湖北省武汉市乐其教育培训学校2017-2018学年八年级数学全等三角形讲义 第一讲 与三角形有关的

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第 一 讲

【知识要点】 一、三角形

与三角形有关的边 1．概念：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾相连. 2．几何表示：①顶点；②内角、外角；③边；④三角形. 3．三种重要线段及画法：①中线；②角平分线；③高线.

A A A A A

B C

C B C B C B C B

(三条中线) (三条角平分线) (三条高线) (三条高线) (三条高线) 二、三角形的三边关系

【应用一】利用三点间形成的三条线段长度，判断能否三点共线或三点构成三角形 引例：已知平面上有 A、B、C 三点.根据下列线段的长度判断 A、B、C 存在的位置情况：

(1)AB=9，AC=4，BC=5；A、B、C 存在的位置情况是： (2)AB=3，AC=10，BC=7；A、B、C 存在的位置情况是： (3)AB=5，AC=4，BC=8；A、B、C 存在的位置情况是： (4)AB=3，AC=9，BC=10；A、B、C 存在的位置情况是： (5)AB=4，AC=6，BC=12；A、B、C 存在的位置情况是：

； ； ； ； .

总结：若已知三条线段中的最长线段：①三点共线：两条较小线段和等于最长线段

②三角形：两条较小线段和大于最长线段 若未知三条线段中的

最长线段：①三点共线：有两条线段和等于第三条线段（三种情况取其一）

②三角形：任意两条线段和大于第三条线段（三种情况缺一不可）

1．已知 BC= a ，AC= b ，AB= c ，且 a ＜ b ＜ c .

（1）A、B、C 三点在同一条直线上，则 a、b、c 满足： （2）若构成△ABC，则 a、b、c 满足： 2．已知 BC= a ，AC= b ，AB= c .

（1）A、B、C 三点在同一条直线上，则 a、b、c 满足：

；

；

；

（2）若构成△ABC，则 a、b、c 满足：

总结：三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边. 三角形的三边关系定理的推论：三角形任意两边之差小于第三边.

【应用二】已知三角形含未知数的三边，确定未知数的取值范围

1．原理一：三角形的三边为 a，b，f ( x) ，则 x 满足ab ＜f ( x)＜a  b ；

.

f(x)g(x)fh(x)2．原理二：三角形的三边为 f ( x)，g ( x)，h( x) ，则 x 满足f(x)h(x)fg(x)

g(x)h(x)ff(x)

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【新知讲授】

例一、如图，在△ABC 中.

①AD 为△ABC 的中线，则线段关系： = 面积关系： =

=

1= 2

1 2

②AE 为△ABC 的角平分线，则∠

1=∠ =∠

2).

③AF 为△ABC 的高线，则∠ =∠ =90°； 例二、（1）以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是( ．(A)7cm，5cm，12cm (C)4cm，6cm，5cm

(B)6cm，8cm，15cm (D)8cm，4cm，3cm

（2）满足下列条件的三条线段不能组成三角形的是 ．．

.（只填写序号，a、b、c 都是正数）

① a =5， b =9， c =7； ② a ∶ b ∶ c =2∶3∶5； ③1， a ， b ，其中 1+ a ＞ b ；

④ a + b ＞ c ； ⑤ a +2， a +6，5； ⑥ a ＜ b ＜ c ，其中 a + b ＞ c . 例三、已知三角形的三边长分别为 2，5， x ，则 x 的取值范围是

. 发散：

.

①已知三角形的三边长分别为 2，5， 2 x  1 ，则 x 的取值范围是

24xx 的取值范围是 ②已知三角形的三边长分别为 2，5，，则

3

.

③已知三角形的两边长分别为 2，5，则三角形周长 C 的取值范围是

.

④已知一个三角形中两边长分别为 a 、b ，且 a ＞ b ，那么这个三角形的周长  的取值范围是（ ）. (A)3 b ＜  ＜3 a (B)2 a ＜  ＜2 a +2 b (C) a +2 b ＜  ＜2 a + b (D) a +2 b ＜  ＜3 a - b

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⑤若 a、b、c 是△ABC 的三边长，化简| a  b  c | +| a  b  c |的结果为( (A) 2b

).

(B)0 (C) 2a (D) 2a  2c

⑥若 a、b、c 分别为△ABC 的三边长，则｜a  b  c｜｜b  c  a｜｜c  b  a｜=

.

例四、已知三角形的三边长分别为 5，14-3 x ，2 x +3.

（1）则 x 的取值范围是 ； （2）则它的周长  的取值范围是 ；

发散：①已知三角形的三边长分别为 2，5- x ， x -1，则 x 的取值范围是

.

②已知在△ABC 中，AB=7，BC∶AC=4∶3，则△ABC 的周长 C 的取值范围为

.

三、三角形按边分类

1．分类：

2．等腰三角形：有两边相等的三角形，相等的两条边叫做腰，第三边叫做底. 原理三：等腰三角形的三边为 f ( x)，f ( x)，g ( x) ，则 x 满足 0 ＜ g ( x) ＜f ( x)+f ( x) .

f(x)g(x)原理四：等腰三角形的三边为 f ( x)，g ( x)，h( x) ，则 x 满足或

0ph(x)p2f(x)f(x)h(x)g(x)h(x)或，注意一定要检验三边关系！ 0pg(x)p2f(x)0pf(x)p2g(x)

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例五、（1）已知等腰三角形两边的长分别为 3 和 7，则第三边长为

（2）等腰三角形的周长为 14，一边长为 3，则另两边长分别为 （3）已知等腰三角形腰长为 8， 则三角形底边长 x 的取值范围是

周长  的取值范围是 ； （4）已知等腰三角形底边长为 8， 则三角形腰长 x 的取值范围是 周长  的取值范围是 ； （5）已知等腰三角形周长为 8， 则三角形腰长 x 的取值范围是 （6）已知等腰三角形周长为 8， 则三角形底边长 x 的取值范围是

，它的周长为

； ； ； ； ；

；

（7）已知等腰三角形的三边长分别为 2  x ， 2  x ，8x  2 ，则 x 的取值范围是 （8）已知等腰三角形的三边长分别为 9  3x ， 5  x ， 7 x  1 ，求 x 的值.

；

例六、已知在△ABC 中，AB=AC，它的周长为 16，AC 边上的中线 BD 把△ABC 分成周长之差为 4 的两个

三角形，求△ABC 各边的长.

A

D

B

C

例七、如图，等腰△ABC 中，AB=AC，BD 为△ABC 的中线，且 BD 把它的周长分为 15 和 6 两部分，求该

三角形各边长.

A

D

B

C

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