2003年数学四试题 考研数学真题及解析

2003年考研数学（四）试题

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

（1）极限lim[1ln(1x)]= - .

x02x（2）

11(xx)exdx= - .

a,若0x1,而D表示全平面，则

0,其他，（3）设a>0，f(x)g(x)If(x)g(yx)dxdy= - .

D202（4）设A,B均为三阶矩阵，E是三阶单位矩阵. 已知AB=2A+B,B=040,则 202(AE)1= - .

（5）设n维向量(a,0,,0,a),a0；E为n阶单位矩阵，矩阵 AE， BE其中A的逆矩阵为B，则a= - .

（6）设随机变量X 和Y的相关系数为0.5, EX=EY=0,EXEY2, 则

22TT1T， aE(XY)2= .

二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

1（1）曲线yxex

(A) 仅有水平渐近线. (B) 仅有铅直渐近线.

(C) 既有铅直又有水平渐近线. (D) 既有铅直又有斜渐近线. [ ] （2）设函数f(x)x1(x)，其中(x)在x=1处连续，则(1)0是f(x)在x=1

32处可导的

(A) 充分必要条件. （B）必要但非充分条件.

(C) 充分但非必要条件 . (D) 既非充分也非必要条件. [ ]

（3）设可微函数f(x,y)在点(x0,y0)取得极小值，则下列结论正确的是

(A) f(x0,y)在yy0处的导数等于零. （B）f(x0,y)在yy0处的导数大于零. (C) f(x0,y)在yy0处的导数小于零. (D) f(x0,y)在yy0处的导数不存在.

1

[ ] （4）设矩阵

001 B010. 100已知矩阵A相似于B，则秩(A-2E)与秩(A-E)之和等于

(A) 2. (B) 3. (C) 4. (D) 5. [ ] （5）对于任意二事件A和B

(A) 若AB，则A,B一定. (B) 若AB，则A,B有可能. (C) 若AB，则A,B一定. (D) 若AB，则A,B一定不. [ ]

（6）设随机变量X和Y都服从正态分布，且它们不相关，则

(A) X与Y一定. (B) (X,Y)服从二维正态分布.

(C) X与Y未必. (D) X+Y服从一维正态分布. [ ] 三 、（本题满分8分） 设

f(x)1111,x(0,], sinxx(1x)212试补充定义f(0),使得f(x)在[0,]上连续.

四 、（本题满分8分）

2f2f1221设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足，又g(x,y)f[xy,(xy)],222uv2g2g. 求22xy五 、（本题满分8分） 计算二重积分 I(xeD2y2)sin(x2y2)dxdy.

2其中积分区域D={(x,y)xy}.

六、（本题满分9分）

设a>1，f(t)aat在(,)内的驻点为t(a). 问a为何值时，t(a)最小？并求出最小值.

七、（本题满分9分）

设y=f(x) 是第一象限内连接点A(0,1),B(1,0)的一段连续曲线，M(x,y)为该曲线上任意一点，点C为M在x轴上的投影，O为坐标原点. 若梯形OCMA的面积与曲边三角形CBM

t2 2

x31的面积之和为，求f(x)的表达式.

63八、（本题满分8分）

设某商品从时刻0到时刻t的销售量为x(t)kt，t[0,T],(k0). 欲在T 时将数量为A的该商品销售完，试求

(1) t时的商品剩余量，并确定k的值； (2) 在时间段[0，T]上的平均剩余量. 九、（本题满分13分）

设有向量组（I）：1(1,0,2)，2(1,1,3)，3(1,1,a2)和向量组（II）：

TTT1(1,2,a3)T，2(2,1,a6)T，3(2,1,a4)T. 试问：当a为何值时，向量组

（I）与（II）等价？当a为何值时，向量组（I）与（II）不等价？ 十、（本题满分13分）

2111设矩阵A121可逆，向量b是矩阵A*的一个特征向量，是对应的11a1特征值，其中A*是矩阵A的伴随矩阵. 试求a,b和的值.

十一、（本题满分13分）

设随机变量X的概率密度为

1,若x[1,8], f(x)33x2

其他;0,F(x)是X的分布函数. 求随机变量Y=F(X)的分布函数.

十二、（本题满分13分）

对于任意二事件A 和B，0P(A)1,0P(B)1， P(AB)P(A)P(B)P(A)P(B)P(A)P(B)

称做事件A和B的相关系数.

(1) 证明事件A和B的充分必要条件是其相关系数等于零；

(2) 利用随机变量相关系数的基本性质，证明1.

3