=∠ = 度． ③求∠BOF的度数．
29．如图，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠ACB的大小关系，并说明理由．
30．已知：如上图，DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1=∠2，求证：CD⊥AB． 证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC（已知）∴∠DGB=∠ACB=90°（垂直定义）
∴DG∥AC（ ）∴∠2= （ ） ∵∠1=∠2（已知）∴∠1=∠ （等量代换） ∴EF∥CD（ ）∴∠AEF=∠ （ ） ∵EF⊥AB（已知）∴∠AEF=90°（ ）
∴∠ADC=90°（ ）∴CD⊥AB（ ）
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31．如上图，已知：AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA．求证：EF平分∠BED．（证明注明理由）
32．如上图，已知∠ABC+∠ECB=180°，∠P=∠Q， （1）AB与ED平行吗？为什么？
（2）∠1与∠2是否相等？说说你的理由．
33．如上图，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC，OE平分∠BON，若∠EON=20°，求∠AOM和∠NOC的度数．
34．如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠BAD=80°，试求： （1）∠EDC的度数；
（2）若∠BCD=n°，试求∠BED的度数．
35．△ABC在如图所示的平面直角中，将其平移后得△A′B′C′，若B的对应点B′的坐标是（4，1）．
（1）在图中画出△A′B′C′；
（2）此次平移可看作将△ABC向 平移了 个单位长度，再向 平移了 个单位长度得△A′B′C′； （3）△A′B′C′的面积为 ．
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36．如上图，已知射线AB与直线CD交于点O，OF平分∠BOC，OG⊥OF于O， AE∥OF，且∠A=30°． （1）求∠DOF的度数；
（2）试说明OD平分∠AOG．
37．实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等． （1）如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射．若被b反射出的光线n与光线m平行，且∠1=38°，则∠2= °，∠3= °． （2）在（1）中，若∠1=55°，则∠3= °；若∠1=40°，则∠3= °． （3）由（1）、（2），请你猜想：当两平面镜a、b的夹角∠3= °时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行．你能说明理由吗？
38．如图，已知直线l1∥l2，l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P 在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3． （1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3=∠1+∠2；
（2）若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系；
（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明．
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39．如图，直线CB∥OA，∠C=∠OAB=100°，E、F在CB上，且满足∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF
（1）求∠EOB的度数；
（2）若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值．
（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．
40．如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补． （1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点使∠PHK=∠HPK，作PQ平分∠EPK，问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．
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相交线与平行线综合练习题参考答案 一．选择题（共14小题） 1．（2014•凉山州）下列图形中∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A． B． C． D． 【解答】解：根据对顶角的定义，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．符合条件的只有B， 故选：B．
2．（2004•淄博）如图，下列条件中，不能判断直线l1∥l2的是（ ） A．∠1=∠3 B．∠2=∠3 C．∠4=∠5 D．∠2+∠4=180°
【解答】解：A、根据内错角相等，两直线平行可判断直线l1∥l2，故此选项不合题意；
B、∠2=∠3，不能判断直线l1∥l2，故此选项符合题意；
C、根据同位角相等，两直线平行可判断直线l1∥l2，故此选项不合题意； D、根据同旁内角互补，两直线平行可判断直线l1∥l2，故此选项不合题意； 故选：B． 3．（2013•天水）如图，直线l1∥l2，则∠α为（ ） A．150° B．140° C．130° D．120°
【解答】解：∵l1∥l2，∴130°所对应的同旁内角为∠1=180°﹣130°=50°， 又∵∠α与（70°+∠1）的角是对顶角，∴∠α=70°+50°=120°．故选：D． 4．（2017春•赵县期末）如图，下列能判定AB∥CD的条件有（ ）个． （1）∠B+∠BCD=180°；（2）∠1=∠2；（3）∠3=∠4；（4）∠B=∠5．
A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：（1）利用同旁内角互补判定两直线平行，故（1）正确；
（2）利用内错角相等判定两直线平行，∵∠1=∠2，∴AD∥BC，而不能判定AB∥CD，故（2）错误；
（3）利用内错角相等判定两直线平行，故（3）正确； （4）利用同位角相等判定两直线平行，故（4）正确． ∴正确的为（1）、（3）、（4），共3个；故选：C．
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6．（2015•呼和浩特）如图，已知∠1=70°，如果CD∥BE，那么∠B的度数为（ ） A．70° B．100° C．110° D．120°
【解答】解：如图，∵∠1=70°，∴∠2=∠1=70°，
∵CD∥BE，∴∠B=180°﹣∠1=180°﹣70°=110°．故选：C． 6．（2014•汕尾）如图，能判定EB∥AC的条件是（ ）
A．∠C=∠ABE B．∠A=∠EBD C．∠C=∠ABC D．∠A=∠ABE
【解答】解：A、∠C=∠ABE不能判断出EB∥AC，故A选项不符合题意； B、∠A=∠EBD不能判断出EB∥AC，故B选项不符合题意；
C、∠C=∠ABC只能判断出AB=AC，不能判断出EB∥AC，故C选项不符合题意； D、∠A=∠ABE，根据内错角相等，两直线平行，可以得出EB∥AC，故D选项符合题意．故选：D． 7．（2008•荆州）将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：（1）∠1=∠2；（2）∠3=∠4；（3）∠2+∠4=90°；（4）∠4+∠5=180°，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵纸条的两边平行，∴（1）∠1=∠2（同位角）； （2）∠3=∠4（内错角）；（4）∠4+∠5=180°（同旁内角）均正确；
∵直角三角板与纸条下线相交的角为90°，∴（3）∠2+∠4=90°，正确．故选：D． 8．（2014•安顺）如图，∠A0B的两边OA，OB均为平面反光镜，∠A0B=40°．在射线OB上有一点P，从P点射出一束光线经OA上的Q点反射后，反射光线QR恰好与OB平行，则∠QPB的度数是（ ） A．60° B．80° C．100° D．120°
【解答】解：∵QR∥OB，∴∠AQR=∠AOB=40°，∠PQR+∠QPB=180°； ∵∠AQR=∠PQO，∠AQR+∠PQO+∠RQP=180°（平角定义），
∴∠PQR=180°﹣2∠AQR=100°，∴∠QPB=180°﹣100°=80°．故选：B． 9．（2013•泰安）如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3等于（ ） A．90° B．180° C．210° D．270°
【解答】解：∵AB∥CD，∴∠B+∠C=180°，∴∠4+∠5=180°， 根据多边形的外角和定理，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°， ∴∠1+∠2+∠3=360°﹣180°=180°．故选B．
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10．（2015•泰安）如图，AB∥CD，∠1=58°，FG平分∠EFD，则∠FGB的度数等于（ ）
A．122° B．151° C．116° D．97°
【解答】解：∵AB∥CD，∠1=58°，∴∠EFD=∠1=58°， ∵FG平分∠EFD，∴∠GFD=∠EFD=×58°=29°，
∵AB∥CD，∴∠FGB=180°﹣∠GFD=151°．故选B． 11．（2014•遵义）如图，直线l1∥l2，∠A=125°，∠B=85°，则∠1+∠2=（ ） A．30° B．35° C．36° D．40°
【解答】解：如图，过点A作l1的平行线，过点B作l2的平行线， ∴∠3=∠1，∠4=∠2，
∵l1∥l2，∴AC∥BD，∴∠CAB+∠ABD=180°，
∴∠3+∠4=125°+85°﹣180°=30°，∴∠1+∠2=30°．故选：A． 12．（2013•无锡）下列说法中正确的是（ ） A．两直线被第三条直线所截得的同位角相等 B．两直线被第三条直线所截得的同旁内角互补
C．两平行线被第三条直线所截得的同位角的平分线互相垂直 D．两平行线被第三条直线所截得的同旁内角的平分线互相垂直
【解答】解：A、两平行线被第三条直线所截得的同位角相等，原说法错误，故本选项错误；
B、两平行线被第三条直线所截得的同旁内角互补，原说法错误，故本选项错误； C、两平行线被第三条直线所截得的同位角的平分线互相平行，原说法错误，故本选项错误；
D、两平行线被第三条直线所截得的同旁内角的平分线互相垂直，说法正确，故本选项正确；故选D． 13．（2015•天水）如图，将矩形纸带ABCD，沿EF折叠后，C、D两点分别落在C′、D′的位置，经测量得∠EFB=65°，则∠AED′的度数是（ ）
A．65° B．55° C．50° D．25°
【解答】解：∵AD∥BC，∠EFB=65°，∴∠DEF=65°，
∴∠DED′=2∠DEF=130°，∴∠AED′=180°﹣130°=50°．故选C．
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14．（2013•梧州）如图，把矩形ABCD沿直线EF折叠，若∠1=20°，则∠2=（ ）
A．80° B．70° C．40° D．20°
【解答】解：过G点作GH∥AD，如图，∴∠2=∠4， ∵矩形ABCD沿直线EF折叠，∴∠3+∠4=∠B=90°，
∵AD∥BC，∴HG∥BC，∴∠1=∠3=20°，∴∠4=90°﹣20°=70°，∴∠2=70°． 故选B．
二．填空题（共9小题） 15．（2016春•沧州期末）如图，计划把河水引到水池A中，先作AB⊥CD，垂足为B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是 连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短 ．
【解答】解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，∴沿AB开渠，能使所开的渠道最短．
故答案为：连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短． 16．（2016春•尚志市期末）把命题“对顶角相等”写成“如果…，那么…”的形式为：如果 两个角是对顶角 ，那么 这两个角相等 ．
【解答】解：原命题的条件是：“两个角是对顶角”，结论是：“这两个角相等”， 命题“对顶角相等”写成“如果…，那么…”的形式为：“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”．
故答案为：两个角是对顶角；这两个角相等． 17．（2015•庆阳）已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题： ①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c； ②如果b∥a，c∥a，那么b∥c； ③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c． 其中真命题的是 ①②④ ．（填写所有真命题的序号）
【解答】解：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c是真命题，故①正确； ②如果b∥a，c∥a，那么b∥c是真命题，故②正确； ③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c是假命题，故③错误；
④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c是真命题，故④正确．故答案为：①②④． 18．（2015•绵阳）如图，AB∥CD，∠CDE=119°，GF交∠DEB的平分线EF于点F，∠AGF=130°，则∠F= 9.5° ．
【解答】解：∵AB∥CD，∠CDE=119°，∴∠AED=180°﹣119°=61°，∠DEB=119°． ∵GF交∠DEB的平分线EF于点F，
∴∠DEF=×119°=59.5°，∴∠GEF=61°+59.5°=120.5°．
∵∠AGF=130°，∴∠F=∠AGF﹣∠GEF=130°﹣120.5°=9.5°．故答案为：9.5°．
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19．（2007•扬州）用等腰直角三角板画∠AOB=45°，并将三角板沿OB方向平移到如图所示的虚线处后绕点M逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边与射线OA的夹角α为 22 度．
【解答】解：由平移的性质知，AO∥SM，故∠WMS=∠OWM=22°； 故答案为：22．
20．（2012春•阜宁县期中）如图，∠1=70°，∠2=70°，∠3=88°，则∠4= 92° ． 【解答】解：∵∠1=70°，∠2=70°，∴∠1=∠2，∴a∥b，∴∠3+∠4=180°， ∵∠3=88°，∴∠4=92°． 21．（2003•常州）如图，直线AE∥BD，点C在BD上，若AE=4，BD=8，△ABD的面积为16，则△ACE的面积为 8 ．
【解答】解：在△ABD中，当BD为底时，设高为h， 在△AEC中，当AE为底时，设高为h′，
∵AE∥BD，∴h=h′，∵△ABD的面积为16，BD=8， ∴h=4．则△ACE的面积=×4×4=8．
22．（2017春•临清市期中）如图所示，OP∥QR∥ST，若∠2=110°，∠3=120°，则∠1= 50 度．
【解答】解：∵OP∥QR，∴∠2+∠PRQ=180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵QR∥ST，∴∠3=∠SRQ（两直线平行，内错角相等）， ∵∠SRQ=∠1+∠PRQ，即∠3=180°﹣∠2+∠1， ∵∠2=110°，∠3=120°，∴∠1=50°，故填50． 23．（2010•开县校级模拟）如图，已知AB∥CD，∠1=100°，∠2=120°，则∠α= 40 度．
【解答】解：如图，过点F作EF∥AB， ∴∠1+∠3=180°．∵∠1=100°，∴∠3=80°．∵AB∥CD，∴CD∥EF，∴∠4+∠2=180°， ∵∠2=120°，∴∠4=60°．∴∠α=180°﹣∠3﹣∠4=40°．故应填40． 三．解答题（共17小题） 24．（2010•安县校级模拟）如图，EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70°．将求∠AGD的过程填写完整．
【解答】解∵EF∥AD，（ 已知 ）
∴∠2= ∠3 ．（两直线平行，同位角相等；）
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又∵∠1=∠2，（ 已知 ） ∴∠1=∠3．（ 等量代换 ） ∴AB∥DG．（ 内错角相等，两直线平行； ）
∴∠BAC+ ∠AGD =180°（ 两直线平行，同旁内角互补； ） 又∵∠BAC=70°，（ 已知 ） ∴∠AGD= 110° ．
25．（2017春•天津期末）已知：如图，AD∥BE，∠1=∠2，求证：∠A=∠E． 【解答】证明：∵AD∥BE，∴∠A=∠3，∵∠1=∠2，∴DE∥AC， ∴∠E=∠3，∴∠A=∠EBC=∠E． 26．（2014•香洲区校级三模）如图所示，直线AB、CD相交于O，OE平分∠AOD，∠FOC=90°，∠1=40°，求∠2和∠3的度数．
【解答】解：∵∠FOC=90°，∠1=40°，AB为直线，∴∠3+∠FOC+∠1=180°， ∴∠3=180°﹣90°﹣40°=50°．∠3与∠AOD互补，∴∠AOD=180°﹣∠3=130°， ∵OE平分∠AOD，∴∠2=∠AOD=65°．
27．（2015•六盘水）如图，已知，l1∥l2，C1在l1上，并且C1A⊥l2，A为垂足，C2，C3是l1上任意两点，点B在l2上．设△ABC1的面积为S1，△ABC2的面积为S2，△ABC3的面积为S3，小颖认为S1=S2=S3，请帮小颖说明理由．
【解答】解：∵直线l1∥l2，
∴△ABC1，△ABC2，△ABC3的底边AB上的高相等， ∴△ABC1，△ABC2，△ABC3这3个三角形同底，等高，
∴△ABC1，△ABC2，△ABC3这些三角形的面积相等．即S1=S2=S3． 28．（2016秋•临河区期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OP是∠BOC的平分线，OE⊥AB，OF⊥CD．
（1）图中除直角外，还有相等的角吗？请写出两对： ① ∠COE=∠BOF ；② ∠COP=∠BOP ． （2）如果∠AOD=40°．
①那么根据 对顶角相等 ，可得∠BOC= 40 度．
②因为OP是∠BOC的平分线，所以∠COP=∠ BOC = 20 度． ③求∠BOF的度数．
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【解答】解：（1）∠COE=∠BOF、∠COP=∠BOP、∠COB=∠AOD（写出任意两个即可）；
（2）①对顶角相等，40度； ②∠COP=∠BOC=20°；
③∵∠AOD=40°，∴∠BOF=90°﹣40°=50°． 29．（2016春•宜春期末）如图，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠ACB的大小关系，并说明理由． 【解答】解：∠AED=∠ACB．
理由：∵∠1+∠4=180°（平角定义），∠1+∠2=180°（已知）．∴∠2=∠4． ∴EF∥AB（内错角相等，两直线平行）∴∠3=∠ADE（两直线平行，内错角相等）． ∵∠3=∠B（已知），∴∠B=∠ADE（等量代换）． ∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）∴∠AED=∠ACB（两直线平行同位角相等）． 30．（2015春•邢台期末）已知：如图，DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1=∠2，求证：CD⊥AB．
证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC（已知）∴∠DGB=∠ACB=90°（垂直定义） ∴DG∥AC（同位角相等，两直线平行）∴∠2=∠ACD（两直线平行，内错角相等 ） ∵∠1=∠2（已知）∴∠1=∠ ACD （等量代换）
∴EF∥CD（同位角相等，两直线平行）∴∠AEF=∠ADC（两直线平行同位角相等） ∵EF⊥AB（已知）∴∠AEF=90°（ 垂直定义 ）
∴∠ADC=90°（ 等量代换 ）∴CD⊥AB（ 垂直定义 ）
【解答】解：证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC（已知）
∴∠DGB=∠ACB=90°（垂直定义）∴DG∥AC（同位角相等，两直线平行） ∴∠2=∠ACD（两直线平行，内错角相等）
∵∠1=∠2（已知）∴∠1=∠ACD（等量代换）∴EF∥CD（同位角相等，两直线平行）∴∠AEF=∠ADC（两直线平行，同位角相等）
∵EF⊥AB（已知）∵∠AEF=90°（垂直定义）∴∠ADC=90°（等量代换） ∴CD⊥AB（垂直定义）．
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31．（2011春•滕州市期末）如图，已知：AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA．求证：EF平分∠BED．（证明注明理由）
【解答】证明：∵AC∥DE（已知），∴∠BCA=∠BED（两直线平行，同位角相等）， 即∠1+∠2=∠4+∠5，
∵AC∥DE，∴∠1=∠3（两直线平行，内错角相等）； ∵DC∥EF（已知），∴∠3=∠4（两直线平行，内错角相等）； ∴∠1=∠4（等量代换），∴∠2=∠5（等式性质）； ∵CD平分∠BCA（已知），∴∠1=∠2（角平分线的定义），∴∠4=∠5（等量代换）， ∴EF平分∠BED（角平分线的定义）． 32．（2014秋•兴化市校级期末）如图，已知∠ABC+∠ECB=180°，∠P=∠Q， （1）AB与ED平行吗？为什么？
（2）∠1与∠2是否相等？说说你的理由． 【解答】解：（1）AB∥ED，
理由是：∵∠ABC+∠ECB=180°，∴根据同旁内角互补，两直线平行可得AB∥ED； （2）∠1=∠2，
理由是：∵AB∥CD，∴∠ABC=∠BCD，∵∠P=∠Q，∴∠PBC=∠QCB， ∴∠ABC﹣∠PBC=∠BCD﹣∠QCB，即∠1=∠2． 33．（2005秋•乐清市期末）如图，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC，OE平分∠BON，若∠EON=20°，求∠AOM和∠NOC的度数．
【解答】解：∵OE平分∠BON，∴∠BON=2∠EON=2×20°=40°， ∴∠NOC=180°﹣∠BON=180°﹣40°=140°，∠MOC=∠BON=40°，
∵AO⊥BC，∴∠AOC=90°，∴∠AOM=∠AOC﹣∠MOC=90°﹣40°=50°， 所以∠NOC=140°，∠AOM=50°． 34．（2014春•西区期末）如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠BAD=80°，试求： （1）∠EDC的度数；（2）若∠BCD=n°，试求∠BED的度数．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠ADC=∠BAD=80°， 又∵DE平分∠ADC，∴∠EDC=∠ADC=40°；
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（2）过E作EF∥AB，则EF∥AB∥CD． ∵AB∥CD，∴∠ABC=∠BCD=n°， 又∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=n°，
∵EF∥AB，∴∠BEF=∠ABE=n°，∵EF∥CD，∴∠FED=∠EDC=40°， ∴∠BED=n°+40°．
35．（2014春•宁津县期末）△ABC在如图所示的平面直角中，将其平移后得△A′B′C′，若B的对应点B′的坐标是（4，1）． （1）在图中画出△A′B′C′；
（2）此次平移可看作将△ABC向 左 平移了 2 个单位长度，再向 下 平移了 1 个单位长度得△A′B′C′； （3）△A′B′C′的面积为 10 ． 【解答】解： （1）如图．
（2）向左平移2个单位长度，向下平移1个单位长度．（平移的顺序可颠倒） （3）把△ABC补成矩形再把周边的三角形面积减去，即可求得△A′B′C′的面积=△ABC的面积为=24﹣4﹣4﹣6=10． 36．（2016春•兰陵县期末）如图，已知射线AB与直线CD交于点O，OF平分∠BOC，OG⊥OF于O，AE∥OF，且∠A=30°． （1）求∠DOF的度数；
（2）试说明OD平分∠AOG． 【解答】解：（1）∵AE∥OF，∴∠FOB=∠A=30°，
∵OF平分∠BOC，∴∠COF=∠FOB=30°，∴∠DOF=180°﹣∠COF=150°； （2）∵OF⊥OG，∴∠FOG=90°，
∴∠DOG=∠DOF﹣∠FOG=150°﹣90°=60°，
∵∠AOD=∠COB=∠COF+∠FOB=60°，∴∠AOD=∠DOG，∴OD平分∠AOG．
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37．（2014春•鞍山期末）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等． （1）如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射．若被b反射出的光线n与光线m平行，且∠1=38°，则∠2= 76 °，∠3= 90 °． （2）在（1）中，若∠1=55°，则∠3= 90 °；若∠1=40°，则∠3= 90 °． （3）由（1）、（2），请你猜想：当两平面镜a、b的夹角∠3= 90 °时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行．你能说明理由吗？
【解答】解：（1）∵入射角与反射角相等，即∠1=∠5，∠7=∠6， 又∵∠1=38°，∴∠5=38°，∴∠4=180°﹣∠1﹣∠5=104°， ∵m∥n，∴∠2=180°﹣∠4=76°，
∴∠6=（180°﹣76°）÷2=52°，∴∠3=180°﹣∠6﹣∠5=90°；
（2）由（1）可得当∠1=55°和∠1=40°时，∠3的度数都是90°； （3）∵∠3=90°，∴∠6+∠5=90°， 又由题意知∠1=∠5，∠7=∠6，
∴∠2+∠4=180°﹣（∠7+∠6）+180°﹣（∠1+∠5）， =360°﹣2∠5﹣2∠6，=360°﹣2（∠5+∠6），=180°． 由同旁内角互补，两直线平行，可知：m∥n． 故答案为：76°，90°90°，90°90°． 38．（2017春•河北期末）如图，已知直线l1∥l2，l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P 在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．
（1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3=∠1+∠2；
（2）若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系；
（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明． 【解答】证明：（1）过P作PQ∥l1∥l2，
由两直线平行，内错角相等，可得：∠1=∠QPE、∠2=∠QPF； ∵∠3=∠QPE+∠QPF，∴∠3=∠1+∠2． （2）关系：∠3=∠2﹣∠1；
过P作直线PQ∥l1∥l2，则：∠1=∠QPE、∠2=∠QPF； ∵∠3=∠QPF﹣∠QPE，∴∠3=∠2﹣∠1． （3）关系：∠3=360°﹣∠1﹣∠2．
过P作PQ∥l1∥l2；同（1）可证得：∠3=∠CEP+∠DFP；
∵∠CEP+∠1=180°，∠DFP+∠2=180°，∴∠CEP+∠DFP+∠1+∠2=360°， 即∠3=360°﹣∠1﹣∠2．
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39．（2016春•广水市期末）如图，直线CB∥OA，∠C=∠OAB=100°，E、F在CB上，且满足∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF （1）求∠EOB的度数；
（2）若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值．
（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）∵CB∥OA，∴∠AOC=180°﹣∠C=180°﹣100°=80°， ∵OE平分∠COF，∴∠COE=∠EOF，
∵∠FOB=∠AOB，∴∠EOB=∠EOF+∠FOB=∠AOC=×80°=40°； （2）∵CB∥OA，∴∠AOB=∠OBC，∵∠FOB=∠AOB，∴∠FOB=∠OBC， ∴∠OFC=∠FOB+∠OBC=2∠OBC，∴∠OBC：∠OFC=1：2，是定值； （3）在△COE和△AOB中，
∵∠OEC=∠OBA，∠C=∠OAB，∴∠COE=∠AOB，
∴OB、OE、OF是∠AOC的四等分线，∴∠COE=∠AOC=×80°=20°，
∴∠OEC=180°﹣∠C﹣∠COE=180°﹣100°﹣20°=60°，
故存在某种情况，使∠OEC=∠OBA，此时∠OEC=∠OBA=60°． 40．（2017春•鄂州期末）如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．
（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点使∠PHK=∠HPK，作PQ平分∠EPK，问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．
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【解答】解：（1）如图1，∵∠1与∠2互补，∴∠1+∠2=180°． 又∵∠1=∠AEF，∠2=∠CFE，∴∠AEF+∠CFE=180°，∴AB∥CD； （2）如图2，由（1）知，AB∥CD，∴∠BEF+∠EFD=180°．
又∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，∴∠FEP+∠EFP=（∠BEF+∠EFD）=90°， ∴∠EPF=90°，即EG⊥PF．∵GH⊥EG，∴PF∥GH； （3）∠HPQ的大小不发生变化，理由如下： 如图3，∵∠1=∠2，∴∠3=2∠2．
又∵GH⊥EG，∴∠4=90°﹣∠3=90°﹣2∠2．∴∠EPK=180°﹣∠4=90°+2∠2． ∵PQ平分∠EPK，∴∠QPK=∠EPK=45°+∠2．∴∠HPQ=∠QPK﹣∠2=45°， ∴∠HPQ的大小不发生变化，一直是45°．
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